人教版数学九年级上 圆中动点问题的解法探解

人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解

一、动点在弦上

1.1圆心与弦上一点构成动线段，求圆的半径

例1、如图1所示，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

分析：

根据前面所学的知识，知道点到直线的距离以垂线段为最短，即当OM与弦AB垂直时，OM 最小，如图2所示，此时，恰好又符合了垂径定理的条件，在直角三角形AOM中，AM=3,OM=4，根据勾股定理，非常轻松地求得圆的半径是5.

解：选A．

1.2 圆心与弦上一点构成动线段，求动线段的范围

例2、如图1所示，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5

分析：

点M在弦AB上移动时，线段OM的长度是这样变化的，当与点A重合时，OM最长，等于圆的半径5，向B运动时，逐渐变小，当点M运动到如图8所示的位置时，OM的值达到最小值，根据垂径定理，易知道此时的最小值是3，接着再继续运动，线段OM的长度就逐渐增大，当与点B重合时，又变成最大，等于圆的半径5，

这样，线段OM的变化范围是：3≤OM≤5，根据我们所确定的范围，就比较轻松的找出答案来了．

解：选A．

二、动点在弧上

2.1动点在弧上求周长的最大值

例3、如图3所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）

A． 15 B． 20 C．15+．15+

分析：

连接AP，BP，

则四边形的周长为：AC+CB+BP+AP．

由于弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，

所以，AC=CB=BP=5，

因此，四边形的最大值就有AP 的值来决定，显然当点P 与点D 重合时，AP 有最大值． 同学们可以利用勾股定理求得这个最大值．

在直角三角形APB 中， AP==+22BP AB =+225552,

所以，四边形的最大值为15+52．

解：选C ．

2.2动点在弧上，求角的度数

例4、如图5所示，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧AB 上

不同于点B 的任意一点，则∠BPC= 度．

分析：

（1）确定所求角的属性

根据图形知道，∠BPC 是一个圆周角，其所对的弧是BC 弧.

(2)确定圆周角所对的圆心角

BC 弧所对的圆心角是∠BOC ，即∠BPC 、∠BOC 构成同弧上的圆周角和圆心角．

（3）求出圆心角的度数

根据正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，我们就得到∠BOC=90°．

（4）根据同弧上圆周角与圆心角的关系，求圆周角

圆周角等于圆心角的一半，∠BPC=2

1∠BOC ， 所以，∠BPC=45°．

解：∠BPC=45°．

三、动点在半圆上，用图像刻画距离与时间的函数关系

例5、如图6所示，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿BO AB OA --弧的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）

分析：

在这里，起点是O ，此时，点O 与点P 重合，且此时OP=0，所以，在函数的图像上就表现为图像一定要经过原点，这样，我们就可以排除A 选项；

运动中的第一个拐点是点A，在OA段上运动时，OP是逐渐增大的，当点P与点A重合时，达到最大，等于圆的的半径，所以，在图像上的表现为上升趋势；

在第一个拐点A，与第二个拐点B之间运动时，即在弧AB上运动，根据同圆的半径相等，知道OP的长一直是等于圆的半径的，所以，在图像上的表现为水平直线；这样，就可以排除B、D两个选项了；

第二个拐点是点B，在BO段上运动时， OP是逐渐减小的，所以，在图像上的表现为下降趋势；根据分析，只有C是符合题意的．

解：选C．