人教版数学九年级上 圆中动点问题的解法探解
圆的动点专题讲解
圆的动点专题讲解一、教材分析动点问题在初中数学中虽然没有编入课本，但却是习题中的常见形式。
也是初中学生学习数学中的一大难点。
涉及到的题目类型也很多，而与圆有关的动点问题是仅次于二次函数动点问题的一部分，因此，解决这类动点问题，找出合理的方法和规律，就显得特别重要了。
二教学目标知识与技能：1、掌握解动点问题的方法2、熟练运用线圆相切、圆圆相切的判定条件来判断它们的位置关系。
过程与方法：1、利用运动的特征帮助探索圆的移动距离2、数形结合、方程思想的运用情感态度价值观：通过动手操作、合作交流，探索证明等活动，培养学生的团队合作精神，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学重难点：教学重点：根据动点中的移动距离，找出等量列方程。
教学难点：1、两物同时运动时的距离变化2、移动题型中的分类讨论四、说教学方法：为了让学生能够更加直观形象的理解动点问题，本课准备采取动手操作加学生讨论交流的方法进行，并辅助以多媒体课件教学，准备教具如下：1 如图，点A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB，∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP=15°，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD 的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．【分析】（1）因为∠CBO=45，B(-3,0）∴△BOC是等腰直角三角形，∴OC=OB，∴C（0,3）（2）当∠BCP=15°时，有2种情况，点P在点B的左侧和右侧，在左侧时，∠PCO=30°，右侧时，∠PCO=60°，根据OC=3可以求出OP的长度，则PQ=OQ+OP 可以求出t值（3）若⊙P与四边形的边或所在直线相切，则可知⊙P与AB边不可能相切，只有3种情况⊙P与BC边相切时，切点为C，即PC⊥BC，根据等腰直角三角形可以求出OP的长度及PQ长⊙P与DC相切时，切点是C，PC⊥DC，∵OC⊥DC，∴点P与点O重合⊙与AD相切时，切点为A，及PA=PC，设OP=m，则AP=PC=5-M 根据直角三角形POC列方程可解出m的值，即可知道PQ的长度2如图1，在矩形ABCD中，AB＝20 cm，BC＝4 cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4 cm / s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1 cm / s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．(1) t为何值时，四边形APQD为矩形？(2) 如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2 cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？分析：1）四边形APQD为矩形，必须为平行四边形，只需要AP=DQ即可2）Q点始终位于边CD上，但是P点分别位于边AB, 边BC，边CD上，特别是P 点在边CD上有两种情形，所以一共有4种情形，答案不一定有4个，必须根据题目的条件求解。
(人教版)2020年九年级数学 第13讲 动点问题探究—几何图形中的动点问题教案
动点问题探究——几何图形中的动点问题知识点图形的平移、图形的旋转、图形的翻折、动点问题的函数图像教学目标会列出函数或方程等解决图形的动点问题教学重点会解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学难点会利用函数及方程解决图形的平移、旋转、翻折等问题教学过程一、课堂导入动点所产生的函数及方程问题在初中数学中占有相当的比重，在全国各地的中考数学试卷中占到10%到20%的比重。
主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．二、复习预习1. 平移，是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。
平移不改变图形的形状和大小。
图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等。
2. 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴。
3. 在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
三、知识讲解考点1 单点运动及双点运动问题关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图。
解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量，用含未知数的代数式去表示所需的线段，根据题意中隐含的条件借助相似等方式构造方程或函数表达式。
考点2 图形运动问题图形的运动包括图形的平移、旋转、翻折等，图形在运动过程中，对应线段、对应角不变，以三角形、四边形的运动是常见的一种题型。
这里需注意：平移、旋转、翻折都改变了图形的位置，不改变图形的形状和大小。
九上 圆 动点、暗动点、最值问题 拔高提优 知识点+例题+练习 (分类全面)
3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°, AD＝13cm，BC＝16cm，CD ＝5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2 cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．（1）求⊙O的直径；4（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积．（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（2）s=2t+26T=3分之19S=3分之116（3）PQ=16-tH=43t-16T=4-根号14或 T=4+根号14相切，说明理由。
O ADBCE F二、最值问题1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D 是平面内的一个动点，且AD=4，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 ． 2分之3,2分之72、如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CA 、CB 分别相交于点P 、Q ，则PQ 长的最小值为 ．13分之603、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC=10，D 是BC 的中点，点E 在AB 边上运动（点E 不与点A 重合），过A 、D 、E 三点作⊙O ，⊙O 交AC 于另一点F ，在此运动变化的过程中，线段EF 长度的最小值为 ．2倍跟24、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点．若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为．10.55、如图，在Rt△AOB中，OA=OB=5，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．2倍根号26、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．247、如图，90MON ∠=︒ , Rt ABC ∆的顶点,A B 分别在,OM ON 上，90ACB ∠=︒，点A 从点O 出发沿射线OM 运动，同时点B 从点O 出发沿射线ON 运动，连接OC .若AB = 10，则OC 长的最大值是 .58、如图，定长弦CD 在以AB 为直径的⊙O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），M 是CD 的中点，过点C 作CP ⊥AB 于点P ，若CD=3，AB=10，则PM 的最大值是 ．49、如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，点E 、F 分别为AD 、DC 边上的点，且 EF=4，点G 为EF 的中点，点P 为BC 上一动点，则PA+PG 的最小值为___________ 410、在平面直角坐标系中，M（3，4），P是以M为圆心，2为半径的⊙M上一动点，A（-1，0）、B（1，0），连接PA、PB，则PA2+PB2最大值是 .100P（x,y）PA2=(X+1)2+y2PB2=(x-1)2+y2PA2+PB2 =2（x2+y2）+2x2+y2最大值为72=4911、在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ//AB时，求PQ的长度；根号6（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．2分之3倍根号3PQ2=OQ2-OP2OP最小，PQ最大12、如图，圆O的半径为1，A，P，B，C是圆O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断三角形ABC的形状：；等边（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；PA+PB=PC （3）当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．中点，根号313、如图，已知圆O的直径AB=12cm，AC是圆O的弦，过点C作圆O的切线交BA 的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当三角形ABQ与三角形ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．3分之5π3分之13π3分之23π三、暗动点、隐圆1、如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上的两个动点，点C 是线段PQ 的中点，且PQ=4.则动点C 运动形成的路径长是___.π2、已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B 、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是 ． 2（分之根号3+1）a3．如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM 、ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）AA 、21B 、5C 、1455D 、524、如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30CAB ∠=︒，1BC =，点D 是斜边AB 上的一个动点(不与点A 重合)，AED ∆为等边三角形.过D 点作DE 的垂线，F 为垂线上任意一点，G 为EF 的中点，则线段CG 长的最小值是 . 2分之35、如图，E 是正方形ABCD 的边AD 上的动点，过点A 作AH BE ⊥于点H . 若正方形的边长为4，则线段DH 的最小值是多少? 2分之根号5-26、如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上的两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于H ．已知正方形ABCD 的边长为4cm ，解决下列问题： （1）求证：BE ⊥AG ；（2）求线段DH 的长度的最小值．2分之根号5-27、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________根号5-18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC=2，∠BAC=30°，求线段PM 的最大值39、如图,以y轴上一点M为圆心作M,分别与坐标轴交于点A,B,C,其中A(0,3),B(1,0),动点P在劣弧BC上由点B运动到C,过点B作BQ⊥AP于点Q,求垂足Q在此过程中经过的路径。
人教版九年级数学上册中考《动点问题》
F
E
改 一变类为三角a厘形米？/（秒，按经角的过
(P)
(P)
D (Q)
3大秒小后分，类P、）Q分别到达E、
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似， (F) C 综上:当a=2或6或12时,
试求a的值.
