高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》知识点训练及答案

高中数学《平面向量》知识点归纳

一、选择题

1．已知平面向量a v ,b v 的夹角为3

π

，且||2a =v ，||1b =v ，则2a b -=v v ( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．

16

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量的数量积和向量的模的运算，即可求解. 【详解】

由题意，可得222|2|||4||4444||||cos 43

a b a b a b a b π

-=+-⋅=+-⋅=r r r r r r r r ，

所以|2|2a b -=r r

，故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

2．设a r ，b r 不共线，3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u

r r r ，3CD a mb =+u u u r r r ，若A ，C ，D 三点共线，则实数m 的值是（ ）

A ．

23

B ．

15

C ．

72

D ．

152

【答案】D 【解析】 【分析】

计算25AC a b =+u u u r r r

，得到()

253a b a mb λ+=+r r r r ，解得答案.

【详解】

∵3AB a b =+u u u r r r ，2BC a b =+u u u

r r r ，∴25AC AB BC a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，

∵A ，C ，D 三点共线，∴AC CD λ=u u u r u u u r

，即()

253a b a mb λ+=+r r r r ，

∴235m λλ=⎧⎨=⎩，解得23

152m λ⎧

=⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

. 故选：D . 【点睛】

本题考查了根据向量共线求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.

3．已知,a r b r 是平面向量，满足||4a =r

，||1b ≤r 且|3|2b a -≤r

r

，则cos ,a b 〈〉r

r 的最小值是

（ ） A ．

1116

B ．

78

C ．

158

D ．

315

16

【答案】B 【解析】 【分析】

设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r

，利用几何意义知B 既在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案. 【详解】

设OA a =u u u r r ，3OB b =u u u r r

，由题意，知B 在以O 为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，

由|3|2b a -≤r r

，知B 在以A 为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示

则B 只能在阴影部分区域，要cos ,a b 〈〉r

r 最小，则,a b <>r r 应最大，

此时()

222222min

4327

cos ,cos 22438

OA OB AB a b BOA OA OB +-+-〈〉

=∠===⋅⨯⨯r

r .

故选：B. 【点睛】

本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.

4．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3

AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v

（ ）

A ．23

-

B ．43

-

C ．83

-

D ．2-

【答案】D 【解析】 【分析】

运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值． 【详解】

在边长为2的等边三角形ABC 中，若13

AE AC =u u u r u u u r

，

则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12

（AC AB +u u u

r u u u r ）

＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12

（AC AB +u u u

r u u u r ）

1123AC =u u u r （2

AB -u u u r 223

AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭

故选：D 【点睛】

本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．

5．在平面直角坐标系中，()1,2A -，(),1B a -，(),0C b -，,a b ∈R ．当,,A B C 三点共线时，AB BC ⋅u u u r u u u r

的最小值是（ ）

A ．0

B ．1

C

D ．2

【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标表示可求得12b a =-，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为

()

2

11a -+，由二次函数性质可得结果.

【详解】

由题意得：()1,1AB a =-u u u r ，(),1BC b a =--u u u r

，

,,A B C Q 三点共线，()()111a b a ∴⨯-=⨯--，即12b a =-，()1,1BC a ∴=-u u u r

， ()2

111AB BC a ∴⋅=-+≥u u u r u u u r ，即AB BC ⋅u u u r u u u r 的最小值为1.

故选：B . 【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.

6．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r

（ ）