递推算法
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
递推算法详解 -回复
递推算法详解-回复什么是递推算法？递推算法，也称为迭代算法，是一种解决问题的数学或计算方法。
它通过定义初始条件和递推公式来计算求解一个问题的过程，并将问题的规模逐步缩小，直至达到基本情况可以被直接求解。
递推算法常常在计算机科学、数学、物理学等领域中被广泛应用。
递推算法的基本思想是通过已知结果计算未知结果，并逐步推导出整体的解。
它通常涉及将问题划分为一系列相互依赖的子问题，并根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
递推算法的核心是找到递归公式或迭代关系，通过不断迭代计算的方式逐步逼近最终解。
递推算法的特点是具有清晰的步骤和明确的终止条件。
它的执行过程可以看作是一系列有序的操作步骤，每一步都在上一步的基础上进行计算，直到达到终止条件为止。
递推算法通常使用迭代结构或递归函数实现，具有高效、可靠、易于理解的优点。
递推算法在实际问题中的应用非常广泛。
它可以用于解决数列求和、排列组合、动态规划、图算法等各种问题。
在数学中，斐波那契数列就是一个常见的递推数列，其递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，然后给定初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，通过递推公式可以依次求解出每一个数的值。
递推算法的步骤可以总结为以下四个：1. 找到基本情况：递推算法的终止条件是基本问题的解，请确定问题的边界。
2. 设计递归公式：根据问题的性质确定递归公式或迭代关系，以便将问题拆解为更小的子问题。
3. 确定初始条件：确定问题的初始条件或起始状态。
4. 实施递推：通过递推公式或迭代关系将问题规模不断缩小，直到达到基本情况，然后计算基本情况下的解。
对于求解递归问题，递推算法通常具有较高的时间复杂度。
这是因为在递推过程中，需要重复计算许多中间值，并且递归函数的调用过程会导致额外的函数调用开销。
为了提高执行效率，可以使用记忆化搜索等技术来优化递推算法。
总结起来，递推算法是一种通过定义初始条件和递推公式来计算求解问题的方法。
递推算法
☺
课堂小结
递推算法就是指从前面的已知结果推出后面 的未知结果；或由后面的已知结果推出前 面的未知结果。 解决递推问题必须具备两个条件： 1、初始条件 2、递推关系
经典：斐波那契数列
☺ 兔子繁殖问题
假设有一对新生兔子，从第二个月开始它们每个月都生一 对兔子。按此规律，如果所有兔子都不死，那么一年后共 有多少对兔子。人们发现每月的兔子数组成如下数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34，……并把它称为Fibonacci数列
VB递推实现 VB递推实现
Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer s=1 For n = 9 To 1 Step -1 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer 若由用户指定是第n s=1 天只剩下一个桃子， For n求第一天的桃子总 = val(text1.text) -1To 1 Step -1 数。 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub
干个桃子，当即吃了 一半还觉得不过瘾， 又多吃了一个。第二 天接着吃剩下桃子的 一半，仍觉得不过瘾 又多吃了一个，以后 小猴子都是吃剩下的 桃子一半多一个。
☺用循环结构实现这个算法，需要定义几个 变量，循环体和循环条件?
