基本的算法策略(1).ppt

问题分析： 1）先看一简单问题：有一位探险家用5天的时间徒步 横穿A、B两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3天的食物和水，那么这个探险家至 少雇几个人才能顺利通过沙漠。
{print(“data error”);
return;}
else
{ c = a mod b;
while c<>0
{ a=b;
b=c;
c=a mod b;}
}
print(b);
}
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4.1.2 倒推法
所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的， 从 后向前推解问题的方法。如下面的例题，因不同方面的需求 而采用了倒推策略。
for (i=3;i<=n;i=i+1)
{a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1)
a[j]=a[j]+a[j-1];
for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”);
}
}
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【例3】穿越沙漠问题
用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为 500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库， 必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少 的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮 油量。
算法设计：循环“不变式”第一次是求a、b相除的余数c，第二 次还是求“a”“b” 相除的余数，经a=b,b=c操作，就实现了第二 次还是求“a”“b” 相除的余数，这就找到了循环不变式。循环在 余数c为0时结束。
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算法如下：
main（）
{ int a, b;
input(a,b);
if(b=0)
例1在不知前提条件的情况下，经过从后向前递推，从而求解问 题。即由结果倒过来推解它的前提条件。又如例2由于存储的要 求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题进行分析或 建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推 法（如例3），则问题容易理解和解决。下面分别看这几个例子：
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算法2，最后输出的 并不是12项，而是 2+3*4共14项。
{ c=a+b; a=b+c; b=c+a; pri源自文库t(a,b,c); }
}
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算法3：
表4-2 递推迭代表达式
12
3
4
56
7 89
a b a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b ……
由此归纳出可以用“a=a+b; b=a+b;”做循环“不变式”， 从而得到以下算法3:
main( )
{ int i,a=1,b=1;
print(a,b);
for(i=1; i＜=5;i++)
{ a=a+b;
b=a+b;
print(a,b); }
}
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【例2】求两个整数的最大公约数。
数学建模：辗转相除法是根据递推策略设计的。
不妨设两个整数a>b且a除以b商x余c；则a-bx=c，不难看出a、b 的最大公约数也是c的约数（一个数能整除等式左边就一定能整 除等式的右边），则a、b的最大公约数与b、c的最大公约数相同。 同样方法推出b、c的最大公约数与……，直到余数为0时，除数即 为所求的最大公约数。
第四章 基本的算法策略
4.1 迭代算法 4.2 蛮力算法 4.3 分而治之算法 4.4 贪婪算法 4.5 动态规划 4.6 算法策略间的比较
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4.1 迭代算法
4.1.1 递推法 4.1.2 倒推法 4.1.3 迭代法解方程
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4．1．1 递推法
【例1】兔子繁殖问题 问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔
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【例1】猴子吃桃问题 一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个， 到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？ 数 学 模 型 ： 每 天 的 桃 子 数 为 ： a10=1, a9=(1+a10)*2, a8=(1+a9)*2,……a10=1， 递推公式为：ai=(1+ai+1)*2 I = 9,8,7,6……1 算法如下 ：
} }
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算法2：
表4-1 递推迭代表达式
12 3
4
56
7
89
a b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c b=a+c ……
由此归纳出可以用“c=a+b; a=b+c; b=c+a;”做循环“不变 式”。
算法2如下：
main( )
{ int i,a=1,b=1; print(a,b); for(i=1; i＜=4;i++)
问题分析：题目中要求用一个一维数组即
14 6 ……………
4
1
完成。数组空间一定是由下标从小到大 图4-1 杨辉三角形
利用的，这样其实杨辉三角形是按下图
4-2形式存储的。若求n层，则数组最多
存储n个数据。
算法设计：
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行
1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……
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数学建模：y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，……。
算法1：
main( ) { int i,a=1,b=1;
print(a,b); for(i=1;i＜=10;i++)
{ c=a+b; print (c); a=b; b=c；
j=i-1，i-2，……，2
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1 11 121 1331 14641 ……………
图4-2 杨辉三角形存储格式
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算法如下：
main( )
{int n,i,j,a[100];
input(n); print(“1”); print(“换行符”);
a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”);
main( ) { int i,s; s=1; for (i=9 ;i>=1;i=i-1) s=(s+1)*2 print (s)；
}
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【例2】 输出如图4-1的杨辉三角形（限 定用一个一维数组完成）。
数学模型：上下层规律较明显，中间的数
1 11 121
等于上行左上、右上两数之和。
13 3 1
子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子 只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每 个月各有多少只兔子。
问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小兔 子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前 两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下：
一月 二月 三月 四月 五月 六月 ……