黄金分割练习题
人教版九年级下册数黄金分割同步练习
27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。
cmB.±3错误!未找到引用源。
cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。
B.错误!未找到引用源。
C.±错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。
AC;②AC=错误!未找到引用源。
AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。
黄金分割练习题
1、 若点C 是线段AB 的黄金分割点，AB=8 cm ，AC>BC,求AC 的值。
2、 已知点P 是线段MN 的黄金分割点，MP>NP,且MP=)15(-cm,求MN 的值。
3、 点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC,求ABBC 的值 。
4、 若把长为10cm 的线段黄金分割后，求其中较短的线段长度是多少？5、 已知线段AB=6，点C 为线段AB 的黄金分割点，(AC>BC)，求下列各式的值：（1）AC －BC; (2)BC AC ⋅6、 已知线段AB ，请利用尺规作图画出线段的黄金分割点。
（只画出一个即可）A CB M PNA B7、如图：在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且EC AE BD AD =, (1)你能说明ACEC AB BD =吗? (2)若AB=12，AE=6，EC=4，求出AD 的长。
(3)若3===DE AE AD ,且ABC ∆的周长为30，求出ADE ∆的周长。
7、 已知：如图，ABC ∆中，D 是BC 上的一点，DC BD AC AB =,且AB=7cm,AC=5cm,BC=8cm, 求BD , DC 的长。
5、（2007山东青岛）某饮料厂开发了A 、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示．现用甲原料和乙原料各2800克进行试生产，计划生产A 、B 两种饮料共100瓶．设生产A 种饮料x 瓶，解答下列问题：（1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果A 种饮料每瓶的成本为2.60元，B 种饮料每瓶的成本为2.80元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？B D C。
黄金分割练习题
一、填空题1．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AC:AB=_____,BC:AB___________:=BC AC ．如果AB=10cm,则AC=______,BC=_________.若C 是线段AB 的黄金分割点，则____:=BC AC2．若Q P ,是线段AB 上的两个黄金分割点，且452-=PQ ，则____=AB3．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 4．若点C 是线段AB 的黄金分割点（BC AC >），则AB 与AC 的比值是__________，BC 与AC 的比值是_________．5．在线段AB 上取一点P ，使AP ：PB=1：3，则AP ：AB=______，6．如图，已知3,(1)2ABACBCCEAD AE DE AE ===则:=______，（2）若BD=10cm ，则AD=______；（3）若△ADE 的周长为16cm ，则△ABC 的周长为_______ ．二、认真选一选 7．已知y x 23=,那么下列式子成立的是（ ）A.3x=2yB.xy=6C.32=y xD.32=x y8．把ab=21cd 写成比例式，不正确的写法是（ ） A.b d c a 2= B.b d c a =2C.bd c a =2 D.d a b c 2= 9已知线段x,y 满足（x+y ）∶（x －y ）=3∶1,那么x ∶y 等于（ ）A.3∶1B.2∶3C.2∶1D.3∶210．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．7C ．-17D ．-710．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）． A ．7：5 B ．5：2 C ．2：7 D ．5：711有以下命题:①如果线段d 是线段a,b,c 的第四比例项，则有d c b a =②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项 ③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC>BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项 ④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC>BC ，且AB=2，则 AC=5－1其中正确的判断有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：7。
黄金分割(练习)
C B A “黄金分割”练习题单一、选择题：1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC=,那么下列说法错误的是 ( ) A.线段AB 被点C 黄金分割 B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.若P 为线段AB 的黄金分割点且AP>PB,则下列各式成立的是( )A. AB 2=AP·BPB. BP 2=AP· ABC. PA 2=2BA·BPD. AP 2=AB·BP3. 已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） A.2 5 –2)cm B.(6-2 5 )cm C.( 5 –1)cm D.3- 5 )cm二、填空题：1..一把菜刀长30厘米，则刀柄长约_____厘米时这把菜刀最好使用。
2.东方明珠塔高468米，上球体点A 事塔身的黄金分割点，则点A 到塔底部的距离为_____米。
3.我们知道古希腊时期的巴台农神庙（Parthenom Temple ）的正面是一个黄金矩形。
若已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_____________.（结果保留根号）4.电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体。
若舞台AB 长为20米，主持人此时在舞台一端点A 处，试计算主持人应走到离B 点至少______米处。
如果他乡B 点至少再走______米，也处在比较得体的位置。
（结果精确到0.1米）“黄金分割”练习题单一、选择题：1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC=,那么下列说法错误的是 ( ) A.线段AB 被点C 黄金分割 B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点C.AB 与AC 的比叫做黄金比D.AC 与AB 的比叫做黄金比2.若P 为线段AB 的黄金分割点且AP>PB,则下列各式成立的是( )A. AB 2=AP·BPB. BP 2=AP· ABC. PA 2=2BA·BPD. AP 2=AB·BP3. 已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ）A.2 5 –2)cmB.(6-2 5 )cmC.( 5 –1)cmD.3- 5 )cm二、填空题：1..一把菜刀长30厘米，则刀柄长约_____厘米时这把菜刀最好使用。
黄金分割练习题
黄金分割练习题(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--黄金分割比：假设身高160cm，上半身高度为64cm，则妈妈应该穿多高的高跟鞋64÷≈ cm 理想下半身160－64=96 cm 实际下半身－96= cm 高跟鞋高度实践作业：1、帮妈妈计算需要的高跟鞋高度2、寻找生活中的黄金比记录下来。
易错题:1.一个和长方形的周长是36厘米,长和宽的比是4:5,长和宽各是多少厘米2.一个三角形三个内角度数比是1:2:3,这个三角形是什么三角形3.六年级三个班数学平均成绩是87,比为4:5:6,三个班的成绩各是多少24.一项工程,甲队单独做完成要5天完成,乙队单独做要6天完成,甲乙两队工作效率比是多少5.糖与水比是1:50,现有水300千克,需加糖多少千克6.甲,乙两数之和是18,.甲数是乙数的5分之一,求甲乙两数、B两地相距408KM，客车和货车同时从A、B两地相对开出，3小时后相遇，已知客车和货车的速度比是9:8，客车每时比货车每时快多少千米？8.一件商品按20%的利润定价，然后又按8折出售，结果亏了64元，这件商品的成本是多少元？9.将一根384cm的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3:2:1的长方体模型。
这个模型的长、宽、高各是多少厘米表面积是多少平方厘米？10.一块长方形土地，周长是160m，长和宽的是5:3，这块长方形土地的面积是多少平方米？311.李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率是%。
到期时，李老师一共能取回多少钱（利息税是5%）12.李明和张华参加赛跑，李明跑到中点时，张华跑了全程的40%,此时两人相距80米，你知道赛程多少米吗？4。
黄金分割同步练习及答案(9)