For 循环变量=初值 to 终值 step 步长值 循环体 Next 循环变量
VB循环结构中的 VB循环结构中的 算法
推算
பைடு நூலகம்
递推算法(C++版)
int main()
{
int n,i,j,a[101];
cout<<"input n:";
//输入骨牌数
cin>>n;
a[1]=1;a[2]=2;
cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;
cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;
for (i=3;i<=n;i++)
//递推过程
{
int n,m; cin>>m>>n; int m1=m,n1=n,s1=m*n; while (m1!=0&&n1!=0) {
m1--;n1--; s1+=m1*n1; } int s2=((m+1)*(n+1)*m*n)/4-s1; cout<<s1<<" "<<s2<<endl; }
//计算正方形的个数s1 // 计算长方形的个数s2
其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过 来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加 法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到 终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的 路径数目设置为0即可。
个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。
例如：当 N=2， M＝3时：
正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。
递推算法概念
递推算法概念
递推算法是一种基于已知结果推导出后续结果的算法。
它是一种比较常用的计算机编程思路，在各种场景下都能发挥出良好的效果。
递推算法的基本思路是从已知的初始值开始，根据递推关系式，求解下一个结果，最终得到所需的结果。
递推算法的优点在于它可以大大减少计算量。
在许多计算问题中，递推算法都能用更少的时间和空间复杂度得到正确的结果。
同时，递推算法的思路简单，对于初学者来说也比较容易理解和实现。
递推算法有多种形式，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
在实践中，递推算法常常用于动态规划、计算几何、图论等领域，它们大大提高了算法效率，能够有效解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题。
首先，我们必须准确地描述递推关系式，这是正确求解下一个结果的关键。
其次，我们必须确定好递推的边界条件，避免出现无效或死循环的情况。
最后，在实现过程中，我们还需要考虑算法的效率和精度，避免出现由于计算过程中的误差而影响结果的情况。
综上所述，递推算法是一种非常有用的计算机编程思路。
它能够大大
提高算法效率，有效地解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题，如准确描述递推关系式、确定递推的边界条件、考虑算法的效率和精度等。
只有在正确理解和使用递推算法时，我们才能充分发挥它的优点，有效地解决实际问题。
递推算法思想总结
递推算法思想总结递推算法是一个常用的问题解决思路，它的核心思想是通过已知的初始条件推导出较大规模的问题的解。
递推算法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用。
我将在以下几个方面对递推算法进行总结：1.基本概念和原理；2.实际应用；3.优缺点和改进方法。
1.基本概念和原理递推算法是一种从小到大的求解方法，通过已知的起始值或初始条件，依次计算出下一个更大规模的问题的解。
递推算法一般使用迭代的方式，在每次迭代时，通过已经得到的中间结果来推导出更大规模的问题的解。
递推算法常见的形式有递推关系和递推公式。
递推关系描述了求解问题的当前规模与相邻小规模问题之间的关系。
通常，递推关系是通过寻找问题的每个规模与其中更小规模问题之间的变化关系而得到的。
递推关系可以用数学公式、状态转移方程等形式来表示。
递推公式则是描述了问题的当前规模与其更小规模问题的关系的方程。
通过递推公式，我们可以直接计算出下一个规模的问题的解，从而降低了问题求解的复杂度。
2.实际应用递推算法在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些常见的实际应用场景：1) 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递推问题。
