11900数学大师启示录_庞加莱190402
亨利·庞加莱
亨利·庞加莱com-kexuejia 亨利·庞加莱亨利·庞加莱亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是，1854年4月29日生于，1912年7月17日卒于。
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的。
庞加莱从小就显出超常的，他智力的重要来源之一是。
他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。
他的祖父曾在政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。
他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。
庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
庞加莱的童年主要接受母亲的教育。
他的超常智力使他成为的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且也很流利。
但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的入。
尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。
当然，剧烈的运动他是无法进行。
庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。
他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。
他对的兴趣也很浓，、的成绩也很优异。
他在儿童时代还显露了才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
庞加莱l862年进入南锡中学读书。
初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对产生特殊的兴趣。
对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。
庞加莱简介
庞加莱简介来源于网络昂利"庞加莱是法国数学家，1854年4月29日生于南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
庞加莱的父母亲都出身于法国的显赫世家，几代人都居住在法国东部的洛林。
庞加莱从小就显出超常的智力，他智力的重要来源之一是遗传。
他的双亲智力都很高，他的双亲又可追溯到他的祖父。
他的祖父曾在拿破仑政权下的圣康坦部队医院供职，1817年在鲁昂定居，先后生下两个儿子，大儿子莱昂·庞加莱即为庞加莱的父亲。
庞加莱的父亲是当地一位著名医生，并任南锡大学医学院教授。
他的母亲是一位善良、才华出众、很有教养的女性，一生的心血全部倾注到教育和照料孩子身上。
庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界的著名人物：雷蒙·庞加莱于1913至1920年间任法国总统；吕西·庞加莱曾任法国民众教育与美术部长，负责中等教育工作。
庞加莱的童年主要接受母亲的教育。
他的超常智力使他成为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。
但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位体弱多病的人。
尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢跳舞。
当然，剧烈的运动他是无法进行。
庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对读过的内容迅速、准确、持久地记住。
他甚至能讲出书中某件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身不忘的印象。
他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩也很优异。
他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老师誉为“杰作”。
庞加莱l862年进入南锡中学读书。
初进校时虽然他的各科学习成绩十分优异，但并没有对数学产生特殊的兴趣。
对数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快就显露了非凡才能。
从此，他习惯于一边散步，一边解数学难题。
这种习惯一直保持终身。
1870年7月19日爆发的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。
我国数学家证明世界七大数学难题之一——庞加莱猜想
我国数学家证明世界七大数学难题之一——庞加莱猜想
，
我国数学家李政道于2021年5月3日宣布，他用数学方法证
明了世界七大数学难题之一——庞加莱猜想，这是继19世纪
欧洲数学家庞加莱提出以来，经过数百年的努力，第一次有人用数学的方法证明了这一猜想。
庞加莱猜想是一个有关质数的问题，它指出任何一个大于2的自然数都可以表示为两个质数之和，比如，4=2+2，6=3+3，
9=3+6，15=7+8等等。
庞加莱猜想的证明对数学界来说是一个重大的突破，它的证明将为数学的发展和应用带来更多可能性。
史上最后一位数学全才——庞加莱
