小学奥数一笔画

合集下载

小学奥数智巧趣题专题--一笔画问题(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数智巧趣题专题--一笔画问题（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．【答案】图a和图c能，图b不能。

【解析】图a能，因为有2个奇点，图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为图中全是奇点。

【题文】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适？【答案】4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-10-11-7-4-3。

【题文】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．评卷人得分【答案】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出。

图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出。

图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出。

【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出。

图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出。

图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出。

一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢？我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点。

如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。

所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

【题文】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功？【答案】【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了。

小学奥数著名问题之——一笔画问题习题集

一笔画问题（教师必备）一、欧拉的一笔画原理是：(1)一笔画必须是连通的(图形的各部分之间连接在一起)；(2)没有奇点的连通图形是一笔画，画时可以以任一偶点为起点，最后仍回到这点；(3)只有两个奇点的连通图形是一笔画，画时必须以一个奇点为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形不是一笔画。

利用一笔画原理，七桥问题很容易解决。

因为图中A，B，C，D都是奇点，有四个奇点的图形不是一笔画，所以一个散步者不可能不重复地一次走遍这七座桥。

二、顺便补充两点：(1)一个图形的奇点数目一定是偶数。

因为图形中的每条线都有两个端点，所以图形中所有端点的总数必然是偶数。

如果一个图形中奇点的数目是奇数，那么这个图形中与奇点相连接的端点数之和是奇数(奇数个奇数之和是奇数)，与偶点相连的线的端点数之和是偶数(任意个偶数之和是偶数)，于是得到所有端点的总数是奇数，这与前面的结论矛盾。

所以一个图形的奇点数目一定是偶数。

(2)有K个奇点的图形要K÷2笔才能画成。

例如：下页左上图中的房子共有B，E，F，G，I，J六个奇点，所以不是一笔画。

如果我们将其中的两个奇点间的连线去掉一条，那么这两个奇点都变成了偶点，如果能去掉两条这样的连线，使图中的六个奇点变成两个，那么新图形就是一笔画了。

将线段GF和BJ去掉，剩下I和E两个奇点(见右下图)，这个图形是一笔画，再添上线段GF和BJ，共需三笔，即(6÷2)笔画成。

如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点。

所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画。

三、到现在为止，我们已经学会了如何判断一笔画和多笔画，以及怎样添加连线将多笔画变成一笔画，看下面的例题：1.下列图形分别是几笔画？怎样画？2.能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形？3.从A点出发，走遍右上图中所有的线段，再回到A点，怎样走才能使重复走的路程最短？4.下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画吗？如果能，请你把它画出来。

小学奥数知识讲解-一笔画问题

第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。

那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

典型例题例【 1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？（ 1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。

经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。

图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。

图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。

通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。

由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。

相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。

再看图（ 1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。

而图（2）有 4 个奇点， 2 个偶点，不能一笔画成。

这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。

例【 2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。

关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由 A B C AD C。

图中 B、D 为偶点， A、C 为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。

要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。

经过尝试，图（ 3）无法一笔画成，而图中有 4 个奇点， 5 个偶点。

解图（ 1）、（2）可以一笔画。

这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系。

如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。

如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。

如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。

例【 3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？分析图（ 1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由 A 开始或由 B 开始到 B 结束或到 A 结束。

