任意角的三角函数优秀教学设计

r
r
（3）比值 y 叫做α的正切，记作 tan ，即 tan y ；
x
x
说明：①α的始边与 x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及
α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点 P(x, y) 在α的终边上的位
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置的改变而改变大小； ③当 k (k Z ) 时，α的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等于 0 ，所以
13
r 13 13
tan y 3 ； x2
例 2．求下列各角的三个三角函数值：
（1） 0 ；
（2） ；
（3） 3 。 2
解：（1）因为当 0 时， x r ， y 0 ，所以 21 世纪教育网
sin 0 0 ，
cos0 1 ，
tan 0 0 ，
（2）因为当 时， x r ， y 0 ，所以
任意角的三角函数
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义； 2．掌握三角函数值的符号的确定方法； 3．记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）； 4．利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。
【教学重难点】
重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值 难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定
当 a 0时，sin y 2a 2a 2 5 ； r 5 | a | 5a 5
cos x a
5a ；
r 5a 5
4/5
tan 2 ； 当 a 0时，sin y
r
2a 2a 5 | a | 5a
2 5； 5
cos x a r 5a
5a ；。 5
tan 2 例 4． 求函数 y cos x tan x 的值域
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点 P （除了原点）的坐标为 (x, y)
，它与原点的距离为 r(r |x|2 | y |2 x2 y2 0) ，那么
（1）比值 y 叫做α的正弦，记作 sin ，即 sin y ；
r
r
（2）比值 x 叫做α的余弦，记作 cos ，即 cos x ；
cos x x x OM ， r1
我们就分别称有向线段 MP,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
三、典型例题 例 1．已知角α的终边经过点 P(2, 3) ，求α的三个函数制值。
解：因为 x 2, y 3 ，所以 r 22 ( 3)2 13 ，于是
sin y 3 r 13
3 13 ； cos x 2 2 13 ；
r ）；
②余弦值 x 对于第一、四象限为正（ x 0, r 0 ），对于第二、三象限为负（ x 0, r 0 r
）； ③正切值 y 对于第一、三象限为正（ x, y 同号），对于第二、四象限为负（ x, y 异号）。 x 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。 4．诱导公式 由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。 即有： sin(2k ) sin ，
2 tan y 无意义；
x
2．三角函数的定义域、值域
函数 y sin
定义域 R
值域 [1,1]
y cos y tanLeabharlann R {| k , k Z}
2
[1,1] R
注意： （1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非 负半轴重合。 （2）α 是任意角，射线 OP 是角 α 的终边，α 的各三角函数值（或是否有意义）与 ox 转了几圈，按什么方向旋转到 OP 的位置无关。 （3）sin 是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积。其余几个符号也是这样。 3．三角函数的符号 由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ①正弦值 y 对于第一、二象限为正（ y 0, r 0 ），对于第三、四象限为负（ y 0, r 0
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cos(2k ) cos ，其中 k Z 。
tan(2k ) tan ，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为 0～2π 间角的三角函数值问题。 5．当角的终边上一点 P(x, y) 的坐标满足 x2 y2 1 时，有三角函数正弦、余弦、正切
值的几何表示——三角函数线。 6．单位圆：圆心在圆点 O ，半径等于单位长的圆叫做单位圆。 7．有向线段： 坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。 8．三角函数线的定义： 设任意角 的顶点在原点 O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 P (x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1, 0) 作单位圆的切线，它与角 的终边
cos x tan x
解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在 x 轴上 又∵tanx0 ∴x 的终边不在 y 轴上 ∴当 x 是第Ⅰ象限角时， x 0, y 0 cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2
sin 0 ，
cos 1，
tan 0 ，
（3）因为当 3 时， x 0 ， y r ，所以 2
sin 3 1， 2
3 cos
0，
tan 3 不存在。
2
2
例 3．已知角α的终边过点 (a, 2a)(a 0) ，求α的三个三角函数值。
解：因为过点 (a, 2a)(a 0) ，所以 r 5 | a | ， x a, y 2a
【教学过程】
一、复习引入：
初中锐角的三角函数是如何定义的？
在 Rt△ABC 中，设 A 对边为 a，B 对边为 b，C 对边为 c，锐角 A 的正弦、余弦、正切依次
为 sinA a, cosA
b , tanA
a。
c
c
b
角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲授新课：
或其反向延长线交与点T 。 y
P
A
Mo
x
y
T
P
A
oM x
T
（Ⅱ ）
21 世纪教y 育网T
（Ⅰ ）
y
M
A
o
x
P
MA
o
x
PT
（Ⅲ ）
由四个图看出：
（Ⅳ ）
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当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段 OM x, MP y ，于是有
sin y y y MP ， r1
tan y MP AT AT 。 x OM OA