二分法求方程的根
matlab二分法求根
matlab二分法求根二分法，也称折半法或者二分查找法，是一种常见的数值计算方法。
它常常用于求解方程的根。
二分法的原理是将有根的某一区间迭代地对半分割，并比较根所在位置与新的子区间的关系，最终缩小到根的区间。
一、方法原理二分法求根的过程可以通过以下步骤来实现：Step 1：选择区间[a, b]，这个区间必须满足f（a）和f（b）异号。
Step 2：将区间[a, b]以中点c划分为两个子区间，即[a, c]和[c, b]。
Step 3：判断f（c）与零的关系，如果f（c）= 0，则c就是方程的根，程序结束。
如果f（c）≠ 0，则分别判断f（c）与f（a）及f（b）的关系，并确定新的子区间。
Step 4：重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求，程序结束。
function [c, k] = bisect(a, b, eps, maxit, f)%输入：参数a，b构成的区间[a, b]，容差eps，最大迭代次数maxit，以及指定的函数f（必须可接受输入变量x）%输出：方程的根c以及迭代次数kfa = f(a);fb = f(b);if fa * fb > 0 %确保a，b两点的函数值异号error('Function has the same signs at endpoints of interval')endfor k = 1:maxit %迭代次数c = (a + b) / 2; %新的中间点c（迭代过程中b-a趋近于精度）fc = f(c);if fc == 0 || (b - a) / 2 < eps %找到根或者达到精度returnendif sign(fc) == sign(fa) %此时f(c)与f(a)同号，说明c与a之间没有根a = c;fa = fc;else %f(c)与f(b)同号，说明c与b之间没有根b = c;fb = fc;endenderror('Maximum number of iterations exceeded')三、使用实例为了说明如何使用二分法求根，考虑以下实例：求解方程f(x) = x³ - 5x - 9在区间[2,4]上的根。
二分法求方程的根
二分法求方程的根二分法是求解函数零点的一种简单而又有效的方法。
它适用于xx、xx、xx等情况下，能够快速找出函数的根，对于计算机程序中的解析和数学问题研究都有很大帮助。
接下来，我们就来介绍一下利用二分法求方程的根。
求解方程的根，首先需要通过一些数学手段，将问题转化为一个函数问题。
假设我们需要求解函数$f(x)=0$的根，其中$x$为实数，我们可以将其转化为$f(x)>0$和$f(x)<0$两种情况的判断。
这样的话，就可以寻找一个区间$[a,b]$，在这个区间内，$f(x)>0$的$x$和$f(x)<0$的$x$广泛地分布在$a$和$b$这两个点的两侧，此时我们就可以运用二分法，在这个区间$[a,b]$内寻找函数$f(x)=0$的根。
在使用二分法之前，要定义好区间$[a,b]$，并进行初始化。
通常情况下，我们可以采用等距离的方式将区间分成$n$份，其中$n$为我们估计的一个比较小的值，但要保证区间内$f(x)>0$和$f(x)<0$的值分别在区间的两侧。
然后在处理过程中，每进行一次迭代，区间长度就会缩短一半，这样可以不断逼近根。
接下来就可以按照下述步骤进行计算：1. 首先，选定区间$[a,b]$，将区间分为$n$份（$n$为自己估计的一个小数），如果$f(a)>0$且$f(b)<0$，则继续下一步骤，否则退出。
2. 对于区间$[a,b]$，将其一分为二，这里我们选定中间点为$c=\dfrac{a+b}{2}$，并对区间左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行讨论。
3. 判断$f(c)>0$还是$f(c)<0$，如果是$f(c)>0$，则根位于左半部分$[a,c]$；如果是$f(c)<0$，则根位于右半部分$[c,b]$。
4. 再次对左半部分$[a,c]$和右半部分$[c,b]$进行二分，不断缩短区间长度，逼近根。
5. 重复执行步骤3和4，直到区间长度小于一定的精度，或者达到迭代的最大次数。
力学中的计算方法(方程求根)
ˆK x
Fixed-Point Iteration ( x K 1 x K ) 2 xK x K 2 x K 1 x K 2
y=x
x0 , x1 g( x0 ), x2 g( x1 ), ˆ 0 , x3 g( x2 ), x ˆ 1 , x4 g( x3 ), x ... ...
