73三元一次方程组及其解法
七年级数学下册三元一次方程组解法
七年级数学下册三元一次方程组解法一、概述三元一次方程组是指同时包含三个未知数的一次方程组。
解决这类问题需要运用代数知识和线性方程组的解法，对于初学者来说可能会比较复杂。
在七年级数学下册中，我们将学习如何解决三元一次方程组，下面将逐步介绍三元一次方程组的解法。
二、基本概念1. 三元一次方程组的一般形式三元一次方程组的一般形式为：a₁x + b₁y + c₁z = d₁a₂x + b₂y + c₂z = d₂a₃x + b₃y + c₃z = d₃其中，a₁, b₁, c₁, d₁, a₂, b₂, c₂, d₂, a₃, b₃, c₃, d₃为已知系数。
2. 三元一次方程组的解三元一次方程组的解即为满足所有方程的一组有序数对 (x, y, z)，使得代入各方程均成立。
三、解法步骤1. 方法一：代入法对于三元一次方程组，我们可以先通过其中两个方程解出其中两个未知数的值，然后代入第三个方程中，求解出第三个未知数的值。
2. 方法二：化为二元方程组求解将三元一次方程组中的一个方程化为关于一个未知数的表达式，然后代入其他方程中，将其化为二元方程组，通过解二元方程组得到两个未知数的值，最后代入原方程组求解出第三个未知数的值。
3. 方法三：矩阵法将三元一次方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵，通过行初等变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵或最简形矩阵，从而求解出未知数的值。
四、实例分析举例来说明三元一次方程组的解法：已知方程组：2x + 3y + 4z = 203x - y + z = 10x + 2y - 3z = 3我们可以通过代入法、化为二元方程组求解或者矩阵法来解决这个实例，依次列出解法步骤和计算过程。
五、总结通过上述例子的分析和解法步骤的介绍，我们可以发现解决三元一次方程组需要熟练掌握代数知识和解方程的方法，尤其需要注意运用代入法、化为二元方程组求解和矩阵法中的细节。
对于特殊情况的处理也需要谨慎对待。
希望同学们在学习过程中能够多加练习，提高解决三元一次方程组的能力。
7.3三元一次方程组及其解法(2)
7.3三元一次方程组及其解法（2）课型：新授课主备：程相云审核：李慧时间:2015.1学习目标：1. 会用加减消元法熟练地解三元一次方程组。
2. 进一步体会消元思想，并能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
学习过程：一、板题示标二、自学指导认真看课本P39- 40页内容，将不理解的地方做上标记，完成并思考以下几个问题：1、解三元一次方程组的基本思路是，即将三元一次方程组转化为二元一次方程组。
2、3x+4y-3z=3 三个方程中未知数的系数都不是1或-1，如何消2x-3y-2z=2 去未知数比较简单？5x-3y+4z=-223、上面的三元一次方程组先消去哪个未知数比较简单？能否先消去Z或X？4、总结一下解三元一次方程组的方法。
三、自学检测1、解下列方程组x+y-z=2 x+y-z=0(1) 4x-2y+3z+8=0 (2) 2x-y+3z=2x+3y-2z-6=0 x-4y-2z+6=0四、教师点拨1、教师公布答案，同桌互改。
2、教师总结归纳五、当堂训练1、解下列方程组3x+y=6 x+y+z=-1x+2y-z=5 4x-2y+3z=55x-3y+2z=4 y-z=8-2x2x+3y=5 2x-3y-z=-43y-4z=3 x+2y+2z=64z+5x=7 3x+2y+z=112、某初级中学共有学生673人，已知八年级学生人数比其他两个年级人数的平均数多25人，九年级学生人数比七年级学生人数少8人，三个年级各有多少人？六、拓展延伸1、已知方程组x-2y+3z=0 求x:y:z的值2x-3y+4z=0。
三元一次方程组及其解法(七年级_拓展)
• 学习目标 • 1.了解三元一次方程组及其解法，并能根据 三元一次方程组的具体形式选择适当的解 法。 • 2.会利用三元一次方程解决实际问题。
三元一次方程组的概念
• 由三个一次方程组成的含有三个未知数的 方程组，叫做三元一次方程组。 • 满足三元一次方程组的条件是： • （1）方程组中只含有三个未知数； • （2）含有未知数项的次数是1； • （3）方程组中共有三个整式方程；
a=3 代入①，得 b=-2 C=-5
｛
所以
｛
a=3 b=-2 c=-5
三元一次方程的实际应用