黄金分割同步练习（典型题汇总）【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．情景导入生成问题形是( B )A．△ EFB B．△ DEFC．△ CFB D．△ EFB 和△ DEF2．如图，在边长为 1 的正方形网格中有点P，A，B， C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△ CPA．自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96 页的内容，然后解答下列问题：1. 黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝BC，那么称线段AB被点C黄AB AC金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.1．如图，在矩形ABCD 中， E 在AD 上，E F⊥BE，交CD 于F，连接BF，则图中与△ ABE 一定相似的三角1(1) 过 B 作 BD ⊥AB 使 BD ＝2AB ； (2) 连接 AD ，在 DA 上截取 DE ＝DB ；(3) 在 AB 上截取 AC ＝AE ，则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段 AC 、 BC 的长度，然后计算 A AB C 与B AC C ，它们的值相等吗？教学说明： 学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．2．计算黄金比：见教材 P 96 页例 4. 3．探究教材 P 96 页 “想一想 ”．归纳结论： 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果A AB C ＝ BC， AC，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC ＝AB. BE ＝BC .提出问题：点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察 与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由 B B E C ＝A B B C ，可以得到 A B B C ＝B B E C 即A AB E ＝A BE E .所以点 E 是 AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，则下列等式成立的是 ( C ) A ．AB 2＝AC ·CB B ． CB 2＝AC ·ABC ．AC 2＝ CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2．如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC ，如果AC ＝BC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， AC 与AB ACAB 的比叫做黄金比，其比值是 ( AA. 52－1B.3－2 5)C. 5＋ 12D.3＋2 53．已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( D ) A. 52－1 B.3－2 5 C. 52＋ 1D. 52－1或3－2 5交流展示 生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题 ”和通过 “自主探究、合作探究 ”得出的 “结论 ”展示在各小组的小黑板上．并将疑 难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将 “问题和结论 ”展示在黑板上，通过交流 “生成新知 ”．知识模块 黄金分割的有关概念检测反馈 达成目标1．下列说法正确的是 ( B ) A ．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为 ( A )3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BE > CE ，AE 与 BD 相交于点 F.那么 BF ∶ FD 的值为 52－ 1．4．五角星是我们常见的图形，如图是AB ＝20cm ，求 EC ＋CD 的长．解：∵点 D 为线段 AB 的黄金分割点 (AD >BD)，∴ AD ＝ 52－1，AB ＝(10 5－10)cm.∵EC ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD ，∴ EC ＋CD ＝（10 5－10）cm.课后反思 查漏补缺1．收获： 2．存在困惑：黄金分割同步练习(典型题汇总)、选择题 :A ． 12.36cmB ．13.6cmC ． 32.36cmD ．C ，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AC BC1.如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么下列说法错误的是 ( )AB AC4. 黄金分割比是 (AC 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,那么 AC 与AB BC二、填空题 :1. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 _____ , 那么称线段 AB 被点 C?黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的 _______ ,AC 与AB 的比叫做 _______ .2. _______________________________________________如图,若点 C 是AB 的黄金分割点 ,AB=1,则AC= ________________________________________________,BC= _____ .A C BAC5 1 AC3. _________________________________________________________ 已知点 C 是AB 的黄金分割点 ,即 AC = 5 1,那么 AC = _________________________________________________ .AB 2 CB4. 如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,AB=4,则AC 2=5. 宽与长的比等于 _______ 的矩形叫做黄金矩形6. 已知黄金矩形的长等于 6, 则这个黄金矩形的宽等于 ________ 三、计算题 : 1.已知线段 AB 长 6厘米,点P 是 AB 的黄金分割点 ,且AP>BP,求AP 和BP 的长.A. 线段 AB 被点 C 黄金分割 ; C.AB 与 AC 的比叫做黄金比 ;B. 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AD.AC 与 AB 的比叫做黄金 2. 如图的五角星中 , AC 与 BC AB 的关系是 ( )ACA. 相等;B. AC >BC ABACC.AC <BC; D.AC AB不能确定3. 一条线段的黄金分割点有 A.1 个 B.2个 C.3D.无数个A. 5 1B.2512C.51 2D.0.618ACAC的值分别是A. 5 1, 5 1A. 2 , 2B. 5 1, 5 1; C. B. , 2; C.21; D.5126.如图,若点 C 是 AB 的黄金分割点 ,AB=2, 则 AC= CBA. 5 1B. 5 122C. 5 1D.51BCB2. 仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.12 23. 请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料五、已知线段 AB=1,C 为 AB 的黄金分割点 ,且 AC>BC 求, AC-BC 的值.六、如图的五角星中 ,AD=BC,且 C 、D 两点都是 AB 的黄金分割点 ,AB=1,求 CD 的长.七、已知 C 、D 是线段 AB上的两点 , 且 CD=( 5 -2)AB,AC=BD,不难证明当 AB=1时,C 、 D 是线段 AB 的黄金分割 点,试探究当 AB 任意长时 ,C 、D 是否是线段 AB 的黄金分割点 ?为什么 ?四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比 出一个黄金三角形 .,? 那么这样的等腰三角形称为黄金三角形 . 请你设法作, 并与同伴相互交流B答案:1.C2.A3.B4.B5.B6.C、 1. AC BC ; 黄金分割点 ; 黄金比 2. AB AC3. 5 14.24-8 55. 黄金比6.3 5 -32三、 1.因为点 P 是 AB 的黄金分割点 ,且 AP>BP,AP= 52 1×AB= 52 1×6=3 5-3, BP=AB-AP=9-3 512. (1) 过点 B 作 BD ⊥AB 且 BD= AB,连接 AD2(2) 以 D 为圆心 BD 为半径作圆弧交 AD 于 E(3) 以 A 为圆心 AE 为半径作圆弧交 AB 于 C,则 C 为 AB 的黄金分割点 3. 查阅资料四、先做出线段 AB,及其黄金分割点 C(AC>BC 分) 别以 A 、B 为圆心 ,AC 为半径作圆弧 ,交点为 P,则△ PAB 就是 黄金三角形 五、根据 C 为 AB 的黄金分割点 ,AC>BC 得 AC = 5 1,AB 2 因为 AB=1,所以 AC= 5 1 BC=AB-AC=1- 5 1= 3 5 ,?2 所以 AC-BC= 5 1-3 5= 5-2.22六、根据 C 、 D 都是 AB 的黄金分割点得因为 AB=1,所以 AC= 5 1,BD= 5 所以 AD=AB-BD=1- 5 1=3 5 ,225 1; 3 52 ; 2所以AP ABPB= 5 1AP = 222 AC= 5 1, BD = 5 1AB 2 AB 2因此CD=AC-AD= 5 1- 3 5 = 5-2 22七、C、D 是线段AB的黄金分割点.122。
