选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题
人教版高二数学学案选修2-2练习1.6微积分基本定理
§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a ns ′(ξi )；④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( ) A.32 B.43C.23 D ．－235． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4 B.π2－1C ．2 D.π－246．ʃ1－1|x |d x 等于( )A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
选修2-2 1.6 微积分基本定理练习题
选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )A.122713=⎰xdxB.e e dx x e x-=⎰2121 C.()316122ln 0=+⎰dx e e xx 222=⎰-ππxdx D. [答案] A [解析]12232723233227132271312713=-⨯===⎰⎰-x dx x xdx2.=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰-dx x x 22421 A.214B.54C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A. 3.⎰-11|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛a bf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.7.θθπd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-322sin 21 的值为 （ ）A ．－32B ．－12 C.12D.32[答案] D [解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ23sin cos 2sin 213030302===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴⎰⎰πππθθθθd d ，故应选D 8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋－0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题11．计算定积分：①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x2d x ＝________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2. ④()1cos sin sin 02202==-=---⎰⎰πππxdx x dx x12..________2cos 2sin 220=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x π[答案] 1＋π2[解析]()()12cos sin 12cos 2sin 220220+=-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ππππx x dx x dx x x 13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分：(1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：(1)⎰462cos ππxdx (2)dx x x 2321⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ (3) ()⎰+20sin 3πdx x x (4)⎰b a x dx e [解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x∴⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰6)4(2cos 46ππππF F xdx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x∴()()18302sin 3220+=-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎰πππF F dx x x(4)取()xe x F =，则xe x F =)('∴a b b axbax e e e dx e -==⎰17．计算下列定积分：(1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29 ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解① ② ③ 得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
高中数学选修2-2课时作业15：§1.6 微积分基本定理
§1.6 微积分基本定理一、选择题1．ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x d x 等于( ) A ．e 2－ln 2B ．e 2－e －ln 2C ．e 2＋e ＋ln 2D ．e 2－e ＋ln 2考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] D[解析] ʃ21⎝⎛⎭⎫e x ＋1x ＝(e x ＋ln x )|21 ＝(e 2＋ln 2)－(e ＋ln 1)＝e 2－e ＋ln 2.2．若π20(sin cos )d x a x x -⎰＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] A[解析] π20(sin cos )d x a x x -⎰＝(－cos x －a sin x )π20|＝0－a －(－1－0)＝1－a ＝2，∴a ＝－1，故选A.3．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] B[解析] 因为S 1＝ʃ21x 2d x ＝⎪⎪13x 321＝13×23－13＝73，S 2＝ʃ211xd x ＝ln x |21＝ln 2， S 3＝ʃ21e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)． 又ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e(e －1)， 所以ln 2<73<e(e －1)，即S 2<S 1<S 3. 4．ʃ30|x 2－4|d x 等于( )A.213B.223C.233D.253考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] C [解析] ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2， ∴ʃ30|x 2－4|d x ＝ʃ32(x 2－4)d x ＋ʃ20(4－x 2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 32＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫4x －13x 320 ＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233. 5．若函数f (x )，g (x )满足ʃ1－1f (x )g (x )d x ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 12x ； ②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1,1]上的正交函数的组数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] C[解析] 对于①，ʃ1－1sin 12x cos 12x d x ＝ʃ1－112sin x d x ＝0， 所以①是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于②，ʃ1－1(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ1－1(x 2－1)d x ≠0，所以②不是区间[－1,1]上的一组正交函数；对于③，ʃ1－1x ·x 2d x ＝ʃ1－1x 3d x ＝0，所以③是区间[－1,1]上的一组正交函数．6．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( ) A ．－13B ．－1 C.13 D ．1考点 利用微积分基本定理求定积分题点 利用微积分基本定理求定积分[答案] A[解析] ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，∴ʃ10f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ʃ10f (x )d x 10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13. 