它的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(0) = 0，F(1) = 1。
通过这个递推公式，我们可以计算出任意位置的斐波那契数。
2) 动态规划动态规划是递推算法的一种扩展应用。
它通过将原问题拆分为一系列的子问题，并通过递推公式来计算每个子问题的解，从而得到原问题的最优解。
动态规划在解决最短路径问题、背包问题等方面有着重要的应用。
3) 树的遍历树的遍历是递归的一种典型应用。
通过递归的方式，可以递推地处理树的每个子节点，并根据子节点的计算结果来得到整棵树的解。
树的遍历在计算机图形学、数据结构等领域有着广泛的应用。
3.优缺点和改进方法递推算法有着以下优点：1) 算法简洁明了：递推算法通过迭代的方式一步步得到问题的解，具有清晰明了的思路。
递推算法
For i:=1 to t do //计算加入跑步选择时的每秒最大距离 begin if f[i]< f[i-1]+17 then f[i]:= f[i-1]+17; if f[i]>=s then begin //刚好离岛，输出 writeln('Yes'); writeln(i); halt; end; end; writeln('No');//不能离岛，输出 writeln(f[t]); end. 本题有多种解决问题的方法，然而，在上述分析中很巧妙地运用了分而治之 的思想，把原来跑步、魔法、休息交错在一起的问题条件分离开，考虑在只有魔 法情况下每秒最远距离，此时，很容易用上问题的贪心条件，能用魔法尽量用上 魔法，求只有魔法情况下每秒最远距离的递推式写起来也很简单。接着，考虑跑 步的情况，当前秒的跑步距离由上一秒加17递推得到，每秒最远距离为跑步距离 和魔法距离中的最大值。这是一道很好的题，建议大家用不同方法解决之，然后， 从中体会分解问题的方法和技巧。
【样例输出】 10 【注意】 测试数据规模： 保证100%的数据n<=1000。 问题分析：
求最小路径得分，比较容易想到的是： 1．如果知道从第1行走到第n行各数字上的最小得分， 那么，从中取最小值即可； 2．第n行是从n-1行走下来的，如果知道第n-1层各数字 位置上的最小得分值，那么根据规则每步只能沿左斜线 向下或沿右斜线向下，要使第n层的各数字位上得到最 小得分值，只能从左上和右上两个得分值中取小的一个 与当前位的数字相加； 3．同理，第n-1层各数位上的最小得分可以从第n-2层 推出；
递推算法
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。 思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若 干重复的简单运算，以充分发挥计算机善长于 重复处理的特点。
递推算法分析
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量 递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
python常用算法 递推法、递归法、迭代法、二分法
python常用算法递推法、递归法、迭代法、二分法Python常用算法之一：递推法递推法是一种基于已知结果推导出未知结果的算法方法。
在递推法中，我们通过已知的初始值或基础情况，以及与前一项或前几项的关系，计算出后一项的值。
递推法常常用于解决数列、数学关系、动态规划等问题。
递推法的基本思想是通过找到问题的递推关系式来求出未知项的值。
这个关系式可以是一个简单的数学公式或逻辑表达式。
为了使用递推法，我们需要先找到递推公式，并明确初始项的值。
通过逐步求解的方式，我们可以得到数列的任意项的值。
递推法的实现通常采用循环结构。
我们可以使用for循环来遍历每一项，并根据递推公式来计算后一项的值。
下面是一个简单的例子，计算斐波那契数列的第n项：pythondef fibonacci(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:a, b = 0, 1for i in range(2, n+1):a, b = b, a + breturn b在这个例子中，我们使用了一个for循环来计算斐波那契数列的第n 项。
首先，我们定义了初始项a=0和b=1。
然后，通过循环计算每一项的值，更新a和b的值，最后返回b作为结果。
递推法的优点是简单明了，适用于不涉及递归调用的问题。
尤其对于一些数值计算的问题，递推法可以利用计算机的高效运算能力，快速求解问题。
接下来，让我们看看另一种常用的算法方法：递归法。
Python常用算法之二：递归法递归法是一种在解决问题时调用自身的方法。