史上最后一位数学全才——庞加莱谈起庞加莱，大部分数学家都会马上想起一个著名的评价：庞加莱是最后一个数学全才，即指其为最后一个在数学所有分支领域都造诣深厚的数学家。
同样著名的还有庞加莱本人的一句名言：数学家是天生的，而不是造就的。
在庞加莱之前，最近一个被称为数学全才的数学家是高斯(Gauss)。
除了是一名数学家之外，庞加莱还是一位影响深远的物理学家，受惠于他的后人中包括当时正致力于完善狭义相对论的爱因斯坦。
所向披靡的“数学怪兽”1854年4月29日，亨利·庞加莱出生于法国南锡一个学者家庭中。
庞加莱家族在法国拥有极高声望，亨利·庞加莱的父亲和姐夫都是南锡大学的教授，而其表兄弟雷蒙·庞加莱更是法兰西学院院士，并于1913—1920年出任法国总统。
因为视力极差，所以庞加莱在音乐和体育课上表现一般，除此之外，庞加莱在各方面都称得上是成绩优异。
庞加莱的数学才华在上大学之前已经显现出来。
他的数学教师形容他是一只“数学怪兽”，这只怪兽席卷了包括法国高中学科竞赛第一名在内的几乎所有荣誉。
1873年，庞加莱进入巴黎综合理工大学(école Polytechnique)，在那里他得以从事他擅长的数学，师从著名数学家查尔斯·厄米特，并发表了他第一篇学术论文。
后来庞加莱继续跟随厄米特攻读博士学位，他于1879年获得巴黎大学博士学位，1887年入选法国科学院，后任院长，并于1906年被选为法兰西学院院士，这是法国学者的最高荣誉。
1875年前后，庞加莱从理工大学毕业，进入南锡矿业大学继续学习数学和采矿。
毕业后，他加入了法国矿业集团(CorpsdesMines)成为法国东北部矿产区的一名巡视员，与此同时，庞加莱继续在厄米特的指导下从事研究。
在他一生的大部分时间里，庞加莱都不曾放弃他的工程事业，他在1881至1885年间负责北方铁路的建设工作，数年后成为法国矿业集团的总工程师，最后在总监的位置上退休。
庞加莱猜想
庞加莱猜想折叠编辑本段基本简介庞加莱猜想(Poincaré conjecture)是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题。
其中三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。
折叠编辑本段陈述1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想:"任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
"简单的说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间;单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。
后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为"高维庞加莱猜想"。
折叠编辑本段关于庞加莱亨利·庞加莱亨利·庞加莱(Henri Poincaré)，法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家。
1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
他的成就不在于他解决了多少问题，而在于他曾经提出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。
庞加莱猜想，只是其中的一个。
一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利·庞加莱(Henri Poincare):"有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。
"折叠编辑本段猜想比喻如果你认为这个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象:我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。
或者，想象一只巨大的足球，里面充满了气，我们钻到里庞加莱猜想庞加莱猜想面看，这就是一个球形的房子。
庞加莱猜想证明概述
庞加莱猜想证明概述在庞加莱猜想提出后，很多数学家对其展开了探索和研究，但一直没有找到一个确凿的证明或反例。
直到2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论等一系列数学方法，证明了庞加莱猜想。
这篇文章将介绍庞加莱猜想的历史背景和相关概念，然后详细描述佩雷尔曼的证明过程和相关数学原理，最后分析庞加莱猜想对数学和科学领域的重要意义。
一、庞加莱猜想的历史背景庞加莱猜想的提出可以追溯到19世纪末的数学发展。
当时，数学家们已经开始探讨对多维几何空间的研究，如三维流形的性质和拓扑结构等。
此时，亨利·庞加莱成为了这一领域的先驱者，他提出了著名的庞加莱猜想，引发了数学界对于三维空间性质的深入思考和研究。
庞加莱猜想的提出也在一定程度上推动了数学领域的发展，为拓扑学和几何学等领域的研究提供了新的动力和方向。
然而，长期以来，庞加莱猜想一直未能找到确凿的证明，成为数学界的一个难题。
二、庞加莱猜想的相关概念1. 流形：在数学领域，流形是指一个局部与欧氏空间同胚的空间。
在庞加莱猜想中，主要讨论的是三维紧致的无边界的连通流形。
2. 欧氏空间：欧氏空间指的是平凡的三维空间，即我们所生活的空间。
在庞加莱猜想中，研究的对象是三维欧氏空间中的环流变形问题。
3. 拓扑结构：拓扑结构是指一个空间的结构，它并不依赖于空间的具体度量，而仅仅与空间的连通性和邻域关系有关。
在庞加莱猜想中，研究的就是流形的拓扑结构和性质。