二、填空题7．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，则ʃ1－1f (x )d x ＝________. 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] sin 1－23[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃ10(cos x －1)d x＝⎪⎪13x 30－1＋(sin x －x )|10＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23. 8．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若ʃ1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] －1或13[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝4， 2f (a )＝6a 2＋4a ＋2，由题意得6a 2＋4a ＋2＝4，解得a ＝－1或13. 9.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝ʃ103x 2d x ＝x 3|10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋ʃa 03t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝____________. 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] 1[解析] 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又当x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f (f (1))＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的[解析]式为________． 考点 微积分基本定理的应用题点 利用微积分基本定理求参数[答案] f (x )＝4x ＋3[解析] ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x＝12a ＋b ＝5， ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. ∴⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. ∴f (x )＝4x ＋3. 12．已知α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则当ʃα0(cos x －sin x )d x 取最大值时，α＝________. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用[答案] π4[解析] ʃα0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )|α0＝sin α＋cos α－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1. ∵α∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，34π， 当α＋π4＝π2，即α＝π4时， 2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－1取得最大值． 三、解答题13．已知f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用解 因为f (x )＝ʃx －a (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2，F (a )＝ʃ10[f (x )＋3a 2]d x ＝ʃ10(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1.所以当a ＝－1时，F (a )取到最小值为1.四、探究与拓展14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ (x ＋1)2，－1≤x ≤0，1－x 2，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 等于( ) A.3π－812B.4＋3π12C.4＋π4D.－4＋3π12 考点 分段函数的定积分题点 分段函数的定积分[答案] B[解析] ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1(x ＋1)2d x ＋ʃ101－x 2d x ，ʃ0－1(x ＋1)2d x ＝ ⎪⎪13(x ＋1)30－1＝13， ʃ101－x 2d x 以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，故ʃ101－x 2d x ＝π4， 故ʃ1－1f (x )d x ＝13＋π4＝4＋3π12. 15．已知f ′(x )是f (x )在(0，＋∞)上的导数，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，且ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1. (1)求f (x )的[解析]式；(2)当x >0时，证明不等式2ln x ≤e x 2－2. 考点 微积分基本定理的应用题点 微积分基本定理的综合应用(1)解 由xf ′(x )＋2f (x )＝1x2，得 x 2f ′(x )＋2xf (x )＝1x， 即[x 2f (x )]′＝1x， 所以x 2f (x )＝ln x ＋c (c 为常数)，即x 2f (x )－ln x ＝c .又ʃ21[x 2f (x )－ln x ]d x ＝1，即ʃ21c d x ＝1，所以cx |21＝1，所以2c －c ＝1，所以c ＝1.所以x 2f (x )＝ln x ＋1，所以f (x )＝ln x ＋1x 2. (2)证明 由(1)知f (x )＝ln x ＋1x 2(x >0)， 所以f ′(x )＝1x ×x 2－2x (ln x ＋1)x 4＝－2ln x －1x 3， 当f ′(x )＝0时，x ＝12e-，f ′(x )>0时，0<x <12e -， f ′(x )<0时，x >12e -，所以f (x )在(0，12e -)上单调递增，在(12e-，＋∞)上单调递减． 所以f (x )max ＝ 12(e )f -＝e 2， 所以f (x )＝ln x ＋1x 2≤e 2， 即2ln x ≤e x 2－2.。
人教版高中数学选修2-21.6微积分基本定理练习
【成才之路】 2015-2016 学年高中数学 1.6 微积分基本定理练习 新人教 A 版选修 2-2一、选择题π π 与曲线 y ＝ cosx 所围成的关闭图1． (2015 广·西柳州市模拟 )由直线 x ＝－ ， x ＝ ， y ＝ 033形的面积为 ()1 B ． 1A. 23D.3C ． 2[答案 ]Dππ3，选 D.[分析 ]由题意得， S ＝23cosxdx ＝ 2sinx|3＝ 02．(2013 景·德镇市高二质检 ) 若曲线 y ＝ x 与直线 x ＝ a 、y ＝ 0 所围成关闭图形的面积为 a 2，则正实数 a 为 ()45A. 9B ． 945 C ．3D ． 3[答案 ] A[分析 ]由题意知，axdx ＝ a 2，31，∴33∵ (2x 2 ) ＝′ xa xdx ＝2x 2 |0a＝2a 2 ，323 3342 2.∴ a2 ＝ a ，∴ a ＝393.由曲线 y ＝ x 2 和直线 x ＝ 0，x ＝ 1， y ＝ t 2， t ∈ (0,1)所围成的图形 (暗影部分 )的面积的最小值为 ()11A. 4B ． 312 C.2D ． 3[答案 ]Ay ＝ x 2[分析 ]2得，x ＝t ，故 S ＝t 221 2 221 3 t 1321由 y ＝ t(t － x )dx ＋ (x － t )d x ＝( t x － x )|0＋ ( x － t x)|tx>00 t33＝4t 3－ t 2＋ 1，3 321令 S ′＝ 4t － 2t ＝ 0，∵ 0<t<1，∴ t ＝ ，1 1易知当 t ＝ 时， S min ＝ .242x，4．设 f(x)＝x2f(x)dx 等于 ()2－xx 则34A. 4B ． 55C ．6D ．不存在[答案 ] C[分析 ]21 22(2－ x)dx ，f(x)dx ＝x dx ＋0 011 312，取 F 1(x)＝ x ， F 2(x)＝ 2x － x32则 F ′ 2，F ′1(x)＝ x 2(x)＝ 2－x ，∴ 2f(x)dx ＝ F 1(1)－ F 1(0)＋ F 2(2)－ F 2(1)1 1 21 25 ＝ － 0＋ 2×2－ ×2－ 2×1－ ×1＝ .故应选 C.32265．(2014 ～ 2015 ·河南周口市高二期末 )已知函数 f(x)＝ x n＋ mx 的导函数 f ′(x)＝ 2x ＋ 2，则 3f(－ x)dx ＝ ()1A ． 0B ． 322C ．－ 3D ． 