六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：-第八讲-一笔画问题

第八讲一笔画问题一、一笔画问题问题1 你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸,而且每一笔划（或称线段）只能画一次,不准重复.对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图 8－1）通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成.由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成.我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画.一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成.例 1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？经过尝试,你会发现,图 8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的.而且图（c）、（e）可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图（a）只能从A （或D）点出发,一笔画成到 D（或A）点结束.如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论.有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题.上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的,在数学中叫做图.图形中的点叫图的结点,线段（或弧）叫做图的边.作为一个图,其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交.一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关.图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数.度数为偶数的结点叫做偶结点.例如,图 8－3 中结点 C、D、E 都是偶结点.度数为奇数的结点叫做奇结点.例如,图 8－3 中结点A、B、F、G 都是奇结点.任何两点间都有线连接的图称作连通图.（如图8－3 中D 与G 可通过DB、BA、AG 连接）观察例 1 中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表：从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系, 人们总结出如下规律：一个图若是一笔画必定是个连通图.一个连通图,若没有奇结点（即全是偶结点）,那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点.一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成.而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束.一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成. 例 2判断下列各图是否能一笔画出来.解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成, 并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来.当作练习,请把例 2 中能够一笔画的图一笔画出来.二、七桥问题和欧拉定理问题 2 七桥问题.关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题.事情发生在 18 世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛 A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（参看图 8－5）,那里的居民在星期日有散步的习惯.有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点？这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案.后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉.欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想：也许那样的走法根本就不存在.1936 年他证明了自己的猜想.欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性.他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图形（参看图8－5（b））.这样七桥问题就变成了一个一笔画问题：能不能一笔画出这个图形,并且最后返回起点？前面我们虽然通过对例 1 的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论,但并没有证明,没有说明这是为什么.下面我们简要说明其中的道理.一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数（也称度数）有关.假定某个图能一笔画成,如果结点 P 不是起点或终点,而是中间点,那么 P 一定是个偶结点.因为无论何时通过一条边进入 P,由于不能重复,必须从另一条边离开 P,因此与 P 连结的边一定成对出现,所以 P 是偶结点.如果一个结点 Q 是奇结点,那么在一笔画中只能是起点或终点.由此可以看出,在一个一笔画中,奇结点个数至多只能有两个.由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点,所以不能一笔画成.也就是说,七桥问题无解,证实了欧拉的猜想.欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题, 而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理.1736 年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告,公布了他关于七桥问题的研究成果.欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法,它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生.对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.例如,图 8－6（a）中的图无奇结点,可以从 A 点出发,一笔画成回到 A 点, 其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A.图8－6（b）中的图有两个奇结点 C 和E,可以从E 出发一笔画成,到 C 结束.其路线为E→D→C→B→A→C.这两条路线都是欧拉路.应当注意：一个图如果存在欧拉路,那么不一定是唯一的.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.例如,图 8－6（a）所表示的路线就是一条欧拉回路,因此相应的图就是一个欧拉图.例3 图8－7 是一公园的平面图,线段表示路径,要使游客走遍每条路且不重复, 问出入口应设在哪里？分析与解：这个问题实质上是一个一笔画问题.图中只有两个奇结点 C 和E,因此,只要把出入口分别设在这两个奇结点处,游客就能由入口进入公园,不重复地走遍每条路,然后从出口处离开公园.例4 能否一笔画出一条曲线,使它和图 8－8 中的八条线段都只相交一次（不准在端点处相交）？分析与解：尝试几次后,会感到很难下结论.事实上,直接寻找答案并不容易.我们可从七桥问题得到启示.原图形把平面分成了五个部分,分别用 A、B、C、D、E 五个点表示.两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次,如图 8 －8（b）.于是,问题就变成了图 8－8（b）中所表示的图能否一笔画成.因为图中A、B、C、D 都是奇结点,因此,它不能一笔画成,即不存在符合题目要求的曲线.例 5 图 8－9 表示一个展览馆的平面图,其中共有五个展览室,每个展览室都有一个门通向室外.能否设计一条参观路线,一次不重复地穿过每一个门并能回到原地.分析与解：如果用 A、B、C、D、E 表示展览室,用F 表示室外,用连线表示相应的门,那么图 8－9（a）就变成了图 8－9（b）于是问题就转化为判断图 8－9（b）是否为欧拉图.由图中可以看出,点 C、D、E、F 都是奇给点,因而图 8－9（b）不具有欧拉回路.所以不是欧拉图.也就是说,不存在题中所要求的那种参观路线.可以进一步考虑,关闭了哪两个门之后,就能设计出符合题中要求的参观路线了？为此,只要使图 8－9（b）变为欧拉图,即使它的奇结点个数为 O 即可.例如抹去线段CD 和EF 后的图就没有奇结点了.也就是说,如果关闭 C、D 之间和E、F 之间的两个门,就能设计出一条参观路线,一次不重复的穿过每一个门,并能回到原地.请你试一试,同时想一想,是否还存在其它的答案,一共有几种？习题八1．判断下列各图是否能一笔画成.2．一个花园的小径如图 8－11 所示,散步者能否不重复地一次走遍全部小径？3．图8－12 中A、B、C、D 是四个防空洞,相邻防空洞之间有地道相通,且每个防空洞各有一条地道与地面相通,能否找到一条路线不重复地走遍所有地道？4．用剪刀能否一次连续剪下图 8－13 所示的纸上的 3 个正方形和2 个三角形？5．一只蚂蚁,从图 8－14 右上角长方形中 P 点出发爬行,它要越过这图中16 条线段.每条线段只能通过一次,且不能通过线段的端点,你认为存在这样的路线吗？806．图8－15 表示一个有九个展室的展览馆平面图,每相邻的展室之间都有一道门相通,能否设计一条参观路线,从入口进去,每道门只通过一次,再由出口出去？如果能,则标出参观路线；如果不能,则考虑至少要增开几道门就可设计出符合要求的路线,并标出“新门”的位置.。

小学奥数奇妙的一笔画精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)

