函数极限与连续性知识点及典例

(3)
如
果
lim
k
C(C
0, k
0),就说是是k阶的
无穷小.
8. 等价无穷小的性质
定理(等价无穷小替换定理)
设 ~ , ~ 且 lim 存在,则 lim lim .
9. 极限的唯一性
定理 若lim f ( x)存在,则极限唯一.
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连续定义
不等式 f ( x) A ,那么常数 A 就叫函数
f ( x) 当 x x0 时的极限 ,记作
lim f ( x) A 或
x x0
f ( x) A(当x x0 )
" "定义 0, 0,使当0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
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lim y 0
x 0
lim
x x0
f (x)
f (x0 )
左右连续
连续的 充要条件
在区间[a,b] 上连续
连续函数的 运算性质
间断点定义
第一类 可跳 去跃 间间 断断 点点
第二类 无振 穷荡 间间 断断 点点
非初等函数 的连续性
初等函数 的连续性
连续函数 的性质
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准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
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6. 两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x
lim sin 1; 某过程
(2) lim(1 1 )x e
x
x
1
lim(1 x) x e
x0
1
lim (1 ) e.
某过程
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无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
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f ( x) g( x), f ( x) g( x), g( x) (g( x0 ) 0) 在点x0处也连续.
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8. 初等wk.baidu.com数的连续性
定理1 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.
定理2 若 lim ( x) a,函数f (u)在点a连续,则有 x x0
3. 极限的性质
定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
(1) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(2) lim[ f ( x) g( x)] A B;
(3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
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2. 单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
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5. 判定极限存在的准则
准则Ⅰ′ 如果当 x U 0 ( x0 , r )(或 x M )时,有 (1) g( x) f ( x) h( x),
(2) lim g( x) A, lim h( x) A,
x x0 ( x)
x x0 ( x)
那末 lim f ( x)存在,且等于 A. (夹逼准则) x x0 ( x)
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第一章 函数极限与连续 习题课
主要内容 典型例题
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• 一、基本要求
– 1、理解函数的概念、了解函数的性质. – 2、理解数列和函数极限的定义；掌握极限的性质、
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数f ( x)在点x0处不连续(或间断),并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
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5. 间断点的分类
(1) 跳跃间断点 如果f ( x)在点x0处左,右极限都
作lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x ) x
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
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★另两种情形:
10. x 情形 : lim f (x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
存在准则，熟练应用极限运算法则求数列和函数极 限。 – 3、了解无穷小与无穷大的定义和性质，掌握等价 无穷小的运算性质。 – 4、掌握函数连续性和间断点，理解连续函数的性 质。
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二、主要内容
（一）极限的概念
（二）连续的概念
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3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
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4. 间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
lim f [( x)] f (a) f [ lim ( x)].
x x0
x x0
定理3 设函数u ( x)在点x x0连续,且( x0 ) u0 , 而函数y f (u)在点u u0连续,则复合函数 y f [( x)]在点x x0也连续.
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定理4 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理5 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间.
9. 闭区间上连续函数的性质
定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值.
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定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
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跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点: 函数在点x0处的左, 右极限都存在.
第
y
y
一
可去型
跳跃型
类
间
断
点
0 x0
x
0
x0
x
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第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限
至少
有
一个
不存
在,
则
称
点x
为
0
函数f
(
x
)的
第二
类间断点.
y
第
二
类
xn a (n ).
" N"定义
0,N 0,使n N时,恒有 xn a .
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定义② 设函数 f ( x) 在点 x0 的某一去心邻域 内有定义，对于任意给定的正数 (不论它多么
小),总存在正数 ,使得当 x 满足不等式
0 x x0 时，对应的函数值 f ( x) 都满足
存在, 但f ( x0
0)
f (x0
0),
则称点x
为函数
0
f ( x)的跳跃间断点.
(2)可去间断点 如果f ( x)在点x0处的极限存在,
但 lim x x0
f (x)
A
f ( x0 ),或f ( x)在点x0处无定
义则称点x0为函数f ( x)的可去间断点.
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7. 无穷小的比较
定义:设,是同一过程中的两个无穷小,且 0.
(1) 如果lim 0,就说是比高阶的无穷小,
记作 o();
(2) 如果 lim C(C 0), 就说与是同阶的无穷小;
特殊地 如果lim 1,则称与是等价的无穷小;
记作 ~ ;
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数列极限
函数极限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大
lim f (x)
两者的 关系
极限存在的 充要条件
左右极限 无穷小的比较
无穷小
lim f ( x) 0
判定极限 存在的准则
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
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1. 极限的定义
定义① 如果对于任意给定的正数 (不论它 多么小),总存在正整数 N ,使得对于n N 时 的一切xn ,不等式 xn a 都成立,那末就称 常数 a 是数列xn 的极限,或者称数列 xn 收敛 于 a ,记为
lim
n
xn
a,
或
定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间 [a, b]
上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) . f (b) 0 ),
那末在开区间(a, b )内至少有函数 f ( x)的一个零
点,即至少有一点x(a x b)，使 f ( x) 0.
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1. 连续的定义
定义 1 设函数 f ( x)在点x 0 的某一邻域内有定义, 如果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数
的增量y 也趋向于零,即
lim y 0
x 0
或
lim [
x 0
f
(
x0
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连
间
断
0
x0
x
点
无穷型
y
0
x
振荡型
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6. 闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
7. 连续性的运算性质
定理 若函数f ( x), g( x)在点x0处连续,则 f (x)
20. x 情形 : lim f (x) A x
0, X 0,使当x X时, 恒有 f ( x) A .
定理 : lim f ( x) A lim f ( x) A且 lim f ( x) A.
x
x
x
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2. 无穷小与无穷大
无穷小: 极限为零的变量称为无穷小.
左极限 0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
( x x0 )
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
lim[cf ( x)] c lim f ( x). 推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
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4. 求极限的常用方法
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 [a, b] 上
连续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) A 及 f (b) B ,
那末，对于 A与B 之间的任意一个数C ，在开区间
f ( x0 0) A.
( x x0 )
定理 : lim x x0
f (x)
A
f (x0
0)
f (x0
0)
A.
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定义③ 设函数 f ( x) 当 x 大于某一正数时有定 义，对于任意给定的正数 (不论它多么小),总存 在正数 X ,使得当 x 满足不等式 x X 时，对应 的函数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) A ,那 么常数 A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限 ,记