(完整)高三专题复习：直线与圆知识点及经典例题(含答案),推荐文档

专题：圆的方程、直线和圆的位置关系

【知识要点】

圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 （一）圆的标准方程

形如： 2

22)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程。

说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0==b a ，则圆的方程就是2

22r y x =+。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确

定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程

将圆的标准方程2

2

2

)()(r b y a x =-+-,展开可得0222

2

2

2

2

=-++--+r b a by ax y x 。可见，任何一个圆的方程都可以写成 :022

=++++F Ey Dx y x 。

问题：形如022

=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？

将方程02

2

=++++F Ey Dx y x 左边配方得：2

2222)2

4(

)2()2(F E D E y D x -+=-+- （1）当042

2>-+F E D 时，方程（1）与标准方程比较，方程02

2=++++F Ey Dx y x 表示以)2

,2(E

D --

为圆心，以2

422F

E D -+为半径的圆。

（2）当042

2=-+F E D 时，方程02

2

=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为2

,2E

y D x -=-

=,所以表示一个点)2

,2(E

D --

. （3）当042

2<-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当042

2>-+F E D 时，方程02

2

=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.

圆的一般方程的特点：（i ）2

2y x 和的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。 （三）直线与圆的位置关系

1、直线与圆位置关系的种类

（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。 2、直线与圆的位置关系判断方法： 几何方法主要步骤：

（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离

（3）作判断: 当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切;当d

（1）把直线方程与圆的方程联立成方程组

（2）利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程

（3）求出其Δ的值，比较Δ与0的大小：

（4）当Δ<0时，直线与圆相离；当Δ＝0时，直线与圆相切 ；当Δ>0时，直线与圆相交。

圆的切线方程总结：

当点),(00y x 在圆2

22r y x =+上时，切线方程为：200r y y x x =+；

当点),(00y x 在圆2

22)()(r b y a x =-+-上时，切线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--。

【典型例题】 类型一：圆的方程

例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 变式1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且被直线0=y 平分的圆的标准方程.

变式2：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆上所有的点均关于直线0=y 对称的圆的标准方程.

分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为2

2

2

)()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2

2

2

)(r y a x =+-．

又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2

22

24)3(16)1(r

a r a 解之得：1-=a ，202

=r ．

所以所求圆的方程为20)1(2

2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13

12

4-=--=

AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．

又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2

2

=

++==AC r ．

故所求圆的方程为20)1(2

2=++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为

r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外．

例2：求过三点O （0，0），M （1，1），N （4，2）的圆的方程，并求出这个圆的圆心和半径。

解：设圆的方程为：x 2 ＋ y 2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0，将三个点的坐标代入方程

⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F ⇒ F ＝ 0， D ＝ -8， E ＝ 6 ⇒ 圆方程为：x 2 ＋ y 2 -8x ＋ 6y ＝ 0

配方：（ x -4 ）2 ＋ （ y ＋ 3 ）2 ＝ 25 ⇒圆心：（ 4， -3 ）， 半径r ＝ 5 例3：求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．

解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，

又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴

5

25

2y x y x +=

-．∴两直线交角的平分线方程是

03=+y x 或03=-y x ．又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上．

设圆心)3,(t t C ∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴

22)53(5

32-+=+t t t t ．

化简整理得0562

=+-t t ．解得：1=t 或5=t ∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55．

∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(2

2=-+-y x ．

说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法． 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

例4、已知圆42

2

=+y x O ：，求过点()42，

P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，

P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d =∴

21422

=++-k k .解得43=

k ，所以()4243

+-=x y ，

即01043=+-y x 因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．

本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用

200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．

例5、自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆07442

2

=+--+y x y x 相切，求光线所在直线方程。