所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢？这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n 个奇点(n 为自然数)，那么这个图一定可以用n 笔画成．模块一、判断奇偶点【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点？哪些点是奇点？J O I H G FED CBA【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】解答【解析】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I 【答案】奇点： D H J O 偶点：A B C E F G I【例 2】同学们野营时建了9个营地，连接营地之间的道路如图所示，贝贝要给每个营地插上一面旗帜，要求相邻营地的旗帜色彩不同，则贝贝最少需要种颜色的旗子，如果贝贝从某营地出发，不走重复路线就（填“能”或“不能”）完成任务.【考点】一笔画问题【难度】2星【题型】填空例题精讲知识点拨4-1-5.奇妙的一笔画【关键词】华杯赛，六年级，初赛，第10题【解析】最少需要3种颜色的旗子。

因为中间的三点连成一个三角形，要使这三点所代表营地两粮相邻，要使相邻营地没有相同颜色的旗子，必须各插一种与其它两点不同颜色的旗子。

小学奥数奇妙的一笔画题库教师版

奇妙的一笔画例题精讲所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍历每条边恰好一次，即每条边都只画一次，不准重复．从图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图．但是否所有的连通图都可以一笔画出呢下面，我们就来探求解决这个问题的方法．什么样的图形能一笔画成呢这就是一笔画问题，它是一种有名的数学游戏．我们把一个图形中与偶数条线相连接的点叫做偶点．相应的把与奇数条线相连接的点叫做奇点．一笔画问题：(1)能一笔画出的图形必须是连通的图形；(2)凡是只由偶点组成的连通图形．一定可以一笔画出．画时可以由任一偶点作为起点．最后仍回到这点；(3)凡是只有两个奇点的连通图形一定可以一笔画出．画时必须以一个奇点作为起点，以另一个奇点为终点；(4)奇点个数超过两个的图形，一定不能一笔画．多笔画问题：我们把不能一笔画成的图，归纳为多笔画．多笔画图形的笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点(n为自然数)，那么这个图一定可以用n笔画成．【例 1】我们把一个图形上与偶数条线相连的点叫做偶点，与奇数条线相连的点叫做奇点．下图中，哪些点是偶点哪些点是奇点【解析】奇点：J D H F偶点：A E B C G I【例 2】判断下列图a、图b、图c能否一笔画．【解析】图a能，因为有2个奇点，图b不能，因为图形不是连通的，图c能，因为因为图中全是奇点【例 3】下面图形能不能一笔画成若果能，应该怎样画【解析】图1能因为图中全是偶点，图2能因为图中全是偶点，图3不能因为有4个奇点．【例 4】下面的图形，哪些能一笔画出哪些不能一笔画出【解析】第1个能，2、3不能【例 5】下图中不能一笔画成，请你在下图中添加最少的线段，将其改成一笔画的图形，并画出路线图．【解析】不能一笔画出，因为图中有E H G F四个奇点，连结EH就可以使图形一笔画出．【例 6】下图中的线段表示小路，请你仔细观察，认真思考，能够不重复的爬遍小路的是甲蚂蚁还是乙蚂蚁该怎样爬【解析】要想不重复爬出，需要图形能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以应该从奇点出发才能一笔画出图形，所以甲蚂蚁能够．【例 7】能否用剪刀从左下图中一次连续剪下三个正方形和两个三角形【解析】可以．【例 8】下图是儿童乐园的道路平面图，要使游客走遍每条路并且不重复，那么出、入口应设在哪里【解析】要想不重复，需要路线能一笔画出，由于图中有两个奇点，所以入口和出口应该分别放在两个奇点出，即F和I点．【例 9】邮递员叔叔向11个地点送信一次信，不走重复路，怎样走最合适【解析】不走重复路，一笔能画出路线图，图中有2个奇点，应该从奇点处出发，下面有一种参考路线：4-1-2-5-8-9-6-【例 10】观察下面的图，看各至少用几笔画成【解析】图(1)有8个奇点，所以要4笔画出，图(2)有12个奇点，所以要一笔画出，图(3)能一笔画出．【例 11】判断下列图形能否一笔画．若能，请给出一种画法；若不能，请加一条线或去一条线，将其改成可一笔画的图形．【解析】图(1)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，连结BD，或者去掉BF都可以使图形能一笔画出．图(2)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉KL，或者BK都可以使图形能一笔画出．图(3)不能一笔画出，因为图中有4个奇点，去掉AB可以使图形能一笔画出．一个K(K＞1)笔画最少要添加几条连线才能变成一笔画呢我们知道K笔画有2K个奇点，如果在任意两个奇点之间添加一条连线，那么这两个奇点同时变成了偶点．如左下图中的B，C两个奇点在右下图中都变成了偶点．所以只要在K笔画的2K个奇点间添加(K-1)笔就可以使奇点数目减少为2个，从而变成一笔画．【例 12】18世纪的哥尼斯堡城是一座美丽的城市，在这座城市中有一条布勒格尔河横贯城区，这条河有两条支流在城市中心汇合，汇合处有一座小岛A和一座半岛D，人们在这里建了一座公园，公园中有七座桥把河两岸和两个小岛连接起来(如图a)．如果游人要一次走过这七座桥，而且对每座桥只许走一次，问如何走才能成功【解析】欧拉解决这个问题的方法非常巧妙．他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线．这样，一个实际问题就转化为一个几何图形(如下图)能否一笔画出的问题了．而图B中有4个奇点显然不能一笔画出．【巩固】如下图所示，两条河流的交汇处有两个岛，有七座桥连接这两个岛及河岸．问：一个散步者能否一次不重复地走遍这七座桥【解析】能【例 13】右图是某展览厅的平面图，它由五个展室组成，任两展室之间都有门相通，整个展览厅还有一个进口和一个出口，问游人能否一次不重复地穿过所有的门，并且从入口进，从出口出【解析】将图形中的6个区域看成6个点，每个门看成连结他们的线段，显然6个点都是偶点，所以有人能一次不重复的走过所有的门．【巩固】右图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走【解析】不能【例 14】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米【解析】8个定点都是奇点，所以至少需要4笔．多画长和高能保证总路程最长，为A－B－G－H－A－D－C－F－E－D总长为6×4＋5×4 ＋4×1＝48分米．【巩固】一只木箱的长、宽、高分别为5，4，3厘米(见右图)，有一只甲虫从A点出发，沿棱爬行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多能爬行多少厘米【解析】最多34厘米【例 15】如图是某餐厅的平面图，共有五个小厅，相邻两厅之间有门相通，并且设有入口．请问你能否从入口进入一次不重复地穿过所有的门．如果可以，请指明穿行路线，如果不能，应关闭哪个门就可以办到【解析】可以将图中的五个小厅以及厅外的部分都抽象成点，为方便解题，给它们分别编号．这时，连通厅与厅之间的门就相当于各点之间的连线．于是题目中餐厅的平面图就抽象成为一个连通的图形，求穿形路线的问题就转化成一笔画的问题．在抽象出的图形中，我们可以找到四个奇点，即①、④、③和厅外，所以图形不能一笔画出也就是说，从入口进入不可能一次不重复的穿过所有的门．但根据一笔画问题的知识，只要关闭门，把③、④变为偶点，就可以办到，可行路线如下图：B【例 16】在3×3的方阵中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B 点，不许走重复路，他最多能走多少米【解析】这道题大多数同学都采用试画的方法，实际上可以用一笔画原理求解．首先，图中有8 个奇点，在8 个奇点之间至少要去掉4 条线段，才能使这8 个奇点变成偶点；其次，从A点出发到B 点，A，B 两点必须是奇点，现在A，B 都是偶点，必须在与A，B 连接的线段中各去掉1 条线段，使A，B 成为奇点．所以至少要去掉6 条线段，也就是最多能走1800 米，走法如图【例 17】一个邮递员投递信件要走的街道如右图所示，图中的数字表示各条街道的千米数，他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．怎样走才能使所走的行程最短全程多少千米【解析】图中共有8 个奇点，必须在8 个奇点间添加4 条线，才能消除所有奇点，成为能从邮局出发最后返回邮局的一笔画．在距离最近的两个奇点间添加一条连线，如左下图中虚线所示，共添加4 条连线，这4 条连线表示要重复走的路，显然，这样重复走的路程最短，全程30 千米．走法参考右下图(走法不唯一)．。

