初中数学规律探究题的解题方法

初中数学规律探究题的解法指导

一、数式规律探究

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……

(1)

2

n n+

③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=

(1)

2

n n+

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

⑦ 12+22+32….+n2=1

6

n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=

1

4

n2(n+1）（9）2，4.8.16.32...... 2n

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：3.观察法

例1.观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

③4×4

5

=4-

4

5

例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。

3200 的个位数字是。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：

4.作差法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

则a n= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。尝试练习：

1.观察下列等式：1×3=12+2×

1；2×4=22+2×2；

3×5=32+2×3……请将

你猜想到的规律用含自然数

n(n≥1)的代数式表示出来：。

2.

观察下列各式：

2

1

×2=

2

1

+2

；

3

2

×3=

3

2

+3；

4

3

×4=

4

3

+4；

5

4

×5=

5

4

+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.n(n

≥1)的代数式表示出来为。

4.已知：2+

2

3

=22×

2

3

；3+

3

8

=32×

3

8

；4+

4

15

=42×

4

15

；5+

5

24

=52×

5

24

…，若

10+

b

a

=102×

b

a

符合前面式子的规律，则a+b= 。

5.已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+2

3+33=62；④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式：

。

二、图形规律探究

解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决

另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第

n个图时，要用根火柴棒。

例6．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。

（1）（2）

（3）

△△△

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△

①②③

尝试练习：

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，

第5个“广”字中的棋子个数是________，第n个“广”字中的棋子个数是________

2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角

形中白色三角形有个．

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方

形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s，则s ＝．（用n的代数式表示s）

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则

第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n个图形中需要黑色瓷砖

__________块（用含n的代数式表示）．

5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的

规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是．

三、课外拓展：

1.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。

2.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据9

5

，

16

12

，

25

21

，

36

32

……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，

按此规律第七个数据是。

4.已知a1=

1

123

⨯⨯

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

234

⨯⨯

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

345

⨯⨯

+

1

4

=

4

15

……按此规律，则a99= 。

5.已知

1

12

⨯

=1-

1

2

，

1

23

⨯

=

1

2

-

1

3

，

1

34

⨯

=

1

3

-

1

4

……，则

1

12

⨯

+

1

23

⨯

+

1

34

⨯

+

第1个第2个第3个

…

n=n=n=

（（（