比例线段黄金分割习题
⽐例线段黄⾦分割习题例1．下列各组中的四条线段成⽐例的是( )A.a =2，b =3，c =2，d =3B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =5，c =23，d =15D.a =2，b =3，c =4，d =1例2. 已知线段a 、b 、c 、d 满⾜ab =cd ，把它改写成⽐例式，错误的是( )A.a ∶d =c ∶bB.a ∶b =c ∶dC.d ∶a =b ∶cD.a ∶c =d ∶b 例3. 若a =2,b =3,c =33,则a 、b 、c 的第四⽐例项d 为________例4. 若ac =bd ，则下列各式⼀定成⽴的是( )A.dc b a =B.ccb d d a +=+ C.c d b a =22 D.dacd ab = 例5. 已知dcb a =,则下列式⼦中正确的是（） A. a ∶b =c 2∶d 2B. a ∶d =c ∶bC. a ∶b =（a +c ）∶（b +d ）D. a ∶b =（a －d ）∶（b －d ）例6．已知5:4:2::=c b a ，且632=+-a b a ，求c b a 23-+的值。
例7.在⽐例尺为1∶500000的地图上，A 、B 两地的距离是64 cm ，则这两地间的实际距离是______ 例8.在⼀张地图上，甲、⼄两地的图上距离是3 cm,⽽两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的⽐例尺为________.例9．（1）已知ba ab b a x +=+=+=222，求x 的值（2）已知524232xz z y y x -=-=-，求y x z y x -++2的值例10.已知点M 将线段AB 黄⾦分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( ) A ．AM ∶BM =AB ∶AM B.AM =215-AB C.BM =215-AB D.AM ≈0.618AB 例11．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄⾦分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ?=2，A CDB求：ACCD的值【经典练习】1．如果bc ad =，那么下列⽐例中错误的是（）A 、d b c a =B 、b a d c =C 、b d c a =D 、cd a b =2．若5:6:=y x ，则下列等式中，不正确的是（）A 、511=+y y x B 、51=-y y x C 、6=-yx x D 、5=-x y y3．若2:1:::===d c c b b a ，则=d a :（）A 、1:2B 、1:4C 、1:6D 、1:8 4．若3:2:1::=c b a ，则cb a cb a +---的值为（）A 、-2B 、2C 、3D 、-35．已知875cb a ==，且20=++c b a ，则=-+c b a 2（） A 、11 B 、12 C 、314D 、96．若4:3:2::=c b a ，且5=-+c b a ，则b a -的值是（）A 、5B 、-5C 、20D 、-20 7．若43xx =，则x 等于（） A 、12 B 、32 C 、-32 D 、32± 8．已知AB=1，)15(2 1-=AC ，且BC AB AC ?=2，则BC 的长为（） A 、215- B 、215+ C 、)53(21- D 、)53(21+ 9．已知P 是线段AB 的黄⾦分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（）A 、2B 、15+C 、2或15+D 、以上都不对 10．已知572zy x ==，设x z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的⼤⼩顺序为（） A 、A>B>C B 、AA>B D 、A35=y x ，则=-+)(:)(y x y x 12．如果32=b a ，且3,2≠≠b a ，那么=-++-51b a b a 13．已知a b a 3)(7=-，则=ba14．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-cb a z y x 3232 15．已知：2,2,1三个数，请你再填⼀个数，可写成⼀个⽐例式，这个数是 16．把长为5的线段进⾏黄⾦分割，则较短的线段长是17．若65432+==+c b a ,且2a －b +3c =21.试求a ∶b ∶c . 19. 若54,23,43===d c c b b a ，则22db ac+等于多少？20. 已知xbc a x a c b x c b a =+=+=+,,，求x 的值1.如果线段a=3，b=12，那么线段a 、b 的⽐例中项x=___________。
6.2 黄金分割提优练习 2022-2023学年苏科版数学九年级下册
九年级数学下册提优练习6.2黄金分割一、选择题1.一条线段的黄金分割点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个2.黄金分割比的准确值是（ ）3.如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC =那么下列说法错误的是（ ） A ．线段AB 被点C 黄金分割B ．点C 叫做线段AB 的黄金分割点C ．AB 与AC 的比叫黄金比D ．AC 与AB 的比叫黄金比 4.已知P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞PB ，则下列等式成立的是（ ）A ．AB 2＝AP·PBB ．AP 2＝PB·ABC ．BP 2＝AP·ABD ．AP ：AB ＝AB ：PB5.已知线段AB ＝1，C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），则AC 的长度为（ ）6.已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP PB >，10AB =，则AP 长约为（ ）A ．0.618B ．6.18C ．3.82D ．0.3827.如图，扇子的圆心角为x°，余下扇形的圆心角为y°，x 与y 的比通常按黄金比来设计，这样的扇子外形较美观，若取黄金比为0.6，则x 为（ ）A ．216B ．135C ．120D ．1088.已知线段AB ＝1，C 是线段AB 的黄金分割点，则AC 的长度为（ ）9.宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图4－1－13所示，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；以F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H.则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH10.如果三条线段的长a ，b ，c 满足b a ＝c b ＝5－12，那么a ，b ，c 叫做“黄金线段组”．黄金线段组中的三条线段( )A. 必构成锐角三角形 B ．必构成直角三角形 C. 必构成钝角三角形 D ．不能构成三角形二、填空题11.已知P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，AB=4,那么AP=________.12.东方明珠塔高468m ，上球体点A 是塔射的黄金分割点，点A 到塔底的距离约是___________米（精确到0.1m ）;13.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37℃）的黄金比值时，人体感到最舒适．这个气温约为____________℃（精确到1℃）．14.下列矩形中,哪个比较匀称?若矩形的两条邻边长度的比例约为＿＿＿＿＿，这种矩形称为黄金矩形.15.已知线段AB ＝10cm ，C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的长约为＿＿＿＿＿＿.（精确到0.1cm ）16.已知C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC 是线段＿＿＿＿＿与线段＿＿＿＿＿的比例中项，如果AB ＝12cm ，那么AC ＝＿＿＿＿cm ，BC ＝＿＿＿＿cm17.如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点．若AD ＝4，BD ＝5，AC 是AD 与AB 的比例中项，则AC 等于6 ．第17题图 第18题图 第19题图 第20题图18.已知顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金分割比)．如图，已知△ABC ，△BDC ，△DEC 都是黄金三角形，AB ＝1，DE=______．19.如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a (cm)，宽BC ＝b (cm)，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于_____20.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，四边形EFCD 是正方形．若BF AB ＝AB BC，则BC ＝______． 三、解答题21.如图，点C 是线段AB 的黄金分割点，BC ＞AC ，D.E 分别是AC.BC 的中点，那么点C 是线段DE 的黄金分割点吗？