小明手头有12张面额分别是1元、2 元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸 币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、 2元、5元的纸币各多少张？
此题是否可以利用二元一次方程组解呢？
元张数+2元张数+5元张数=12张 分析：本题数量关系1 ____________________
1 把x＝5，z＝-2代入②，得y= 3 因此，三元一次方程组的解为
｛
X=51 Y= 3 Z=-2
解方程组 a－b＋c= 0
｛
4a＋2b＋c=3 25a＋5b＋c=60
① ② ③ 把
解：
②－①， 得 a＋b=1 ④ ③－①，得 4a＋b=10 ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 a＋b=1 ｛ 4a＋b=10 a=3 解这个方程组，得｛ b=-2
｛
例1 解三元一次方程组
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x＋4z=7 ｛11x＋10z=35 X=5 解这个方程组，得 ｛Z=-2
7.3三元一次方程组解法---加减法
WORD 格式专业资料整理蓬溪外国语实验学校数学学案模板课题：7.3三元一次方程组解法 ---加减法 班级：七年级 2班一、学习目标：会用加减法解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤 二．做一做解方程组：3x 4y 3z3一．忆一忆：（1）2x3y 2z21、回顾用代入法解三元一次方程组步骤5x 3y 4z 222、解方程组：x y z 0 (1) x y2x y 3z 2 (2) 3 2 x4y 2z6(3)yz(3)5 探索：你可以用代入法解该方程组，那么试试用加减法来解 4x yz 60（1）+（2），(1)×4+(3)得 3x 2z 2 (4)5x 6z 6 (5) y 63x解得：x (5)x2yz5 z 5x 3y 2z 4把 x=_______z=________代入（1）得y=________x _________y_________z__________3、用代入法解三元一次方程组步骤：（1）利用加减法把其中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组；（3）将求得的两个未知数的值代入一个较简单的方程求第三个未知数；（4）将求得的三个未知数的值组合起来。
姓名：x yz2 (2)4x 2y 3z8 0 x 3y 2z6 02x 3y 5 (4)3y 4z3 4z 5x7x y z 1 (6)4x 2y3z5y z 8 2x。
7.3三元一次方程组及其解法
即
x=z+3.
x=1，
y=-3，
z=-2.
代入④，得z=-2.
【例2】解方程组
3x 4 y - 3z 3， ① 2x 3 y - 2z 2， ② 5x - 3 y 4z -22. ③
分析 三个方程中未知数的系数都不是1或-1，用代 人消元法比较麻烦，可考虑用加减消元法来解．
z=2.
2.试用加减消元法解例1中方程组.
2x-3 y 4z=3， ①
3
x-2
y
z=7，
②
x 2 y-3z=1.
③
解:②+③得：4x-2z=8
即
2x-z=4 ④
所以原方程组的解是
①×2，②×3得
4x-6 y 8z=6 9x-6 y 3z=21
②×3-①×2，得5x-5z=15
22,
x 4 y.
代入法
① ② ③
仿照前面学过的代入法，可以把③分 别代入①②，得到两个只含y，z的方程
4y+y+z=12 4y+2y+5z=22
5 y z 12 6 y 5z 22
【例1】解方程组
2x 3 y 4z 3， ① 3x 2 y z 7， ② x 2 y 3z 1. ③
2
2
所以原方程的解是
x=-
1 2
y= 3 2
z=-1
x= y 32
①
( 2)
思考：上面的问题中，你可以设几个 未知数，怎样列出方程组？
题中的三个条件要同时满足，所以我们把三个 方程合在一起写成 ：
7.3三元一次方程组及其解法---加减消元
说说你的 收获
(1)解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法 (2) 解三元一次方程组的基本思想是消元, 关键也是消元。我们一定要根据方程组 的特点,选准消元对象, 定好消元方案. (3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
【方法归纳】
根据方程组的特点，我们有：
类型一：有表达式，用 代入法 . 类型二：缺某元， 消某元 .