△BEF与△APQ相似
开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,⊙Q从点C
开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果⊙P和⊙Q分别从点A、
C同时出发,当其中一个圆心到达D点时,另一圆也随之停止
运动.设运动时间为t（秒）. （2）如果⊙P和⊙Q半径都是2厘米,那么当t为何值时
,⊙P和⊙Q相外切?
20
D
QC
4
A
B
P
当t=4秒、20秒、28秒时20，⊙P和⊙Q相外切
A
的等边三角形，质点P从点A沿AB—BD作
匀速运动，质点Q从点D同时出发沿DC— 3a Q
CB—BA作匀速运动.源自3a（12）如果质问点题（P、1Q）运中 B F
的 动质的点速度P、分Q分别是别同4厘时米沿/
原 秒、路5返厘回米，/秒质点，请P的说速出 度 经不过变12，秒质后点△QAP的Q速 是度哪 3a
防风暴指挥中心发现在O处的热带风暴中心正以100 千米/时的速度沿北偏东30°的OC方向运动，风暴中 心周围200千米内要受影响，现知在O处正北方向320 千米有一城市A，你能否帮指挥中心预测一下：A市 受影响吗？若受影响，受影响的时间为多长 ？
A
C
O
中考专题之——
动态问题探究（一）
例１如图，边长为10cm的正方形ABCD,有一点P 从A出发沿A→B→C→D作匀速运动。求△ADP面 积y与点P移动的距离x之间的函数关系式。
九年级数学动点问题课件
当PB=PC时
∴t=3或11或7+ 4 3 或 4 3 /3 +7 时 △PBC为等腰三角形
探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程
1.如图：已知 ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°
（3）当t＞7时，是否存在某一时刻t,使得线段
DP过线段BC的三等分点？ 解决动点问题
D
C
的好助手：
E
必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。
收获一：化动为静
收获二：分类讨论
收获三：数形结合
收获四：构建函数模型、方程模型
3、（2009中考）如图在边长为2cm的正方形ABCD中， 点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接 PB、PQ,则 △ＰＢＱ 周长的最小值是-----cm (结果不取近 似值）
∴t=7，∴当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。
t
┌
E
F┐
3t
5.如图(1):在梯形ABCD中: AD=BC=5cm, AB=4cm, CD=10cm,BE∥AD。 如图(2):若整个△BEC从点E以1cm/s的速度沿射线CD平移，同时，
点P从点D出发，以1cm/s的速度沿DA向点A运动，时间为t（0＜t≤4）
A
D
P
B
Q
C
1t
3t
26
4(1)解：
要使四边形PQCD为平行四边形，只要QC=PD
∴3t=24-t
∴t=6，
∴当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形
24 1t
3t
26
4.2)解：
由题意，只要PQ=CD，则四边形PQCD为等腰梯形
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F:
人教版九年级上圆中常见最值问题解法探索
圆中常见最值问题解法探索最值问题成为中考的典型考题，也是各章创新考题之一.下面就把圆中常见的最值问题归纳一下，供学习时借鉴.一、直径最大弦型最大值模型1. 最值的源体是圆的弦例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ．解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=21AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°．因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大值为最大MN =225．所以应该填．点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键.2.动点到定弦的最大值例2（2019•广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ．解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，所以OP=OA=6，所以OM=23OA ＝23×6＝33，所以PM=OP+OM=6+33，所以点P 到AC 距离的最大值是6+33，所以答案为6+33．点评：圆上动点到定弦距离的最大值就是垂直平分线弦的直径的两个端点到弦的距离，这是垂径定理的应用，也是直径是圆中最大的弦的应用.此法也是用于在拱形中计算最值. 跟踪专练（2019年杭州）如图3，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D ，连接OA 。
人教版数学九年级圆上的动态问题探析
人教版数学九年级圆上的动态问题探析动态问题依然是中考数学的重量级的题型。
是体现学生创造性解题能力的代表。
也是学生综合数学素质的体现。
下面就谈一谈圆中的动态问题以及解答的策略，供同学们学习时参考。
一 动点在圆的直径上，探求线段和的最小值例1 如图1所示，MN 是半径为1的⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN 弧的中点，P 是直径MN 上一动点，则PA ＋PB 的最小值为( ) (A)22 (B) 2 (C)1 (D)2分析： 要求求出线段和的最小值，关键是要明白当点P 运动到何位置时才能存在最小值。
这个问题实际上就是一个对称性作图问题。
具体的解答过程如下：过点A 作AC ⊥MN 交圆O 于点C ，连接CB 交MN 于点P ，则线段BC 就是PA+PB 的最小值。
如图2所示，连接OB ，OC ，因为∠AMN ＝30°，所以AN 弧的度数为60°。
因为B 为AN 弧的中点，所以∠BON ＝30°。
因为AC ⊥MN ，MN 是圆的直径，所以AN 弧等于CN 弧，所以CN 弧的度数为为60°。
所以∠CON ＝60°。
所以∠BOC ＝90°。
在直角三角形BOC 中，OC=OB=1，所以BC=2211+=2。
解：选B 。
点评：利用对称性确定出线段和最小位置是解题的关键所在。
只要确定好了，求就变得简单多了。
二 动点圆上走，探求三角形面积最小值例2 如图3，已知A 、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C 的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于点E ，则△ABE 面积的最小值是A ．2B ．1C ．222- D ．22-分析： 确定好点D 运动到何时位置时，点E 到直线AB 的距离最短，是解题的关键。
原因是：线段AB 是一个定值，所以三角形ABE 的面积大小就只取决于点E 到AB 的距离了。
初中数学动点问题的分类和解题思路探究