0 f ( x*) f ( x0 ) f ( x0 )( x * x0 ) y
x* x0
f ( xk ) x k 1 x k f ( x 线性 /* linear */ k)
f ( x0 ) f ( x0 )
x*
x
x0
只要 f C1，每一步迭代都有 xk x * ， f ’( xk ) 0， 而且 lim k 则 x*就是 f 的根。
1 | x k 1 x k | | x * xk | 1 L
L | x1 x0 | | x * xk | 1 L
k
( k = 1, 2, … )
且存在极限
lim
k
x * x k 1 g x * x * xk
Fixed-Point Iteration
1 | x k 1 x k | ? ④ | x * xk | 1 L | x k 1 x k | | x * x k | | x * x k 1 | | x * x k | L | x * x k | | x k 1 x k | 来 Lk 可用 | x1 x0 | ? ⑤ | x * xk | 1 L 控制收敛精度
Bisection Method
When to stop?
二分法求方程的根
【例5.21】二分法求方程的根。
求方程x3+4x2+x+1=0在[-5，5]之间的近似根，误差为10-4。
若函数有实根，则函数的曲线应和x轴有交点，在根附近的左右区间内，函数的值的符号应当相反。
利用这一原理，逐步缩小区间的范围，保持在区间的两个端点处函数值的符号相反，就可以逐步逼近函数的根。
设f (x)在[a, b]上连续，且f (a) f (b)<0, 找使f (x)=0的点。
如图5-7-2所示。
图5-7-2 二分法示意图二分法的步骤如下：①取区间[a, b]中点x=(a+b)/2。
②若f (x)=0, 即(a+b)/2为方程的根。
③否则，若f (x)与f (a)同号，则变区间为[x，b]；异号，则变区间为[a，x]。
④重复①~③各步，直到取到近似根为止。
#include "stdio.h"#include "math.h"main(){ float a,b,x;float fa,fb,fx;a=-5;b=5;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;do{ x=(a+b)/2;fx=x*x*x+4*x*x+x+1;if(fa*fx<0){ b=x;fb=b*b*b+4*b*b+b+1;}else{ a=x;fa=a*a*a+4*a*a+a+1;}}while(fabs(fa-fb)>1e-4);printf("x=%f\n",(a+b)/2);printf("f(%f)=%f",(a+b)/2,fa);}运行结果：x=-3.806303f(-3.806303)=-0.000059经过多次迭代，当x= -3.806 303时，f(x)的结果为-0.000 059已经接近0，误差小于10- 4数量级。
读者可进行简单的改写，输出每一次的迭代结果。
二分法
练习： 求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根， 取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间 是________． 解 析 ： 设 f(x) ＝ x3 － 2x － 5 ， f(2)<0 ， f(3)>0，f(2.5)>0即f(2)f(2.5)<0，所以 下一个区间是(2,2.5)． 答案：(2,2.5)
2.375 2.5 - + 2.375 2.4375
f(2.375)<0,f(2.5)>0 (2.375,2.5）
f(2.375)<0,f(2.4375)>0 3 (2.375,2.4375)
|2.4375-2.375|=0.0625<0.1
方程的近似解为2.375
二分法概念 二分法定义：对于区间[a,b]上连续不断、且
知识探究
思考2:为了缩小零点所在区间的范围，接下 来应做什么？ 求区间的中点c，并计算f(c)的值
思考3:若f(c)=0说明什么？若f(a)·f(c)<0 或f(c)·f(b)<0 ，则分别说明什么？ 若f(c)=0 ，则c就是函数的零点； 若f(a)·f(c)<0 ，则零点x0∈(a,c)； 若f(c)·f(b)<0 ，则零点x0∈(c,b).
• 每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一 算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左 右，即一两根电线杆附近，要查多少次？ • 据初中所学知识可知只要7次就够了．
二分法举例 求 x2-2x-1=0 的一个正的近似解
（精确度0.1）
2-2x-1 y = x y
2.25 2.375
2.5
a
x* b x
解.