x y 3 y z 5 z x 4
① ② ③
例2 也可以这样解:
①+②+③,得 即， ⑤－①,得 ⑤－②,得
2( x y z) 12
④ ⑤
x yz 6
z3
x 1
⑤－③，得
y2
所以，原方程组的解是
x 1 y 2 z 3
例1 解三元一次方程组
3x＋4z=7 ① 2x＋3y＋z=9 ② 5x－9y＋7z=8 ③ 解：②×3＋③ ，得 11x＋10z=35 ④ ①与④组成方程组 3x＋4z=7 ｛11x＋10z=35 X=5 解这个方程组，得 ｛Z=-2
｛
分析：方程①中只 你还有其它解 含x,z,因此，可以由 法吗？试一试， ②③消去y，得到一 并与这种解法 个只含x，z的方程， 进行比较. 与方程①组成一个 二元一次方程组
7.3.2三元一次方程组及其 解法
-----加减消元法
复习提问
1、用代入消元法如何解三元一次方 程组？ 2、用加减消元法解二元一次方程组 的步骤是什么？
例2：解方程组：
3x 4 y 3z 3.................① 2 x 3 y 2 z 2.................② 5 x 3 y 4 z 22.............③
7.3三元一次方程组解法---加减法
蓬溪外国语实验学校数学学案模板 课题：7.3三元一次方程组解法---加减法 班级：七年级2班 姓名：一、学习目标：会用加减法解三元一次方程组，掌握三元一次方程组的解法及其步骤二．做一做解方程组：（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=--=-+2243522323343z y x z y x z y x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=++-=-+0623083242z y x z y x z y x(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++==605423z y x z y yx (4)⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=+754343532x z z y y x(5)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=+42355263z y x z y x y x (6)⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--=++x z y z y x z y x 2853241一．忆一忆：1、回顾用代入法解三元一次方程组步骤2、解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-----=-------=+-------=-+)3(624)2(232)1(0z y x z y x z y x 探索：你可以用代入法解该方程组，那么试试用加减法来解 （1）+（2）， (1)×4+(3) 得⎩⎨⎧------=-------=+)5(665)4(223z x z x 解得：⎩⎨⎧==z x 把x=_______ z=________代入（1）得y=________⎪⎩⎪⎨⎧===∴____________________________z y x 3、用代入法解三元一次方程组步骤：（1）利用加减法把其中一个方程与另外两个方程分别组成两组，消去同一个未知数，得到一个二元一次方程组； （2）解这个二元一次方程组；（3）将求得的两个未知数的值代入一个较简单的方程求第三个未知数； （4）将求得的三个未知数的值组合起来。
7.3 三元一次方程组及其解法
这个问题可以用多种方法（算术法、列出一元一次方程或 二元一次方程组）来解决。 小明同学提出了一个新的思路： 问题中有三个未知数，如ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ设这个队在第二轮比赛中胜， 平，负的场数分别为x，y，z，又将怎样呢？
分别将已知条件直接“翻译”，列出方程，并将它们写 成方程组的形式，得
x y z 10...........① 3x y 18...............② x y z...................③
解：③－②得
3x+6z=－24
即
x+2z=－8 ④
17x－17z=17
①×3+②×4，得
即 x+2z=－8
x-z=1
x-z=1
⑤
联合④⑤组成二元一次方程组，得
解得
x=－2，
z=－3.
将x=－2，z=－3代入方程 ②，得 y=0. x=－2, 所以原方程的解是
y=0,
z=－3.
总结归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或
“三元” 转化为“二元” ，使解 “加减”进行 消元 ，把 三元一次方程组转化为解 二元一次方程组 ，进而再转 化为解 一元一次方程 .
三元一次方 程组
消元
二元一次方 程组
消元
一元一次方 程
当堂练习
1.解方程组
x＋y－z＝11， ① y＋z－x＝5， ② ③ z＋x－y＝1.