２０２３年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀初中数学动点问题的分类和解题思路探究◉江苏省扬州大学㊀秦海燕㊀㊀摘要:动点问题因涉及的知识点较多,题目类型复杂,综合性较强,解题规律不易寻找,成为了初中数学的重点和难点问题．本文中针对动点问题涉及的知识点以及主要的解题方法进行阐述,具体介绍了三种动点问题类型,详细讲解了运用二次函数的性质分析解答㊁借助熟悉的图形进行求解㊁通过作图的方式寻找特殊位置求解的三种解题方法,同时结合例题进行分析说明．关键词:动点问题;初中数学;数形结合;解题方法１引言动点问题是初中数学中的一类常见题型,综合性较强,是初中数学中的重点和难点问题．动点问题涉及的知识点广泛,包括较为简单的数轴问题,以及有一定难度的求几何线段的长度㊁几何图形的存在性㊁面积的最值㊁函数的综合类题型等．因此,有不少学生对其产生畏惧和逃避心理．动点问题的难点在于寻找未知量与已知量之间的联系,涉及到分类讨论㊁函数㊁数形结合等数学思想．因此,需要厘清知识脉络,了解知识点之间的联系,实现熟练掌握并能够优化动点问题解题思路的目的．２动点问题涉及的主要知识点(１)两点之间线段最短㊁垂线段最短;(２)数轴㊁绝对值;(３)特殊三角形性质㊁相似三角形的性质;(４)特殊四边形性质,如平行四边形㊁菱形㊁正方形㊁长方形㊁梯形等判定定理和性质定理,圆的性质;(５)二次函数的性质．３动点问题常见基础模型图１模型一:如图１所示,直线l 的两侧分别有A ,B 两点,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 的值最小．针对这个模型,可直接连接A ,B 两点,此时线段A B 与直线l 必定相交于一点,这个点正是我们要找的点P [１]．图２模型二:如图２所示,直线l 的同侧分别有A ,B 两点,在直线l 上找一点P ,使得P A －P B 的值最大．在这个模型中,直接连接A ,B 两点,将线段A B 延长与直线l 的交点,就是所求的点P [１]．图３模型三:如图３所示,直线l 的同侧分别有A ,B 两点,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 的值最小．这个模型是最常见的一类,需要作点A (或者点B )关于直线l 的对称点,将同侧转化为异侧,即转化为模型一,利用两点之间线段最短进行求解．图４模型四:如图４所示,点P 是øA O B 内部的一点,M ,N 分别是边O A ,O B 上的动点,求由P ,M ,N 三点构成的әP MN 的周长最小值．针对这个模型,分别作点P 关于边O A ,O B 的对称点P ᶄ,P ᵡ,连接P ᶄP ᵡ,则P ᶄP ᵡ与边O A ,O B 的交点就是所求的M ,N ,此时әP MN 的周长最小．以上四种模型是动点问题中最基础㊁最重要的模型,在不同的题目中即使是再多几个动点,其本质都是相通的,即两点之间线段最短㊁三角形三边关系定理㊁轴对称等这些几何知识的综合．４几种常见的动点问题类型４．１点在多边形上运动初中数学中的特殊几何图形有等腰三角形㊁等边三角形㊁直角三角形㊁平行四边形㊁菱形㊁矩形等,当动点问题以这些几何图形为载体时,题目的难度将会上升．这时就要综合分析题目中变量与不变量,求出运动变量与已知量之间的函数关系,用变化的眼光对问题进行深入分析,探求动点在某一位置时是否可以形成某一特殊图形,从而进行解答．４．２点在圆上运动在初中数学中,圆的知识也是很重要的一部分．由１８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年３月下半月㊀㊀㊀于圆的特殊性,当动点在圆上或圆内运动时,会涉及到求最大(小)值的问题．(１)求圆上一点P 到圆内(外)一点A 距离的最大(小)值．设圆心到点A 的距离为d ．当点A 在圆的内部时,P Am a x＝r ＋d ,P A m i n ＝r －d ;当点A 在圆的外部时,P A m a x ＝r ＋d ,P A m i n ＝d －r ．(２)求圆上一点A 到圆的相离直线的距离D 的最大(小)值．过圆心作相离直线的垂线与圆相交于两点．设圆心到直线的距离为d ,则D m a x ＝d ＋r ,D m i n ＝d －r ．以上两类是圆中求最值问题最常见的类型,涉及的知识点主要是 三角形三边关系定理 ．很多关于圆定点动的题目设计都是以这两个模型为基础,因此需要牢固掌握．４．３点在函数图象上运动初中阶段主要学习了一次函数㊁二次函数㊁反比例函数,对应的函数图象分别是直线㊁抛物线㊁双曲线．在中考压轴题中经常出现函数类综合题,主要类型有:点在抛物线上运动,求线段㊁三角形面积的最值;函数图象上是否存在一点,使该点与其他点能够形成直角三角形㊁菱形㊁正方形等特殊图形;寻找函数图象上某一动点,能够与其他已知点形成的三角形与已知三角形全等或相似[２]．５几种常见的解题策略５．１运用二次函数的性质分析解答二次函数是初中阶段最重要的函数之一,利用二次函数的性质求解最值问题应用广泛．遇到动点问题中求最值时,可以根据题干的问题情境设出相关参数,结合相似三角形的性质㊁线段的比例关系㊁勾股定理等知识,建立二次函数关系,利用二次函数的性质求出最值．在求解过程中一定要关注自变量的取值范围[３]．图５例１㊀如图５所示,抛物线y ＝－１２x ２＋mx ＋n 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴交x 轴于点D ．已知A (－１,０),C (０,２),E 是线段B C上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ,当四边形C D B F 的面积最大时,点E 的坐标为．解析:四边形C D B F 的面积等于әC D B 的面积与әB C F 的面积之和,因为әC D B 的面积为定值,所以当四边形C D B F 的面积最大时,即әB C F 的面积最大．设出点E 的坐标,用点E 的坐标表示出әB C F 的面积,进而求出әB C F 面积最大时点E 的坐标．图６在解题过程中需要作出辅助线,如图６,过点E 作E G 垂直x 轴于点G ,交抛物线于点F ,连接C F ,B F ．由题意可得抛物线解析式为y ＝－１２x ２＋３２x ＋２,直线B C 的解析式为y ＝－１２x ＋２．由点E 在线段B C 上,设其坐标为(x ,－１２x ＋２)(０＜x ＜３),则点F 的坐标设为(x ,－１２x ２＋３２x ＋２),求得E F ＝－１２x ２＋３２x ＋２－(－１２x ＋２)＝－１２x ２＋２x ．由铅垂法,得S әB C F ＝１２F E O B ＝－１２(x －２)２＋２．由二次函数的性质可知E 的坐标为(２,１)时,әB C F 面积最大,即四边形C D B F 的面积最大．此题将四边形分割为两个三角形,将求四边形面积最大值转化为求三角形面积最大值．通过设出点的坐标,结合图形将三角形的面积表示出来,利用二次函数的性质,得出最终答案．５．２利用熟悉的图形进行求解几何题目中的动点问题,要根据题目的条件,将动态问题转化为静态知识,即画出动点在某个特殊位置时对应的几何图形,将动态过程反应在所画的图形中,然后进行细致分析,进而发现解题的关键要素．图７例２㊀如图７所示,在矩形O AH C 中,O C ＝８,O A ＝１２,B 为边C H 中点,连接A B ．动点M 从点O 出发沿O A 边向点A 运动,动点N 从点A 出发沿A B 边向点B 运动,两个动点同时出发,速度都是每秒１个单位长度,连接C M ,C N ,MN ．设运动时间为t s (０＜t ＜１０)．则t ＝时,әC MN 为直角三角形．解析:әC MN 是直角三角形时,有三种情况,一是øC MN ＝９０ʎ,二是øMN C ＝９０ʎ,三是øM C N ＝９０ʎ．然后进行分类讨论求出t 的值．图８如图８所示,过点N 作O A 的垂线,交O A 于点F ,交C H 于点E ．可以证明әB E N ʐәB H A ,从而有B N A B ＝E NAH,即２８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年３月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀１０－t １０＝E N ８,可得E N ＝４(１０－t )５,进而F N ＝４５t ．题目要求әC MN 是直角三角形,并没有说明哪个角是直角,因此需要进行分类讨论．①当øC MN ＝９０ʎ时,根据勾股定理可求得A F ＝３５t ,从而得到M F ＝１２－８５t ．通过证明әC O M ʐәM F N ,所以O C M F ＝O M F N ,带入即可求出t ＝７２．