3[答案] D[分析 ]∵ f(x)＝ x n ＋mx 的导函数 f ′(x)＝2x ＋ 2，∴ nx n －1＋m ＝2x ＋ 2，解得 n ＝ 2， m ＝ 2，∴ f(x)＝x 2＋ 2x ，∴ f(－ x)＝ x 2－ 2x ，∴ 3f(－ x)dx ＝，则3(x 2－ 2x)dx ＝ (13x 3－ x 2)|31＝ 9－9－13＋ 1＝23，应选 D.11π2θ6． 3 1－ 2sin2 d θ的值为 ()31A ．－ 2B ．－ 213C ．2D ． 2[答案] D2θ[分析 ] ∵ 1－2sin 2＝ cos θ，∴π1－ 2sin2θπ π 3 3 d θ＝cos θd θ＝ sin θ|3＝，故应选 D.23 02二、填空题7．计算定积分：12①x dx ＝ ________________－ 1② 3 3x － 22 dx ＝ ________________x2③ 2|x 2－1|dx ＝ ________________0 0④ |sinx|dx ＝ ________________π 2[答案 ]2 ② 43 ③2④ 1①3621 3 12 [分析 ]① 1 x dx ＝3x |－1 ＝ 3.－1② 32 dx ＝3 2 2 3 433x － 2 x ＋ x |2 ＝ 6 .2x 22 －1|dx ＝22 2 13 1＋1 32＝ 2.③ 2|x1(1－ x )dx ＋(x － 1)dx ＝ x － x |0 x － x |1 0133④|sinx|dx ＝(－ sinx)dx ＝ cosx| -π＝ 1.-π -π 2228.从如下图的长方形地区内任取一个点M(x ，y)，则点 M 取自暗影部分的概率为 ________________ ．1 [答案 ]3[分析 ]长方形的面积为S1＝3，S阴＝23 1S1113x dx＝ x |0＝ 1，则 P＝＝ .0S阴39．已知 f(x)＝ 3x2＋ 2x＋ 1，若1 f(x)dx＝ 2f(a)建立，则 a＝________________.－11[答案 ]－1 或3[分析 ]由已知32F(x)＝ x＋ x ＋ x， F(1) ＝ 3， F(－ 1)＝－ 1，∴1 f(x)dx＝F(1)－ F(－ 1)＝ 4，－1∴2f(a)＝ 4，∴ f(a)＝ 2.即 3a2＋ 2a＋ 1＝ 2.解得 a＝－ 1 或1 . 3三、解答题10．计算以下定积分：(1)22(2)2x2＋ 2x－ 3 (4－ 2x)(4 － x )dx;x dx. 01[分析 ](1)2(4－ 2x)(4－ x2)dx＝2(16－ 8x－ 4x2＋ 2x3)dx 00＝24 314232＋8＝40.16x－ 4x－ x ＋2x|0＝32－16－333(2)x2＋ 2x－ 3x＋ 2－3dx＝1227－ 3ln2. 2xdx＝2x2x ＋ 2x－3ln x |1＝112一、选择题11．函数 F(x)＝x costdt 的导数是 ()A ． F′(x)＝cosx B． F ′(x)＝ sinx C．F ′(x)＝－ cosx D． F ′(x)＝－ sinx [答案 ]A[分析 ]xF(x)＝x costdt＝ sint|0＝ sinx－ sin0＝ sinx.因此 F ′(x)＝ cosx，故应选 A.12． (2015 江·西教课质量监测)若直线 l 1： x＋ay－ 1＝ 0 与 l2： 4x－ 2y＋3＝ 0 垂直，则积分3的值为 ()a ( x ＋ sin x－ 5)dx－aA ． 6＋ 2sin 2C．20B．－ 6－2cos 2D．－ 20[答案 ]D[分析 ]由 l 1⊥ l 2 得 4－ 2a ＝ 0 即 a ＝ 2，∴原式＝2(x 3＋ sin x －5)dx ＝2(x 3＋ sin x)dx ＋ 2(－ 5)dx ＝ 0－ 20＝－ 20.－ 2－ 2－ 2[评论 ]若 f(x)为奇函数，定义域 (－a ， a)， a>0，则af(x)dx ＝ 0.－a13．若 S 1＝2x 2dx ， S 2＝21dx ， S 3＝ 2e x dx ，则 S 1， S 2， S 3 的大小关系为 ()1x11A ． S 1<S 2<S 3B ． S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ． S 3<S 2<S 1[答案 ] B[分析 ]S 1＝2 2 x3 2 7x dx ＝ 3 |1＝ .13S 2＝21dx ＝ lnx|12 ＝ ln2－ ln1＝ln2.x1S 3＝ 2 x x 2 2e dx ＝ e |1＝ e － e ＝ e(e －1) ． 1∵ e>2.7，∴ S 3>3>S 1>S 2.应选 B.14． (2015 河·南高考适应性测试 )定义在 R 上的可导函数y ＝ f(x)，假如存在 x 0∈ [a ， b]，b fx x使得 f( x 0)＝a建立，则称 x 0 为函数 f(x) 在区间 [a ，b]上的 “均匀值点 ”，那么函数 f( x)b － a＝x 3－3x 在区间 [ －2,2] 上 “均匀值点 ”的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4[答案 ]C23－ 3xx 14 3 2 2x－2x － x －2[分析 ]＝ 4 2＝ 0，即 x 03－ 3x 0＝ 0，解得：由已知得： f( x 0)＝44x 0＝ 0 或 x 0＝ ± 3，∴ f(x)的均匀值点有 3 个，应选 C.二、填空题π15． (2014 绍·兴模拟 )-2(x ＋ cosx)dx ＝________________.π2[答案 ]2π1 2π[分析 ]＋sinx)| π- 2 (x ＋ cosx)dx ＝ ( x-2 ＝2.22π216． (2014 山·东省菏泽市期中 )函数 y ＝x 2与 y ＝ kx(k>0) 的图象所围成的暗影部分的面积为9，则 k ＝________________. 2[答案 ] 3 [分析 ]y ＝ kx ， x ＝ 0，x ＝ k ，由y ＝ x 2，解得或y ＝ 0，y ＝ k 2.由题意得，k(kx － x 2)dx ＝ (1kx 2－ 1x 3)|0k ＝ 1k 3－ 1k 3＝ 1k 3＝ 9，∴ k ＝ 3.232362三、解答题17．已知 f(x)＝ax 2 ＋bx ＋ c(a ≠0)，且 f(－ 1)＝2， f ′(0)＝ 0， 1f(x)dx ＝－ 2，求 a 、 b 、 c的值．[分析 ]∵ f(－ 1)＝ 2，∴ a － b ＋ c ＝ 2.①又∵ f ′(x)＝ 2ax ＋ b ，∴ f ′(0)＝b ＝ 0② 而 1f(x)dx ＝ 1(ax 2＋ bx ＋c)dx ，取 F(x)＝1ax 3＋1bx 2＋ cx ，32 则 F ′(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c ，∴111f(x)dx ＝ F(1)－ F(0) ＝ 3a ＋ 2b ＋ c ＝－ 2③解①②③得 a ＝6， b ＝ 0，c ＝－ 4.18．如图，直线 y ＝ kx 分抛物线 y ＝x － x 2 与 x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．[分析 ]抛物线 y ＝ x － x 2 与 x 轴两交点的横坐标 x 1＝ 0， x 2＝ 1，因此，抛物线与x 轴所围图形的面积23S ＝ 1(x － x 2 )dx ＝ (x－ x)|01＝ 1－ 1＝ 1.232 36抛物线 y ＝ x － x 2与直线 y ＝ kx 两交点的横坐标为x ′＝ 0， x ′＝1－ k ，因此 S＝1-k 2122(x － x1－ k 2 － x 3 1－k1 3，－kx)dx ＝ ( 2x 3 )|0 ＝ (1 －k)6又知 S ＝ 1，因此 (1－k)3＝1.62313＝ 1－4于是 k＝1－2 2.。
人教新课标版数学高二选修2-2检测 1.6微积分基本定理
一、选择题1．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝⎪⎪⎪10＝34；b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1＝14，∴a >b >c .【答案】 A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1)，1x ，x ∈[1，e 2)(其中e 为自然对数的底数)，则f (x )d x的值为( )A.43 B.53 C.73 D.83【解析】 f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋∫e 211x d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 10＋ln x ⎪⎪⎪e 21＝13＋2＝73.【答案】 C3．(2013·安阳高二检测)⎠⎛01|1－x |d x ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2 【解析】 ⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝(x －12x 2)⎪⎪⎪10＋(12x 2－x )⎪⎪⎪21＝(1－12)＋(12×4－2)－(12－1) ＝1. 【答案】 B4．设f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A ．－33B.33C ．－13 D.13【解析】 ∵⎠⎛01f (x )d x ＝(13ax 3＋cx )⎪⎪⎪10＝13a ＋c ，∴ax 20＋c ＝13a ＋c ， ∴x 20＝13.∵0≤x 0≤1.∴x 0＝33.【答案】 B5．