为什么？22.“黄金分割”在人类历史上有着重要的作用和影响，世界上许多著名的建筑和艺术品都蕴涵着“黄金分割”.下面我们就用黄金分割来设计一把富有美感的纸扇：假设纸扇张开到最大时，扇形的面积与扇形所在圆的剩余部分的比值等于黄金比，请你来求一求纸扇张开的角度.（黄金比取0.6）23.如图，以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边长作正方形AFEM，点M在AD上.（1）试求AM.DM的长；（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由.24.如图所示，线段AB＝6cm，C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，以AC为边的正方形ACDE的面积为S1，以BC为一边，AB长为另一边的矩形BCFG的面积为S2.（1）试求S1与S2的大小；（2）判断点D是线段CF的黄金分割点吗？为什么？25.已知：如图，线段AB＝2，BD⊥AB于点B，且BD＝AB，在DA上截取DE＝DB．在AB上截取AC＝AE．求证：点C是线段AB的黄金分割点．26.二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子.分母同乘以一个恰当的二次根式．例如：化简：．解：将分子.分写同乘以得＝＝．类比应用：（1）化简：＝．（2）化简：++…+．拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．（1）黄金矩形ABCD的长BC＝；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE，则点D到线段AE的距离为．。
初中数学相似三角形之黄金分割专项练习题(附答案详解)
解：由于D为线段AB=2的黄金分割点，
且AD>BD，
则AD= ×2=( )cm
∴BD=AB−AD=2−( )=
故选D．
【点睛】
本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ,较长的线段=原线段的 ．
2．B
【解析】
【分析】
由AP＞BP知PA是较长线段，根据黄金分割点的定义，则AP2=BP•AB．
5．已知线段AB的长为4，点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，则PA的长为()
A．2 ﹣2B．6﹣2√5C． D．4﹣2
6．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC•AB，则下列式子成立的是（）
A． B． C． D．
7．已知如图，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（）
【详解】
解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP•AB．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割，理解黄金分割点的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段即可．
3．D
【解析】
【分析】
分AC＜BC、AC＞BC两种情况，根据黄金比值计算即可．
【详解】
解：当AC＜BC时，BC= AB= ，
当AC＞BC时，BC= = ，
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；
(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.
21．把宽与长之比为 的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，如图，四边形 是黄金矩形，如果在这个黄金矩形里画一个正方形，那么剩下的矩形（矩形： ）还是黄金矩形吗？请证明你的结论．
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC?AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD?AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案: 1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD?AC，∴AD2=CD?AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD?AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）?10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=， ∴AD 2=AC?CD ．∴点D 是线段AC 的黄金分割点．（2）∵点D 是线段AC 的黄金分割点，∴AD=AC ，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB 作为三角形底边；②取AB 的一半作AB 的垂线AC ，连接BC ，在BC 上取CD=CA ．③分别以A 点和B 点为圆心、以BD 为半径划弧，交点为E ；④分别连接EA 、EB ，则△ABE 即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC ﹣CD=﹣1，=． 5．解：（1）由于P 为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣； （2）如图，点P 是线段AB 的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x ，则BC=AB ﹣AC=1﹣x ，∵AC 2=BC?AB ，∴x 2=1×（1﹣x ），整理得x 2+x ﹣1=0，解得x 1=，x 2=（舍去），所以线段AC 的长度为； （2）设线段AD 的长度为x ，AC=l ，∵AD 2=CD?AC ，∴x 2=l×（l ﹣x ），∴x 1=，x 2=（舍去），∴线段AD 的长度AC ；（3）同理得到线段AE 的长度AD ； 上面各题的结果反映：若线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），则C 点为AB 的黄金分割点7．解：D 是AC 的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC?CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB?HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC?DC，∵BC=AD，∴AD2=AC?DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD?AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB?HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB?HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN 就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
专题27.13 黄金分割(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练
专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．12-B．9-C．4D．42．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA B1C．3D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．3B1C．1D．34．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A1B C35D．325．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么AC AB =D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020⎝⎭B ．2021⎝⎭C ．2020⎝⎭D ．2021⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割，已知AB=10 cm，AC＞BC，那么AC的长约为____________cm（结果精确到0.1 cm）．14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯” 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C是线段AB的黄金分割点（AC>BC），则AC= .17．把长度为4cm的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm．18．已知线段4AB=，点P是线段AB的黄金分割点（AP BP>），那么线段AP=______.（结果保留根号）19．已知线段AB长为2cm，P是AB的黄金分割点，则较长线段PA＝___；PB＝______．200.61803398=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是．21．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＜BC，若AB＝10，则BC＝_____．