专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总

常用知识点:

一、常见函数的定义域总结如下:

(1)c bx ax y b

kx y ++=+=2一般形式的定义域:x ∈R (2)x k y =

分式形式的定义域:x ≠0 (3)x y = 根式的形式定义域:x ≥0

(4)x y a log = 对数形式的定义域:x ＞0

二、函数的性质

1、函数的单调性

当21x x <时,恒有)()(21x f x f <,)(x f 在21x x ，所在的区间上就是增加的。

当21x x <时,恒有)()(21x f x f >,)(x f 在21x x ，所在的区间上就是减少的。

2、 函数的奇偶性

定义:设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称(即若D x ∈,则有D x ∈-)

(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀,恒有)()(x f x f =-。

(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀,恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数

1、常数函数:c y =,定义域就是),(+∞-∞,图形就是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数:u

x y =, (u 就是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。

3、指数函数

定义: x a x f y ==)(, (a 就是常数且0>a ,1≠a )、图形过(0,1)点。

4、对数函数

定义: x x f y a log )(==, (a 就是常数且0>a ,1≠a )。图形过(1,0)点。

5、三角函数

(1) 正弦函数: x y sin =

π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =、

π2=T , ),()(+∞-∞=f D , ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =、

π=T , },2

)12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f 、 (4) 余切函数: x y cot =、

π=T , },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π, ),()(+∞-∞=D f 、

5、反三角函数

(1) 反正弦函数: x y sin arc =,]1,1[)(-=f D ,]2

,2[)(ππ-=D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =,]1,1[)(-=f D ,],0[)(π=D f 。

(3) 反正切函数: x y arctan =,),()(+∞-∞=f D ,)2

,2()(ππ-=D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =,),()(+∞-∞=f D ,),0()(π=D f 。

极限

一、求极限的方法

1、代入法

代入法主要就是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法

(1)利用极限的四则运算法则求极限。

(2)利用等价无穷小量代换求极限。

(3)利用两个重要极限求极限。

(4)利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则

设A u x =→λlim , B v x =→λ

lim ,则 (1)B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ

λλlim lim )(lim (2)AB v u v u x x x =⋅=⋅→→→λ

λλlim lim )(lim 、 推论

(a)v C v C x x λ

λ→→⋅=⋅lim )(lim , (C 为常数)。 (b)n

x n x u u )lim (lim λλ→→= (3)B A v u v u x x x ==→→→λ

λλlim lim lim , (0≠B )、 (4)设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=-Λ110)(, 则)()(lim 00

x P x P x x =→ (5)设)(),(x Q x P 均为多项式, 且0)(≠x Q , 则 )

()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→ 三、等价无穷小

常用的等价无穷小量代换有:当

0→x 时,x x ~sin ,x x ~tan ,x x ~arctan ,x x ~arcsin ,x x ~)1ln(+,x e x ~1-,

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1~cos 1x x -。 对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:当0 □→时, □~ □sin ,其余类似。

四、两个重要极限

重要极限I 1sin lim 0=→x

x x 。 它可以用下面更直观的结构式表示:1 □ □sin lim

0 □=→ 重要极限II e x x x =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞→11lim 。

其结构可以表示为:e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ □ □ □

11lim 八、洛必达(L ’Hospital)法则 “00”型与“∞∞”型不定式,存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)

()(lim )()(lim ''(或∞)。 一元函数微分学

一、导数的定义

设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义,当自变量x 在0x 处取得增量∆x (点x x ∆+0仍在该邻域内)时,相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。如果当0→∆x 时,函数的增量y ∆与自变量x ∆的增量之比的极限

0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(00=）（0x f ' 注意两个符号x ∆与0x 在题目中可能换成其她的符号表示。

二、求导公式

1、基本初等函数的导数公式

(1)0)(='C (C 为常数)

(2)1)(-='αααx x (α为任意常数)

(3)a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x x e e =')( (4)a

x e x x a a ln 1log 1)(log ==')1,0,0(≠>>a a x , x x 1)(ln =' (5)x x cos )(sin ='

(6)x x sin )(cos -=' (7)x

x 2'cos 1)(tan =