②当øMN C ＝９０ʎ时,通过证明øMN F ＝øE C N ,可得әC E N ʐәN F M ,所以C E F N ＝E NM F ,代入求得t ＝４１ʃ２４１４．根据题目中t 的取值范围为０＜t ＜１０,所以t ＝４１－２４１４．③当øM C N ＝９０ʎ时,与题目条件不符,因此不存在．此题通过对图形进行分析,利用勾股定理以及相似三角形的性质求解．动点在运动过程中会因为位置不同而呈现出不同的图形,因此要分情况进行讨论,在每一段运动过程中,分析总结出不同的线段数量关系,进而求解答案．５．３在题目中寻找特殊位置在一些题目中,动点在运动的过程中会在某一位置形成特殊图形,从而能建立特殊的数量关系,如相似㊁勾股定理等．因此可以把特殊问题一般化,复杂问题简单化,动静结合,寻找出内在联系,进而求解题目．另外,通过作图的方式,直观呈现动点的运动轨迹,同时结合学过的图形进行对照,将未知的运动转化为熟悉的知识．通过作图,有条理地掌握动点的运动过程和图形发生的相应变化,深刻理解 以不变应万变 的含义,分析运动过程中的隐含点,找到解题突破口．图９例３㊀如图９所示,已知以点A (０,１),C (１,０)为顶点的әAB C中,øB A C ＝６０ʎ,øA C B ＝９０ʎ．坐标系内有一动点P (不与A 重合),以P ,B ,C 为顶点的三角形和әA B C 全等,则点P 坐标为．解析:题目中有含３０ʎ角的直角三角形,可以根据已知数据先求出A C ,A B ,B C 的长;点P 是动点,以P ,B ,C 为顶点的三角形就是不确定的,因此需要进行分类讨论,分类作图,寻找关键信息．①如图１０所示,通过作图,得出әA B C ɸәP B C ,此时很容易就可得出点P 的坐标为(２,－１)．这里其实就是作了点A 关于B C 的对称点,得到点P 的位置,过P 作P M 垂直x 轴于点M ,证明әA O C ɸәP M C ,从而得出点P 坐标．图１０㊀㊀㊀图１１②如图１１所示,过点C 作C P ʊA B 且C P ＝A B ,连接B P ,作P M 垂直x 轴于点M ．分析得øP C M ＝１５ʎ,构造等腰三角形P C N ,即在C M 上找一点N ,使øP NM ＝３０ʎ,则C N ＝P N ．设P M ＝x ,则C N ＝P N ＝２x ,MN ＝３x ．在R t әC P M 中,根据勾股定理求出x 的值,进而求出点P 的坐标为(２＋３,３－１)．该情况运用了平行四边形的知识,再构造等腰三角形进行解答．图１２③在②的基础上作出点P 关于B C 的对称点即如图１２所示．分析得出øP C M ＝７５ʎ,øC P M ＝１５ʎ,同理根据勾股定理即可求出C M ＝３－１,P M ＝３＋１,即得到点P 的坐标为(３,３＋１)．本题通过作图刻画动点P 与已知点B ,C 构成的直角三角形,由于直角的不确定性,进行分类讨论．利用对称点分别构造出直角三角形,体现了数形结合的思想,运用勾股定理求出点P 的坐标．６总结解决初中数学动点问题需要扎实的数学基础,在做题时要认真观察题目中条件的内在联系,通过动静结合的方法,将动态过程转化为静态的㊁熟悉的知识．同时,需要勤加练习含有动点问题的题目,采用数形结合的思考方法,对不同类型的题目熟练解答,然后进行知识的归纳和梳理,不断总结反思,找到适合自己的解题方法,化难为易．参考文献:[１]赵玉叶．初中数学中 含有一个动点的线段和(差)的最值问题 的解题策略[J ]．数学教学通讯,２０２１(３２):８６Ｇ８８．[２]刘艳萍．动中求静,静中求解 初中数学动点问题探究[J ]．中学数学,２０２０(１８):５９Ｇ６０,６７．[３]刘振龙．初中数学动点问题策略研究[J ]．数理化解题研究,２０２１(３５):４０Ｇ４１．Z３８Copyright ©博看网. 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九年级上册圆的最值题型整理与寻找隐圆和动点路径长方法归纳
授课类型 T 能力( 圆最值 )授课日期及时段2019年教学内容（比一比！）动点运动轨迹——圆或圆弧型动点轨迹为定圆，利用三点共线方法指导：1．当动点的轨迹是定圆时，可利用“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径和，最小值为定点到圆心的距离与半径差”性质求解．2．试着观察“动点与其他定点连结的线段长是否为‘定值’或动点与两定点构成的角是否为直角”，这是常见判断动点轨迹是圆的条件。
Ⅰ 动点到定点的距离不变．．．．．．．．．．，则点的轨迹是圆或圆弧； 1.如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 2,点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 边上任意一点，将△BEF 沿 EF 所在直线折叠得到△PEF ，连接 AP ，则 CP 的最小值________，AP 的最小值是_________.【变式 1】在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝2cm ，BC ＝3cm ，现有一根长为 2cm 的木棒 EF 紧贴着矩形的边（即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒 EF 的中点 P 在运动过程中所围成的图形的面积_______cm 2.T 能力——圆最值检测定位【变式2】如图，一根木棒AB 长为2a，斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，与地面的倾斜角∠ABO＝60°，若木棒沿直线NO 下滑，且 B 端沿直线OM 向右滑行，则木棒中点P 也随之运动，已知 A 端下滑到A′时，AA′)a，则木棒中点P 随之运动到P′所经过的路线长_______________．＝(323．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，P 是AB 边上的动点（不与点B 重合），将△BCP 沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A 长度的最小值是________．4．如图，在□ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4，CD＝3 3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C 长度的最小值是________．5．如图，在四边形ABCD 中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝_________°，∠DBC＝____________°．定边对定角模型定弦定角当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆弧．见．直角→找．斜边（定长）→想．直径→定．外心→现．“圆”形；见．定角→找．对边（定长）→想．周角→转．心角→现．“圆”形；【一般解题步骤】①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。
初三数学圆动点问题
初三数学圆动点问题
1.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=13cm,BC=5cm,AB为圆O的直径，动点P沿AD从点A开始向点D以1m/s,的速度运动，动点Q沿CB从点C开始向点B以2cm/s的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动。
是否存在某一时刻t,使直线PQ与圆O相切？若存在，求出t的值，若不存在，说明理由。
1.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=32，点D为BA延长线上的
一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ADC的外接圆.