三、佩雷尔曼的证明过程2003年，俄罗斯数学家格雷戈里·佩雷尔曼通过利用里奇流理论和梯度流的理论，证明了庞加莱猜想。
他的证明过程可以概括为以下几个步骤：1. 利用几何流的理论，建立了三维流形的梯度不等式，从而引入了里奇流的概念。
2. 利用里奇流的理论，证明了当流形上的里奇曲率为正时，流形是球面的概率。
3. 利用梯度流的理论，证明了当流形上的梯度不等式成立时，流形是球面的概率。
11903数学大师启示录_牛顿190402
流数法是揭示几何秘密进而揭示自然秘密的万能钥匙。
——贝克莱只有把他看做是寻找永恒真理的斗士，才能理解他。
——爱因斯坦 自然科学家的偶像14世纪开始的欧洲文艺复兴吹响了反抗封建神权的号角。
15世纪后半叶，近代科学技术兴起。
教会势力意识到科学思想的威胁，压制学术活动，迫害进步学者，就成为异端裁判所的圣职。
但是，历史的洪流势不可挡。
到17世纪末，科学终于战胜神权而牢牢站稳脚跟。
伊萨克-牛顿就是这场科学进军的伟大旗手。
牛顿继承伽利略、笛卡儿等前人的业绩，以牛顿力学为中心，连同他在光学、天文学等方面的巨大发现和深刻见解，建立了经典物理体系，用它解释了从日月星辰到海洋潮汐各式各样的自然现象，指导着由蒸汽车船到织机钟表等种类繁多的生产工艺。
科学技术广沐恩泽，封建迷信节节败退。
要把牛顿思想当作异端邪说已经不可能了。
牛顿在建立经典物理体系过程中，启用了从古至今最重要的数学创造——微积分。
正如20世纪大物理学家爱因斯坦(1879—1955) 所说：“只有这种方法才能为他提供表达他的思想的工具。
”由于微积分和其他一系列重要的数学发现，使牛顿和阿基米德、高斯并称为历史上最伟大的数学家。
牛顿在世的时候就成为自然科学家的偶像，受到全球学子的崇拜。
他是英国国会议员，皇家学会连任24年的终身会长，巴黎科学院尊贵的外籍院士，还曾任英国造币厂督办、总裁。
安妮女王亲临剑桥，封他为爵士。
牛顿身后荣获隆重的国葬，长眠于威斯敏斯特教堂的名人墓地。
牛顿的辉煌业绩和显赫声望，使许多人向往；甚至可能有人对牛顿的“荣华富贵”垂涎三尺。
但是，牛顿的一生，决不是那些持有庸俗幸福观价值观的人们所真正向往的。
首先，刚出生的小牛顿，是个早产而衰弱的遗腹子，这就不是他们心目中的幸运儿吧?心灵手巧1642年1月8日，近代科学伟大先驱伽利略在软禁中含冤去世。
就在同一年，他的后继者牛顿出生了。
这年圣诞节早晨，在英格兰东海岸的林肯郡格兰瑟姆镇以南的乌尔索普村，牛顿诞生在一个小农庄主的家庭。
贝尔所著《数学大师：从芝诺到庞加莱》摘录
贝尔所著《数学大师：从芝诺到庞加莱》摘录关于《数学大师：从芝诺到庞加莱》《数学大师:从芝诺到庞加莱》是介绍数学史和数学艺术的经典著作,它深入浅出地介绍了数学发展的历程，从古希腊的几何学，历经牛顿的微积分学，再到概率论、符号逻辑等等，都有详略合宜的叙述。
它也是一部思想史，追述了从古代到20世纪数学思想的伟大发展。
贝尔是美国重要的数学史家。
他的这部《数学大师》是介绍数学史和数学艺术的经典著作。
《数学大师:从芝诺到庞加莱》深入浅出地介绍了数学发展的历程，从古希腊的几何学，历经牛顿的微积分学，再到概率论、符号逻辑等等，都有详略合宜的叙述。
同时，《数学大师:从芝诺到庞加莱》又告诉我们，数学家并不是一群躲在象牙塔内冥思苦想、不食人间烟火的怪人，他们除了智力过人以外，也和我们一样，有着世俗的欲望和追求，经历着常人的喜悦和苦恼。
全书以历史上30多位数学大师的生平为主线，分章讲述了他们的杰出贡献、性情喜好和生活轶事。
最后，《数学大师》也是一部思想史，追述了从古代到20世纪数学思想的伟大发展。
它以清晰的笔触、幽默的手法，对复杂的数学思想作了巧妙的分析和论述。
作者简介：埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell)1883年出生于苏格兰的阿伯丁。
早年就学于英格兰。
1902年到美国，进斯坦福大学学习，l904年取得文学士学位。
1908年在华盛顿大学做研究生，兼事教学，1909年获该校文学硕士学位。
1911年进哥伦比亚大学，1912年获该校哲学博士学位。
此后回华盛顿大学任数学讲师，1921年成为教授。
1924年夏～1928年夏任教于芝加哥大学，1926年上半年任教于哈佛大学，随之受聘为加州理工学院的数学教授。
贝尔是美国国家科学院院士，曾任美国数学协会主席，美国数学学会和美国科学促进会副主席，《美国数学学会会报》、《美国数学学报》和《科学哲学》编委。
他曾获美国数学学会的博歇(Bocher)奖。
数学全才庞加莱
数学全才庞加莱庞加莱的科学生涯及其哲学思想科学史上，最早发现混沌并从理论和应用上认识到混沌研究的重要性的是伟大的庞加莱。
庞加莱是数学家、物理学家、天文学家和哲学家。
他在众多的科学领域中均有突出的贡献。
由于复杂的原因，在我国只有少数专业工作者了解庞加莱。
一、辉煌的一生庞加莱并非数学神童，1854年4月29日，在法国洛林地区南锡（Nancy）城一个殷实的家庭里，庞加莱降生于这个世界。
作医生的祖父曾跟随拿破仑的部队转战南北，庞加莱的父亲继承父业成长为在法国颇有名望的医学教授和生理学专家。
庞加莱没有延伸父亲的事业，但是秉承父亲办事认真、思维敏捷的性格。
庞加莱的堂弟雷蒙·庞加莱（Poincare Raymond）于次年1月出任法兰西第三共和国第九任总统至1920年年初。
幼年的庞加莱形象思维和语言能力发育迟缓，有时甚至语言与意识不协调，图形识别能力也差。
直到十五岁时才对数学发生兴趣。
庞加莱25岁那年以微分方程方面的论文获博士学位。
当年冬季，卡昂（Caen）大学向庞加莱发出讲授数学分析的聘书，庞加莱欣然应允，开始了毕生从事的教学和研究事业。
1881年被聘为巴黎大学教授担任数学和理学院的课程，直到31年后的1912年7月17日逝世。
庞加莱读书几乎过目不忘，后来可以写出一次定稿的大篇文章，显示了惊人的记忆力和逻辑思维能力。