22．若点P是线段AB的黄金分割点，AB=10cm，则较长线段AP的长是_____cm．三、解答题23．已知C、D是线段AB上的点，CD＝(√5﹣2)AB，AC＝BD，则C、D是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP AB，然后把AP的长度代入可求出AB的长．【详解】解：△P为AB的黄金分割点（AP＞PB），△AP AB，△AB的长度为8cm，△AP×8=4（cm），△BP=AB-AP=8-（4）=12-故选：A．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC 是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC AB．2．C【分析】利用黄金分割比的定义即可求解.【详解】由黄金分割比的定义可知BC AB===21△21)3=-=-=AC AB BC故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键.3．A【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解.【详解】解: 较短的线段长=2⨯(1=2故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值是解题的关键.4．A【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP=，代入数据即可得出AP的长度．>得出AP AB【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则21==．ABAP=故选：A．35，2．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么AC AB =D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，1BP =则11AP ==2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段20202020AP =⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割．12 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，，．是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC:AB=BC:AC，△AC:AB≈0.618，△AC=0.618×10cm≈6.2(结果精确到0.1cm)故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．米【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分叫做黄金比．【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯米.是解的关键．15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解： 2.236≈，≈2.23612-≈0.62，故答案为：0.62．【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键．161【解析】21AC==17．()2cm．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可．解：较长线段的长=×4=（2）cm．故答案为（2）cm．18．2【分析】计算即可.【详解】解：△点P是线段AB的黄金分割点（AP>BP）△AP2AB==故答案为：2.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)1cm (3cm【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段AB，则PB=AB-352AB，然后把AB=2cm代入计算即可．【详解】解：△P是AB的黄金分割点，△较长线段AB，△PB=AB-352AB，而AB=2cm，△PA=)1cm，PB=(3cm．故答案为：)1cm；(3cm．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分倍．20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．5【分析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC AB，代入数据即可得出AC的值．【详解】解：由于C为线段AB＝10的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC＝＝5．故答案为：5．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．22．5【解析】△P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB，△AB=10cm，△AP=105=.故答案为5．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。
《黄金分割》专题练习
黄金分割专题练习一、选择题1．已知C 是线段AB 的一个黄金分割点,则AC ∶AB 为A ．215-B ．253-C ．215+D ．215-或253-A ．55B ．21C ．25 D 3．把2米的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段长为A ．53-B ．15-C ．51+D ．3+4．美是一种感觉,本应没有什么客观的标准,但在自然界里,物体形状的比例却提供了在匀称与协调上的一种美感的参考,在数学上,这个比例称为黄金分割;在人体躯干由脚底至肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,也就是说,若此比值越接近0.618,就越给别人一种美的感觉;如果某女士身高为1.60m,躯干与身高的比为0.60,为了追求美,她想利用高跟鞋达到这一效果,那么她选的高跟鞋的高度约为A ．2.5cmB ．5.1cmC ．7.5cmD ．8.2cm 5．如图,在正五边形ABCDE 中,对角线AD 、AC 与EB 分别相交于点M 、N ．下列命题：①四边形EDCN 是菱形；②四边形MNCD 是等腰梯形；③△AEN 与△EDM 全等； ④△AEM 与△CBN 相似；⑤点M 是线段AD 、BE 、NE 的黄金分割点,其中假命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个二、填空题1．C 是AB 的黄金分割点,则=BCAC ; 2．P 为线段AB ＝10cm 的黄金分割点,则AP ＝ cm 保留两个有效数字;3．当人的肚脐到脚底的距离与身高的比等于黄金分割比0.618时,身材是最完美的;一位身高为165cm,肚脐到头顶高度为65cm 的女性,应穿鞋跟为 cm 的高跟鞋才能使身材最完美精确到1cm;4．如图,节目主持人现站在舞台AB 的一端A 点,在主持节目时,站在舞台的黄金分割点处可获得最佳美学效果,若舞台AB 长20米,主持人要想站在舞台的黄金分割点处,她应走到距A 点至少 米处,如果向B 点再走 米,也处在舞台的黄金分割点处结果精确到0.1米5．如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是边BC 上的黄金分割点,且BE ＞CE,AE 与BD 相交于点F ．那么BF ：FD 的值为 ;6．如图,在△ABC 中,点D 是AB 的黄金分割点AD ＞BD,BC ＝AD,如果∠ACD ＝90°, 那么tanA ＝ ;三、 解答下列各题1．在人体躯干脚底到肚脐的长度与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618越给人以美感;张女士的身高为1.68米,身体躯干脚底到肚脐的高度为1.02米,那么她应选择约多大的高跟鞋看起来更美;精确到十分位2．一般认为,如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割,则这个人好看;如图,是一个参加空姐选拔的选手的身高情况,那么她应穿多高的鞋子才能好看 精确到1cm参考数据：黄金分割比为215-,5＝2.236; 3．要设计一座2m 高的维纳斯女神雕像如图,使雕像的上部AC 肚脐以上与下部BC 肚脐以下的高度比,等于下部与全部的高度比,即点C 肚脐就叫做线段AB 的黄金分割点,这个比值叫做黄金分割比;试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比 结果精确到0.0014．如图,在△ABC 中,AB ＝AC,∠A ＝36°,∠1＝∠2,请问点D 是不是线段AC 的黄金分割点;请说明理由;5．如图,△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝108°,在BC 边上取一点D,使BD ＝BA,连接AD;求证： 1△ADC ∽△BAC ；2点D 是BC 的黄金分割点;6．如图1,点C 将线段AB 分成两．