电网络-第六章信号流图分析解析

变量的独立性：对于一个系统或网络同类变量中个数最少的一组 变量； 变量的完备性：对于一个系统或网络任何一个待求量都可以用这 组变量的组合表出；
• 对一个有b条支路n个节点的网络（电路），节点电压（树支电压） （（n－1）个）是一组完备、独立变量，回路电流（连支电流） （（b－n＋1）个）是一组完备、独立变量；它们是b维线性空间 的两个正交子空间。 目前的一个研究热点小波变换的多尺度分析中的“小波变换” 和“平滑分量” 就是其两个正交子空间，因而可以构成整个线 性空间的直和分解，进而构成Mallat金字塔算法。 （2）网络方程的建立方法 经过上述分析，兼顾方程个数较少和便于系统化处理两方面， 我们选树支电压和连支电流为变量；且每个元件为一条支路。 1）选树 ①独立电压源和受控电压源选为树支，压控源的控 制量选为树支； ②独立电流源和受控电流源选为连支，流控源的控 制量选为连支； ③如果网络中含动态元件电容选为树支、电感选为 连支，电阻既可为树支又可为连支。
R2 gU1
R4
（2）列方程
U1 （I 3 gU1） 对C1割集 R 1 U4 （I 2 gU1） 对C2割集R 4 I2 （U S U 4） 对l1回路 G2 I3 （U S U1） 对l2回路 G 3 1 1 G , G 其中 3 R 2 R2 3
R1 U1 I3 1 gR1 U4 R （ ） R4 I 2 ( gR4 )U1 4 I 2 gU1
从简单例子引入信号流图（感性认识） x2 bx1 cx3 px4 给定线性代数方程组: x 3 hx3 ax1 dx2 tx4 x ex gx 2 3 4
如果把每个方程的左边的量看成是在相应右端量（输入）作用下的输出， 则可画出下面的图
h
x6
②可加性：节点的作用是将输入到节点的信号求和，并通过节 点的输出支路把信号分配给其它的节点。
T jk
X i Tij X j ， Tij：j i
j
j i ,
j i
c 1 X4
X1
Ti1
Tin
Xi
X3
a f b d
X1
Xn
……
X2 e
X5
3. 线性代数方程组与 SFG的对应关系 x1 cx1 dx2 ax3 （ 1 ）给定SFG 代数方程组 xi Tij x j x fx ex bx
j
X （ 1 A）X BX S （ 1 ）
得 xi aij x j （ 1 aii） xi bik xSk
j k 1 m
m
（ 1 aii） xi bik xSk X （ 1 A）X BXS （2） 得 xi aij x j
j
相同。等效异构（或等 效非同构）
例6 2画出x2 bx1 cx3 kx2的信号流图
解： 改写方程为 b c x2 x1 x3 1 k 1 k x1 x3
b
x2
k
x1 x3
b/(1-k)
x2
C/(1-k)
C
其对应的信号流图为 这正是左图消去自环后的信号流图。
1 可见消去自环时，所有输入到有自环节点的支路增益均乘以 1 k 。
2）列方程
把未知的树支电压，用连支电流和其它树支电压表出；把未知的连 支电流，用树支电压和其它连支电流表出。具体为如下三步： ①对含未知量的单树支割集，把未知的树支电压，用连支电流表出；
②对含未知量的单连支回路，把未知的连支电流，用树支电压表出； ③如果网路中的输出量既不是树支电压又不是单连支电流，则把该 输出量用树支电压和连支电流表出—输出方程。 3）受控源的处理 ①先处理：按1）、2)直接在列方程时化简； ②后处理：先把受控源当做独立源处理画出信号流图，然后在信 号流图中按受控源的VAR改画。 下面我们通过几道例题，说明从网络做出信号流图的方法步骤。
x1
m
a
x2
b e
x0
d c
共有8个回路：ab，cd， ef，gh，aehd，bcgf， keh，kbc。 共有两个不接触二重 （阶）回路： abgh ， cdef。 显然没有不接触三 重（阶）以上回路。
k f g
n
x4
x3
h
非接触回路说明图2
（11）非接（切）触回路增益：不接（切）触回路中所有支路的增益之积。
