量子力学第四版卷一习题答案
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第一章
量子力学的诞生
设质量为m 的粒子在谐振子势222
1
)(x m x V ω=中运动,用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示:利用 )]([2,,2,1,
x V E m p n nh x d p -===⋅⎰
Λ )(x V
解:能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ (1) 其中a 由下式决定:222
1
)(a m x V E a x ω===。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =
, (2)
a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件
h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p a
a
a
a
==⋅=-=-=⋅⎰⎰
⎰+-+-222222222)21(22πωπ
ωωω
得ω
ωπm n
m nh a η22
=
=
(3) 代入(2),解出 Λη,3,2,1,
==n n E n ω (4)
积分公式:
c a
u a u a u du u a ++-=-⎰
arcsin 2222
22
2
设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向,把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x 方向,有
()⎰==⋅Λ,3,2,1,
x x x
n h n dx p
即 h n a p x x =⋅2 (a 2:一来一回为一个周期)
a h n p x x 2/=∴,
同理可得, b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,
Λ,3,2,1,,=z y x n n n
粒子能量
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n m
p p p m E z
y x z y x n n n z
y x ηπ Λ,3,2,1,,=z y x n n n
设一个平面转子的转动惯量为I ,求能量的可能取值。 提示:利用
,,2,1,20
Λ==⎰
n nh d p π
ϕϕ ϕp 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2
ϕ=。
解:平面转子的转角(角位移)记为ϕ。
它的角动量.
ϕϕI p =(广义动量),ϕp 是运动惯量。按量子化条件
Λ,3,2,1,220
===⎰
m mh p dx p ϕ
π
ϕπ
mh p =∴
ϕ,
因而平面转子的能量
I m I p E m 2/2/222
η==ϕ,
Λ,3,2,1=m
有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度是v ,用高斯制单位,洛伦兹与向心力平衡条件是:
r
mv c Bev 2
= (1) 又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角ϕ
nh mrv mrvd pdq ===⎰⎰πϕπ
220
(2)
即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=
mc
n
Be mv 2212η=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能
=c B r ev c c *****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v 是电荷的旋转频率, r
v
v π2=,代入前式得
运动电荷的磁势能=mc
n
Be 2η (符号是正的) 点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mc
n
Be 2η ( 3,2,1=n )
,未找到答案
(1)试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
α
α2
2
1
1
sin sin n n =
(2)光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难: 如认为光是粒子,则其运动遵守最小作用量原理⎰=0pdl δ 认为mv p =则⎰=0pdl δ这将导得下述折
射定律
α
α1
3
3
1
sin sin n n =
这明显违反实验事实,即使考虑相对论效应,则对自由粒子:2
c Ev
p =仍就成立,E 是粒子能量,从一种媒质到另一种媒质E 仍不变,仍有⎰=0pdl δ
,你怎样解决矛盾
(解)甲法:光线在同一均匀媒质中依直线传播,因此自定点A 到定点B 的路径是两段直线:光程
QB AQ I n n 21+=
设A ,B 到界面距离是a,b(都是常量)有
αα2211sec sec b a I n n +=
又AB 沿界面的投影c 也是常数,因而
α1
,α
2
存在约束条件:
c btg atg =+αα21 (2)
求(1)的变分,而将
α1
,α
2
看作能独立变化的,有以下极值条件
0sec sec 22221111=+=ααααααδd tg b tg a I n d n (3)
再求(2)的变分 0sec sec 222
112
==+c d b a d δαααα
(3)与(4)消去α1
d
和α
2
d 得
α
α2
2
1
1
sin sin n n = (5)
[乙法]见同一图,取x 为变分参数,取0为原点,则有: )(222221
x c b x a I n n
-+++=
求此式变分,令之为零,有: 0)
()(2
22
2
21
=-+--
+=
x c b x
x c x
a x
x I n n δδδ
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v 应等于光波的群速度
v
G
光程原理作0=⎰dl v G
δ
,依前题相速