在递归法中，我们将一个复杂的问题分解成一个或多个规模较小的相同问题，直到问题的规模足够小，可以直接求解为止。
递归法需要定义一个递归函数，该函数在调用过程中会不断地传递参数给自身，直到满足停止条件为止。
递归法的实现通常采用函数的递归调用。
在函数的内部，我们可以通过调用自身来解决同类的子问题，同时逐步缩小问题的规模。
递归函数中通常包含两部分：基准情况（停止条件）和递归调用。
递推算法知识总结
递推算法知识总结1. 什么是递推算法？递推算法（Recursion）是一种解决问题的方法，其中问题由一个或多个基本的解决方案定义。
通常，递推算法在一个或多个基本案例（base case）上定义，并且是通过将问题分解为规模较小的相似子问题而递归地求解的。
2. 递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：•递推算法是一种直接或间接调用自身的算法；•递推算法具有基本案例，即能直接求解的问题情形；•递推算法将一个规模较大的问题转化为一个规模较小的相似子问题，并通过递归调用求解；•递推算法的递归调用必须在某种方式下收敛，即必须能够到达基本案例。
3. 递推算法的应用场景递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用，特别适合解决以下问题：•计算斐波那契数列；•数值累加或累乘计算；•深度优先搜索；•解决汉诺塔问题；•求解图的连通性或最短路径；•解决一些数学问题，如八皇后问题等。
4. 递推算法的实现方式递推算法可以通过编程语言中的函数调用机制来实现。
以下是递推算法的一般框架：def recursion(n):if n == base_case:return base_solutionelse:# 将问题分解为较小的子问题subproblems = decompose(n)# 递归调用results = [recursion(subproblem) for subproblem in subproblems]# 组合子问题的结果return combine(results)在上述实现中，base_case表示基本案例，是问题的直接解决方案。
当问题规模缩小到基本案例时，递归将不再继续，直接返回基本案例的解决方案。
decompose函数将问题分解为更小的相似子问题。
可以根据具体问题的特点设计合适的分解方式。
combine函数将子问题的结果合并为原问题的解决方案。
5. 递推算法的优缺点递推算法具有以下优点：•递推算法能够将问题转化为更小的相似子问题，降低了问题的复杂度；•递推算法能够利用相似子问题的解决方案，减少了计算量。
递推算法的特点
递推算法的特点递推算法是一种常用的问题求解方法，它以已知的初始条件为基础，通过逐步推导出后续的解，最终得到问题的解决方案。
递推算法具有以下几个特点：1.简单直观：递推算法的基本思想是将问题分解为一系列子问题，通过已知条件和递推关系推导出后续解，每一步都相对独立。
这种思想使得递推算法易于理解和实现，对于一些简单且结构明确的问题尤为有效。
2.适用广泛：递推算法适用于各种数学问题、计算机科学中的算法和数据结构问题，以及工程领域中的优化问题等。
无论是求解数列、图论、动态规划等，递推算法都可以提供有效的解决方案。
3.可扩展性强：递推算法通常具有良好的可扩展性，可以通过调整递推关系和初始条件来适应不同规模和复杂度的问题。
这种灵活性使得递推算法能够处理大规模的问题，并实现高效的计算。
4.具有确定性：递推算法是一种确定性算法，即对于相同的输入条件，总是能得到相同的输出结果。
这种确定性使得递推算法具有可靠性，能够提供可追溯的结果。
5.时间复杂度可控：由于递推算法的每一步都是基于已知条件进行推导，因此可以通过调整递推关系和初始条件来控制算法的时间复杂度。
通过选择合适的递推关系和初始条件，可以有效地提高算法的执行效率。
6.存储需求低：递推算法通常只需要保存一些中间结果，而不需要保存所有的计算过程和中间数据。
这种存储需求低的特点使得递推算法能够处理大规模问题，同时减少了内存的占用。
7.可并行性高：递推算法的各个步骤相对独立，不存在数据依赖性，因此可以很容易地进行并行计算。
这种可并行性高的特点使得递推算法能够充分利用多核处理器和分布式计算资源，提高算法的计算速度。
总的来说，递推算法是一种简单直观、适用广泛、可扩展性强、具有确定性、时间复杂度可控、存储需求低和可并行性高的问题求解方法。
它在数学、计算机科学和工程等领域中都具有重要的应用价值。
无论是解决数列问题、图论问题还是动态规划问题，递推算法都能够提供高效可靠的解决方案。
递推算法
递推算法递推法是一种重要的数学方法，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
同时，它也是计算机用于数值计算中的一种重要算法。