一笔画(奥数)

一笔画【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。

2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。

（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。

3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。

（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。

（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。

（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

【题目】1 判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。

2 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3 判断下面图形能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？A4下面图形能不能一笔画成？这什么？5 如图是一个大型花池中小路的平面图，你能否不重复地一次走完所有的小路？进出口应设在什么地方？6 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。

7．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。

8．下图中的线段代表小路，请小朋友想一想，能够不重复地爬遍小路的甲蚂蚁还是乙蚂蚁？该怎么爬？9．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？10．下图是一个公园的平面图，应怎样走才能使游客走通每条路而不重复，设计一条最佳路线。

11 一个公园的平面图如下，请你设计好入口、出口，并给出一条浏览路线，要求走遍每一条路且不重复。

12．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。

13．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？14．黑色的鱼与白色的鱼所能游动的河道如下图所示。

黑色的鱼在A点位置，白色的鱼在B点位置。

哪条鱼能不重复地游遍所有的河道？15．能用一根铁丝弯成下面的图形吗？16．一个邮递员投递信件要走的街道如图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？17．一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？18．你能用一笔画成4条线段把下图的9个点都连起来吗？19．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？20．如图，在一个六面体的顶点A和B处各有一只蜗牛，它们比赛看谁能不重复地爬遍每一棱线到达C点。