庞加莱一生中获得了“他的国家所能给予他的一切荣誉”以及国外颁发的许多奖金和荣誉。
人们常常称高斯为十九世纪数学的开创者，称庞加莱为十九世纪数学的结束者。
1905年，匈牙利科学院宣布要颁发一项波尔约（Bolyai）奖金，授于一位在过去的25年中对数学贡献最大的数学家。
大家一致认为应当在庞加莱和另一位跨世纪的大数学家希尔伯特•（Hilbert David）之间选择，最后评委会决定授于庞加莱。
二、与高斯齐名的数学大师数学大师高斯与庞加莱的光辉覆盖了整个十九世纪的数学界。
高斯逝世时，留下大堆未发表的手稿，主要内容为椭圆函数与微分几何。
数学史话之天生的数学家庞加莱
数学史话之天生的数学家庞加莱在第一次世界大战期间，一个军官--他是个狂热的民主主义者--问勃兰特·罗素：法国现在最伟大的人是谁？罗素不假思索地说：庞加莱。
是那个家伙？怎么可能。
那个军官大声地喊了出来。
罗素立即明白了这个军官惊讶的原因，于是他解释说：不是你想的那个法国总统雷蒙·庞加莱，而是他的堂弟亨利·庞加莱。
那么，亨利·庞加莱（下面庞加莱都指亨利·庞加莱）究竟做了什么，能让罗素这样的大神如此推崇呢？就让科普君带你一起走进庞加莱的世界吧。
亨利·庞加莱于1854年出生在法国的南锡，他的祖父当年在拿破仑的手下当个了军医，1817年开始在鲁昂定居。
庞加莱的父亲也是当地一个著名的医生，还是南锡大学医学院的教授，庞加莱的母亲是个善良、才华出众的女性，她把所有的精力都倾注在了孩子的教育上。
庞加莱的叔叔有两个孩子，其中之一就是前面说到的雷蒙·庞加莱。
据说庞加莱的脑袋特别大，以至于希尔维斯特有一次见到他的时候，感觉到庞加莱的脑袋如同'水牛般大小'。
庞加莱在5岁的时候，因为生了白喉而严重影响了健康，他只能待在家里，而不是跟小朋友们一起出去玩耍。
美丽的南锡庞加莱在家里的唯一娱乐就是阅读，他的记忆力超强，一旦他读过一本书--以一种不可思议的速度--他会终生都记得它。
据说这叫视觉记忆或者空间记忆，欧拉也有这种记忆能力，不过比庞加莱稍微差点（在科普君的印象中，似乎sheldon也有这种能力）。
不过庞加莱的视力非常差，这或许就是他记忆力好的一个原因，因为他在上课的时候根本看不清老师在黑板上写的东西，所以只能靠听，听到多少都能记住。
庞加莱自己就曾经说过：数学家都是天生的，而不是造就的（看到这句话，绝望不？）。
庞加莱跟很多数学家一样，总是处在一种心不在焉的状态中，随时都有可能无视眼前的一切，然后沉浸在自己的世界中而无法自拔。
他从小学的时候就开始喜欢数学，而且他还有一个癖好：他在思考数学的时候，总是不停地在踱步，而且他要等一切都想好以后才会写下来。
【数学家】之庞加莱—最后一位数学天才
【数学家】之庞加莱—最后一位数学天才亨利·庞加莱Jules Henri Poincaré亨利·庞加莱(Jules Henri Poincaré)是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科学哲学家，1854年4月29日生于法国南锡，1912年7月17日卒于巴黎。
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。
他被公认是19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的应用具有全面知识的最后一个人。
庞加莱在数学方面的杰出工作对20世纪和当今的数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研究是牛顿之后的一座里程碑，他因为对电子理论的研究被公认为相对论的理论先驱。
01庞加莱定理关于力学体系运动可逆性（或可复性）的定理。
因由J.-H.庞加莱证明，故名。
它指出，力学体系经过足够长的时间后总可以回复到初始状态附近。
1872年玻耳兹曼在研究实际热力学过程的不可逆性即热力学第二定律的微观本质时，曾根据非平衡态的分布函数f（r，v，t）定义了一个函数H，并证明在孤立系统以非平衡态趋于平衡态的过程中，H随时间单调下降，在平衡态达到最小值，这就是H定理。
玻耳兹曼认为，H函数与熵对应，H的减少与熵的增大对应，H定理为热力学第二定律提供了统计解释。
但是庞加莱定理似乎与H定理相矛盾。
根据庞加莱定理，当H函数随时间单调地减少之后，只要经过足够长的时间，总可以重新增大，回复到初始的数值。
对此，玻耳兹曼的回答是，H 定理具有统计性质，即非平衡态总是以绝对优势的概率趋于平衡态，逆过程并非完全不可能，只是概率极其微小。
02庞加莱猜想1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。
但1905年发现其中的错误，修改为：“任何与n维球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。
庞加莱猜想与几何学
数零拾学年，高斯给出了复数的几何表示：纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b表示，如图2所示.这个用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也叫做高斯平面），轴叫做虚轴.图216世纪卡尔丹和邦贝利开始应用虚数，世纪人们逐渐接受虚数，整整经历了300多年的漫长在这一过程中，数学家们大胆猜，小心求证，才使得数系得以扩充.庞加莱（(Henri Poincaré，1854-1912）是法国著名数学家，也是理论科学家和科学哲学家.1904年，庞加莱提出了著名的庞加莱猜想.它在100多年的时间里一直困扰着很多的数学家.庞加莱猜想是克莱（Clay）数学研究所悬赏的七个重大问题之一，它的出现与几何学的发展紧密相关.