1．认识递推常常遇到这样的问题：在一个序列中，下一项的值对其前一项有着某种依赖关系，求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。
例如：数列0，3，6，9，12，15，…该数列的后一项的值是前一项的值加3，欲求第十项，必须先用第一项的值加3，求出第二项，然后求出第三项，第四项，第五项，…，直到第十项，当然必须事先给定第一项的值（称为边界条件或初始条件）。
可以看出，第n项的值等于第n-1项的值加3。
即：a n=a n-1+3, (n>1) (递推公式)a1=0, (n=1) (边界条件)这种在规定的初始条件下，找出后项对前项的依敕关系的操作，称为递推。
表示某项和它前面若干项的关系式就叫作递推公式。
在实际问题中类似的很多，处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公式。
上例中的通项公式为a n=(n-1)*3 (n>=1)。
但是在许多情况下，要得到数列的通项公式是比较困难的，而通过已知条件归纳出一个递推关系则相对容易。
这时我们可以采用递推技术，避开求通项公式的麻烦，把一个复杂问题的求解，分解成为若干步重复的简单运算，由边界条件出发进行递推，最后得到最终结果，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特长。
例1．有一组数规律如下：0，5，5，10，15，25，40，…，x n ，…。
求出该数列第n 项数值。
分析：设f（n）表示数列中第n项的数值，则f（1）=0 ，f（2）=5 是初始条件，f（n）=f（n-2）+f（n-1）（n≥3）是递推公式。
在语言实现上，我们取j、k、p三个变量，分别表示前二项、前一项与当前项，j、k分别取初值为0与5。
第一次通过递推公式p=j+k得到第三项，并进行移位，即j取k值、k取p值，为下次递推作准备；……；如此反复，经过n-2次的递推，p就是第n项的值。
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法是一种基于已知结果计算下一个结果的算法。
递推算法通常用于计算数列、统计问题和最短路径等问题。
递推算法可以分为两种类型：顺推和逆推。
顺推算法是从已知的第一个值开始，按照某种规律依次计算出后续的值。
例如，斐波那契数列就是一种顺推算法。
斐波那契数列的计算规律是：第一个值为0，第二个值为1，后续的值等于前两个值的和。
因此，斐波那契数列的前几个值为0、1、1、2、3、5、8、13、21……逆推算法则是从已知的最后一个值开始，按照某种规律依次计算出前面的值。
逆推算法通常用于计算最短路径等问题。
例如，如果要计算从起点到终点的最短路径，可以从终点开始，逆推出每个节点的最短路径，最终得出起点的最短路径。
递推算法也可以用于解决统计问题。
例如，如果要计算n个人中任选k个人的组合数，可以使用递推算法。
假设已知n个人中任选k-1个人的组合数为C(n,k-1)，则n个人中任选k个人的组合数为C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这是因为，当第n个人被选中时，剩下的k-1个人必须从前n-1个人中选，而当第n个人不被选中时，剩下的k个人必须从前n-1个人中选。
因此，n个人中任选k个人的组合数等于这两种情况的组合数之和。
递推算法具有简单、高效的特点，适用于大部分数学问题的求解。
但是，在实际应用中，递推算法也有一些缺点。
首先，递推算法需要占用大量的内存空间，因为需要保存所有已知结果。
其次，递推算法对于某些问题可能无法求解，因为递推过程中可能会出现死循环或无法到达的状态。
总之，递推算法是一种重要的计算机算法，可以用于解决数学问题、统计问题和最短路径等问题。
顺推和逆推是递推算法的两种基本形式，分别适用于不同的问题类型。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的递推算法。
递推算法分析课件
定义与特点
定义
递推算法是一种通过已知信息逐步推 导出其他信息的方法，通常从一个初 始状态出发，按照一定的规则逐步推 导出最终结果。
特点
递推算法具有明确性、可计算性和可 实现性，能够根据已知信息逐步推导 出结果，适用于解决一些具有规律性 的问题。
递推算法的分类
线性递推
根据已知的线性关系式，逐步推导出最终结果， 如等差数列求和等。
研究如何提高递推算法的稳定 性，减少初始值对结果的影响
，提高结果的可靠性。
探索新的应用场景
挖掘递推算法在其他领域的应 用潜力，如物理、化学、生物 等学科中的复杂问题求解。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
O(2^n)等。
03
递推算法时间复杂度分析
递推算法的时间复杂度取决于递推关系的复杂度和递归深度。通过分析