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( )A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【解析】 ∵⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)⎪⎪⎪k0＝k 2－k 3，∴k 2－k 3＝0，即k ＝0或k ＝1， 又当k ＝0时，不合题意，∴k ＝1. 【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ，则f [f (π2)]＝________.【解析】 ∵f (a )＝⎠⎛0a sin x d x ＝(－cos x )⎪⎪⎪a0＝1－cos a .∴f (π2)＝1－cos π2＝1. ∴f [f (π2)]＝f (1)＝1－cos 1. 【答案】 1－cos 17．(2012·江西高考)计算定积分(x 2＋sin x )d x ＝________.【解析】 ∵(13x 3－cos x )′＝x 2＋sin x ， ∴(x 2＋sin x )d x ＝(13x 3－cos x )⎪⎪⎪1－1＝23. 【答案】 238．(2013·福州高二检测)⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝________.【解析】 ∵⎠⎛12(1x ＋1x 2)d x ＝(ln x －1x )⎪⎪⎪21＝(ln 2－12)－(ln 1－1)＝ln 2＋12. 【答案】 ln 2＋12 三、解答题9．计算下列定积分： (1)⎠⎛121x (x ＋1)d x ； (2)(cos x ＋2x )d x .【解】 (1)∵⎠⎛121x (x ＋1)d x ＝⎠⎛12(1x －1x ＋1)d x＝[ln x －ln(x ＋1)]⎪⎪⎪21＝ln 43.(2)(cos x ＋2x )d x ＝(sin x ＋2x ln 2)⎪⎪⎪⎪π2－π210．(1)设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，求f (x )d x .(2)求x 2d x (a >0)．【解】 (1) f (x )d x ＝x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪10＝sin 1－23.(2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，得11．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋1，x ∈[－2，2]，1＋x 2，x ∈(2，4]，求使⎠⎛k 3f (x )d x ＝403恒成立的k 值．【解】 (1)当k ∈(2,3]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k3(1＋x 2)d x ＝(x ＋13x 3)⎪⎪⎪3k＝3＋13×33－(k ＋13k 3)＝403 整理得k 3＋3k ＋4＝0， 即k 3＋k 2－k 2＋3k ＋4＝0， ∴(k ＋1)(k 2－k ＋4)＝0， ∴k ＝－1.而k ∈(2,3]，∴k ＝－1舍去． (2)当k ∈[－2,2]时，⎠⎛k 3f (x )d x ＝⎠⎛k 2(2x ＋1)d x ＋⎠⎛23(1＋x 2)d x ＝(x 2＋x )⎪⎪⎪2k ＋(x ＋13x 3)⎪⎪⎪32＝(22＋2)－(k 2＋k )＋(3＋13×33)－(2＋13×23) ＝403－(k 2＋k )＝403， ∴k 2＋k ＝0，解得k ＝0或k ＝－1， 综上所述，k ＝0或k ＝－1.。
人教新课标A版高中选修2-2数学1.6微积分基本定理同步练习C卷
（1） 求等待开垦土地的面积；
（2） 如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大．
23. （5分） 已知F（x）= (t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的单调区间；
（2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．
24. （5分） 计算由抛物线y=3-(x-1)2 和y= 所围成的图形的面积．
人教新课标A版选修2-2数学1．6微积分基本定理同步练习C卷
姓名:________班级:________ 成绩:________
一、 选择题 (共15题；共30分)
1. （2分） (2016高二下·桂林开学考) 的值是（ ）
A .
B .
C .
D .
2. （2分） 若 dx=2，则λ等于（ ）
A . 0
25. （10分） (2017高二下·钦州港期末) 设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f′（x）=2x+2．
（1） 求y=f（x）的表达式；
（2） 求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积．
参考答案
一、 选择题 (共15题；共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
A .
B .
C .
D .
二、 填空题 (共5题；共5分)
16. （1分） (2018·呼和浩特模拟) ________．
17. （1分） (2016高二下·昌平期中) 设 ，则 =________．
18. （1分） (2019高二下·荆门期末) 关于曲线C： ，给出下列五个命题：
①曲线C关于直线y=x对称；②曲线C关于点 对称；③曲线C上的点到原点距离的最小值为 ；④当 时，曲线C上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C与两坐标轴所围成图形的面积是 .上述命题中，为真命题的是________.（将所有真命题的编号填在横线上）
#11-12学年高中数学 1.6 微积分基本定理同步练习 新人教A版选修2-2
选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
高中数学 专题1.6 微积分基本定理练习(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)
微积分基本定理(时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1。
ʃ1，0(e x ＋2x ）d x 等于（ ）A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1【答案】 C【解析】 ʃ错误!(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2）|错误!＝(e 1＋12)－（e 0＋02)＝e.2．sin 2错误!d x 等于（ ）A.错误!B.错误!－1C ．2D 。
错误! 【答案】 D3。
若ʃ错误!（2x ＋k )d x ＝2，则k ＝（ ）A 。
1B 。
2 C.3 D.4【答案】 A【解析】 ∵ʃ1，0(2x ＋k ）d x ＝(x 2＋kx )|错误!＝1＋k ＝2,∴k ＝1。
4．已知，若成立，则a = . A.或 B 。
C. D 。
0【答案】 A【解析】取，则,， 所以，所以，所以。
即，解得或.5．等于( ）20⎰()2321f x x x =++()()112f xd x f a -=⎰1-13131-()32F x x x x =++()13F =()11F -=-()()()11114f x F d xF ---==⎰()24f a =()2f a =23212a a ++=1a =-1311x dx -⎰A 。
B. C 。
D 。
【答案】C【解析】|x ｜＝∴＝，选C 。
6．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为（ ）．【答案】A＝n （n ＋1)(2n ＋1)＋ ＝＋＝，∴所求面积S ＝. 7．设f （x )是一次函数，且ʃ1，0f (x )d x ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝错误!，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝4x ＋3 【解析】 ∵f （x ）是一次函数，设f （x )＝ax ＋b (a ≠0），则ʃ错误!f （x )d x ＝ʃ错误!（ax ＋b )d x ＝ʃ错误!ax d x ＋ʃ错误!b d x ＝错误!a ＋b ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝ʃ错误!x （ax ＋b ）d x ＝ʃ错误!(ax 2）d x ＋ʃ错误!bx d x ＝错误!a ＋错误!b ＝错误!。
高中数学 16 微积分基本定理同步练习 新人教A版选修2-2 试题