一、庞加莱猜想庞加莱猜想：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面.简单地说，一个闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间里,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球.庞加莱猜想是拓扑学著名的研究问题之一.100多年来，对庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力，包括20世纪60～70年代高维空间的拓扑分类，80～90年代四维空间微分结构的研究.但还有很多问题尚未解决，其中低维空间的拓扑问题仍是非常活跃的研究领域.它与物理紧密联系.举几个例子，1960年，美国著名数学家斯梅尔（S.Smale）将其推广到任意维，并解决了五维及五维以上的广义庞加莱猜想.1982年，美国数学家福里德曼（M.Freedman）解决了四维的广义庞加莱猜想.1980年，美国数学家瑟斯顿（W.Thruston）提出了一般三维空间的几何化猜想，庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论.他还验证庞加莱猜想与几何学木心雨庞加莱高斯数零拾学了一大类三维空间确实满足他的猜想.虽然这类空间不包括庞加莱猜想，但为庞加莱猜想的成立提供了强有力的证据.图1球极投影庞加莱猜想中提到了三维球面.那么三维球面有什么特别性质呢？我们不可能直观地看到三维球面，因为我们所在空间就是三维的，也不可能把三维球面放在我们所熟悉的三维空间中，但是我们可以通过类比的方法想象三维球面，通过二维球面来想象或理解三维球面的可能性质.那二维球面有什么特别性质呢？假如说我站在北极点作球极投影（球极投影是发源于《周髀算经》，假设球体是透明的，而光线也是沿直线前进的。
庞加莱猜想
• 在天体力学方面，庞加莱研究了运动稳 定性和旋转液体的平衡图形。他的3卷 《天体力学的新方法》，为天体力学的 研究开辟了新时代。由于他在三体问题 上的突出贡献，1889年获得了瑞典国王 为n体问题设立的奥斯卡奖。法国政府 不甘心落在瑞典国王后面，在庞加莱获 得奖金后，便封他为法国荣誉军团骑士。
• 希尔伯特1900年在巴黎第二届国 际数学家大会的演说中指出：“由庞 加莱引到天体力学中的那些卓有成效 的方法和影响深远的原则，今天仍被 实用天文学家所确认和应用。”
庞加莱的文笔非常出色，以至 获得了法国作家中最高荣誉—被选 为法国文学会会员。 塞蒙斯说：“庞加莱对他那个 年代的全部数学都有创造性的掌握， 而他也许是达到这个地步的最后一 个人物。”
• 庞加莱是法兰西民族的骄子，他的贡献 使每一个法国人都感到骄傲。1954年5 月15日，在索邦隆重举行了庞加莱诞生 一百周年纪念大会，共和国总统、教育 部长、法国和各国著名科学家都参加了 大会，并对庞加莱在数学、力学、物理 学和哲学方面的贡献，给予了高度的评 价。法国还专门发行了纪念他的邮票。
1875年，庞加莱离开了巴黎综合工 科 学 校， 进 入 了 高 等 矿 冶 学 院 ， 并 于 1879年在矿冶学院取得了采矿工程师学 位，但他发现这个职业不适合他，因为 他的兴趣是数学。因此他从矿冶学院毕 业后，先在卡昂大学任教，期间他还获 得了巴黎大学科学博士学位，后来被聘 为巴黎大学教授，直到1912年7月17日 逝世。
庞加莱博大精深，富于创举。他讲授过 许多纯数学和应用数学课程。其中很多讲稿 不久就发表了。他一生共写下30卷以上关于 数学、物理与天体力学的专著，6卷稍为通俗 的著作，还有500篇左右的论文。这些论著， 涉及到数学的许多领域，包括：函数论、微 分方程、拓扑学、代数学、渐进级数、数论、 代数几何、非欧几何、概率论、数学基础等 等，以及理论物理、电学、光学、弹性学、 位势理论、动力学、流体力学、相对论和天 体力学等。
哲人石丛书珍藏版04数学大师：从芝诺到庞加莱
“数学是解决实际问题的重要工具，它为科学技术和社会发展做出了巨大贡 献。”（莱布尼茨）
这些摘录不仅展现了数学大师们的思想和成就，也向读者传递了数学的魅力和 价值。正如阿基米德所说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球。”在这个 意义上，《哲人石丛书珍藏版04数学大师：从芝诺到庞加莱》无疑为读者提供 了一个深入了解数学的支点，让人们能够更好地欣赏和理解这门学科的精髓。
阅读感受
《哲人石丛书珍藏版04数学大师：从芝诺到庞加莱》：穿越时空的数学之旅
埃里克·坦普尔·贝尔的《数学大师：从芝诺到庞加莱》是一部令人难以忘怀 的数学之旅。作为哲人石丛书中的一部，它不仅为我们展示了数学的历史和艺 术，更通过深入浅出的方式，让我们理解了数学在人类文明中的重要性和影响 力。
从古希腊的哲学家芝诺，到20世纪的数学巨匠庞加莱，这部作品涵盖了数学史 上的众多重要人物和事件。它不仅介绍了这些人物的生平和贡献，更重要的是， 它让我们理解了数学背后的哲学思想和精神。
在这本书中，读者可以领略到数学大师们的非凡才华和卓越智慧。以下是一些 精彩摘录：
“数学是人类最宝贵的思想成果之一，它不受任何地域、时间的限制，是一门 具有普遍性和永久性的学科。”（牛顿）
“数学是自然科学的皇后，其他科学都是以数学为基础的。”（高斯） “在数学中，最微小的误差也可能导致最重大的错误。”（莱布尼茨）
《哲人石丛书珍藏版04数学大师：从芝诺到庞加莱》是一本由著名数学家李文 林所著的数学史图书，通过对于历史上的数学大师及其思想的深入剖析，展现 了数学这一学科的丰富内涵和历史底蕴。以下是对本书目录的分析：
本书的目录按照时间顺序，从古至今，列出了各个时期的代表性数学家及其主 要贡献。整体上，目录可以分为三个部分：古代数学、近代数学和现代数学。 每个部分中，都有若干章节，针对特定的数学家或数学流派进行详细介绍。