递推关系，可以估算算法的时间复杂度，并比较不同算法的效率。
空间复杂度
1 2 3
空间复杂度定义
空间复杂度是衡量算法所需存储空间随输入规模 增长而增长的量级，也用大O表示法表示。
递归与堆栈空间
递归算法需要使用堆栈来保存递归过程中的状态 ，因此其空间复杂度通常较高。迭代算法则通常 只需少量额外空间。
要点二
详细描述
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每个数字是它正上 方和左上方的两个数字之和。从第二行开始，每个数字都 是上一行相邻两个数字之和。通过递推关系式，我们可以 依次生成每个数字，最终得到完整的杨辉三角。
插入排序算法的改进
总结词
插入排序算法是一种简单的排序算法，通过将元素逐个 插入到已排序序列中实现排序。
《递推算法》课件
本PPT课件介绍了递推算法的基本原理、Fibonacci数列问题、动态规划问题以 及最长公共子序列问题，并总结了递推算法的优缺点和应用领域。
什么是递推算法
递推算法是一种通过定义初始值和递推公式，在每一步中使用前一步的值来 计算下一步值的数学和计算机算法。
递推算法具有广泛的应用场景，包括数学、计算机科学、经济学等领域。
总结
递推算法具有简单直观、可快速得到结果的优点。 递推算法的应用领域包括数学、计算机科学、经济学等。 未来发展趋势包括算法复杂度的降低和应用场景的不断扩展。
递推算法的优点是简单直观、可快速得到结果，但缺点是可能需要大量计算 和存储资源。
递推算法的基本原理
递推算法通过递推公式或递归公式来描述数列或问题的演变规律。 递推算法的递推过程可以通过解析公式，迭代计算，得到数列或问题的结果。Leabharlann Fibonacci数列问题
Fibonacci数列是一个由0和1开始的数列，后面的每一项都是前两项的和。 Fibonacci数列的递推计算方法可以利用递归公式来计算，时间复杂度为O(n)。
动态规划问题
动态规划问题是一类通过将复杂问题分解成简单子问题的求解方法。 动态规划问题的求解方法包括状态定义、状态转移方程和边界条件的确定。 动态规划问题的优化方法包括剪枝、记忆化和优化子问题求解的顺序。
最长公共子序列问题
最长公共子序列问题是一个在多个序列中寻找最长公共子序列的问题。 最长公共子序列问题的递推算法可以通过动态规划的方法来求解。 最长公共子序列问题的应用实例包括DNA序列比对、文本相似度计算等。
算法——递推算法
算法——递推算法递推算法给定⼀个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以⽤等号(或⼤于号、⼩于号)将Hn与其前⾯的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式⼦就叫做递推关系。
递推算法是⼀种简单的算法，即通过已知条件，利⽤特定关系得出中间推论，直⾄得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值.⽐如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}⽽递推如下:f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)由此可见,递推的效率要⾼⼀些,在可能的情况下应尽量使⽤递推.但是递归作为⽐较基础的算法,它的作⽤不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的⽅法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。
则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直⾄我们要求的解。
逆推法所谓逆推法从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例⼦【案例】从原点出发，⼀步只能向右⾛、向上⾛或向左⾛。
恰好⾛N步且不经过已⾛的点共有多少种⾛法？样例输⼊：N=2样例输出：result=7样例输⼊：N=3样例输出：result=17解题思路：要解决⾛N步共有多少种⾛法，我们在拿到题⽬的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
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解 答
• 由问题,可写出递推方程 • 边界条件：f[0]=0;f[1]=1; • 递推公式：f[i]=f[i-1]+f[i-2];
算法： f[0]=1;f[1]= 2; for(i=2;i<=n;i++) f[i]=f[i–1]+f[i–2];
总 结