3.计算f(0.5)=-0.625;
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法
二分法、牛顿法、割线法、简易牛顿法二分法是一种简单而常用的求解方程近似解的方法。
其基本思想是将函数的定义域分为两个部分，并通过比较函数在这两个部分的取值来确定方程的解在哪一部分。
然后，再将该部分继续二分，直到找到近似解为止。
牛顿法是一种迭代求解方程根的方法。
它基于函数的局部线性逼近，通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
牛顿法的核心思想是利用函数的导数来不断修正当前的近似解，使得每次迭代都能更接近方程的根。
割线法是一种类似于牛顿法的迭代求解方程根的方法。
它也是基于函数的局部线性逼近，但不需要计算函数的导数。
割线法通过连接两个近似解的割线来估计方程的根，并利用割线与坐标轴的交点作为下一个近似解，不断迭代直到满足精度要求。
简易牛顿法是对牛顿法的一个简化版本。
在简易牛顿法中，不需要每次迭代都计算函数的导数，而是利用两个近似解的函数值来估计导数。
这样可以减少计算量，并在一定程度上提高计算效率。
二分法、牛顿法、割线法和简易牛顿法都是常用的求解方程近似解的方法，它们各自有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程的近似解。
二分法适用于函数在定义域上单调且连续的情况，它的收敛速度较慢但稳定可靠。
牛顿法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度较快但对初值敏感。
割线法适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于二分法和牛顿法之间。
简易牛顿法是对牛顿法的简化，适用于函数在定义域上具有充分光滑的情况，它的收敛速度介于割线法和牛顿法之间。
无论是二分法、牛顿法、割线法还是简易牛顿法，它们的求解过程都可以表示为迭代的形式。
通过不断更新当前的近似解，直到满足精度要求为止。
在每一次迭代中，我们都可以利用函数的信息来修正当前的近似解，使其更接近方程的根。
这种迭代的过程可以通过循环结构来实现，其中迭代的终止条件可以是近似解的精度达到要求或者迭代次数达到一定的限制。
C语言二分法求解方程根的两种方法
C语⾔⼆分法求解⽅程根的两种⽅法本⽂实例为⼤家分享了C语⾔⼆分法求解⽅程根的具体代码，供⼤家参考，具体内容如下对于⼆分法求根，其实和弦截法思想很像，甚⾄更简单。
原理：先看如下的图A,B两个点为跟的⼀个边界，通过⼀直缩⼩跟的边界，从⽽获取跟的值。
（1）知道函数（即⽅程的式⼦），这个好说，题上都有（2）循环的输⼊A,B的横坐标的值，即x1，x2的初值，直到f（x1）与f（x2）的乘积为负数才停⽌。
（必须保证⽅程的跟在（x1，x2）区间）这样的x1，x2的初值才有意义。
（3）令xx=（x1+x2）/2;（即中值），若f(xx)*f(x1)>0此刻证明了x1要被xx替代了，即区间变成了（xx，x2）；。
若f(xx)*f(x2)>0此刻证明了x2要被xx替代了，即区间变成了（x1，xx）；⼤家可以⽤上⾯的图试⼀下就知道了，很好理解的。
（4）那么什么时候结束呢，这就是⼀个精度的问题了，看你把精度设成什么样⼦，最精准的⽅程跟的函数值是0，那么就⽤f（xx）与0⽐较，相差在⾃⼰设置的精度（⼀般是10的-6次⽅，C语⾔中写作：1e-6）以内，则可以把xx近似当做是⽅程的跟。
下⾯⽤代码实现：第⼀种是直接的，第⼆种是可移植性的（即使⽅程改变需要修改的地⽅很少，⽽前者则需要修改很多），第⼆种⽤函数指针实现。
第⼀种：#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;double f(double x){return (x*x*x-3*x*x+3*x-1);}int main(){double x1,x2,xx;//x1,x2代表区间左右边界，xx代表⽅程跟的值do{scanf("%lf%lf",&x1,&x2);}while(f(x1)*f(x2)>0);//保证f(x1)和f(x2)是异号，这样才可以进⾏下⼀步的精准区间，否则，重新输⼊x1，x2的值do{xx=(x1+x2)/2;if(f(xx)*f(x1)>0)x1=xx;elsex2=xx;}while(fabs(f(xx))>=1e-7);//le-6代表1*10的-6次⽅，它的值将影响到跟的准确度的问题printf("%.2lf\n",xx);return 0;}第⼆种：#include <stdio.h>#include <iostream>#include <string.h>#include <math.h>using namespace std;double f(double x){return (x*x*x-3*x*x+3*x-1);}double erfen(double x1,double x2,double (*p)(double))//double (*p)(double)为形参，相当于函数别名{double xx;do{xx=(x1+x2)/2;if((*p)(xx)*(*p)(x1)>0)x1=xx;elsex2=xx;}while(fabs((*p)(xx))>=1e-7);//le-7代表1*10的-6次⽅，它的值将影响到跟的准确度的问题return xx;}int main(){double x1,x2;double f(double);double (*p)(double);p=f;do{scanf("%lf%lf",&x1,&x2);}while((*p)(x1)*(*p)(x2)>0);//保证f(x1)和f(x2)是异号，这样才可以进⾏下⼀步的精准区间，否则，重新输⼊x1，x2的值 printf("%.2lf\n",erfen(x1,x2,f));return 0;}以上就是本⽂的全部内容，希望对⼤家的学习有所帮助，也希望⼤家多多⽀持。