11897数学大师启示录_前言_数学长河古今一脉190402
前言数学长河古今一脉1742年6月7日，普鲁士驻俄罗斯公使、德国数学家哥德巴赫(1690—1764)在给友人欧拉的信中，提出一个猜想：“大于5的任何整数是3个素数的和。
”他就自己这个大胆猜测，请教这位当代最杰出的数学家。
经过20多天的思考，欧拉回信答复他的老友：“每个偶数都是两个素数之和，我虽然还不能证明，但是确信这个论断完全正确。
”当时把1也算素数，所以欧拉这么说。
按后来的说法，就是“每个大于5的偶数都可表示为两个奇素数之和。
”欧拉，这位数学史上和阿基米德、牛顿、高斯齐名，解决了大量难题的科学巨擘，最终也没有证明这个后人所谓的哥德巴赫猜想。
虽然许多数学家继续努力，一个多世纪过去了，哥德巴赫猜想的证明进展甚微。
1900年巴黎国际数学家大会上，在数学的许多分支都有重要贡献的德国大数学家希尔伯特提出有名的23个难题，把哥德巴赫猜想放在关于素数研究的第8题。
作为数论的一个重要问题，20世纪许多著名数学家都曾致力于哥德巴赫猜想的研究。
英国数学大师哈代认为这个问题困难的程度可以与任何未解决的数学问题相比。
德国数论权威朗道(1877—1938)甚至说，即使证明比它弱的命题也不是他同时代的数学家力所能及的。
可是从20年代起，这个问题的研究不断取得进展，并且在这一过程中创造了一些对许多数学分支都有很大影响的数论方法。
以华罗庚为首的中国数论专家们在这方面作出了很大贡献。
他们的一系列研究成果达到世界先进水平，得到国内外同行的普遍赞赏。
数论的一些著名问题也为不少非数学专业的学者所熟悉了。
1948年，空气动力学家沈元偶尔有机会到福州英华书院讲授数学，向高中学生介绍了哥德巴赫猜想。
有个孩子听了特别振奋，决心献身数学，为解决这个难题而奋斗。
他就是后来考入厦门大学数理系的陈景润。
1963年陈景润在整点问题上有所收获，使他的名字在权威的日本岩波数学百科辞典上和华罗庚并列。
对抱有崇高目标的陈景润，这个荣誉不过是小小的起步。
他继续奋勇前进，跻身于数学大军的先进行列，逼近哥德巴赫猜想的证明。
庞加莱重现定理
庞加莱重现定理简介庞加莱重现定理（Poincaré recurrence theorem）是数学领域的一个重要定理，由法国数学家亨利·庞加莱于1890年提出。
该定理探讨了动力系统中状态的演化以及其可能的周期性重现情况。
它在物理学、统计力学、天体力学等领域有着广泛的应用。
一级标题动力系统与状态演化动力系统是研究物体在时间和空间中运动的一种数学模型。
在动力系统中，系统的状态会随时间的推移而演化。
状态可以由几个变量或参数来描述，例如物体的位置、速度、质量等。
动力系统的演化可以用微分方程或差分方程来描述。
庞加莱重现定理的表述庞加莱重现定理探讨了动力系统中状态的演化是否会出现周期性的重复情况。
如果一个动力系统是定常的（不含时间依赖的外力），并且系统的相空间是有限的，则庞加莱重现定理告诉我们，系统的状态会在未来某个时间点重现。
庞加莱重现定理的证明庞加莱重现定理的证明基于熵的概念和遍历性的定义。
首先需要证明系统状态的熵是一个不增函数，然后根据系统状态的熵的定义以及系统的遍历性，可以得出系统状态会在未来某个时间点重现的结论。
庞加莱重现定理的应用庞加莱重现定理在物理学、统计力学和天体力学等领域有着广泛的应用。
在统计力学中，它可以用来解释热力学系统中熵的涨落和时间反演对称性。
在天体力学中，庞加莱重现定理可以用来研究行星轨道的周期性重现情况。
二级标题熵的概念熵是信息论中的重要概念，用于度量系统的不确定性或无序程度。
对于一个离散概率分布，其熵定义为：log(p i)H(X)=−∑p ii其中，p i表示随机变量X取值为i的概率。
遍历性的定义在动力系统中，一个状态空间的子集A被称为是遍历的，如果系统的轨道在未来某个时间点一定会经过A中的任意一点。
庞加莱重现定理的证明根据动力系统的定义，系统的状态可以通过一组变量或参数来描述。
系统状态的演化可以用微分方程或差分方程来表示。
庞加莱重现定理的证明基于以下两个关键概念：1.熵的不增性：对于一个定常的动力系统，其状态的熵是一个不增函数。
[法国数学家有哪些]法国数学家庞加莱取得了哪些重大成就-
![[法国数学家有哪些]法国数学家庞加莱取得了哪些重大成就-](https://img.taocdn.com/s3/m/4192ec71c281e53a5902ff35.png)
[法国数学家有哪些]法国数学家庞加莱取得了哪些重大成就?儒勒·昂利·庞加莱是法国著名的数学家。
1854年4月29日生于南锡。
他的家庭非常富有影响力，可以说在法国的南锡非常的有知名度。
他还有一个妹妹，嫁给了著名的精神哲学家，这就是庞加莱的故事中的家庭情况描述。
庞加莱照片童年时期，庞加莱得到了母亲的悉心教导，将自己的写作以及表达能力发挥的淋漓尽致，那时的庞加莱身体已经不如同龄人的小孩那般健康，但是他的表现确实醋类拔萃的。
自从入学后他的成绩几乎是门门第一，尤其是在数学方面，更是有惊人的造诣。
这是庞加莱的故事中的学生时期的描述。
庞加莱的故事大多数体现在他在数学上的超强的造诣。
各类数学学科的分支都被的掌握的甚是全面，可以算得上是博大精深。
在具备智商这一高能条件后，一些自身的原因对于他的创造性的发现产生了局限性。
比如他的肢体协调能力以及视力都不是很好，甚至是比正常人要低的低。
但是就在这种先天不足的条件下，庞加莱顺利的拿到了学位，并且获得了初级讲师的职位。
在任教的这段期间，他凭借数学物理和概率论，以及天体力学和天文学的的成就当上了主席。
这是庞加莱的故事中对于庞加莱的成就的描述后来庞加莱运用了他发明的相图理论，最终发现了混沌理论。
标志着天体力学的一个新时代的诞生。