• 从这个问题可以看出，在计算裴波那契数列的每一项目时, 都可以由前两项推出。这样，相邻两项之间的变化有一定 的规律性，我们可以将这种规律归纳成如下简捷的递推关 系式：Fn=g(Fn-1)，这就在数的序列中，建立起后项和前 项之间的关系。然后从初始条件（或是最终结果）入手， 按递推关系式递推，直至求出最终结果（或初始值）。很 多问题就是这样逐步求解的。
顺推举例3——杨辉三角1547 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 …………… …
a[1][1]=1 a[2][1]=1 a[2][2]=1 a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j]
逆推举例4——猴子摘桃1012
Description：有一堆桃子和N只猴子，第一只猴子将桃子平 均分成了M堆后，还剩了1个，它吃了剩下的一个，并拿走一 堆。后面的猴子也和第1只进行了同样的做法，请问N只猴子 进行了同样做法后这一堆桃子至少还剩了多少个桃子(假设剩 下的每堆中至少有一个桃子)？而最初时的那堆桃子至少有多 少个？ Input：输入包含二个数据，数据间用空格隔开。第一个数据 为猴子的只数N(1≤N≤10)，第二个数据为桃子分成的堆数 M(2≤M≤7)。 Output：输出包含两行数据，第一行数据为剩下的桃子数， 第二行数据为原来的桃子数。 Sample Input：3 2 Sample Output 1 15
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。 • 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以 后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定一个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在将 Hn与其前面的某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
如何建立递推关系 递推关系有何性质 如何求解递推关系
递推的分类
递推分倒推法和顺推法两种形式。 1、顺推法： 从已知条件出发，逐步推出要解决的问题。 2、逆推法：从问题出发，逐步推到已知条件。 算法流程如下：
顺推举例2——兔子繁殖问题1559
Description：有一对小兔,过一个月之后长成大兔,到第四个 月就可以生下一对小兔,并且以后每个月都 生下一对小兔。而 所生的一对小兔也同样到一个月之后长成大兔,到第四个月就 可以生下一 对小兔,并且以后也每个月都生下一对小兔.假设 所有的兔子均不死亡，问第n个月后共有多少对兔子？请设计 一个程序，解决这一问题。 Input：一个整数n（n <= 50） Output：第n个月后共有多少对兔子 Sample Input：5 Sample Output：3
逆推举例9——集合划分1577
【问题描述】:集合的划分:设s是一个具有n个元素的集合,s＝ {a1,a2,…,an},现将s划分为k个满足下列条件的子集合 s1,s2,……,sk,且满足： (1)si<>ф (2)si 交 sj=ф (3)s1并s2并s3并……并sk＝s 则称s1,s2,……,sk是集合s的一个划分。请你确定n个元素 a1,a2,…,an放入k个无标号盒子中去的划分数s(n,k)。 【文件输入】：n和k (0<k<=n<30) 【文件输出】：s(n,k) 【样例输入】：4 3 【样例输出】：6
分析
如果对于任意的S集合和k值，就不能凭籍直觉和经验计算划分数和 枚举划分方案了。必须总结出一个数学规律: 设n个元素a1…an放入k个无标号盒的划分数为S(n，k)。在配置过程 中， 有两种互不相容的情况: 1.设{an}是k个子集中的一个子集，于是把{a1…an-1}划分为k－1子 集有S(n－1，k－1)个划分数; 2.如果{an}不是k个子集中的一个，即an必与其它的元素构成一个子 集。首先把{a1，…，an-1}划分成k个子集，这共有S(n－1，k)种划分方 式。然后 再把an加入到k个子集中的一个子集中去，这有k种加入方式。 对于每一种加入方式，都使集合划分为k个子集，因此由乘法 原理知， 划分数共有 k*ｓ(n－1，k)。 应用加法原理于上述两种情况，得出{a1，…，an}划分为k个子集的 划分数: S(n,k)＝S(n-1,k-1)+k· S(n-1,k) (n>1,k≥1)
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1:
1
n=2 f(2)=2:
n=3 f(3)=4: n=4 f(4)=7:
1 1;
111;
2
2 1; 1 2; 3
1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
