倒立摆实验指导书

第一章背景介绍

倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论教学和科研中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。

控制理论在当前的工程技术界，主要是如何面向工程实际、面向工程应用的问题。一项工程的实施也存在一种可行性的试验问题，用一套较好的、较完备的试验设备，将其理论及方法进行有效的检验，倒立摆可为此提供一个从控制理论通往实践的桥梁。在教学过程中，不但使学生具有扎实的理论基础，还应掌握如何把理论知识应用到一个复杂的实际系统中，进一步达到提高教学质量的目的。

在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性。倒立摆系统作为一个控制装置，结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定。倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等多种理论和方法，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性。

用状态反馈的方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，它的局限性式显而易见的。只要偏离平衡位置较远，系统就成了非线性系统，状态反馈就难以控制。实际上，用线性化模型进行极点配置求得的状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调出来的，这个调出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。这就是说，满足稳定极点配置的状态反馈阵很多，而能使倒立摆稳定竖立的状态反馈阵只有很少的一个范围，这个范围要花大量的时间去寻找。

第二章预备知识

一级倒立摆动力学方程的建立

由于状态反馈要求被控系统是一个线性系统，而倒立摆系统本身是一个非线性的系统，因此用状态反馈来控制倒立摆系统首先要将这个非线性系统近似成为一个线性系统。

在忽略了空气流动和各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。

图一

M 小车质量

m 摆杆质量

b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）

下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直分析的分量。

x

b

P

P

图 二

应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下：

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

N x b F x M -'-=''

由摆杆水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

)sin (22

θl x dt d m N +=

① θθθθsin )(cos 2'-''+''=ml ml x m N

合并可得：

F ml x b x m M ='-''+'+''+]sin )(cos [)(2θθθθ ②

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

)cos (22

θl dt

d m mg P =- ]cos )(sin [2θθθθ'+''-=-ml mg P

合并得到力矩平衡方程如下： θθθ''=--I Nl Pl cos sin

③ 方程中φπθ+=，当φ与1（单位是弧度）相比很小时，可以进行近似处理：

1cos -=θ、φθ-=sin 、0)(

2=dt

d θ，用u 来代替被控对象的输入力F ，线性化两个运动方程（即将上述等式带入②和③）如下： ⎩⎨⎧'

'=-''+=''-'+''+x ml mgl ml I u ml x b x m M φφφ)()(2 ④

1．传递函数

对方程组④进行拉普拉斯变换，得到：

⎪⎩⎪⎨⎧=Φ-Φ+=Φ-++22222)()()()()()()()()(s

s mlX s mgl s s ml I s U s s ml s s bX s s X m M ⑤ 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

由于输出为角度φ，求解方程组⑤的第二个方程，可以得到：

)(]([)(22s s

g ml ml I s X Φ-+= 把上式带入方程组⑤的第二个方程，得到输入到输出-摆杆角度的传递函数：

q

bmgl s q mgl m M s q ml I b s s q ml s U s -+-++=Φ)()()()(223 进而得到输入到输出-小车位置的传递函数：

222432()()()()()I ml mgl s X s q q b I ml M m mgl bmgl U s s s s s q q q

+-=+++-- 其中])())([(22ml ml I m M q -++=

2．状态空间方程

设系统的状态方程为

⎩⎨⎧+=+='Du

CX y Bu AX X 方程组④对x ''和φ''求解代数方程，得到解如下：

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++'-='''

='+++'+-='''

='u p ml p m M mgl x p mlb u p ml I p gl m x p b ml I x x x φφφφφ)()(2222 2)(Mml m M I p ++=

整理后得系统状态空间方程：