部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点;某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为1S ,2S ,如果121S S S S =,那么称直线l 为该图形的黄金分割线; 1研究小组猜想：在ABC △中,若点D 为AB 边上的黄金分割点如图2,则直线CD 是ABC △的黄金分割线;你认为对吗 为什么2请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线3研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ,再过点D 作直线DF CE ∥,交AC于点F ,连接EF 如图3,则直线EF 也是ABC △的黄金分割线;请你说明理由;4如图4,点E 是ABCD 的边AB 的黄金分割点,过点E 作EF ∥AD,交DC 于点F,显然直线EF 是ABCD的黄金分割线;请你画一条ABCD 的黄金分割线,使它不经过ABCD 各边黄金分割点;7．2013 黄石如图1,点C 将线段AB 分成两部分,如果AC BC AB AC=,那么称点C 为线段AB 的黄金分割点 ;某数学兴趣小组在进行课题研究时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S 1、S 2,如果121S S S S =,那么称直线l 为该 图形的黄金分割线;1如图2,在△ABC 中,∠A ＝36°,AB ＝AC,∠C 的平分线交AB 于点D,请问点D 是否是AB 边上的黄金分割点,并证明你的结论；2若△ABC 在1的条件下,如图3,请问直线CD 是不是△ABC 的黄金分割线,并证明你的结论； 3如图4,在直角梯形ABCD 中,∠D ＝∠C ＝90°,对角线AC 、BD 交于点F,延长AB 、DC 交于点E,连接EF交梯形上、下底于G 、H 两点,请问直线GH 是不是直角梯形ABCD 的黄金分割线,并证明你的结论;8．已知线段AB,求作线段AB 的黄金分割点C,使AC ＞BC;相似形专题练习答案一、选择题1．D2．D3．A4．C5．B二、填空题1．215-或215+； 2．6.2或3.8;3618.0= 456．解：∵点D 是AB 的黄金分割点AD ＞BD,====AB AD AB BC 在△ACD 中,∠ACD ＝90°,=三、 解答下列各题1．设张女士应该选择xcm 高的高跟鞋,则618.0168102=++xx ,解得x ＝4.8cm; 2．解：设应穿xcm 高的鞋子,=3答：维纳斯女神雕像下部的高度为1.236m;618.0≈; 456．1直线是的黄金分割线;理由如下：设ABC △的边AB 上的高为h ;12ADC S AD h =△,12BDC S BD h =△,12ABC S AB h =△, 所以,ADC ABC S AD S AB =△△,BDC ADC S BD S AD=△△;又因为点D 为边AB 的黄金分割点,所以有AD BD AB AD =．因此ADC BDC ABC ADC S S S S =△△△△; 所以,直线CD 是ABC △的黄金分割线; 2因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分,此时1212s s s ==,即 121s s s s ≠,所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线; 3因为DF CE ∥,所以DEC △和FCE △的公共边CE 上的高也相等,所以有DEC FCE S S =△△;设直线EF 与CD 交于点G ．所以DGE FGC S S =△△．所以ADC FGC AFGD S S S =+△△四边形DGE AEF AFGD S S S =+=△△四边形,BDC BEFC S S =△四边形;又因为ADC BDC ABC ADCS S S S =△△△△,所以BEFC AEF ABC AEF S S S S =四边形△△△; 因此,直线EF 也是ABC △的黄金分割线;4画法不惟一,现提供两种画法；画法一：如答图1,取EF 的中点G ,再过点G 作一条直线分别交AB ,DC 于M ,N 点,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线．画法二：如答图2,在DF 上取一点N ,连接EN ,再过点F 作FM NE ∥交AB 于点M ,连接MN ,则直线MN 就是ABCD 的黄金分割线;7．解：1点D 是AB 边上的黄金分割点．理由如下：∵AB ＝AC,∠A ＝36°,∴∠B ＝∠ACB ＝72°;∵CD 是角平分线,∴∠ACD ＝∠BCD ＝36°,∴∠A ＝∠ACD,∴AD ＝CD;∵∠CDB ＝180°－∠B －∠BCD ＝72°,∴∠CDB ＝∠B,∴BC ＝CD; FB D E N M G第6题答图1F B D E N M 第6题答图2另一种作法：⑴经过点B作BD⊥AB,使BD＝错误!AB；⑵连接AD,在AD上截取DE＝DB;⑶在线段AB上截取AC＝AE;如图,点C就是线段AB的黄金分割点;A EB CD。
北师大版九年级数学《黄金分割》分层练习(含答案)
4.4.4 黄金分割一、目标导航1．黄金分割定义:点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC :AB =BC :AC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割．点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．2．618.0215≈-=AB AC ． 二、基础过关 1．若点P 是AB 的黄金分割点，则线段AP 、PB 、AB 满足关系式 ．2．黄金矩形的宽与长的比大约为________（精确到0.001）．3．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB 长为20m ，试计算主持人应走到离A 点至少 m 处？，如果他向B 点再走 m ，也处在比较得体的位置．（结果精确到0.1m ）三、能力提升4．有以下命题：①如果线段d 是线段a ， b ，c 的第四比例项，则有dc b a =；②如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；③如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，那么AC 是AB 与BC 的比例中项；④如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC >BC ，且AB =2，则AC =5－1．其中正确的判断有( )A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个 5．已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )A ．AM ∶BM =AB ∶AM B ．AM =215-AB C ．BM =215-AB D ．AM ≈0．618AB 6．已知C 是线段AB 的黄金分割点(AC ＞BC ）， 则AC ∶BC = ( )A ．(5－1)∶2B ．（5 +1）∶2C ．（3－5）∶2D ．（3+5）∶27．在长度为1的线段上找到两个黄金分割点P ，Q ．则PQ ＝( )A ．215-B ．53-C ．25-D ．253- 8．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =253-． 求证：点A 是MN 的黄金分割点．四、聚沙成塔9．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连结PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF =PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM 、DM 的长．（2）求证：AM 2=AD ·DM ．（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？10．如果一个矩形ABCD (AB ＜BC )中，215-=BC AB ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD 内作正方形CDEF ，得到一个小矩形ABFE (如图)，请问矩形ABFE 是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．参考答案1．AP 2=BP ·AB 或PB 2=AP ·AB ；2．0.618；3．7.6，4.8；4．C ；5．C ；6．B ；7．C ；8证得AM 2=AN ·MN 即可；9．⑴AM =5－1；DM =3－5；⑵略；⑶点M 是线段AD 的黄金分割点；10．通过计算可得215-=AB AE ，所以矩形ABFE 是黄金矩形．。
黄金分割同步练习及答案 (6)
