初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

中考数学最值问题总结

考查知识点:1、“两点之间线段最短”,“垂线段最短”，“点关于线对称”,“线段的平移”。

(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）

问题原型:饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”

几何基本模型:

条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点.

问题：在直线l上确定一点P,使PA PB

+的值最小．

方法：作点A关于直线l的对称点A',连结A B'交l于

点P,则PA PB A B'

+=的值最小

例1、如图,四边形ＡBCD是正方形,△ABE是等边三角

形，M为对角线BD（不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、ＡM、CＭ.

（1)求证:△ＡMB≌△ENB;

（2)①当M点在何处时,ＡM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小,并说明理由;

(3）当ＡM+BM+CＭ的最小值为时,求正方形的边长。

A

B

A'′P

l

例2、如图13,抛物线y＝ax2+bx＋ｃ(a≠0)的顶点为（1,4)，交x轴于A、B，交y轴于D,其中B点的坐标为（3,０)

(１）求抛物线的解析式

(2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点Ｅ,交y轴于点Ｆ,其中Ｅ点的横坐标为２,若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为ＰQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使Ｄ、G、Ｆ、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、Ｈ的坐标;若不存在，请说明理由.

（３)如图１5,抛物线上是否存在一点Ｔ，过点T作ｘ的垂线，垂足为M,过点M作直线M N ∥BD，交线段AD于点N，连接MD,使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在,说明理由.

例３、如图1,四边形AＥＦＧ与AＢＣD都是正方形,它们的边长分别为a，b(ｂ≥２ａ),且点F在AD上(以下问题的结果可用a,ｂ表示）

（1)求S△DBF；

(2) 把正方形ＡＥFＧ绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBＦ;

(３) 把正方形ＡEFG绕点Ａ旋转任意角度,在旋转过程中，S△ＤBＦ是否存在最大值，最小值？如果存在,试求出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由。

例４、如图,在平面直角坐标系中，直线

1

y=x+1

2

与抛物线2

y=ax+bx3

-交于Ａ,B两点,点A

在x轴上，点Ｂ的纵坐标为3。点P是直线AＢ下方的抛物线上一动点（不与A,B重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB与点C,作ＰＤ⊥AＢ于点Ｄ

（1）求a,ｂ及sin ACP

∠的值

（2)设点P的横坐标为m

①用含m的代数式表示线段ＰＤ的长，并求出线段ＰD长的最大值;

②连接ＰB，线段ＰC把△ＰＤB分成两个三角形，是否存在适合的m值,使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在,直接写出m值;若不存在，说明理由.

例5、如图，⊙Ｃ的内接△ＡOB中，AＢ=AＯ=4，tａｎ∠AOＢ=3

4

,抛物线2

y ax bx

=+经

过点A(4,0)与点（-2,6).

（1）求抛物线的函数解析式；

（2)直线m与⊙C相切于点Ａ，交ｙ于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运动;同时动点Q在线段ＤA上,从点D出发向点Ａ运动;点Ｐ的速度为每秒1个单位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AＤ时,求运动时间ｔ的值;

（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ＲOB面积最大时，求点R的坐标.

例１、证明:(１)∵△ABE 是等边三角形,

∴ＢA=ＢE,∠A ＢＥ=60°．

∵∠ＭBN=60°， ∴∠MB Ｎ-∠ＡBN=∠ＡB Ｅ-∠ＡBN.即∠MBA=∠N ＢE. 又∵MB=NB, ∴△AM Ｂ≌△E ＮＢ(SAS)．(5分) 解：

(2)①当Ｍ点落在BD 的中点时，A 、Ｍ、Ｃ三点共线，ＡM ＋CM 的值最小．(7分） ②如图,连接ＣE,当Ｍ点位于BD 与CE 的交点处时, AM+BM+CM 的值最小．(９分）

理由如下：连接ＭN,由(1)知,△AMB ≌△E ＮＢ, ∴AM=ＥＮ, ∵∠MBN=６0°，ＭB=NB, ∴△ＢＭN 是等边三角形. ∴BM=MN. ∴ＡM+ＢM ＋CM=EN+MN+ＣM ．（10分） 根据“两点之间线段最短”,得EN+M Ｎ+CM ＝EC 最短

∴当Ｍ点位于BD 与CE 的交点处时,AM+BM+ＣＭ的值最小,即等于EC 的长.（1１分）

例2、 解:(1)设所求抛物线的解析式为:2

(1)4y a x =-+，依题意，将点Ｂ(３，０)代入,得：

2(31)40a -+= 解得：a=－1∴所求抛物线的解析式为：2(1)4y x =--+

(2)如图６,在ｙ轴的负半轴上取一点I,使得点Ｆ与点I 关于ｘ轴对称，

在x 轴上取一点H,连接ＨF 、HI 、HG 、ＧD 、GE ，则H Ｆ＝HI …………………① 设过A 、E 两点的一次函数解析式为:ｙ＝kx+ｂ（k ≠0）,

∵点Ｅ在抛物线上且点E 的横坐标为2,将x=2代入抛物线2

(1)4y x =--+，得 2

(21)43y =--+= ∴点Ｅ坐标为(2，3)

又∵抛物线2

(1)4y x =--+图像分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 、D ∴当y=0时,2

(1)40x --+=，∴x=-1或x ＝3

当x ＝0时,y=－1＋4＝3,

∴点A(－1,0）,点Ｂ（3，0)，点Ｄ(0，3) 又∵抛物线的对称轴为:直线ｘ＝1，

∴点D 与点E 关于P Ｑ对称，G Ｄ=GE …………………② 分别将点Ａ（-１,０)、点E （2,３）代入y ＝kx ＋b ，得:

023k b k b -+=⎧⎨+=⎩ 解得:

1

1k b =⎧⎨=⎩

过A 、E 两点的一次函数解析式为：y=x ＋１

∴当x ＝0时，y=1 ∴点F 坐标为（0，１） ∴DF ＝２………………………………………③ 又∵点Ｆ与点I 关于x 轴对称, ∴点I 坐标为(0，－１） ∴22222425EI DE DI =

+=+=

又∵要使四边形D ＦHG 的周长最小，由于DF 是一个定值， ∴只要使DG+ＧH+H Ｉ最小即可

由图形的对称性和①、②、③，可知， DG+GH+HF ＝EG ＋GH ＋ＨI

只有当E Ｉ为一条直线时,E Ｇ＋GH ＋ＨI 最小

设过Ｅ（２,３)、I （0,-1)两点的函数解析式为:111(0)y k x b k =+≠，

分别将点E(2,3）、点I （0，-1）代入11y k x b =+，得:

11123

1

k b b +=⎧⎨

=-⎩