心尺引州丑巴孔市中潭学校选修2-2 1.6 微积分根本定理一、选择题1．以下积分正确的选项是( )[答案] AA.214B.54C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x＝13x 3| 2－2＋⎝⎛⎭⎫－13x －3| 2－2＝13(x 3－x －3)| 2－2＝13⎝⎛⎭⎫8－18－13⎝⎛⎭⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x D.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x [答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎨⎧ x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎨⎧ x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，那么⎠⎛02f (x )d x 等于() A.34 B.45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x 取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2， 那么F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1) ＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( ) A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )] [答案] C[解析] ∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，那么 ⎠⎛a bf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( ) A.213B.223C.233D.253 [答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x ＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233. A ．－32 B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( ) A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A [解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.9．假设⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，那么k ＝( ) A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对 [答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值[答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)． F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：F ′(x )＋ 0 － 0 ＋F (x ) 极大值极小值 可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3. 又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题11．计算定积分：①⎠⎛1－1x 2d x ＝________ ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1 [解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436. ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2. [答案] 1＋π213．(2021·理，13)从如下列图的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，那么点M 取自阴影局部的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，那么P ＝S 1S 阴＝13.14．f (x )＝3x 2＋2x ＋1，假设⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，那么a ＝________. [答案] －1或13[解析] 由F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4， ∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13. 三、解答题15．计算以下定积分：(1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ； (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x . [解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25. (2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x ＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20 ＝32－16－323＋8＝403. (4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 16．计算以下定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，那么F ′(x )＝cos2x ＝12⎝⎛⎭⎫1－32＝14(2－3)．(2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，那么 F ′(x )＝x ＋1x＋2. ∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫92＋ln3＋6－⎝⎛⎭⎫12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，那么F ′(x )＝3x ＋sin x 17．计算以下定积分：(1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ； (2)f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值． [解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x ＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | 0－2 ＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝ ∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －x 22| 10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1.18．(1)f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值； (2)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． [解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2 那么F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29 ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. (2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2①又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x 取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx 那么F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③ 解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
人教版数学选修2-2第1章1.6微积分基本定理学业分层测评