黄金分割同步练习（典型题汇总）知识点 1 对黄金分割的理解1．已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，下列说法错误的是( )A．如果ACAB＝BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B．如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割C．如果线段AB被点C黄金分割，那么AC与AB的比叫做黄金比D．一条线段有两个黄金分割点2．如图4－4－28，点C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC)，下列结论错误的是( )图4－4－28A.ACAB＝BCAC B．BC2＝AB·ACC.ACAB＝5)－12D.BCAC≈0.6183．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2，则AC的长为( )A.5－1 B．3－5 C.5)－12 D．0.6184．已知点P是线段AB的黄金分割点(AP＞BP)，若AB＝2，则AP－BP＝________．5．教材习题4.8第1题变式题如图4－4－29，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C，D之间的距离．图4－4－29知识点 2 黄金分割的应用6．如图4－4－30所示，扇子的圆心角为α，余下扇形的圆心角为β，α与β的比通常按黄金比来设计，这样的扇子较美观．若取黄金比为0.6，则α为( )A．216° B．135° C．120° D．108°4－4－304－4－317．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图4－4－31，某女士的身高为160 cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( )A．6 cm B．10 cm C．4 cm D．8 cm8．人体的正常体温是37 ℃左右，根据有关测定，当气温处于人体正常体温的黄金比值时，人体感觉最舒适，这个气温的度数约为________(精确到1 ℃)．9．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图4－4－32，若舞台AB的长为20 m，主持人应走到离A点至少多远处才最自然得体？(结果精确到0.1 m，黄金比≈0.618)图4－4－3210．点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，则BC的长为( )A．(3 5－3)cmB．(9－3 5)cmC．(3 5－3)cm或(9－3 5)cmD．(9－3 5)cm或(6 5－6)cm11．宽与长之比为5)－12∶1的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调匀称的美感．如图4－4－33，如果在一个黄金矩形里面画一个正方形，那么留下的矩形CDFE还是黄金矩形吗？请证明你的结论．图4－4－3312．如图4－4－34，已知点C和点D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6 cm，求AB的长．图4－4－3413．定义：如图4－4－35①，点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求线段AD的长．图4－4－3514．如图4－4－36①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1(S1>S2)，那么称直线l为该图形的黄金分割线．(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问点D 是不是AB边上的黄金分割点(直接写出结论，不必证明)?(2)若△ABC在(1)的条件下，如图③，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；(3)如图④，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点F，延长AB，DC交于点E，连接EF并延长分别交梯形上、下底于G，H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线？并证明你的结论．图4－4－361．C 2.B3．A [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝5)－12AB，而AB＝2，∴AC＝5－1.4．2 5－4 [解析] ∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝5)－12AB＝5－1，则BP＝2－AP＝3－5，∴AP－BP＝(5－1)－(3－5)＝2 5－4.5．解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，∴AC＝BD＝80×5)－12＝(40 5－40)cm，∴CD＝BD－(AB－BD)＝2BD－AB＝(80 5－160)cm.6．B 7.D8．23 ℃[解析] 37×5)－12≈23(℃)．9．解：根据黄金比，得20×(1－0.618)≈7.6(m)，故主持人应走到离A点至少7.6 m处才最自然得体．10．C [解析] ∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6 cm，∴BC＝5)－12AB＝(3 5－3)cm，或BC＝5)2AB＝(9－3 5)cm.11．解：留下的矩形CDFE还是黄金矩形．证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝DC＝AF.又∵ABAD＝5)－12，∴AFAD＝5)－12，即点F是线段AD的黄金分割点，∴FDAF＝AFAD＝5)－12，∴FDDC＝5)－12，∴矩形CDFE是黄金矩形．12．[解析] 因为C，D均为线段AB的黄金分割点，所以ADAB与BCAB相等，都等于黄金比．因此AD＝BC，所以AC＝BD.解：∵C，D均为线段AB的黄金分割点，∴ADAB＝BCAB，∴AD＝BC，∴AB－AD＝AB－BC，即BD＝AC.设AC＝BD＝x cm，则AD＝(x＋6)cm，AB＝(2x＋6)cm. ∵ADAB＝5)－12，∴x＋62x＋6＝5)－12，∴x＋62（x＋3）＝5)－12，解得x＝3 5＋3，∴AB＝(6 5＋12)cm.13．解：(1)证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠A＝36°，∴∠BDC＝72°，∴BC＝BD＝AD.∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴BCAC＝CDCB，即BC2＝AC·CD，∴AD2＝AC·CD，∴点D是线段AC的黄金分割点．(2)设AD＝x，则CD＝1－x.由(1)得x2＝1－x.解得x1＝5)2(舍去)，x2＝5)2，∴AD＝5)2.14．解：(1)点D是AB边上的黄金分割点．(2)直线CD是△ABC的黄金分割线．证明：设△ABC的边AB上的高为h，则S△ADC＝12AD·h，S△DBC＝12BD·h，S△ABC＝12AB·h，∴S△ADC∶S△ABC＝AD∶AB，S△DBC∶S△ADC＝BD∶AD.由(1)知点D是AB的黄金分割点，∴ADAB＝BDAD，∴S△ADC∶S△ABC＝S△DBC∶S△ADC，∴直线CD是△ABC的黄金分割线．(3)直线GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．证明：∵BC∥AD，∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，∴BGAH＝EGEH，①GCHD＝EGEH.②由①②得BGAH＝GCHD，即BGGC＝AHHD.③同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF，得BGHD＝GCAH，即BGGC＝HDAH.④由③④得AHHD＝HDAH，∴AH＝HD，∴BG＝GC，∴梯形ABGH与梯形GCDH的上、下底分别相等，高也相等，∴S梯形ABGH＝S梯形GCDH＝12S梯形ABCD，CBAC BA ∴直线GH 不是直角梯形ABCD 的黄金分割线．黄金分割同步练习（典型题汇总）一、选择题:1.如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BCAB AC=,那么下列说法错误的是( ) A.线段AB 被点C 黄金分割; B.点C 叫做线段AB 的黄金分割点 C.AB 与AC 的比叫做黄金比; D.AC 与AB 的比叫做黄金比 2.如图的五角星中,AC AB 与BCAC的关系是( ) A.相等; B.AC AB >BC AC ; C.AC AB <BC AC; D.不能确定 3.一条线段的黄金分割点有( )A.1个B.2个C.3个D.无数个4.黄金分割比是( )A.12 B.12 C.12D.0.618 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点,那么AC AB 与ACBC的值分别是( ) A.,B.,; C.,; D.6.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=2,则AC= ( )11 二、填空题:CBAC BAC BA1.点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果_________,那么称线段AB 被点C•黄金分割,点C 叫做线段AB 的________,AC 与AB 的比叫做_________.2.如图,若点C 是AB 的黄金分割点,AB=1,则AC=_______,BC=______.3.已知点C 是AB 的黄金分割点,即AC AB那么AC CB=________.4.如图,点C 是AB 的黄金分割点,AB=4,则AC 2=________.5.宽与长的比等于________的矩形叫做黄金矩形.6.已知黄金矩形的长等于6,则这个黄金矩形的宽等于_________. 三、计算题:1.已知线段AB 长6厘米,点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,求AP 和BP 的长.2.仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB 的黄金分割点.3.请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料,并与同伴相互交流.四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比,•那么这样的等腰三角形称为黄金三角形.请你设法作出一个黄金三角形.五、已知线段AB=1,C 为AB 的黄金分割点,且AC>BC,求AC-BC 的值.六、如图的五角星中,AD=BC,且C 、D 两点都是AB 的黄金分割点,AB=1,求CD 的长.D C BA七、已知C 、D 是线段AB 上的两点,且不难证明当AB=1时,C 、D 是线段AB 的黄金分割点,试探究当AB 任意长时,C 、D 是否是线段AB 的黄金分割点?为什么?答案:一、1.C 2.A 3.B 4.B 5.B 6.C二、1. AC BC AB AC=;黄金分割点;黄金比 2. 12;32-3. 12黄金比三、1.因为点P 是AB 的黄金分割点,且AP>BP,所以AP PB AB AP=,××2.(1)过点B 作BD ⊥AB 且BD=12AB,连接AD (2)以D 为圆心BD 为半径作圆弧交AD 于E(3)以A 为圆心AE 为半径作圆弧交AB 于C,则C 为AB 的黄金分割点3.查阅资料四、先做出线段AB,及其黄金分割点C(AC>BC)分别以A 、B 为圆心,AC 为半径作圆弧,交点为P,则△PAB 就是黄金三角形五、根据C 为AB 的黄金分割点,AC>BC 得AC AB =12,因为AB=1,所以AC= 12BC=AB-AC=1-12= 32-,•所以六、根据C 、D 都是AB 的黄金分割点得AC AB ,BD AB因为AB=1,所以AC=12,BD=12,所以AD=AB-BD=1-12=32-,因此七、C、D是线段AB的黄金分割点.。