,则x＝_____ 6 ，
*7.3
三元一次方程组及其解法
讲授新课 当堂练习 课堂小结
导入新课
学习目标
1.理解三元一次方程组的概念． 2.能解简单的三元一次方程组．
导入新课
7.3.1三元一次方程组及其解法
特征：⑴含三个未知数；⑵含未知数的项都是1次的；
⑶整式方程。
目的：消元
二元一次方程组
一元一次方程
方法：代入法、加减法
类似地：
目的：消元
三元一次方程组
二元一次方程组
方法：代入法、加减法
例1
解方程组：
x y z 10 3x y 18 x y z
① ② ③
例2
问题
一元一次方程解：
设勇士队平x场，则负（
3· 二元一次方程组解：
10 2
10 －x）场，由题得： 2
+x=18
设勇士队胜x场，平y场，则负(10－x－y)场,由题得：
x y 10 x y 3x y 18
可以设三个未知数吗?
设勇士队胜x场，平y场，负z场,由题得： 三元一次方程组 x y z 10 3x y 18 x y z
华东师大版七年级下册《数学》
暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世 界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场， 得17分.比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一 场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队 胜了几场？又平了几场呢？ 解得:勇士队胜5场,平2场。 在第二轮比赛中，勇士队参加了10场比赛，按同样 的计分规则，共得18分。已知勇士队在比赛中胜的场 数正好等于平与负的场数之和，那么勇士队在第二轮 比赛中胜、平、负的场数各是多少？ 你能用哪些方法解决这个问题？
解方程组：
2 x 3 y 4 z 3 3 x 2 y z 7 x 2 y 3z 1
① ②
③
7.3三元一次方程组及其解法
三元一次方程组特征： ⑴含三个未知数；⑵含未知数的项都是1次的； ห้องสมุดไป่ตู้整式方程。
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学案第16页 学案第16页 学案第16页 学案第16页 学案第17页 学案第17页 学案第17页
引导问题1.1；
引导问题2.1； 引导问题2.2；
落实“学、讲、练、 悟”中的“讲与悟”，
引导问题2.3； 培养学生的能说会道
引导问题2.4（1）；能力；了解自主学习、 引导问题2.4（2）；小组交流的效果 .
特点: ①共含有三个未知数;
②含未知数的项的次数都是1.
③共含有三个方程.
知识点2 三元一次方程组的解及其解法
三元一次方程组
求出第三个未知数的值
二元一次方程组
求出第二知识点3 解特殊形式的方程组
?x? y ? 3
? ?
y
?
z
?
5
?? z ? x ? 4
引导问题2.4（3）；
题型一 三元一次方程（组）的概念 题型二 三元一次方程组的解及其解法 题型三 解特殊形式的方程组
完成洋葱数学上的当堂检测试题 注：过程完成在闯关卡上
配上学生登录过程图片、完成过程短视频、数据统计短视频
通过本节课的学习，掌握了哪些知识、数学思想方法和解题方 法？请进行回顾、内化、升华——提炼数学思想、方法；梳理数学 知识点、考点、典型题型；盘点收获——新发现、新体验、新感 悟……
1.知识体系
2.数学思想方法
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精英本46-47页习题
华师版数学七年级下册§7.3.1 》
解三元一次方程组
1.了解三元一次方程组的概念，并会解简单的三元一次方程 组。 2.利用方程组的结构特点化简系数。
1.阅读教材37页-39页，在教材上用双色笔勾、 画、圈、点，思考云图中提出的问题，完善空白部分；
2.登录洋葱数学7.3三元一次方程组，观看下列视频（提示：专 注、理解、笔记；暂停、思考、回放），并完成同步学案 16—18 页. （1）概念课：解三元一次方程组（2分47秒） （2）解题课：解对称方程组（2分18秒） 3.提出在观看视频或者做题过程中不懂的部分，或延伸思考的
1.思考下列问题并与小伙伴交流 （1）三元一次方程组的概念？ （2）怎样解三元一次方程组？ （3）怎样解特殊的三元一次方程组？ （4）解三元一次方程组的一般步骤是什么？ 2.针对在观看视频或者完成同步学案中不懂的部分，或延伸思考 的问题与小伙伴交流.
针对学案完成中的疑难困惑，小组代表展示分享：
第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 第7组
问题.
知识点1 三元一次方程（组）的概念
?3x ? 2y ? z ? 39 ? x ? y ? z ? 26
(1)
??2x ? 3y ? z ? 34 ??x? 2y ? 3z ? 26
? ?
x
?
y
?
1
?? 2 x ? z ? y ? 18
(2) (3)
这两个方程组都不是二元一次方程组 .那么它 们与二元一次方程组的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？