初中数学辅助线大全~详细例题付答案解析

初中数学辅助线大全 详细例题付答案

[引出问题] 在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点：一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。

[例题解析]

一、倍角问题 例1：如图1，在△ABC 中，AB=AC,BD ⊥AC 于D 。

求证：∠DBC=1

2

∠BAC.

分析：∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C ，可利用

三角形角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系。 证法一：∵在△ABC 中，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=

12（180°-∠BAC ）=90°-12

∠BAC 。 ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90

°

∴∠DBC=90°

-∠C=90°

-(90°

-

12∠BAC)= 1

2

∠BAC 即∠DBC=

1

2

∠BAC 分析二：∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系，因此，可以做∠A 的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把½∠A 放在直

角三角形中求解；也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解。

证法二：如图2，作AE ⊥BC 于E ，则∠EAC+∠C=90°

∵AB=AC ∴∠EAG=

1

2

∠BAC ∵BD ⊥AC 于D

∴∠DBC+∠C=90

°

∴∠EAC=∠DBC （同角的余角相等）

即∠DBC=1

2

∠BAC 。

证法三：如图3，在AD 上取一点E ，使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC

∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C

∴∠EBC=2∠DBC=180°

-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C

∴∠BAC=180°

-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=

1

2

∠BAC 说明：例1也可以取BC 中点为E ，连接DE ，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰

例2、如图4，在△ABC 中，∠A=2∠B

求证：BC 2=AC 2

+AC •AB

分析：由BC 2=AC 2

+AC •AB= AC （AC+AB ），启发我们构建两个相似

的三角形，且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知， 构建以AB 为腰的等腰三角形。

证明：延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角

∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D

∵∠BAC=2∠ABC ∴∠D=∠ABC

又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴

AC BC

BC CD

=

∴BC 2

=AC •CD AD=AB

∴BC 2= AC （AC+AB ）=AC 2

+AC •AB

二、 中点问题

例3．已知：如图，△ABC 中，AB=AC,在AB 上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于

点F,若F 是DE 的中点。求证：BD=CE

分析：由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关，

但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以 关系不明显，由于条件F 是DE 的中点，如何利用这个

中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。

由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线，就可以形成新

的图形关系——构成等腰三角形，也就是相当于先把BD 或CE

移动一下位置，从而使问题得解。

证明：证法一：过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G （如上图）

∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE

∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF

在△DF G 和△DEFC 中，

DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

∴△DF G ≌EFC

∴DG=CE ∴BD=CE

A

B C

E

G D

F

C

A

B

A

证法二：如图，在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点

∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC ∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA ∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC ∴BD=CE

说明：本题信息特征是“线段中点”。也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G ，仿照证法二求解。

例4．如图，已知AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，且E 是BC 的中点 求证：AD=AB+CD

证法一：延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中

BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪

∠∠⎨⎪⎩

∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF

∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC

证法二：取AD 中点F ，连接EF ∵AB ∥CD ，E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线

∴EF ∥AB , EF=1

2

（AB+CD ）

∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF

∴EF=AF=FD=12

AD ∴12 (AB+CD)= 1

2

AD

∴AD=AB+CD

A B C

E

F

D

A B

C

E

F