为科学界做出了不可磨灭的贡献。
庞加莱的成就说到庞加莱的成就，我们最熟悉的就是他最后一个全能科学家的称号，而这个称号的由来是如何的则鲜有人知。
作为法国近代以来最为著名的科学家，庞加莱的学问不仅涉及数学中的数学基础、代数、几何等等分支领域，而且庞加莱还将研究的触角伸向了物理学领域并且丰富并深化了洛伦兹的理论，也为之后爱因斯坦提出相对论提供了契机。
庞加莱照片从上面的介绍可以看出，庞加莱进行研究的领域是非常广泛的，仅数学学科范围的研究领域，庞加莱就不无涉猎，除了研究基础的一些数学科学领域之外，庞加莱还注重拓补学的研究，而庞加莱的成就也不仅仅是一个他自创的自首函数理论，他还在这一理论的基础上构建了更一般的状况，将这一理论实现平常化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
你若想从随机的相互作用中得到最大的机会，你就必须经常在脑子里反复思考这些东西。
我想庞加莱讲过这种话。
——迈克尔·阿蒂亚 可以毫不夸大地说，拓扑学作为科学的分支，是在19世纪由庞加莱奠基的。
——谢尔盖·诺维可夫有生理缺陷的孩子位处法国东北，不乏美景的历史名邑南锡是座小城。
1854年4月29日，就在小城南锡，诞生了一位彪炳千古的大数学家——亨利·庞加莱。
亨利的父亲，莱昂·庞加莱一生从医，是南锡大学生理学教授。
作为一位名医，他还是医师公会成员，公务繁忙。
亨利的母亲是位贤慧的女性。
她聪明机敏富有灵气。
小亨利出生不久，她察觉婴儿手脚活动不大正常。
这使母亲感到不安。
亨利有了妹妹阿兰以后，母亲不再做别的事，集中精力悉心照料两个孩子。
在循循善诱的母亲教育下，小亨利的智力发展很快。
但是他仍然没有摆脱身体不灵活的阴影。
仔细观察分析之后，父母确信，这是亨利的运动神经调节官能很差的缘故。
上学以后，人们看到小庞加莱左右两只手都能写字画画，可是写的字，画的画，都不好看。
妈妈感觉，儿子手脚不灵便的毛病恐怕没有希望改掉了。
5岁时，雪上加霜，小亨利染上了白喉，更损害了他的神经系统。
喉咙麻痹的症状延续了9个月才逐渐缓解。
后来发现，亨利的视力也受到影响。
儿子的健康问题成了母亲的心病。
做医生的父亲也无能为力。
患白喉以后很长一段时期，亨利因虚弱而常常发蔫，胆小怕事。
人们看到，他不再参加小男孩间粗野的打闹；也很少和妹妹及街坊小朋友一块儿玩。
他的娱乐就是自个儿看书和跳舞。
1859年达尔文发表《物种的起源》。
可能受到达尔文学说传播的影响，庞加莱对大自然的演变和动植物的进化发生了浓厚的兴趣。
他一直很喜欢动物。
如果美国女生物学家卡森的《寂静的春天》早出版100年，庞加莱可能会参加动物保护协会。
不料他一次摆弄来复枪时误伤了一只小鸟。
这使他十分痛苦和愧疚。
除了在战争时期强制的军事训练，他再也不摸那些火器了。
妈妈发现，阅读时小亨利看得很快。
相当厚的一本书，两天他就看完了。
更令人吃惊的是，他还能把书中故事讲出来；甚至可以说出那些事印在书中哪些页上，真可谓过目不忘。
这使妈妈又惊又喜。
继续观察得知，经过很长时间的往事，他也能清晰地回忆起来。
后来到高年级，他的视力不行，看不清黑板上的板书而无法记笔记。
他就聚精会神地谛听老师的讲解，边听边想，久而久之，庞加莱领悟和记忆的能力越练越强。
父母惊喜地看到，他的空间记忆和时间记忆，或者视觉记忆和听觉记忆都非同一般。
一方面，亨利的运动神经调节官能差，造成手脚活动不灵便；患白喉后视力低下，他是个有生理缺陷的小孩。
另一方面，他是个聪明的孩子，有不寻常的记忆，可算是一种异禀吧。
这让妈妈既担忧又有期待。
父母不得不经常提醒他多活动身体增强体能。
于是他每每独自一人手舞足蹈；甚至自编自演过一出诗剧。
他娱乐之余常帮妈妈干家务，但是很少做功课。
好在成绩单表明亨利学习优良，让家长放心。
事实上，除了体育与美术，其他各门功课他都感觉轻松。
9岁时，庞加莱在文学课上写的一篇短文，因为立意不俗，形式新颖，受到老师表扬，被称赞为“小小杰作”。
走上追求真理之路小庞加莱慢慢长大，数学课程度渐渐提高，他对数学的兴趣也越来越大。
几何学有好看的图形和美妙的思路让大家喜悦。
别看庞加莱笨拙的手画图不灵，几何课上他可风光了。
无章可循的几何题，常使同学们抓耳挠腮；很少画好图形的庞加莱却能三言两语就给出问题的解答。
这是怎么一回事?难道真的“几何学是利用不正确的图形来进行正确思维的艺术”?老师和同学惊奇之余都佩服庞加莱的数学本领。
他自己更越发喜欢数学了。
到15岁左右，庞加莱放学回家，常常在屋里屋外来回踱步。
开始妈妈莫名其妙，后来才知道，那是他在思考数学问题。
解答想好了，他一气呵成写出来，真是十分惬意的事。
他似乎已经迷上了数学，以至于经常忘记吃饭，使母亲非常不安。
父亲也不止一次告诫：不吃早饭有损健康，对孩子成长十分不利。
其实亨利并不是不好吃，只是太喜欢想数学问题了。
成年以后，工作之外，庞加莱表现出来的“心不在焉”更严重了。
1870年爆发了普法战争。
庞加莱年龄小，体质弱，没有去服兵役。
他后来加入战地巡回医院，协助父亲工作。
俾斯麦早已蓄谋夺取法国的欧洲霸权，建立德意志帝国。
德国入侵者很快占领了南锡，并将巴赞元帅率领的法军野战兵团围困在北面不远的梅斯。
普军有备而来，法军屡屡失利。
10月下旬巴赞在梅斯投降了。
对糟糕的局势，老百姓无可奈何。
寒冬来临，亨利陪着妈妈和妹妹逃难去外婆家。
姥姥和姥爷住在阿兰瑟。
亨利的记忆中，他小时在外婆家的生活是美好的。
可是娘儿三个饥寒交迫下，越过一个个沦为焦土的村镇，到达阿兰瑟时，看见的只是一片残垣断壁。
在侵略者铁蹄的蹂躏下，美好家园已经不复存在。
外婆家被洗劫一空，连不值钱的杂物都没有剩下。
国难家仇使少年庞加莱成为一名爱国者。
普法战争以法国失败告终。
1871年5月签订法兰克福条约。
德国并吞了阿尔萨斯及洛林的大部分，连梅斯都划归了德国。