求方程根二分法的收敛阶
求方程根二分法的收敛阶二分法是求解方程根的一种常用方法之一，也是最简单的一种方法。
其原理基于函数的连续性和介值定理。
在给定定义域内，函数f(x)连续且在两个点a和b上取值异号，则存在一个介于a和b之间的解。
二分法的基本思想是将区间[a, b]逐渐缩小，通过求解中点c来不断缩小区间，直到区间的长度小于给定的容差范围。
具体的步骤如下：1.取初始区间[a, b]，计算区间的中点c。
2.计算函数在中点c处的取值f(c)。
3.如果f(c)接近0，则说明c是方程的一个解，算法终止。
4.如果f(c)和f(a)异号，说明解位于[a,c]之间，更新区间为[a,c]，进入下一次迭代。
5.如果f(c)和f(b)异号，说明解位于[c, b]之间，更新区间为[c,b]，进入下一次迭代。
6.重复步骤2至5，直到区间的长度小于给定的容差范围。
二分法的收敛性质是其能快速收敛到方程的根。
具体来说，根据二分法的步骤，每次迭代后，区间的长度都缩小一半。
因此，需要的迭代次数与区间长度的对数成正比。
假设精度要求为ε，初始区间长度为L，则需要的迭代次数为log2(L/ε)。
根据这个特性，可以得出二分法的收敛阶为O(log2(L/ε))。
也就是说，每迭代一次，解的有效数字位数会增加一倍。
下面通过一个具体的例子来说明二分法的收敛性质。
我们考虑方程f(x) = x^2 - 2 = 0的根，在区间[1, 2]上进行求解。
首先，取初始区间为[1, 2]，区间长度为1。
计算区间中点为c = (1+2)/2 = 1.5，计算函数在中点处的取值f(1.5) = 1.5^2 - 2 = 0.25。
由于f(1.5)大于0，说明解位于区间[1, 1.5]之间。
更新区间为[1, 1.5]，继续进行迭代。
下一次迭代中点为c = (1+1.5)/2 = 1.25，计算函数在中点处的取值f(1.25) = 1.25^2 - 2 = -0.4375。
由于f(1.25)小于0，说明解位于区间[1.25, 1.5]之间。
c语言求三次方程的根
c语言求三次方程的根在数学中，三次方程是一个最高次数为3的多项式方程。
常见的三次方程的一般形式为Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0，其中A、B、C和D是给定的常数。
解三次方程是求出满足上述方程的所有值的过程。
在C语言中，我们可以使用牛顿迭代法或者二分法来解决这个问题。
一、牛顿迭代法求解三次方程的根牛顿迭代法是一种非常常用的数值求根方法，它通过不断迭代逼近根的值，直到满足一定的精度要求。
对于已知的三次方程，我们可以通过牛顿迭代法求解其根。
具体步骤如下：1. 初始化一个估计根的值x，通常选择为0或者方程中一个首要项的系数的反数。
2. 使用迭代公式x = x - f(x) / f'(x)来计算新的x值，其中f(x)表示方程的值，f'(x)表示方程的导数。
3. 重复步骤2，直到满足迭代收敛的条件，一般是当x的变化足够小或者f(x)的值足够接近于零。
下面是使用C语言实现牛顿迭代法解三次方程的代码示例：```c#include <stdio.h>#include <math.h>#define EPSILON 0.00001double f(double x, double A, double B, double C, double D) {return A * pow(x, 3) + B * pow(x, 2) + C * x + D;}double derivative(double x, double A, double B, double C) {return 3 * A * pow(x, 2) + 2 * B * x + C;}double newtonRaphson(double x, double A, double B, double C, double D) { double h = f(x, A, B, C, D) / derivative(x, A, B, C);while (fabs(h) >= EPSILON) {h = f(x, A, B, C, D) / derivative(x, A, B, C);x = x - h;}return x;}int main() {double A, B, C, D;printf("Enter the coefficients A, B, C and D: ");scanf("%lf %lf %lf %lf", &A, &B, &C, &D);double initialGuess = -A; // 初始化一个估计根的值double root = newtonRaphson(initialGuess, A, B, C, D);printf("Root: %lf\n", root);return 0;}```二、二分法求解三次方程的根二分法也是一种常用的数值求根方法，它通过不断将区间划分为两段，然后根据函数值的符号来确定根所在的区间，最终逼近根的值。
二分法、试位法,牛顿法求方程的根
