2逻辑代数入门基础

第2章逻辑代数基础
2.1 概述
一、算术运算和逻辑运算
在数字电路中,二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且可以表示事物的状态,当两个二进制数码表示两个数值大小时，它们之间可进行数值运算，即算术运算。

当两个二进制数码表示不同逻辑状态时，它们之间的因果关系可进行逻辑运算。

算术运算与逻辑运算有本质的差别,下面重点介绍逻辑运算的各种规则。

二、几个基本概念
1、逻辑状态表示法
一种状态高电位有真是美生 1 0
另一种状态低电位无假非丑死 0 1
2、两种逻辑体制
1 高电位低电位
0 低电位高电位
正逻辑负逻辑
3、高低电平的规定
正逻辑负逻辑
2.2 逻辑代数中的三种基本运算
1、与逻辑（与运算）(逻辑乘)
与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B，C，…）均满足时，事件（Y）才能发生。

表达式为：
Ｙ＝ＡＢＣ
开关A，B串联控制灯泡Y
2、或逻辑（或运算）
或逻辑的定义：当决定事件（Y ）发生的各种条件（A ，B ，C ，…)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y ）就发生。

表达式为：
Ｙ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋…
开关A ，B 并联控制灯泡Y
A 、
B 都断开，灯不亮。

A 断开、B 接通，灯亮。

A 接通、
B 断开，灯亮。

A 、B 都接通，灯亮。

两个开关只要有一个接通，灯就会亮。

逻辑表达式为：
Ｙ＝Ａ+Ｂ
功能表
3（A ）满足时，
开关A 控制灯泡Y
A 断开，灯亮。

A 接通，灯灭。

功 能 表
Ｙ＝Ａ
4
（
（
（
（
1、代入定理：任何一个含有变量A A的位置
都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

这个规则称为代入定理。

例如，已知等式，用函数Y=AC代替等式中的A，根据代入规则，等式仍然成立，即有：
（2）反演定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有
“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，
原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数
Y的反函数Y（或称补函数）。

这个规则称为反演定理。

例如：
（3）对偶定理：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有
“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，
而变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对偶函数。

这个规则称为对偶定理。

例如：
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。

利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。

例如：
注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算的优先顺序进
行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非运算，否则容易出错。

2.5 逻辑函数极其表示方法
2.5.1 逻辑函数
•Y=F(A,B,C,······)
------若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。

输入/输出之间是一种函数关系。

注：在二值逻辑中，
输入/输出都只有两种取值0/1。

逻辑函数常用真值表,表达式,卡诺图, 逻辑图和波形图来表示。

一.逻辑函数一般式
一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示形式。

借助于摩根定律和分配律,可以实现它们之间的相互转换。

一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。

尽管一个逻辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。

二.逻辑函数标准式
1.标准与或式
任何逻辑函数利用互补律和分配律都可表示成标准与或式,例
（1）最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。

3个变量A、B、C可组成8个最小项：
（2）最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。

下标i的确定：把最小项中的原变量记为1，反变量记为0，当变量顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。

3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：
最小项的性质：
①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。

②任意两个不同的最小项的乘积必为0。

③全部最小项的和必为1。

任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式
对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A＋A＝1 和A(B+C)＝AB＋BC来配项展开成最小项表达式。

如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。

将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到反函数的最小项表达式。

2.标准或与式
三、卡诺图
把一组变量的全部最小项,分别以平面图上的小方格表示,使几何上相
邻的小方格所代表的最小项,在逻辑上也相邻,这样得到的图形叫做卡诺图
1、卡诺图的形成
（1）、卡诺图的画法
确保行或列变量取值的顺序要按照循环码排列
2. 卡诺图的特点
卡诺图使最小项的逻辑相邻变成了几何相邻。

（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）,所以,由图可直接观察相邻项,这就是卡诺图的重要特点。

3、逻辑函数的卡诺图
逻辑函数的卡诺图表示法
（1)、己知逻辑函数表达式画卡诺图
与每一个最小项相对应的方格内填入1，其余的方格内填入0。

（2)、己知真值表画卡诺图
己知逻辑函数真值表, 对应于变量取值的每种组合,函数值为1或为0,则在相同变量卡诺图的对应的方格内填1或填0,就得该逻辑函数的卡诺图。

3）、由函数卡诺图列真值表和写标准与或式
由于真值表, 标准与或式, 卡诺图是逻辑函数的不同表达方式,它们之间有着一一对应的关系,相互转换比较简单。

2.6 逻辑函数的化简方法
与或表达式最简的含义是:
(1)乘积项的个数最少;
(2)在满足乘积项个数最少的条件下,每个乘积项中因子的个数也最少。

2.6.1 公式化简法
公式法化简,就是运用逻辑代数的基本公式、定理和规则来化简逻辑函数。

求最简与或表达式。

1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。

若两个乘积项中分别包含同一个因子的原变量和反变量，而其他因子都相同时，则这两项可以合并成一项，并消去互为反变量的因子。

2、吸收法
１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的项。

如果乘积项是另外一个乘积项的因子，则这另外一个乘积项是多余的。

（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝ＡＢ，消去多余的变量。

如果一个乘积项的反是另一个乘积项的因子，则这个因子是多余的。

３、配项法
（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），为某一项配上其所缺的变量，以便用其它方法进行化简。

（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，为某项配上其所能合并的项。

４、消去冗余项法
利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，将冗余项ＢＣ消去。

一. 化简的依据
在卡诺图上,凡几何上相邻的小方格所代表的最小项,在逻辑上也相邻,因而求和时,可反复应用A+A=1的关系进行合并, 相邻2个方格合并,消去不同的一个因子, 相邻4个方格合并,消去不同的2个因子, 相邻8个方格合并,消去不同的3个因子。

一般地讲,相邻2个方格合并,消去不同的n个因子。

二. 化简的步骤
1.以卡诺图表示逻辑函数。

2. 合并相邻的2个小方格,
(1)把逻辑为1的相邻小方格最大限度地画成一个包围圈(方格群);
(2)圈子可重复包围,但每个圈都要有新的方格;
(3)不能漏掉一个方格,如某方格不能与任何方格合并,要单独画一个圈。

3.把每个圈的表达式相加,就得简化后的与或表达式。

例
2.7 具有无关项的逻辑函数极其化简
2.7.1 约束项、任意项和逻辑函数式中的无关项
一.约束项
某些逻辑函数,输入变量的取值存在一定制约关系,这种输入变量的取值所受到的限制,叫做约束
二.任意项
函数可以随意取值（可以为0，也可以为1）或不会出现的变量取值所对应的最小项称为任意项，也叫做约束项或无关项。

约束项与统称为无关项,是否写入函数式无关紧要,在真值表,卡诺图中,用符号“φ”、“×”或“d”表示。

2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
在逻辑函数的化简中，充分利用无关项可以得到更加简单的逻辑表达式，因而其相应的逻辑电路也更简单。

在化简过程中，无关项的取值可视具体情况取0或取1。

具体地讲，如果无关项对化简有利，则取1；如果无关项对化简不利，则取0。

不利用随意项的化简结果为：
利用随意项的化简结果为：
本节小结
逻辑函数的化简有公式法和图形法等。

公式法是利用逻辑代数的公式、定理和规则来对逻辑函数化简，这种方法适用于各种复杂的逻辑函数，但需要熟练地运用公式和定理，且具有一定的运算技巧。

图形法就是利用函数的卡诺图来对逻辑函数化简，这种方法简单直观，容易掌握，但变量太多时卡诺图太复杂，图形法已不适用。

在对逻辑函数化简时，充分利用无关项可以得到十分简单的结果。