I2 G （ G2U S G2U 4 2 U S U 4）
h
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
1
x7
输出节点、输 入节点、混合 节点说明图
b
e
p
x2
（5）有向路（通路）：从任一节点出发沿着支路方向连续 穿过各相连支路到达另一节点的路径。节点和支路只 通过一次，所有支路与路的方向一致。 （6）前向路（通路）：从源节点到汇节点的有向路。 （7）有向回路：起点与终点相同的有向路，也即所有支路 的方向与回路方向一致的一个回路。仅有一条支路构 成的回路称为自环。 x6 h
j

2
1
2
3
是唯一的。
（2）由线性方程组 SFG
设 X s [ xs1 xs 2 xsm ]T 为m维输入向量， X [ x1 x2 xn ]T 为n维待求向量，A为n n非奇异矩阵，
B是n m矩阵，X有唯一解。写成矩阵 AX BX S 。
改写成 X i Tij X j ，的形式， X X AX BX S ，（i 1 ， 2， n）
j k 1
上面的分析表明，给定一个线性代数方程组画信号流图，对应的信 号流图不唯一，但其解是唯一的。
例6-1画出如下方程组的信号流图
x1 x2 x3 xS 1 x1 2 x2 2 x3 0 x x x 0 1 2 3
-1 Xs1 1 -1 1 X1 -1/2 X2 1 1 1 X3
x1 x2 x3 xS1 1 x2 x1 x3 2 x3 x1 x2
-1 1 -1 1 Xs1 1 X1 -1 2 -1 Xs1 1 X1 -1/2 X2 1 X3 3 2 1 -1 -1
X2 1 X3
1 1 1 1 ，B 0 ，X a X 解：A 1 2 2 、 2、 3） ij j （1 aii）X i bi1 X S（ i 1 i 1 j 1 1 1 0 X i aij X j （ 1 aii）X i bi1 X S （ 、 2、 3） ，可见其流图是不同的 ，但其解 1 i 1
例6-3图示电路中输出量为U2、U4，做出该电路的信号流图。 解： （1）选黑线为树支、红线为连支 （2）列方程
I1 G1 + I3 G3 + U2 R4 C1 1 E 2 3 4 C2、 + U4 -
E
-
R2
对C1割集
对C2割集 对l1回路 对l2回路
U2 I1 I 3 U 2 R2 I1 R2 I 3 R2 U4 I 3 U 4 R4 I 3 R4 I1 E U 2 I1 G1E G1U 2 G1 I3 U 2 U 4 I 3 G3U 2 G3U 4 G3
不接触二重回路有两对其增益 分别为：abgh，dcfe。
x3
不接触二重回路 增益为：eph。
2.信号流图的基本性质：P243
①齐次性：信号流图中的信号只能沿支路箭头方向传输（单向有 效）；支路的作用是处理信号，支路的输出是该支路 的输入与支路增益的乘积Y=TX。
X k X j X j T jk X k，
第六章 网络函数与稳定性
§6-3 信号流图(分析和求解线性方程组的一种方法）(P243)
•信号流图(SFG—Signal Flow Graph)： 信号流图表示信号的流动，是由节点和支路组成的加权有向图。 信号流图用于线性网络或系统的分析、求解，它可以完全对应 一个线性方程组（系统或网络） ；图中的每个节点对应着线性 方程组的某一常量或变量，加权支路对应相应（方程组）的系 数；从而把线性方程组的变量描述为沿支路方向流动的信号 （信号流图）；把线性方程组的代数变换转化为信号流图的变 换。因而提供了一种通过对信号流图的观察和约简求解线性方 程组的方法。
xk
Tjk
xj
X j Tjk X K，
表示信号xk沿箭头方向前进，乘以支路增益Tjk传到xj节点。
（3）源节点（发点）：仅有输出支路的节点，又称为输入节点或发点。 （4）汇节点（收点）：仅有输入支路的节点，又称为输出节点或收点。既有输 入又有输出节点的称为混合节点。由前面的SFG可知源节点和汇节点均可 通过添加权值为1的输入、输出支路变为混合节点
1