二分法、试位法,牛顿法求方程的根二分法、试位法和牛顿法是求解方程根的常用数值方法。
一、二分法二分法是一种简单而有效的数值方法，它通过不断将区间一分为二来逼近方程的根。
它的基本思想是，如果在一个闭区间[a, b]内，函数f(x)在a和b两点的函数值f(a)和f(b)异号，那么函数在[a, b]内至少存在一个根。
算法步骤如下：1.初始化区间[a, b]和误差容限ε。
2.计算区间中点c=(a+b)/2。
3.如果f(c)=0或者(b-a)/2<ε，则停止迭代，c即为近似的根。
4.如果f(c)与f(a)异号，则根在[a, c]内，将b=c，否则根在[c,b]内，将a=c。
5.回到步骤2。
二、试位法试位法也是一种通过逼近来求解方程根的方法。
与二分法不同，试位法通过计算函数在两个点之间的插值点来逼近根。
它的基本思想是，如果在一个闭区间[a, b]内，函数f(x)在两个点a和b之间有一个变号点c，则函数在[a, b]内至少存在一个根。
算法步骤如下：1.初始化区间[a, b]和误差容限ε。
2.计算函数在区间[a, b]上的插值点c。
3.如果f(c)=0或者(b-a)/2<ε，则停止迭代，c即为近似的根。
4.如果f(c)与f(a)异号，则根在[a, c]内，将b=c，否则根在[c,b]内，将a=c。
5.回到步骤2。
三、牛顿法牛顿法又称为牛顿-拉弗森方法，它是一种通过不断迭代逼近根的方法。
牛顿法基于函数的局部线性近似，通过求导数来计算函数在当前近似根附近的切线与x轴的交点作为新的近似根。
算法步骤如下：1.初始化初始近似根x0和误差容限ε。
2.计算函数在当前近似根x的导数f'(x)。
3.如果f'(x)为0，则停止迭代，x即为近似的根。
4.计算函数在当前近似根x的函数值f(x)。
5.如果|f(x)|<ε，则停止迭代，x即为近似的根。
6.计算新的近似根x=x-f(x)/f'(x)。
方程求根的数值方法
方程求根的数值方法数值方法是一种求解方程根的近似方法，它通过一系列计算和迭代来逼近方程的根。
这些方法常用于无法通过代数方法求得解析解的复杂方程，或者是当方程没有明确的解析解时。
在这篇文章中，我们将讨论三种常用的数值方法：二分法、牛顿法和割线法。
二分法是一种基于零点定理的根查找方法。
零点定理指出，如果一个函数在区间[a,b]的两个端点处取得正负值，那么这个函数在这个区间内至少存在一个根。
二分法的基本思想是将区间二分，并判断根是否在分割后的子区间内。
具体步骤如下：1.选择一个初始区间[a,b]，使得f(a)和f(b)异号。
2.计算区间中点c=(a+b)/23.如果f(c)等于0或者f(c)的绝对值小于给定的误差限，那么c是近似的根。
4.如果f(c)和f(a)异号，那么根在左半区间[a,c]内；否则，根在右半区间[c,b]内。
5.重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
二分法的优点是简单易懂，收敛速度较快；缺点是每次迭代只能减少一半的区间长度。
牛顿法是一种迭代法，通过对函数f(x)的一阶导数进行线性逼近，来求得方程f(x)=0的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始近似根x0。
2.计算函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)。
3.计算线性逼近方程的解x1=x0-f(x0)/f'(x0)。
4.如果f(x1)的绝对值小于给定的误差限，那么x1是近似的根。
5.否则，令x0=x1，重复步骤2到4，直到找到满足条件的近似根。
牛顿法的优点是收敛速度快，通常是二次收敛；缺点是对于一些特殊的函数，可能会出现发散或者陷入局部最优解的情况。
割线法是对牛顿法的改进，它通过将区间的两个端点连接起来，构建一条割线来逼近方程的根。
具体步骤如下：1.选择两个初始近似根x0和x1，使得f(x0)和f(x1)异号。
2.计算割线的斜率k=(f(x1)-f(x0))/(x1-x0)。
3.计算线性逼近方程的解x2=x1-f(x1)/k。
(完整word版)数值分析报告-二分法和牛顿法方程求根(word文档良心出品)
《数值分析》实验报告一**: **学号: PB********实验一一、实验名称方程求根二、实验目的与要求：通过对二分法和牛顿法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点；比较二者的计算速度和计算精度。
三、实验内容：通过对二分法和牛顿迭代法作编程练习和上机运算，进一步体会它们在方程求根中的不同特点 。
（一）二分法算法：给定区间[a,b]，并设f （a ）与f （b ）符号相反，取δ为根的容许误差，ε为值的容许误差。
（1）令c=(a+b)/2（2）如果(c-a)< δ或)(c f <ε，则输出c ，结束；否则执行（3）（3）如果f(a)f(c)<0，则令)()(,c f b f c b ←←；否则，则令)()(,c f a f c a ←←，重复（1），（2），（3）。
（二）牛顿迭代法：给定初值0x ，ε为根的容许误差，η为)(x f 的容许误差，N 为迭代次数的容许值。
（1）如果)(x f <η或迭代次数大于N ，则算法结束；否则执行（2）。
（2）计算)('/)(0001x f x f x x -=（3）若 < 或 < ，则输出 ，程序结束；否则执行（4）。
（4）令 = ，转向（1）。
