选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题

选修2-2 1.6 微积分基本定理

一、选择题

1．下列积分正确的是( )

A.

1227

1

3

=⎰

x

dx

B.e e dx x e x

-=⎰

2

1

21 C.()

3

16122ln 0=+⎰dx e e x

x 222

=⎰-π

πxdx D.

[答案] A [解析]

122

3

27232

3

32

271

3

227

1

3

127

1

3

=-⨯===⎰

⎰

-

x dx x x

dx

2.

=⎪⎭⎫

⎝

⎛+⎰-dx x x 2

2421 A.21

4 B.54 C.33

8

D.218

[答案] A

[解析] ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 3| 2－2＋⎝⎛⎭⎫－13x －3| 2－2

＝13(x 3－x －

3)| 2

－2 ＝13⎝⎛

⎭⎫8－18－13⎝⎛⎭

⎫－8＋18＝214.

故应选A. 3.

⎰

-1

1

|x |d x 等于( )

A.⎠⎛1－1x d x

B.⎠

⎛1－1d x

C.⎠

⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛0

1x d x

D.⎠

⎛0－1x d x ＋⎠⎛0

1(－x )d x

[答案] C

[解析] ∵|x |＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

x (x ≥0)－x (x <0)

∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠

⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛0

1|x |d x

＝⎠

⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛0

1x d x ，故应选C.

4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2 (0≤x <1)

2－x (1≤x ≤2)，则⎠

⎛0

2f (x )d x 等于( )

A.3

4 B.4

5 C.56

D ．不存在

[答案] C

[解析] ⎠⎛0

2f (x )d x ＝⎠⎛0

1x 2d x ＋⎠

⎛1

2(2－x )d x

取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －1

2x 2， 则F ′1(x )＝x 2，F ′

2(x )＝2－x

∴⎠⎛0

2f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)

＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭

⎫2×1－12×12＝56.故应选C.

5.⎠⎛a

b f ′(3x )d x ＝( )

A ．f (b )－f (a )

B ．f (3b )－f (3a )

C.1

3[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )]

[答案] C

[解析] ∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝1

3f (3x )，则

⎠⎛a

b f ′

(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝1

3[f (3b )－f (3a )]．故应选C.

6.⎠⎛0

3|x 2－4|d x ＝( )

A.21

3 B.223 C.23

3 D.253

[答案] C

[解析] ⎠⎛0

3|x 2－4|d x ＝⎠⎛0

2(4－x 2)d x ＋⎠

⎛2

3(x 2－4)d x

＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 2

0＋⎝⎛⎭

⎫13x 3－4x | 32＝233

. 7.

θθπ

d ⎰

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-3

22sin 21 的值为 （ ）

A ．－3

2 B ．－12 C.1

2

D.32

[答案] D

[解析] ∵1－2sin 2θ

2＝cos θ

2

3

sin cos 2sin 213

30302=

==⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-∴⎰⎰π

ππθθθθd d ，故应选D 8．函数F (x )＝⎠⎛0

x cos t d t 的导数是( )

A ．cos x

B ．sin x

C ．－cos x

D ．－sin x

[答案] A

[解析] F (x )＝⎠⎛0

x cos t d t ＝sin t | x

0＝sin x －sin0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0

k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．以上都不对

[答案] C

[解析] ⎠

⎛0

k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k

＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝0或1.

10．函数F (x )＝⎠⎛0

x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )

A ．有最大值0，无最小值

B ．有最大值0和最小值－32

3 C ．有最小值－32

3，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B

[解析] F (x )＝⎠

⎛0

x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x

0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．

F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：

x (－1,0) 0

(0,4) 4

(4,5) F ′(x ) ＋

0 －

0 ＋

F (x )

极

大值

极

小值

可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－32

3. 又F (－1)＝－73，F (5)＝－25

3 ∴最大值为0，最小值为－32

3.

二、填空题

11．计算定积分： ①⎠

⎛1－1x 2d x ＝________

②⎠⎛23⎝⎛⎭

⎫3x －2x 2d x ＝________

③⎠⎛0

2|x 2－1|d x ＝________