（1）求BC的长；(特殊三角形)
（2）求⊙O的半径.（垂径定理+圆周角+圆心角）
1.▲存在．
若PQ与圆相切，设切点为G．（如图二）
作PH⊥BC于H．
∴PG=PA=t．
QG=QB=16-2t，QH=QB-BH=（16-2t）一t=16-3t
PQ=QB+AP=16一t．
在Rt△PQH中，PQ2=PH2+QH2，即（16一t）2=16+（16-3t）2∴t2-8t+2=0．
解得t
1=4+，t
2
=4- ，
∵0≤t≤8，
∴当t=4± 时，PQ与圆相切．。
初三动点问题的解题技巧
初三数学动点问题归类及解题技巧如下：
初中常见的动点问题：1.求最值问题。
2.动点构成特殊图形问题。
一、求最值问题
初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。
利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短。
求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
以“搬点移线”为主要方法，利用轴对称性质求解决几何图形中一些线段和最小值问题。
如何实现“搬点移线”：1）确定被“搬”的点；2）确定被“移”的线。
二、动点构成特殊图形
问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置）。
分析图形变化过程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决。
动点构成特殊图形解题方法：1、把握运动变化的形式及过程；思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量。
2、先确定特定图形中动点的位置，画出符合题意的图形——化动为静。
3、根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含t的代数式表示出来。
4、根据所求，利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。
动点问题圆(含答案)初三数学(2020年整理).pptx
∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+ ，
∴4t1+ ﹣3t1=2，
9
∴t1=2﹣ ，
②当直线 AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为 t2， 记第一次相切时为位置一，点 O1，A1，C1 共线时位置二，第二次相切时为位置 三，
由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴ +2﹣（2﹣ ）=t2﹣（ +2），
5
分析如下： 因为长方形的长宽分别为 3，2，那么直接取圆直径最大为 2，则半径最 大为 1．
（2） 如图 1，方案二中连接 O1，O2，过 O1 作 O1E⊥AB 于 E， 方案三中，过点 O 分别作 AB，BF 的垂线，交于 M，N，此时 M，N 恰 为⊙O 与 AB，BF 的切点． 方案二： 设半径为 r， 在 Rt△O1O2E 中， ∵O1O2=2r，O1E=BC=2，O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r， ∴（2r）2=22+（3﹣2r）2， 解得 r= ．
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴ = ∴ =
，无解，
当△OEQ∽△MFP 时，∴ = ， =
，解得，t=2± ，
所以当 t=
，t= ，t=2± 时，使得以点 Q、O、E 为顶点的三角形与以点 P、M、F
为顶点的三角形相似． 【点评】：本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是把圆的知识与全等三角形与相似三角 形相结合找出线段关系．
分别相切于点 M 和点 N，点 F 从点 M 出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，
连接 PF，过点 PE⊥PF 交 y 轴于点 E，设点 F 运动的时间是 t 秒（t＞0）
人教版初中数学中考 讲本 专项突破六 动态几何探究问题 类型一 “动点”问题探究
（1）若点G在AC上.求证：FA＝FG； （2）若EF＝FG，当EF过AC中点时，求AG的长； （3）已知FG＝8，设点E运动的路程为s.当s满足什么条件时，以G，C，H为顶 点的三角形与△BEF相似（包括全等）？
（1）解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA. `∵四边形EFGH是矩形， ∴FG∥BC，∴∠AGF＝∠BCA， ∴∠AGF＝∠FAG，∴FA＝FG.
（1）线段AD的长为 2 ；
（2）用含t的代数式表示线段BP的长；
（3）当点A'在△ABC内部时，求t的取值范围； （4）当∠AA'D与∠B相等时，直接写出t的值.
（3）如图1，当点A'落在AB上时，DP⊥AB. 图1
由（1）知AD＝2.由题意，得AP＝t.
如图2，当点A'落在边BC上时，DP⊥AC，点A'与点C重合. 图2
由题意，得PB＝AQ＝t cm， ∴AP＝AB－PB＝（5－t）cm. ∵∠B＝∠B，∠PNB＝∠ACB＝90°，
解：（3）存在. 如图，过点C作CM⊥AD于点M，
∴∠CMD＝90°.
∵PQ∥CD，∴∠AQP＝∠MDC. 由（2）知∠BAD＝90°，∴∠PAQ＝∠CMD， ∴△APQ∽△MCD，
图3
∴s＝BE＝4x＝1；
Ⅱ.若点H在点C的右侧，s＋8＞10，即2＜s≤8，如图4，
图4 ∴CH＝BE＋EH－BC＝（4x＋8）－10＝4x－2.
②当点E在线段MC上时，8＜s≤10，如图5.