四、实验题目与程序设计1、二分法3.1.1、用二分法求方程a. f(x)= x x tan 1--在区间[0，π/2]上的根,c. f(x)=6cos 22-++-x e x x 在区间[1，3]上的根。
源程序：3.1.1.a#include<stdio.h>#include<math.h>void main(){float a,b;double c,y,z;printf("plese input two number a and b:\n");scanf("%f%f",&a,&b);c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);while(fabs(b-a)>0.00001|| fabs(y)>0.00001){z=1/a-tan(a);if(z*y<0)b=c;elsea=c;c=(a+b)/2;y=1/c-tan(c);printf("a=%f,b=%f,b-a=%f,c=%f,f(c)=%f\n",a,b,b-a,c,y);}x x 01-ε)(1x f ηx 1x 0x 1}输入0 1.5707563( /2~1.5705563)得到下表：由上表可以看出刚开始时f（c）取值幅度很大，但是经过一段历程之后，幅度变得平缓甚至基本接近与零，我们认为，x=0.8603是方程的根，结果与实际想要得到的值相当接近。
二分法求方程的根c语言程序
二分法求方程的根c语言程序一、引言在数学中，方程求根是一个重要的问题。
在计算机科学中，求解方程的根也是一个常见的问题。
其中，二分法是一种常用的求解方程根的方法。
本文将介绍如何使用C语言编写二分法求解方程根的程序。
二、二分法的原理二分法是一种基于区间缩小的求解方程根的方法。
其基本思想是：首先确定一个区间，然后将该区间分成两个子区间，判断方程在哪个子区间内有根，然后继续将该子区间分成两个子区间，直到找到方程的根或者确定方程无根。
三、二分法求解方程根的步骤1. 确定初始区间首先需要确定一个初始区间[a,b]，其中a和b分别为方程根的上下界。
通常情况下，可以通过观察方程的图像或者使用其他方法来确定初始区间。
2. 将区间分成两个子区间将初始区间[a,b]分成两个子区间[a,c]和[c,b]，其中c为中点，即c=(a+b)/2。
3. 判断方程在哪个子区间内有根计算方程在子区间[a,c]和[c,b]的函数值f(a)、f(c)和f(b)，如果f(a)和f(c)的符号相同，则方程的根在子区间[c,b]内；如果f(c)和f(b)的符号相同，则方程的根在子区间[a,c]内；否则，方程的根就是c。
4. 将子区间继续分成两个子区间根据步骤3的结果，将子区间[a,c]或[c,b]继续分成两个子区间，重复步骤3和步骤4，直到找到方程的根或者确定方程无根。
四、C语言程序实现下面是使用C语言实现二分法求解方程根的程序：```c#include <stdio.h>#include <math.h>double f(double x) {return x*x - 2; // 待求解的方程}double bisection(double a, double b, double eps) {double c;while (fabs(b-a) > eps) {c = (a+b)/2;if (f(a)*f(c) < 0) {b = c;} else {a = c;}}return c;}int main() {double a = 0, b = 2, eps = 1e-6;double root = bisection(a, b, eps);printf("The root of the equation is: %lf\n", root);return 0;}```在上面的程序中，f(x)函数表示待求解的方程，bisection函数表示二分法求解方程根的函数，main函数表示程序的入口。
二分法求方程的根48329-文档资料
∵ f(2.375)= -0.2351<0 ∴ f(2.375)<0, f(2.5)>0
x1∈(2.375,2.5)
∵ f(2.4375)= 0.105>0
∴ f(2.375)<0, f(2.4375)>0 x1∈(2.375,2.4375)
∵ 2.375与2.4375的近似值都是2.4, ∴x1≈2.4
2 2.25
2.5
3
x
- --+
+ -10 1 2 3
2
-
- - 2.25 2.375 2.5 ++
3
+
2。由小数于于20离2...1327,5形所52与求.3时272.近54.4少327似3.575直解5的为观差2，.的43绝形75对。离值3数时22.25难入2.5 微2！2.5 3
四大构数建学数思学想：：等价转化,函数与方程,数形结合,分类讨论
问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二分 法求函数零点近似值的步骤”吗?
给定精确度 ,用二分法求函数 f x零点近似
值的步骤如下:
1.确定区间 a,b,验证 f a• f b 0 ,给定精确度 ;
2.求区间 a,b的中点 c ； 3.计算 f c ；
（1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点；
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
列表
x
0
1 23 45 6
7
8
f x 2x 3x 7 -6 -2 3 10 21 40 75 142
273
绘制函数图像
解:由图像和函数值表可知,f 1 0, f 2 0,则f 1 f 2 0, 所以f x在1, 2内有一个零点x0.