学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1.⎠⎛241x d x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2D ．ln 2【解析】 ⎠⎛241x d x ＝ln x ⎪⎪42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 【答案】 D 2．设a ＝⎠⎛01x 13d x ，b ＝⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 ∵a ＝⎠⎛01x 13d x ＝x 4343⎪⎪⎪10＝34，b ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13，c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14， ∴a >b >c . 【答案】 A3．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1【解析】 ⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝12k ＋1＝k ，∴k ＝2.【答案】 A4．已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛-12f (x )d x ＝( )A ．3B ．4C ．72D ．92【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ， x ≤0，2－x ， x ≥0，所以⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-10(2＋x )d x＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 22⎪⎪⎪0-1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪20＝32＋2＝72.【答案】 C5．设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )A.23 B.34 C.45D.56【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3⎪⎪ 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪21＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题6．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于__________.【导学号：62952053】【解析】 ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)|k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0(舍)或k ＝1.【答案】 17．设抛物线C ：y ＝x 2与直线l ：y ＝1围成的封闭图形为P ，则图形P 的面积S 等于____________ .【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，得x ＝±1.如图，由对称性可知，S ＝2(1×1－⎠⎛01x 2d x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫1×1－13x3| 10＝43.【答案】438．已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x，x>0，x＋⎠⎛a3t2d t，x≤0，若f(f(1))＝1，则a＝__________.【解析】因为f(1)＝lg 1＝0，且⎠⎛a3t2d t＝t3|a0＝a3－03＝a3，所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.【答案】 1三、解答题9．计算下列定积分．(1)⎠⎛121x(x＋1)d x；(2)⎠⎜⎛-π2π2(cos x＋2x)d x.【解】(1)∵⎠⎛121x(x＋1)d x＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫1x－1x＋1d x＝[ln x－ln(x＋1)]|21＝ln 43.(2)⎠⎜⎛-π2π2(cos x＋2x)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x＋2xln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2＋1ln 2(2π2－2-π2)．10．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝196，求f (x )．【导学号：62952054】【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4， ①f ′(x )＝2ax ＋b ，因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1， ②⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx | 10 ＝13a ＋12b ＋c ＝196，③由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.[能力提升]1．若⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝3－ln 2，且a >1，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2【解析】 ⎠⎛1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x d x ＝(x 2－ln x )|a 1 ＝a 2－ln a －1，故有a 2－ln a －1＝3－ln 2， 解得a ＝2. 【答案】 D2．如图1-6-4所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )图1-6-4A.14B.15C.16D.17【解析】 因为S 正方形＝1， S 阴影＝⎠⎛1(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2| 10＝23－12＝16，所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝16. 【答案】 C3．计算：⎠⎛-22(2|x |＋1)d x ＝__________.【导学号：62952055】【解析】 ⎠⎛-22 (2|x |＋1)d x ＝⎠⎛-20(－2x ＋1)d x ＋⎠⎛02(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12. 【答案】 124．已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值．【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2＋4at )|x －a＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛01(6x 2＋4ax ＋a 2)d x＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )|10＝2＋2a ＋a 2＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1≥1. 所以当a ＝－1时，F (a )的最小值为1.。
人教版A版高中数学选修2-2第一章+1.6《微积分基本定理》【练习】(教师版)
1.6 微积分基本定理一、选择题1.10(2)e x x dx +⎰等于（ ）A.1B.e 1-C.eD.e+1 【答案】C【解析】Q 被积函数22()e ,e x x x x c c +++的原函数为为常数1121200(2)()e (1e e 0.e )()e x x x dx x ∴+=+=+-+=⎰｜2.11x dx -⎰等于( )A. 11xdx -⎰B. 11dx -⎰C.()011x dx xdx --+⎰⎰D.()0110xdx x dx -+-⎰⎰【答案】C【解析】|x |＝()()0,0,x x x x ⎧≥⎪⎨-<⎪⎩∴＝()0110x dx xdx --+⎰⎰，选C.3．若1123ln 2,a x dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】D【解析】22111111122ln 1ln 3ln 2a a a aa x dx xdx dx x xa a x x ⎛⎫+=+=+=-+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，解得a ＝2.4.设113a x dx =⎰，12b x dx =⎰，130c x dx =⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c >a >bB.a >b >cC.a =b >cD.a >c >b【答案】B【解析】14113303344a x dx x===⎰，123101133b x dx x ===⎰，134101144c x dx x ===⎰，因为113434<<，所以a >b >c .5．设f (x )是一次函数，且()105f x dx =⎰，()1176xf x dx =⎰，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝4x ＋3 B ．f (x )＝3x ＋4 C ．f (x )＝－4x ＋2 D ．f (x )＝－3x ＋4 【答案】A【解析】∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则()()11f x dx ax b dx =+=⎰⎰11152axdx bdx a b +=+=⎰⎰，()()1100xf x dx x ax b dx =+=⎰⎰()()1120ax dx bx dx +⎰⎰=1117.326a b +=由15,21117,326a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.6.