集合的基本运算第二课时
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1．1.3
集合的基本运算
• 新知视界 • 1．全集 • 一般地，如果一个集合含有我们所研究问 题中所涉及的所有元素，我们就称这个集 合为全集，记作U.
2．补集 自然 语言 符号 语言 图形 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于 全集U的补集，记作∁ UA ∁ UA＝{x|x∈U，x∉A}
• 3．设集合S＝{三角形}，A＝{直角三角形}， 则∁SA＝__________. • 解析：三角形中去掉直角三角形，∴∁SA＝ {斜三角形}． • 答案：{斜三角形}
• 4．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝ {y|y≥1}，则 • ∁UY与∁UX包含关系∁UX__________∁UY. • 解析：∵X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}， • ∴∁UX＝{x|x<0}，∁UY＝{y|y<1}， • ∴∁UX∁UY.
• 类型二 交、并、补的综合运算 • [例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－ 2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁ UA，A∩B， ∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. • [分析] 由题目可获取以下主要信息：①全 集U，集合A、B均为无限集；②所求问题为 集合间交、并、补运算．解答此题可借助 数轴求解．
图3
• [解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如 图3： • 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， • A∩B＝{x|－2<x<3}， • ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， • (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． • [点评] 求解用不等式表示的数集间的集合 运算时，一般要借助于数轴求解，此法的 特点是简单直观，同时要注意各个端点的
• 变 式 体 验 2 已 知 集 合 A ＝ {x|x<a} ， B ＝ {x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取 值范围是( ) • A．a≤2 B．a<1 • C．a≥2 D．a>2
解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁ RB＝{x|x≤1或 x≥2}． 由A∪(∁ RB)＝R，如图4所示．
作业P12 9,10
• 2．补集符号：∁ UA表示U为全集时A的补 集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记 号 中 “ U” 也 必 须 换 成 相 应 的 集 合 ( 即 ∁RA)． • 3．集合运算问题多与方程、函数、不等 式等有关，在求解时，要注意等价转化思 想的运用．常将集合化简或转化为熟知的 代数、几何问题等． • 4．处理集合的有关问题时，首先要将集 合进行简化，在交、并、补的运算中，最 容易被忽视、最常出错的地方是空集．
法2：可用Venn图如图示
图1 [点评] 先化简集合U和集合A，然后根据定义 求解．
• 变式体验1 已知全集U，集合A＝ {1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝ {1,4,6,8,9}，求集合B.
解：借助Venn图，如图2所示，
图2 得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁ UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}．
• • • • • •
3.补集的性质 (1)∁UØ＝U； (2)∁UU＝Ø； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∩(∁UA)＝Ø，A∪(∁UA)＝U； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
思考感悟 (1)全集一定包含任何一个元素吗？ 提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部 元素，而非任何元素． (2)∁ AC与∁ BC相等吗？ 提示：不一定．若A＝B，则∁ AC＝∁ BC，否则 不相等．
• 自我检测 • 1．设全集U＝{1,2,4,8}，B＝{2,4}，则∁ UB ＝( ) • A．{1} B．{8} • C．{1,8} D．Ø • 答案：C
• 2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁ UA＝{2}，则 集合A的真子集共有( ) • A．3个 B．4个 • C．5个 D．6个 • 解析：∵U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}， • ∴A＝{0,1}．∴A的真子集是{0}，{1}，Ø共 3个，故选A. • 答案：A
图4 可知a≥2.
答案：C
• 思悟升华 • 1．全集是相对于研究问题而言的一个相对概念， 它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素， 因此，全集因研究问题而异．例如在研究数集时 全集概念：在整数范围内研究问题，则Z为全集； 而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就 不是全集．在立体几何中，三维空间是全集，这 时平面是全集的一个子集．而在平面几何中，整 个平面可以看做是一个全集．
5．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A ＝{b,2}，∁ UA＝{5}，求实数a和b的值．
a2＋2a－3＝5， 解析：由题意知 b＝3. a＋4a－2＝0 ∴ b＝3 a＝2或a＝－4 ，∴ b＝3
，
a＝－4或2 ∴所求a，b的值为 b＝3
.
答案：a＝－4或2，b＝3
• 典例导悟 • 类型一 补集的运算 • [例1] 设U＝{x|2<|x|≤5，x∈Z}，A＝{x|x2 －2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA，∁UB.
• • • • • •
[解] 法1：∵2<|x|≤5，且x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3,3,4,5； 方程x2－2x－15＝0的解为5，－3， ∵A＝{5，－3}，B＝{－3,3,4}， U＝{－5，－4，－3,3,4,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5， －4,5}．
集合的基本运算
• 新知视界 • 1．全集 • 一般地，如果一个集合含有我们所研究问 题中所涉及的所有元素，我们就称这个集 合为全集，记作U.