图5 由（2）①知EF＝6，由（3）①知EH＝8. 由题意，得BE＝s， ∴BH＝BE＋EH＝s＋8，∴CH＝BH－BC＝s－2. ∵四边形EFGH为矩形，∴GH＝EF＝6.
初中数学动点问题解析与思路探讨
初中数学动点问题解析与思路探讨摘要：新课改背景下，提高学生的解题能力，培养数学思维已经成为教学工作中的一大重点。
数学这门课程对于很多学生来说难度都很高，尤其是在解决高难度问题时，学生既要有扎实的基础功底，又要能运用个人思维灵活解决这些高难度问题。
本文将以初中数学中的动点问题为例，探讨解决相关问题的思路与方法。
关键词：初中数学；动点问题；解题思路前言：初中阶段有几个知识点具有比较高的难度，比如中考压轴题中经常出现的动点问题，这种问题需要学生发挥较强的逻辑思维和发散性思维，既考验基础知识的扎实掌握，又需要学生能运用个人数学素养大胆尝试各种解题思路。
也正是由于动点问题的高难度，教师有必要就此问题带领学生探讨动点问题解题技巧。
一、先分析动点问题的考察方向初中阶段动点问题属于难度比较高的一类问题，一般来说，这种题目广泛出现在毕业年级的日常练习题或中考压轴题中，综合分析近年来的中考试题，教师就会发现动点问题一直是考察中的难点，得分率不高，学生对这类问题也缺乏必要的做题信心。
在这种背景下，教师首先要带着学生认清动点问题的真面目，只有把握了动点问题的本质，学生才会明白这种问题并非洪水猛兽，只要细心作答，认真分析就可以做出来。
首先，教师要带领学生分析动点问题的若干种考察方向，就要让学生了解动点问题，一共有几种出题题型。
一般来讲，初中阶段学生常用的动点类问题有以下三种，其一是函数图像动点问题，一般是将函数图像和动点问题相结合，在一个函数图像上存在动点，引起未知量和已知量之间的某种变化关系，让学生根据这种变化关系探究函数关系式。
其二是动态几何型题目，主要是将动点和几何图形结合起来，问题的背景是一个特殊图形，考察的问题也多半和特殊图形有关，在这类问题中，等腰三角形直角三角形等图形出现的频率较高，一般也是让求三角形的周长或面积的最值，所以又称为最值问题。
其三是双动点问题，这是最近几年中考数学压轴题中的常考题型，双动点问题。
中考难点,圆的动点问题求解策略
中考难点，圆的动点问题求解策略近年来，初中数学动点问题在中考中出现的考点形式层出不穷，动点问题在中考数学中出现的频率非常之高，难度也非常的大。
很多考生看到动点相关问题就怕，不知道从何下手解决。
因此，很多人就常常会问动点问题会考哪些内容？怎么考等类似的问题。
为什么初中数学的动点问题对同学们来讲这么难呢？首先，动点问题本身就是一个数学难点，其次，考试中的动点问题往往结合了几何、函数等方面的知识，更是加深了题目难度。
因此，很多同学在中考复习阶段的时候会着重复习数学动点问题。
动点问题之所以会难，主要在于它能把很多知识内容结合在一起，形成不同类型的动点综合问题，如函数动点综合问题、代数动点综合问题、函数与几何动点综合问题、几何动点综合问题等，而几何动点综合问题细分的话，又可以分出四边形动点综合问题、三角形动点综合问题、与圆相关的动点综合问题等。
受疫情影响，不少初三毕业班老师担心，由于复习、预热不足，今年的中考、高考总体成绩可能会受到一定影响。
为了能更好帮助大家战胜动点类综合问题，在中考数学中取得优异的成绩，今天我们来看与圆相关的动点综合问题，期待同学加练一下。
1．（2020•泸县模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝8，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解析】作OH⊥AB于H，连接OA、OD，如图，2．（2019秋•安徽期末）如图，已知⊙O的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，BP＝2，CD是⊙O的一条弦，CD＝6，以PC，PD为相邻两边作平行四边形PCED，当C、D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值为（）A．24 B．22 C．20 D．18【解析】：连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．∵四边形PCED是平行四边形，∴EK＝PK，CK＝DK，CD＝6，∴OK⊥CD，在Rt△COK中，∵OC＝5，CK＝3，∴由勾股定理可求得OK＝4，∵OP＝OB+PB＝7，∴7﹣4≤PK≤7+4，∴3≤PK≤11，∴PK的最小值为3，最大值为11，∴PE的最大值为22，故选：B．3．如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2√3，以AB为直径作⊙M，点C是优弧AB上的一个动点，连结AC、BC分别交⊙M于点D、E，则线段CD的最大值为（）A．√3 B．2 C．2√3 -2 D．4-2√3【解析】：如图：连接OM，OB，OA，BD．则在Rt△OMB中，∵OB＝2，MB＝√3，∴OM＝1．∵OB＝2，∴∠OBM＝30°．∴∠MOB＝60°．连接OA．则∠AOB＝120°．∴∠C＝1/2∠AOB＝60°．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝1/2BC，∴当BC取最大值时，CD最大．如图2，当BC是直径时，BC最大，此时点A、D重合．即BC＝4．∴CD最大＝2．故选：B．4．（2019•黄埔区一模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD ＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．【解析】：方法一、延长CP交⊙O于K，连接DK，则PM＝1/2DK，当DK过O时，DK最大值为8，PM＝1/2DK＝4，方法二、连接CO，MO，∵∠CPO＝∠CMO＝90°，∴C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径（E为圆心），连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM＝CO ＝4时PM最大．即PM max＝4，故答案为：4．5．（2017•姑苏区校级二模）如图，已知线段AB＝4，C为线段AB上的一个动点（不与点A，B重合），分别以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为．【解析】：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝4，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝2，∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝2×tan30°＝2√3/3．故答案为2√3/3．6．（2020•武汉模拟）如图，在⊙O中，弦AB＝4√3，点C是弧AB上的动点（不为A，B），且∠ACB＝120°，则CA+CB的最大值为．【解析】：取优弧AB中点P，连接PC，PA，PB，延长CA至M，使MA＝CB，连接PM．∵弧PA＝弧PB，∴PA＝PB，∵∠APB+∠ACB＝180°，∠ACB＝120°，∴∠APB＝60°，∴△APB是等边三角形，∴∠ACP＝∠ABP＝60°，∵∠PAM+∠PAC＝180°，∠PAC+∠PBC＝180°，∴∠PAM＝∠PBC，∵AM＝BC，AP＝BP，∴△MAP≌△CBP（SAS），∴PM＝PC，∵∠PCM＝60°∴△MPC为等边三角形，∴PC＝CM．∴CA+CB＝PC，过点P作PD⊥AB连接OB，∵△PAB是等边三角形，∴PD过圆心O，∠BPD＝30°，∴OB＝4，当PC为圆的直径时，CA+CB的最大值为8．故答案为8．7．（2020•泸县模拟）如图，已知直线y＝4/3x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B 两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，当△PAB的面积最大时，点P的坐标为．【解析】：过C作CM⊥AB于M，交x轴于E，连接AC，MC的延长线交⊙C 于D，作DN⊥x轴于N，∵直线y＝4/3x﹣3与x轴、y轴分别交于A，B两点，∴A（4，0），B（0，﹣3），8．