已知分段函数()21,0,e ,0,x x x f x x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩则()312f x dx -⎰等于( )A.13e+B.2e -D.12e-【答案】C【解析】121x x <≤⇒-<-21-<， 根据定积分性质可知(()33122f x f x dx --⎰()23221212e x x dx dx -⎡⎤=+-+⎣⎦⎰⎰()32221245e x d x x x dx --=++⎰⎰()3222312125e 3x x x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭()23228181025e e 33--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦713e =-.二、填空题 7.计算定积分()121sin xx dx -+⎰＝ .【答案】23【解析】()12311112sin cos 33x x dx x x --⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭⎰.8.已知()2321f x x x =++，若()()112f x dx f a -=⎰成立，则a = .【答案】1-或13【解析】取()32F x x x x =++，则()13F =，()11F -=-， 所以()()()11114f x F dx F ---==⎰，所以()24f a =，所以()2f a =.即23212a a ++=，解得1a =-或13.三、解答题 9.计算下列定积分：(1)52xdx ⎰；(2)()1202x x dx -⎰；(3)()()220424x x dx --⎰.【解析】(1)5502250252xdx x ==-=⎰.(2)()1112231210001122213x x dx x dx xdx x x -=-=-=-=-⎰⎰⎰.(3)()()(2220424x x dx --=⎰⎰22344116432x x x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭--+10．已知f (x )()1f x dx ⎰＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 【解析】(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得2,0,a b c b -+=⎧⎨=⎩即2,0,c a b =-⎧⎨=⎩ ∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又()10f x dx ⎰＝()1202ax a dx ⎡⎤+-⎣⎦⎰ ＝[13ax 3＋(2－a )x ]10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．∴当x＝0时，f(x)min＝－4；当x＝±1时，f(x)max＝2.。
数学人教A版选修2-2自我小测：1.6 微积分基本定理 Word版含解析
自我小测1．下列等式不正确的是( )A ．11-⎰12 013x d x ＝0 B ．11-⎰2 014d x ＝4 028 C ．11-⎰ 2 014x 3d x ＝0 D ．11-⎰cos x d x ＝0 2．若e 为自然对数的底数，则32⎰e 2－x d x ＝( ) A ．1e －1 B ．1－1eC ．1－eD ．e －13．53⎰x 2＋1xd x 等于( ) A ．8－ln 53 B ．8＋ln 53C ．16－ln 53D ．16＋ln 534．0k⎰(2x －3x 2)d x ＝0，则k 等于( ) A ．1 B ．0C ．0或1D ．不确定5．下列定积分不大于0的是( )A ．11-⎰|x |d x B ．11-⎰(1－|x |)d x C ．11-⎰|x －1|d x D ．11-⎰(|x |－1)d x6．计算：21⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x 2d x ＝__________. 7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若10⎰f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为__________． 8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －e x ，x >1，|x |，x ≤1，则2⎰f (x )d x ＝__________. 9．计算定积分： (1)17π3π3⎰(2sin x －3cos x )d x ； (2)a a -⎰x 2d x (a ＞0)； (3)21⎰1x (x ＋1)d x .⎰f(x)d x＝5，10⎰xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．10．设f(x)是一次函数，且1参考答案1．解析：11-⎰ 2 013x d x ＝2 013x 2211|-＝2 0132－2 0132＝0， 11-⎰2 014d x ＝2 014x 11|-＝4 028， 11-⎰2 014x 3d x ＝2 0144x 411|-＝0， 11-⎰cos x d x ＝sin x 11|-＝sin 1－sin(－1)＝2sin 1.故D 不正确． 答案：D2．解析：32⎰e 2－x d x ＝－e 2－x 32|＝－e －1＋e 0＝1－1e . 答案：B3．解析：53⎰x 2＋1x d x ＝53⎰x d x ＋53⎰1x d x ＝12x 253|＋ln x 53| ＝12(52－32)＋ln 5－ln 3＝8＋ln 53，故选B ． 答案：B4．解析：∵0k ⎰(2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)0|k ＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，即k ＝0或k ＝1.又∵k ＝0时不合题意，∴k ＝1.答案：A5．解析：11-⎰|x |d x ＝01-⎰(－x )d x ＋10⎰x d x＝－12x 201|-＋12x 201|＝1， 11-⎰(1－|x |)d x ＝01-⎰(1＋x )d x ＋10⎰(1－x )d x ＝1， 11-⎰|x －1|d x ＝11-⎰(1－x )d x ＝2，11-⎰(|x |－1)d x ＝11--⎰(1－|x |)d x ＝－1.答案：D6．解析：21⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1x 21| ＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 2－12－(ln 1－1)＝ln 2＋12. 答案：ln 2＋127．解析：10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax 2＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋cx 10| ＝a 3＋c ＝ax 20＋c ， ∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：33 8．解析：20⎰f (x )d x ＝10⎰|x |d x ＋21⎰(－e x )d x ＝10⎰x d x ＋21⎰(－e x )d x ＝12x 210|＋(－e x )21| ＝12－e 2＋e. 答案：12－e 2＋e 9．解：(1)17π3π3⎰(2sin x －3cos x )d x ＝217π3π3⎰sin x d x －317π3π3⎰cos x d x ＝2(－cos x )17π3π3|－3sin x 17π3π3|＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 17π3＋cos π3－3⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 17π3－sin π3 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－32＝3 3. (2)由x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－x ，x <0，得a a -⎰x 2d x ＝0a⎰x d x ＋0a -⎰(－x )d x ＝12x 20|a －12x 20|a -＝a 2. (3)f (x )＝1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， 取F (x )＝ln x －ln(x ＋1)＝lnx x ＋1，则F ′(x )＝1x －1x ＋1.所以21⎰1x (x ＋1)d x ＝21⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x ＋1d x ＝ln xx ＋121|＝ln 43.10．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则10⎰f (x )d x ＝10⎰(ax ＋b )d x ＝10⎰ax d x ＋10⎰b d x ＝12a ＋b ＝5， 10⎰xf (x )d x ＝10⎰x (ax ＋b )d x＝10⎰ax 2d x ＋1⎰bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，解得a ＝4，b ＝3. 故f (x )＝4x ＋3.。