函数与方程重点二分法
加速二分法
要点一
总结词
加速二分法通过引入加速因子，减少了迭代次数，提高了 二分法的收敛速度。
要点二
详细描述
传统的二分法在每次迭代后，新的区间长度会减半。而在 加速二分法中，引入了一个加速因子，使得新的区间长度 小于原长度的一半，这样可以更快地逼近解。
二分法与其他方法的结合
在计算机科学中的应用
数据搜索
二分法在计算机科学中广泛应用于数 据搜索，例如二分查找算法可以在有 序数组中快速查找特定元素。
排序算法
一些排序算法，例如快速排序和归并 排序，在内部实现中使用了二分法， 通过分割数组和递归排序来达到快速 排序的目的。
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重复上述步骤，不断缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
04 二分法的改进与扩展
变点二分法
总结词
变点二分法是一种改进的二分法，通过在每 次迭代中改变搜索区间，提高了搜索效率。
详细描述
在传统的二分法中，搜索区间在每次迭代中 都会被一分为二。而在变点二分法中，根据 函数值的变化情况，选择在函数的变点处进
函数与方程重点二分法
目录
• 二分法原理 • 函数与方程的根 • 二分法在求解方程中的应用 • 二分法的改进与扩展 • 二分法在实际问题中的应用
01 二分法原理
二分法的基本概念
总结词
二分法是一种求解函数零点的迭代方法，通过不断将区间一分为二，缩小零点所在的区间范围，最终逼近零点。
详细描述
二分法的基本思想是在一个闭区间[a, b]内，找到一个零点x₀，使得f(x₀)=0。首先计算区间中点c=(a+b)/2，然 后检查f(c)的值。如果f(c)=0，则c就是所求的零点；如果f(c)与零点的左右符号相反，则说明零点位于c的左侧或 右侧，然后继续在相应的子区间内重复上述步骤，直到找到足够精确的零点位置。
3 求根 - 二分法 牛顿法 割线法
求根
经过简单推导，得到如下关系
Pin=1000.00元, Nin=40年, Pout=5000.00元, Nout=20年， 求r 代入上式，问题即转为求解如下方程
3
求根
求解如下方程
找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！
最最没有技术含量的方法： 穷举法！
4
求根
所谓求根 找到一个或者多个x，使得f(x)=0成立！ 求根方法 二分法、牛顿法、割线法
function f = myfun_rootfindingfunction(x)
f = 1000.*( (1+x./12).^480 -1 ) - 5000.*(1- (1+x/12).^(-240) );
end
40
求根—割线法
例子 求根
我们用
看成对
的一个估计 41
求根—割线法
割线法和牛顿法比较 1. 割线法比牛顿法需要更多的迭代次数 2. 割线法不要计算f’(x)，而牛顿法需要计
代入上式，问题即转为求解如下方程
将方程写成函数形式：
39
求根—割线法
割线法编程 function root= myfun_rootfinding_secant(x0, x1, e)
f0 = myfun_rootfindingfunction(x0);
f1 = myfun_rootfindingfunction(x1);
对分法：反复对分区间[a,b]，保留f(x)改变符 合的那一半区间。 对分法可以确保收敛于一个根。
7
二分法求根
二分法算法：
1. 计算c=(a+b)/2 2. 若b-c≤ε，则接受c为根，程序终止 3.若b-c>ε，比较f(c), f(a), f(b)的符号
数值分析2-方程求根二分法迭代法
即使用|φ'(x0)|>1来判断（但需选择靠近x0上的合适初值） 例:用迭代法求方程 f(x) = x(x+1)2 -1=0 在x=0.4附近的根。
x=φ(x)= φ'(x)= -
(1 | '( x ) |)
1 2
可令正数
,则有
| '( x) | | '( x ) | | '( x) '( x ) | (再利用绝对值性质)
1 1 | '( x) || '( x ) | (1 | '( x ) |) (1 | '( x ) |) 1 2 2
| '( x ) | 1,
1 (1 '( x )) 0. 2
| '( x ) | 1
(先证明第2个条件：构造某区间,有
)
lim '( x) 0 . ( x) 为一阶导数连续，即 x 0
再利用函数极限知识:对任意给定正数 ，总存在
当
x [ x , x ] 时,有 | '( x) || '( x) '( x ) |
xk＋1 - x ＝φ '( ξ k )( xk - x )
*
*
*
，∴
xk＋1 - x* ＝φ '( ξ k) xk - x*
ξ k )＝x ， ∴ 又∵ klim( →∞
xk＋1 - x* * lim ＝ φ '( x ) k→∞ x - x* k
0
| '( x) | 1，则对任意初值x [a, b] ， (6) 若 x [a, b] 时， 迭代公式发散.