（2019秋•兴国县期末）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，半径为1的⊙P的圆心P从点A（4，m）出发以每秒√2√个单位长度的速度沿射线AC的方向运动，设点P运动的时间为t秒，则当t ＝秒时，⊙P与坐标轴相切．【解析】：设⊙P与坐标轴的切点为D，∵直线y＝x﹣2与x轴、y轴分别交于点B、C，点A（4，m），∴x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝2，x＝4时，y＝2，∴A（4，2），B（2，0），C（0，﹣2），∴AB＝2√2，AC＝2√2，OB＝OC＝2，∴△OBC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°，①当⊙P与x轴相切时，∵点D是切点，⊙P的半径是1，∴PD⊥x轴，PD＝1，∴△BDP是等腰直角三角形，∴BD＝PD＝1，PB＝√2，∴AP＝AB﹣PB＝√2，∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝1；②如图，⊙P与x轴和y轴都相切时，∵PB＝√2，∴AP＝AB+PB＝3√2，∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝3；③当点P只与y轴相切时，∵PB＝√2，∴AP＝AC+PB＝5√2，∵点P的速度为每秒√2个单位长度，∴t＝5．综上所述，则当t＝1或3或5秒时，⊙P与坐标轴相切，故答案为：1或3或5．9．（2019秋•锡山区期末）【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，点P 是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是；【问题探究】如图2所示，AB、AC、弧BC是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°．新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB、AC路边分别建物资分站点E、F，即分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）．可求得△PEF周长的最小值为km；【拓展应用】如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D 是OB的中点，出口E在弧AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．请问：在弧AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．【解析】【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，此时△PAB的面积最大值，∴S△P'AB＝1/2×10×5＝25，故答案为：25；【问题探究】如图2，假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P'、P''，连接PP'，分别交AB、AC于点E、F，连接PE，PF，由对称性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一条直线上，∴P'P''即为最短距离，其长度取决于PA的长度，作出弧BC的圆心O，连接AO，与弧BC交于P，P点即为使PA最短的点，∵AB＝6，AC＝3km，∠BAC＝60°，∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3√3，∵BC所对的圆心角为60°，∴△OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3√3，∴∠ABO＝90°，AO＝3√7，PA＝3√7﹣3√3，∵∠P'AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP''，∴∠P'AP''＝2∠ABC＝120°，P'A＝AP''，∴∠AP'E＝∠AP''F＝30°，∵P'P''＝2P'A•cos∠AP'E＝√3P'A＝3√21﹣9，∴△PEF周长的最小值为3√21﹣9；【拓展应用】①如图3﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，∴OC＝8，OD＝6，在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），如图3﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，10．（2020•福清市模拟）如图，B，E是⊙O上的两个定点，A为优弧BE上的动点，过点B作BC⊥AB交射线AE于点C，过点C作CF⊥BC，点D在CF 上，且∠EBD＝∠A．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）已知∠A＝30°．①若BE＝3，求BD的长；②当O，C两点间的距离最短时，判断A，B，C，D四点所组成的四边形的形状，并说明理由．【解析】（1）证明：如图1，作直径BG，连接GE，则∠GEB＝90°，∴∠G+∠GBE＝90°，∵∠A＝∠EBD，∠A＝∠G，∴∠EBD＝∠G，∴∠EBD+∠GBE＝90°，∴∠GBD＝90°，∴BD⊥OB，∴BD与⊙O相切；（2）解：如图2，连接AG，∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，由（1）知∠GBD＝90°，∴∠GBD＝∠ABC，∴∠GBA＝∠CBD，又∵∠GAB＝∠DCB＝90°，∴△BCD∽△BAG，∴∠OMB＝60°，∴MC＝MB，∴∠MDC＝∠MCD＝30°＝∠A，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∴AB∥CD，∴∠A+∠ACD＝180°，∴∠BDC+∠ACD＝180°，∴AC∥BD，∴四边形ABCD为平行四边形．11．（2019秋•工业园区期末）如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P 以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．（1）AB＝cm，点Q的运动速度为cm/s；（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC 相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．①当点O在QD上时，求t的值；②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．【解析】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象及性质，切线的性质等，综合性强，解题关键是能够根据题意画出图形并能够用含字线母的代数式正确的将相关线段的长表示出来等．（1）设点Q的运动速度为a，则由图②可看出，当运动时间为5s时，△PDQ 有最大面积450，即此时点Q到达点B处，∵AP＝6t，∴S△PDQ＝1/2（60﹣6×5）×5a＝450，∴a＝6，∴AB＝5a＝30，故答案为：30，5；（2）①如图1，设AB，CD的中点分别为E，F，当点O在QD上时，QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，∵OF∥QC且点F是DC的中点，∴OF＝1/2QC，即4t＝1/2（90﹣6t），解得，t＝45/7；②设AB，CD的中点分别为E，F，⊙O与AD，BC的切点分别为N，G，过点Q作QH⊥AD于H，如图2﹣1，当⊙O第一次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，∵QP＝√2QH，∴150﹣20t＝30√2，∴t＝(15-3√2)/2；如图2﹣2，当⊙O第二次与PQ相切于点M时，∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，∴HP＝QH＝AB＝30，∴△QHP是等腰直角三角形，∵CG＝DN＝OF＝4t，∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，方法总结：动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解