人教A版选修2-2 1.6 微积分基本定理.docx
选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214 B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 3| 2－2＋⎝⎛⎭⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝⎛⎭⎫8－18－13⎝⎛⎭⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B.223 C.233D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32 B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)． F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0 (0,4) 4 (4,5) F ′(x ) ＋0 － 0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2.[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13.14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23.(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20 ＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝⎛⎭⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫92＋ln3＋6－⎝⎛⎭⎫12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x17．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | 0－2 ＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22| 10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。
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选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )A.122713=⎰xdxB.e e dx x e x-=⎰2121 C.()316122ln 0=+⎰dx e e xx 222=⎰-ππxdx D.[答案] A [解析]12232723233227132271312713=-⨯===⎰⎰-x dx x xdx2.=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰-dx x x 22421 A.214 B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x 4d x ＝13x 3| 2－2＋⎝⎛⎭⎫－13x －3| 2－2＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝⎛⎭⎫8－18－13⎝⎛⎭⎫－8＋18＝214.故应选A. 3.⎰-11|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B.45 C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2， 则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a )C.13[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎡⎦⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C.6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B.223 C.233 D.253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233. 7.θθπd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-322sin 21 的值为 （ ）A ．－32 B ．－12 C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin 2θ2＝cos θ23sin cos 2sin 21330302===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴⎰⎰πππθθθθd d ，故应选D 8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k＝k 2－k 3＝0， ∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝⎛⎭⎫13t 3－2t 2| x0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：x (－1,0) 0(0,4) 4(4,5) F ′(x ) ＋0 －0 ＋F (x )极大值极小值可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－323. 又F (－1)＝－73，F (5)＝－253 ∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23. ②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2.④()1cos sin sin 0222==-=---⎰⎰πππxdx x dx x12..________2cos 2sin 220=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x π[答案] 1＋π2[解析]()()12cos sin 12cos 2sin 220220+=-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰ππππx x dx x dx x x 13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25. (2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20 ＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：(1)⎰462cos ππxdx (2)dx x x 2321⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ (3) ()⎰+2sin 3πdx x x (4)⎰bax dx e[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x∴⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰6)4(2cos 46ππππF F xdx＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)．(2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则 F ′(x )＝x ＋1x ＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝F (3)－F (2)＝⎝⎛⎭⎫92＋ln3＋6－⎝⎛⎭⎫12×4＋ln2＋4 ＝92＋ln 32.(3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x∴()()18302sin 3220+=-⎪⎭⎫⎝⎛=+⎰πππF F dx x x(4)取()xe x F =，则xe x F =)('∴a b baxbax e e e dx e -==⎰17．计算下列定积分：(1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x | 0－2＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 22| 10＋⎝⎛⎭⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1.18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2 则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29 ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx 则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解① ② ③ 得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。