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
1
x7
b
e
p
1
x2
x5
前向路（通路） 说明图
h
x1
b
a
c
x3
f
d
g
x4
e
p
x2
有向回路说明图
（8）路径增益：一条有向路中各支路增益的乘积。用p表示。
h
x6
1
P2＝bd×1
1
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
x7
b
e
p
1
x2
P1＝ace×1
x5
前向通路的路 径增益说明图
（9）回路增益：有向回路中所有支路的增益乘积。用L表示。 L3＝h h
1
x1
1
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
1
x7
注意：只能加到源节 点！该支路加到混合 节点不成立！
b
e
p
1
x2
x5
•优点： 形象、直观，对符号形式的传递函数（网络函数） 较为方便有效。 •缺点： 对稀疏方程求解不方便；对方程组系数均为数值 的并不比其它的求解方法更优越，甚至更复杂。 1. 基本术语：（P243） （1）输入、输出支路：离开节点xk的支路称为节点xk的输出支路， 指向xk的支路称为xk的输入支路。 x 6 h
（3）整理方程：没有受控源要处理，没有需要专门处理的输出。
（4）做出信号流图。
E -G1 G1 R2 I1 U2 -R2 G3 -G3 R4
I3
U4
U4
U2
例6-4做出图示电路的信号流图。 处理方法一 解： （1）选黑线为树支、红线为连支 选U1、 U4、 I2、 I3为未知量（变量）。
R1 + Us U1 R3
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这正是信号流图变换中消去自环的变换规则。
4.网络（电路）的信号流图
信号流图与一组线性代数方程组对应，要得到其对应的流图， 就要先找到相应的线性代数方程组。下面就来解决这个问题。
（1）分析 • 信号流图与一组线性方程组对应，前面的分析表明给定一组线 性方程组，其解唯一，其信号流图不唯一。
• 系统化建立网络方程的方法都是选变量、列方程。如支路电 流法、回路电流法、节点法（含MNA）、端口分析法、混合 分析法和稀疏列表法等等均可建立网络方程。理论上任何一 组独立的网络方程均可以用于画信号流图，只要待求量以输 出方程的形式出现在流图中即可。 • 为简单方便自然希望方程的个数尽量少。因此下面我们采用 与混合分析法类似的方法处理。 方程的独立性：其系数行列式不等于零（det（A）≠0）；
1
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
1
x7
b
e
p
1
x2
x5
输出支路说明图
只有输入支路的 节点称为汇节点 （输出节点）
只有输出支路的节 点称为源节点。图 中只有x1是源节点
h
既有输入支路又有输出支路 的节点称为混合节点。图中 除x1外均为混合节点。
x1
a
c
x3
f
d
g
x4
b
e
p
x2
输入支路说明图
（2）支路增益（传输）：每条支路都有一个权值，称为支路增益或支路传输。 例如：
如图1流图的回路（ep）与自环（h）为不接触二重回路, 其增益为：eph。如图2流图的回路（ab，gh）, （dc，fe） 为不接触二重回路其增益为：abgh，dcfe。 a x 1 h
x1
a
c
x3
f
d
g
x4 x
m b d c k f
x2
0
e
b
e
p
n
x2
g
x4
非接触回路增益说明图1
h 非接触回路增益说明图2
L5＝gf g
f
x1
L4＝cd
a
c
x3
d
x4
L2＝cef
p
b
e
x2
有向回路增益说明图
L1＝dgp
（10）非接（切）触回路：若干个有向回路之间没有公共节点 的回路，若两个回路不接触时称为不接触二重(阶)回路， n个回路不接触时称为不接触n重（阶）回路。 h
x1
b
a
c
x3
f
d
g
x4
e
p
x2
非接触回路说明图1