后来庞加莱读到法国作家都德的《最后一课》，想起这穷兵黩武烧杀抢掠的一幕，仍然无比愤慨。
1871年底，庞加莱报考著名的巴黎综合工科学校。
入学考试时主考官听说庞加莱是个数学奇才，把考试推迟三刻钟，精心选编了一道难题来考他。
庞加莱出色地解答了这道题，得到数学的最高分。
他的体育成绩不佳，更麻烦的是绘画被判零分。
按规定得零分的考生将被淘汰。
由于庞加莱的数学名声，淘汰他可能如同40多年前淘汰伽罗瓦，校方将招致社会舆论的谴责。
学校当局不愿重蹈覆辙，最终破格录取了他。
进入巴黎综合工科学校以后，庞加莱多次听到人们议论学校在20年代两次把伽罗瓦拒于门外的事。
年轻的伽罗瓦提出置换群与数域概念，建立伽罗瓦对应，彻底解决了代数方程根式解的千古难题，却在不足21岁时死于非命。
这样令人扼腕的事，在庞加莱非凡的记忆中更是无法磨灭。
于是他发奋钻研约当的著作和李群思想；继承伽罗瓦的研究。
这不仅使庞加莱看清群论在研究方程中的作用。
更认识到伽罗瓦理论的深远的意义。
坐标法建立形与数的基本对应，伽罗瓦理论则揭示了几何与代数、数论之间深层的内蕴关系。
庞加莱一向喜欢革新思想。
罗巴切夫斯基等人的非欧几何，柯西与黎曼的复变函数，同样是他所关注的。
虽然在物理实验操作上他稍逊一筹，但对理论物理，比如拉格朗日等人的分析力学，拉普拉斯的天体力学，傅里叶的热的解析理论，尤其是麦克斯韦的电磁学说，却都饶有兴趣。
重视物理，庞加莱也就特别重视对与物理联系密切的微分方程的学习。
心智早开，视野广阔，庞加莱长大了。
他对母亲的理解也加深了。
妈妈长年操持家务，教育子女，任劳任怨。
她还总担心孩子的健康，又为他们的进步高兴。
她无言的举止，慈祥的目光，似乎在说：上帝是公正的。
庞加莱想着自己的先天不足，深知不能恃才傲物，还要注意自己品德操守的磨炼。
他虽然体育运动落后，不能和同学们在操场上同乐；但是他与人为善，坦诚正直，这使他在班上颇得人心。
他拙于绘画，同学们特为此开了个善意的玩笑。
在一个年终，他们举办了一个“庞加莱艺术作品展览”，用希腊文对每件展品作出说明。
结果出现了一些令人捧腹的“画虎类犬”的笑料。
1875年，庞加莱从巴黎综合工科学校毕业。
他打算当一名工程师，又进了高等矿业学校。
他认真学习工程技术课程，注意体魄锻炼，以使自己具备工程师应有的素养。
一次实习中，一口矿井瓦斯爆炸并引发大火。
庞加莱奔向浓烟滚滚的井口，顾不得想什么，跟着救生员们匆匆下井，去营救遇险矿工。
热浪烟尘中他没有退缩。
他们冒着生命危险奋勇抢救，也没有避免悲剧发生。
这次灾难造成16名矿工丧生。
庞加莱直面遇难矿工的遗体，沉思生与死的哲理，久久不能平静。
在矿业学校，庞加莱认识到工程技术研究离不了数学与物理，特别是微分方程。
于是他一有空闲就研究微分方程。
对微分方程通解的一项研究，是庞加莱数学创造的锋芒初试。
1878年庞加莱向巴黎科学院提交了关于微分方程的第一篇论文，并为此于1879年8月1日获得博士学位。
这导致他职业前途改变。
他不冷漠应用科学，也不轻视工程技术。
可是好像命中注定他不能成为工程师。
1879年他应聘为卡昂大学数学分析讲师。
庞加莱以他超凡的天赋，开阔的心胸，抱着对真理的执著的追求，走上了职业数学家的道路。
漫漫求索由于在微分方程研究中成绩卓著，1881年庞加莱被聘为巴黎大学教授。
同年他与路易丝·保兰结为夫妻。
巴黎大学安排他讲授力学与物理学。
课余庞加莱继续研究微分方程。
所谓微分方程，是含有未知函数的导数的等式；解微分方程就是求出未知函数。
微分方程与它的解——函数，密切相关。
庞加莱研究微分方程引起他寻求的自守函数，是三角函数与椭圆函数的推广。
三角函数的周期性，是一种平移变换下函数的不变性。
椭圆函数有两种周期，它在两种平移变换下不变。
庞加莱要找的自守函数，是在某一类分式线性变换下不变，而这类变换构成一个群。
他找到的自守函数中有一类被他称为富克斯函数。
庞加莱求索富克斯函数的经历，是一个颇为典型的数学创造过程。
最初，有两周以上的日子里，他每天研究一两个小时均无进展，以至怀疑这种函数的存在性。
一天晚上，他反常地喝了一大杯未加牛奶和白糖的所谓黑咖啡，久久不能入睡，各种想法纷至沓来。
他终于恍然大悟，明白确实存在要找的函数。
次日，从与椭圆函数相类比出发，他顺利地构造出一种由超几何级数构成的富克斯函数，它们在相应的富克斯变换下不变。
后来因地质考察中断了这项研究。
一次考察的出行途中换乘公共汽车，在庞加莱的脚迈上汽车踏板的一刹那，一种想法突然闪现在他的脑海：上次的富克斯变换与一种非欧几何变换等价。
回到卡昂通过推理，他证明了换车时产生的想法是正确的。
但在更进一步的研究时遇到了障碍。
无奈之下他去海滨休息几天。
一天早晨，庞加莱沿着海边峭壁漫步，海风拂面清新宜人；一种想法又蓦地浮上心头：一种二次型的数论变换与那非欧几何变换也是等价的。
再回到卡昂后，庞加莱仔细分析二次型的例子，终于看出，存在不同于以前由超几何级数构成的另类富克斯函数。
往下任务就是构造新的富克斯函数。
他有条不紊地解决了所有外围的问题。
核心难题的解决不能指望一蹴而就。
因服兵役又中断了研究而在外面四处奔波，一天庞加莱穿过一条大街时，挡住他通向胜利终点的难题的解答，突然出现在他脑海中。
他警觉地停止思考，以免与疾驶过来的马车相撞。
实际上直到服役结束，他才得以全面展开研究。
由于素材齐备，后期工作并无多大困难。
他关于富克斯函数的第一篇论文终于完成，并在1882 年发表。
在这篇论文写作过程中，“有意识的研究——潜意识的活动——有意识的研究”，这样的思维运动形式，清晰可辨。
从中可以看出，研究不会一帆风顺，认识的飞跃需要积累。
虽然庞加莱的自守函数论文并未立即为数学界普遍理解，还受到克罗内克等人怀疑和指责；但是历史表明，庞加莱的自守函数理论揭示了分析学与几何、代数和数论的内在联系，表现了数学的统一性，对现代数学影响巨大。