2．补集 自然 语言 符号 语言 图形 语言 对于一个集合A，由全集U中不属于A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于 全集U的补集，记作∁ UA ∁ UA＝{x|x∈U，x∉A}
• 3．设集合S＝{三角形}，A＝{直角三角形}， 则∁SA＝__________. • 解析：三角形中去掉直角三角形，∴∁SA＝ {斜三角形}． • 答案：{斜三角形}
• 4．设全集U＝R，集合X＝{x|x≥0}，Y＝ {y|y≥1}，则 • ∁UY与∁UX包含关系∁UX__________∁UY. • 解析：∵X＝{x|x≥0}，Y＝{y|y≥1}， • ∴∁UX＝{x|x<0}，∁UY＝{y|y<1}， • ∴∁UX∁UY.
• 类型二 交、并、补的综合运算 • [例2] 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－ 2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}．求∁ UA，A∩B， ∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. • [分析] 由题目可获取以下主要信息：①全 集U，集合A、B均为无限集；②所求问题为 集合间交、并、补运算．解答此题可借助 数轴求解．
图3
• [解] 把全集U和集合A，B在数轴上表示如 图3： • 由图可知∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， • A∩B＝{x|－2<x<3}， • ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， • (∁UA)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}． • [点评] 求解用不等式表示的数集间的集合 运算时，一般要借助于数轴求解，此法的 特点是简单直观，同时要注意各个端点的
• 变 式 体 验 2 已 知 集 合 A ＝ {x|x<a} ， B ＝ {x|1<x<2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取 值范围是( ) • A．a≤2 B．a<1 • C．a≥2 D．a>2
解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁ RB＝{x|x≤1或 x≥2}． 由A∪(∁ RB)＝R，如图4所示．
作业P12 9,10
• 2．补集符号：∁ UA表示U为全集时A的补 集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记 号 中 “ U” 也 必 须 换 成 相 应 的 集 合 ( 即 ∁RA)． • 3．集合运算问题多与方程、函数、不等 式等有关，在求解时，要注意等价转化思 想的运用．常将集合化简或转化为熟知的 代数、几何问题等． • 4．处理集合的有关问题时，首先要将集 合进行简化，在交、并、补的运算中，最 容易被忽视、最常出错的地方是空集．
法2：可用Venn图如图示
图1 [点评] 先化简集合U和集合A，然后根据定义 求解．
• 变式体验1 已知全集U，集合A＝ {1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁UB＝ {1,4,6,8,9}，求集合B.
解：借助Venn图，如图2所示，
图2 得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}， ∵∁ UB＝{1,4,6,8,9}， ∴B＝{2,3,5,7}．
• • • • • •
3.补集的性质 (1)∁UØ＝U； (2)∁UU＝Ø； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∩(∁UA)＝Ø，A∪(∁UA)＝U； (5)(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)．
思考感悟 (1)全集一定包含任何一个元素吗？ 提示：全集仅包含我们研究问题所涉及的全部 元素，而非任何元素． (2)∁ AC与∁ BC相等吗？ 提示：不一定．若A＝B，则∁ AC＝∁ BC，否则 不相等．
• 自我检测 • 1．设全集U＝{1,2,4,8}，B＝{2,4}，则∁ UB ＝( ) • A．{1} B．{8} • C．{1,8} D．Ø • 答案：C
• 2．已知全集U＝{0,1,2}，且∁ UA＝{2}，则 集合A的真子集共有( ) • A．3个 B．4个 • C．5个 D．6个 • 解析：∵U＝{0,1,2}，且∁UA＝{2}， • ∴A＝{0,1}．∴A的真子集是{0}，{1}，Ø共 3个，故选A. • 答案：A
图4 可知a≥2.
答案：C
• 思悟升华 • 1．全集是相对于研究问题而言的一个相对概念， 它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素， 因此，全集因研究问题而异．例如在研究数集时 全集概念：在整数范围内研究问题，则Z为全集； 而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就 不是全集．在立体几何中，三维空间是全集，这 时平面是全集的一个子集．而在平面几何中，整 个平面可以看做是一个全集．
5．已知全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，若A ＝{b,2}，∁ UA＝{5}，求实数a和b的值．
a2＋2a－3＝5， 解析：由题意知 b＝3. a＋4a－2＝0 ∴ b＝3 a＝2或a＝－4 ，∴ b＝3
，
a＝－4或2 ∴所求a，b的值为 b＝3
.
答案：a＝－4或2，b＝3
• 典例导悟 • 类型一 补集的运算 • [例1] 设U＝{x|2<|x|≤5，x∈Z}，A＝{x|x2 －2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA，∁UB.
• • • • • •
[解] 法1：∵2<|x|≤5，且x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3,3,4,5； 方程x2－2x－15＝0的解为5，－3， ∵A＝{5，－3}，B＝{－3,3,4}， U＝{－5，－4，－3,3,4,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5， －4,5}．