(1)一次只能移一个圆盘； (2)圆盘只能在三个柱上存放； (3)在移动过程中，不允许大盘压小盘。
• 问将这n个盘子从a柱移动到c柱上，总计需要移 动多少个盘次？
a b c
图1
分 析
• 设hn为n 个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。显然,当 n=1时,只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱就可以了,故 h1=1。当n=2时,先将a柱上面的小盘子移动到b柱上去;然 后将大盘子从a柱移到c 柱;最后,将b柱上的小盘子移到c 柱上，共记3个盘次,故h2=3。以此类推,当a柱上有n(n>=2) 个盘子时，总是先借助c柱把上面的n-1个盘子移动到b柱 上,然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上;再借助a柱把b柱 上的n-1个盘子移动到c柱上;总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。 • ∴hn=2hn-1+1 • 边界条件：hn-1=1
递推应用7——Catalan数1580
• 在一个凸n边形中，通过不相交于n边形内部的对 角线，把n边形拆分成若干三角形，不同的拆分 数目用hn表之，hn即为Catalan数。例如五边形 有如下五种拆分方案，故h5=5。求对于一个任意 的凸n边形相应的hn。
分 析
• 设Cn表示凸n边形的拆分方案总数。由题目中的要求可知一个凸n 边形的任意一条边都必然是一个三角形的一条边，边P1 Pn也不例 外，再根据“不在同一直线上的三点可以确定一个三角形”，只 要在P2，P3，……，Pn-1点中找一个点Pk(1<k<n)，与P1、Pn 共同 构成一个三角形的三个顶点，就将n边形分成了三个不相交的部分 (如图)，我们分别称之为区域①、区域②、区域③，其中区域③ 必定是一个三角形，区域①是一个凸k边形，区域②是一个凸nk+1边形，区域①的拆分方案总数是Ck ，区域②的拆分方案数为 Cn-k+1，故包含△P1PkPn的n 边形的拆分方案数为CkCn-k+1种，而 Pk可以是P2，P3，……，Pn-1种任一点，根据加法原理，凸n边形 的三角拆分方案总数为:
分 析
• 首先我们来看样例：每隔1个月产2对卵，求过8 月（即第8+1=9月）的成虫个数
月份 1 2 3 4 2 3 5 6 5 6 10 7 7 14 13 8 26 23 9 46 37 … … … 新增卵b[i] 0 2 2 1 1 1 成虫a[i]
分析
• 设数组A[i]表示第i月新增的成虫个数。 • 由于新成虫每过x个月产y对卵，则可对每个A[i]作如下操 作: • A[i+k*x+2]:=A[i+k*x+2]+A[i]*y (1<=k,i+k*x+2<=z+1） • 因为A [i]的求得只与A[1]~A[i-1]有关，即可用递推求法。 • 则总共的成虫个数为：
知识迁移：昆虫繁殖
Description：科学家在热带森林中发现了一种特殊的昆虫， 这种昆虫的繁殖能力很强。每对成虫过x个月产y对卵，每对 卵要过两个月长成成虫。假设每个成虫不死，第一个月只有 一对成虫，且卵长成成虫后的第一个月不产卵(过X个月产卵)， 问过Z个月以后，共有成虫多少对？ 0=<X<=20,1<=Y<=20,X=<Z<=50< font> Input：x,y,z的数值 Output：过Z个月以后，共有成虫对数 Sample Input：1 2 8 Sample Output：37
C C
i 2 i
n 1
n i 1
边界条件C2=1。
逆推举例8——平面分割问题
• 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好 相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点,问这 些封闭曲线把平面分割成的区域个数。
分 析
• 设an为n条封闭曲线把平面分割成的区域个数。由图2可以看 出：a2-a1=2;a3-a2=4;a4-a3=6。从这些式子中可以看出an-an1=2(n-1)。当然,上面的式子只是我们通过观察4幅图后得出的 结论，它的正确性尚不能保证。下面不妨让我们来试着证明 一下。当平面上已有n-1条曲线将平面分割成an-1个区域后,第 n条曲线每与曲线相交一次,就会增加一个区域,因为平面上已 有了n-1条封闭曲线,且第n条曲线与已有的每一条闭曲线恰好 相交于两点,且不会与任两条曲线交于同一点,故平面上一共增 加2(n-1)个区域,加上已有的an-1个区域,一共有an-1 + 2(n-1)个 区域。所以本题的递推关系是 • an=an-1+2(n-1) • 边界条件是a1=1。