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用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
步骤2. 取a,
b的中点
x1
a
2
b
,
计算
f
x1
步骤3. 若f x1 0,则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若f a f x1 0,则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1; 若f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
用二分法求方程 f(x)=0的根 x*的近似值 xk 的步骤
步骤1.若对于a<b, 有f(a)f(b)<0, 则在(a, b)内f(x)=0至少有一个根.
for k=1: max1+1 a;ya=fun(a); b;yb=fun(b); x=(a+b)/2; yx=fun(x); wuca=abs(b-a)/2; k=k-1; [k,a,b,x,wuca,ya,yb,yx] if yx==0 a=x; b=x; elseif yb*yx>0 b=x;yb=yx; else a=x; ya=yx; end if b-a< abtol , return, end end k=max1; x; wuca; yx=fun(x);
步骤2.取a, b的中点
x1
ab, 2
计算
f
x1
步骤3. 若 f x1 0, 则x1是f(x)=0的根, 停止计算,
运行后输出结果x*=x1.
若 f a f x1 0, 则在(a, x1 )内f(x)=0至少有一个根. 取a1=a, b1=x1;
若 f a f x1 0, 则取a1=x1, b1=b;
输入的量: a和b是闭区间[a,b]的左右端点, abtol是预先给定的精度.
运行后输出的量: k是使用二分法的次数. x是方程在(a,b) 内的实根x*的近似值, 其精度是abtol. wuca=|bk-ak|/2是使用k次二分法所得到的小区间的长 度的一半, 即实根x*的近似值x的绝对精度限, 满足 wuca≤abtol. yx=f(xk), 即方程f(x)=0在实根x*的近似 值x处的函数值.
例: 确定方程x3-x+4=0的实根的分布情况，并用二分 法求在开区间 (-2,-1)内的实根的近似值，要求精度为
0.001.
次数k 左端点ak 右端点bk
0
-2.000 0 -1.000 0
1
-2.000 0 -1.500 0
2
-2.000 0 -1.750 0
3
-1.875 0 -1.750 0
2. 二分法的matlab主程序
function [k,x,wuca,yx]=erfen(a,b,abtol) a(1)=a; b(1)=b; ya=fun(a(1)); yb=fun(b(1)); %程序中调用的fun.m 为函数 if ya* yb>0, disp('注意：ya*yb>0,请重新调整区间端点a和b.'), return end max1=-1+ceil((log(b-a)- log(abtol))/ log(2)); % ceil是上取整
0.012 1
0.003 7
3. 用二分法求解方程f(x)=0在 (a,b)内的近似根的步骤
步骤1. 建立名为fun.m的M文件如: function y1=fun(x) y1=f(x);
步骤2. 将二分法的主程序保存名为erfen.m的M文件;
步骤3. 在matlab工作窗口输入程序: >>[k, x, wuca, yx]=erfen(a, b, abtol)
步骤4.
若
1 2
bk
ak
为预先给定的要求精度 , 退出计算,
运行后输出结果 x ak bk ; 反之, 返回步骤1, 重复步骤1,2,3. 2
2. 二分法的matlab主程序
求解方程f(x)=0在开区间(a,b)内的一个根的前提条 件是f(x)在闭区间[a,b]上连续, 且f(a)f(b)<0.
4
-1.812 5 -1.750 0
5
-1.812 5 -1.781 3
6
-1.796 9 -1.781 3
7
-1.796 9 -1.789 1
8
-1.796 9 -1.793 0
9
-1.796 9 -1.794 9
中点xk
-1.500 0 -1.750 0 -1.875 0 -1.812 5 -1.781 3 -1.796 9 -1.789 1 -1.793 0 -1.794 9 -1.795 9
其中输入的量: 区间端点的值a, b和精度是abtol都是具体 给定的数值, 然后按运行键. 运行后输出计算次数k、使用 k次二分法所得到的小区间[ak, bk]的中点的值x和它的函 数值y(x)及wuca=|bk-ak|/2.
练习: 确定方程 3x2-ex=0 的实根的分布情况，并用二分法 求在开区间 (-1, 0)内的实根的近似值, 要求精度为0.0005.
bk ak 2
0.500 0 0.250 0 0.125 0 0.062 5 0.031 3 0.015 6 0.007 8 0.003 9 0.002 0 0.001 0
函数值 f(ak) -2.000 0 -2.000 0 -2.000 0 -0.716 8 -0.141 8 -0.141 8 -0.004 8 -0.004 8 -0.004 8 -0.004 8
函数值 函数值f(xk) f(bk)
4.000 0
2.125 0
2.125 0
0.390 6
0.390 6 -0.716 8
0. 6
0.129 6 -0.004 8
0.129 6
0.062 7
0.062 7
0.029 0
0.029 0
0.012 1