人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解—、动点在弦上1.1圆心与弦上一点构成动线段，求圆的半径例1、如图1所示，C ）O 的弦AB=6, M 是AB 上任意一点,且OM 最小值为4,则00的半 分析：根据前而所学的知识，知道点到直线的距离以垂线段为最短，即当OM 与弦AB 垂直时，OM 最小，如图2所示，此时，恰好又符合了垂径左理的条件，在直角三角形AoM 中，AM 二3, 001, 根据勾股定理，非常轻松地求得圆的半径是5.解：选A.1.2圆心与弦上一点构成动线段，求动线段的范围例2、如图1所示，OO 的半径为5,弦AB=8, M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（）A. 2B. 3C. 4D. 5分析： 点M 在弦AB 上移动时，线段OM 的长度是这样变化的，当与点A 重合时，OM 最长，等 于圆的半径5,向B 运动时，逐渐变小，当点M 运动到如图8所示的位苣时，OM 的值达 到最小值，根据垂径左理，易知道此时的最小值是3,接着再继续运动，线段OM 的长度就 逐渐增大，当与点B 重合时，又变成最大，等于圆的半径5,这样，线段OiVI 的变化范围是：3WOMW5,根据我们所确左的范羽，就比较轻松的找出答 案来了.解：选A.二、动点在弧上2.1动点在弧上求周长的最大值例3、如图3所示，弧AD 是以等边三角形ABC-边AB 为半径的四分之一圆周，P 为弧AD 上任意一点，若AC 二5,则四边形ACBP 周长的最大值是（）分析： 连接AP, BP, 则四边形的周长为：AC+CB-BP+AP.A. 15B. 20C. 15+5√2D. 15+5√5由于弧AD是以等边三角形ABC 一边AB为半径的四分之一圆周，所以，AC=CB=BP=5,因此，四边形的最大值就有AP的值来决定，显然当点P与点D重合时，AP有最大值. 同学们可以利用勾股定理求得这个最大值.在直角三角形APB中，AP=√AB2 +BP2= √52 +52=5√2 ,所以，四边形的最大值为15+5v z2 .解:选C.2.2动点在弧上，求角的度数例4、如图5所示，正方形ABCD是C）O的内接正方形，点P是劣弧AB上不同于点B的任意一点，则ZBPC= ______________ 度.分析：（1）确定所求角的属性根据图形知道，ZBPC是一个圆周角，其所对的弧是BC弧.（2）确定圆周角所对的圆心角BC弧所对的圆心角是ZBOC,即ZBPC、ZBoC构成同弧上的圆周角和圆心角.（3）求出圆心角的度数根据正方形ABCD是C）O的内接正方形，我们就得到ZBOC=90c .（4）根据同弧上圆周角与圆心角的关系，求圆周角圆周角等于圆心角的一半，ZBPC==ZBOC,2所以，ZBPC=45° .解:ZBPC=45° .三、动点在半圆上，用图像刻画距离与时间的函数关系例5、如图6所示，AB是半圆O的直径，点P从点O岀发，沿04 —弧O的路径运动一周.设OP为s ,运动时间为/，则下列图形能大致地刻画S与f之间关系的是（）分析：在这里，起点是0,此时，点O与点P重合，且此时OP=O,所以，在函数的图像上就表现为图像一左要经过原点，这样，我们就可以排除A选项：运动中的第一个拐点是点A,在OA段上运动时，OP是逐渐增大的，当点P与点A重合时，达到最大，等于圆的的半径，所以，在图像上的表现为上升趋势；在第一个拐点A,与第二个拐点B之间运动时，即在弧AB上运动，根据同圆的半径相等，知道OP的长一直是等于圆的半径的，所以，在图像上的表现为水平直线；这样，就可以排除B、D 两个选项了：第二个拐点是点B,在BO段上运动时，OP是逐渐减小的，所以，在图像上的表现为下降趋势：根据分析，只有C是符合题意的.解：选C.。
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人教版数学九年级上圆中动点问题的解法探解
一、动点在弦上
1.1圆心与弦上一点构成动线段，求圆的半径
例1、如图1所示，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
分析：
根据前面所学的知识，知道点到直线的距离以垂线段为最短，即当OM与弦AB垂直时，OM 最小，如图2所示，此时，恰好又符合了垂径定理的条件，在直角三角形AOM中，AM=3,OM=4，根据勾股定理，非常轻松地求得圆的半径是5.
解：选A．
1.2 圆心与弦上一点构成动线段，求动线段的范围
例2、如图1所示，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5
分析：
点M在弦AB上移动时，线段OM的长度是这样变化的，当与点A重合时，OM最长，等于圆的半径5，向B运动时，逐渐变小，当点M运动到如图8所示的位置时，OM的值达到最小值，根据垂径定理，易知道此时的最小值是3，接着再继续运动，线段OM的长度就逐渐增大，当与点B重合时，又变成最大，等于圆的半径5，
这样，线段OM的变化范围是：3≤OM≤5，根据我们所确定的范围，就比较轻松的找出答案来了．
解：选A．
二、动点在弧上
2.1动点在弧上求周长的最大值
例3、如图3所示，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD 上任意一点，若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是（）
A． 15 B． 20 C．15+．15+
分析：
连接AP，BP，
则四边形的周长为：AC+CB+BP+AP．
由于弧AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，
所以，AC=CB=BP=5，
因此，四边形的最大值就有AP 的值来决定，显然当点P 与点D 重合时，AP 有最大值． 同学们可以利用勾股定理求得这个最大值．
在直角三角形APB 中， AP==+22BP AB =+225552,
所以，四边形的最大值为15+52．
解：选C ．
2.2动点在弧上，求角的度数
例4、如图5所示，正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是劣弧AB 上
不同于点B 的任意一点，则∠BPC= 度．
分析：
（1）确定所求角的属性
根据图形知道，∠BPC 是一个圆周角，其所对的弧是BC 弧.
(2)确定圆周角所对的圆心角
BC 弧所对的圆心角是∠BOC ，即∠BPC 、∠BOC 构成同弧上的圆周角和圆心角．
（3）求出圆心角的度数
根据正方形ABCD 是⊙O 的内接正方形，我们就得到∠BOC=90°．
（4）根据同弧上圆周角与圆心角的关系，求圆周角
圆周角等于圆心角的一半，∠BPC=2
1∠BOC ， 所以，∠BPC=45°．
解：∠BPC=45°．
三、动点在半圆上，用图像刻画距离与时间的函数关系
例5、如图6所示，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿BO AB OA --弧的路径运动一周．设OP 为s ，运动时间为t ，则下列图形能大致地刻画s 与t 之间关系的是（ ）
分析：
在这里，起点是O ，此时，点O 与点P 重合，且此时OP=0，所以，在函数的图像上就表现为图像一定要经过原点，这样，我们就可以排除A 选项；
运动中的第一个拐点是点A，在OA段上运动时，OP是逐渐增大的，当点P与点A重合时，达到最大，等于圆的的半径，所以，在图像上的表现为上升趋势；
在第一个拐点A，与第二个拐点B之间运动时，即在弧AB上运动，根据同圆的半径相等，知道OP的长一直是等于圆的半径的，所以，在图像上的表现为水平直线；这样，就可以排除B、D两个选项了；
第二个拐点是点B，在BO段上运动时， OP是逐渐减小的，所以，在图像上的表现为下降趋势；根据分析，只有C是符合题意的．
解：选C．。