3.1.2导数的概念

2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
例2 :已 知 函 数y x在x x0处 附 近 有 定 义, 且y'|x x0
1 2
,求x0的 值.
解 :y x0 x x0 ,
y
x0 x
x0
(
x0 x
x0 )( x0 x
解：y f (1 x) f (1)
(1 x)2 (1 x) [(1)2 (1)]
( x)2 3 x
平均变化率 y ( x)2 3 x
x
x
x3
f / (1) lim y lim ( x 3) 3
x0 x
x0
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1.(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3 的瞬时速度.
x0
y x
x0 )
x
x
x( x0 x x0 )
1
x0 x
lim y lim x0 x x0
. x0
1
x0 x
1, x0 2 x0
由y'|x x0
1 ,得 22
1 x0
1 2
,
x0
1.
练习: 已知y x，求y.
解： y x x x
x
xxx
y
1
x x x x
y lim y lim
解：y f (1 x) f (1) 3(1 x)2 3 6 x 3( x)2
y 6 x 3( x)2 6 3 x
x
x
f / (1) lim y lim (6 3 x) 6
x0 x
x0
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变 化率，并求出在该点处的导数．
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势. 如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
h(t) 4.9t2 6.5t 10
当Δt趋近于0时,平均 速度有什么变化趋势?
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, v 13.149
当△t = – 0.001时, v 13.0951 当△t =0.001时, v 13.1049
当△t = –0.0001时, v 13.09951 当△t =0.0001时, v 13.10049
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
例2：利用导数的定义求函数y | x | ( x 0)的导数.
解： y | x |, 当x 0时, y x,
则 y (x x) x 1,
x
x
当x 0时, y x,
lim y 1; x0 x
y x
(x
x) x
(x)
1,
lim x0
△t = – 0.00001, v 13.099951 △t = 0.00001, v 13.100049
△t = – 0.000001, v 13.0999951△t =0.000001, v 13.1000049
……
……
我们发现,当t趋近于0 时,即无论t从小于2 的一边,
还是从大于2一边趋近于2时, 平均速度都趋近于一个
定值 13.1".
我们称确定值 13.1是 h2 t h2当t趋近于0时的极限.
t
瞬时速度
思考：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t0
t
⑴如何求瞬时速度？
在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极
限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
⑵lim是什么意思？
在其下面的条件下求右面的极限值。
(2)∵Δy＝a(x＋Δx)2＋c－(ax2＋c) ＝2axΔx＋a(Δx)2
∴ΔΔxy＝2ax＋aΔx ∴f′(x)＝limΔx→0(2ax＋aΔx)＝2ax
∴f′(1)＝2a＝2，∴a＝1
例2 将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh时,原油
的温度 单位 :0 C为 f x
（1）求位移增量Δs=s(t+Δt)-s(t)
(2)求平均速度
v s ; t
（3）求极限
lim lim s
s(t t) s(t) .
t x0
x0
t
2由导数的定义可得求导数的一般步骤：
（(21）) 求求平函均数的变增化量率Δy=fyx(x0+Δt)-f(x0)
（3）求极限
f
lim '(x0 )
确定的值 13.1.
从物理的角度看,时间间隔 | t | 无限变小时,平均
速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度.因此, 运动员在
t 2时的瞬时速度是 13.1m / s.
为了表述方便,我们用lim h2 t h2 13.1
t 0
t
表示"当t 2, t 趋势近于0时,平均速度v 趋近于确
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x) f ( x0 );
(2)求平均变化率y f ( x0x) f ( x0 ) ;
x
x
(3)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
解：s f (3 t) f (3) (3 t)2 3 (32 3)
( t)2 6 t
s ( t)2 6 t
t
t
t6
f / (3) lim s lim( t 6) 6
t0 t
t 0
例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数; (2)求函数y=x+1/x在x=2处的导数.
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
litm0ｈｔ ０＋ｔｔ－ｈｔ ０
思考：
１、函数的平均变化率怎么表示？
ｆｘ０＋ｘ－ｆｘ０
ｘ
２、函数ｆｘ在ｘ＝ｘ０处的瞬时变化率怎么表示？
lixm0ｆｘ０＋ｘｘ－ｆｘ０
我们称它为函数y＝f
x
在x＝x
处的导数，
0
记作：f x0 或y x＝x0
即：f
x
0
＝ lim x0
y x
1;
y
1 1
x0 .
x0
练习：(1)求函数 f(x)＝1x在 x＝1 处的导数 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，求 a.
解：(1)∵Δy＝x＋1Δx－x1＝x－x＋ΔΔxx
∴ΔΔxy＝－xx＋1 Δx
∴limΔx→0ΔΔyx＝limΔx→0[－xx＋1 Δx]＝－x12 ∴f′(1)＝－112＝－1
)
lim
x0
f (x0 Δx) x
f (x0 )
.
1. f (x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。
2. f (x0)与x的具体取值无关。 3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度； 在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r 关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率
y x
＝ lim x0
f
x０＋x－f
x
x０
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 Δx) f (x0 ) lim y
x 0
x
x0 x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f (x0 )
或 y |xx0, 即
f
( x0
所以, f '2 lim y lim x 3 3,
x0 x x0
同理可得 f '6 5.
请同学们自己完成具体运算过程.
在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为 3与5. 它说明：
在第2h附近,原油温度大约以30C / h的速率下降; 在6h附近,原油温度大约以50C / h的速率上升.
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时,原油温度
的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f '6. 根据导数的定义, y f 2 x f 2
x
x
2 x2 72 x 15 22 7 2 15
x
4x x2 7x x 3, x
一差、二比、三极限
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数．
(3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
三．典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例1. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数.
3.1.2导数的概念
高二数学 选修1-1
第三章 导数及其应用