2020年中考复习--黄金分割专题训练(一)(有答案)
2020中考复习--黄金分割专题训练（一）一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。
黄金分割专项练习30题(有答案)
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．3．解：（1）∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在Rt△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）第21 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黄金分割数学练习题
黄金分割数学练习题黄金分割是一个在数学中常见的概念，它的起源可以追溯到古希腊的数学家欧几里得。
黄金分割有着极其美丽和神秘的属性，其应用广泛，不仅在美学和设计领域，还在自然科学和金融领域中被广泛使用。
下面我将给大家提供一些黄金分割的数学题目，希望能加深大家对这一概念的理解和掌握。
1. 黄金矩形的特性请证明，在一个黄金矩形中，长和宽的比例等于黄金分割数。
即若将长和宽分别称为a和b，则有a/b = (a+b)/a = φ，其中φ为黄金分割率。
2. 黄金螺旋的构造把一个正方形中最大的正方形切下，然后将原正方形的一边与切下来的正方形接上，继续这个过程，可以得到一个逐渐趋近于黄金螺旋的形状。
请问，如果已知黄金螺旋的内切圆半径为1，则螺旋的长度是多少？3. 黄金分割点的寻找已知一条线段AB，要在该线段上寻找一个点C，使得整条线段AB被分割成一个小线段AC和一个大线段BC，且AC/BC = φ。
请问，应该在AB上的哪个位置放置点C？4. 黄金矩形和黄金螺旋的面积关系已知一个黄金矩形的宽为1，求其面积。
5. 黄金螺旋的旋转特性已知一个边长为1的正方形，将其边长的一半切下，然后旋转该半边，并接到原正方形的一边上。
依照这个规律一直操作下去，可以得到一个黄金螺旋。
请问，该螺旋每旋转一周，与原正方形形成的图形的面积增加多少？以上这些练习题涉及了黄金分割的几个重要方面，包括黄金矩形和黄金螺旋的构造、特性，以及黄金分割点的寻找。
通过解答这些题目，不仅可以加深对黄金分割概念的理解，还可以培养数学思维和问题解决能力。
黄金分割作为一种数学美学的表达方式，它的魅力在于其神秘的比例和无限的延伸。
它在自然界中广泛存在，比如太阳花的排列、贝壳的螺纹，都有黄金分割的痕迹。
同时在艺术和设计领域中，黄金分割也被广泛运用，用来构建视觉上的和谐和美感。
总之，黄金分割是一个深奥而有趣的数学概念，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和应用它。
希望大家通过这些题目的解答，能够对黄金分割有更深入的认识，并在实际问题中灵活运用它。
分割黄金智力测试题(3篇)
第1篇一、选择题1. 下列关于黄金分割的描述，正确的是：A. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例。
B. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为1：1。
C. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为2：1。
D. 黄金分割是指将一条线段分为两部分，其中较大部分与整体的比例等于较小部分与较大部分的比例，且比例为3：2。
2. 黄金分割的比值约为：A. 1.618B. 2.618C. 0.618D. 1.4143. 黄金分割在以下哪个领域有广泛的应用？A. 数学B. 物理C. 建筑D. 以上都是4. 下列哪个不是黄金分割的应用实例？A. 斐波那契数列B. 古希腊建筑C. 印度教神像D. 荷兰风车5. 黄金分割在音乐中的运用体现在：A. 旋律B. 和弦C. 节奏D. 以上都是6. 黄金分割在艺术创作中的运用体现在：A. 形状B. 色彩C. 线条D. 以上都是7. 下列哪个不是黄金分割的特点？A. 比例关系B. 美学价值C. 经济效益D. 生物学意义8. 黄金分割在建筑设计中的运用体现在：A. 室内布局B. 外观造型C. 结构设计D. 以上都是9. 黄金分割在植物生长中的运用体现在：A. 叶片排列B. 花朵形态C. 果实分布D. 以上都是10. 下列哪个不是黄金分割的应用领域？A. 设计B. 科学研究C. 农业种植D. 医学治疗二、填空题1. 黄金分割的比值是__________。
2. 黄金分割在数学中被称为__________。
3. 黄金分割在自然界中普遍存在，如__________、__________等。
4. 黄金分割在艺术创作中的应用实例有__________、__________等。
5. 黄金分割在建筑设计中的应用实例有__________、__________等。
4.4探索三角形相似的条件（第4课时）黄金分割同步练习含答案
第4课时黄金分割关键问答①点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，当这三条线段之间存在什么关系时，可以称线段AB被点C黄金分割？②黄金比的值是多少？1.①已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是()A．AC2＝BC·AB B．AC2＝2AB·BCC．AB2＝AC·BC D．BC2＝AC·AB2．·六盘水矩形的长与宽分别为a，b，下列数据能构成黄金矩形的是()A．a＝4，b＝5＋2 B．a＝4，b＝5－2C．a＝2，b＝5＋1 D．a＝2，b＝5－13．②在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为()A．32.36 cm B．13.6 cm C．12.36 cm D．7.64 cm命题点1利用黄金分割的结论进行计算[热度：83%]4．③如图4－4－34，已知点P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，若S1表示以P A 为边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为PB的矩形的面积，则()图4－4－34A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．无法确定S1和S2的大小方法点拨③根据黄金分割的概念将线段比转化为面积比．5．④如图4－4－35，在▱ABCD中，点E是BC边上的黄金分割点，且BE＞CE，AE与BD相交于点F，那么BF∶DF的值为________．图4－4－35解题突破④求BF∶DF可以转化为求BE∶DA吗？如果可以，根据黄金分割点的定义先求出BE∶BC的值.6．把一根长为4 m的铁丝弯成一个矩形框，使它的宽与长的比为黄金比5－12，则这个矩形的面积为__________m2.图4－4－367．⑤·台州模拟如图4－4－36，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－12.若AB＝5－12，则MN＝________．方法点拨⑤黄金三角形是比较特殊的三角形，解决与黄金三角形有关的计算问题，往往需要借助黄金比及相似三角形的对应边成比例来完成．命题点2黄金分割在实际生活中的应用[热度：80%]8．·乳山期中某种乐器的弦AB长为120 cm，点A，B固定在乐器面板上，弦AB上有一个支撑点C，且C是AB的黄金分割点(AC＞BC)，则AC的长为()A．(120－305)cm B．(160－605)cmC．(605－120)cm D．(605－60)cm9．⑥大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图4－4－37，P为AB的黄金分割点(AP＞PB)，如果AB的长度为10 cm，那么PB的长度为________．图4－4－37解题突破⑥先利用黄金分割的定义计算出AP的长，然后通过AB－AP即可得到PB的长．10．⑦人体下半身的长度与身高的比例越接近0.618，越给人美感．遗憾的是，即使芭蕾舞演员也达不到如此的完美．某女士身高 1.68 m，下半身长 1.02 m，她应该选择穿________(精确到0.1 cm)的高跟鞋看起来更美．易错警示⑦注意身高包括高跟鞋的高度．命题点3有关黄金分割的证明[热度：75%]11.⑧如图4－4－38，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CE平分∠ACB交AB于点E.(1)求证：E为线段AB的黄金分割点；(2)若AB＝4，求BC的长．图4－4－38知识链接⑧顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，底角的平分线与腰的交点就是腰的黄金分割点，并且被底角的平分线分成的两个三角形都是等腰三角形，其中的锐角三角形与原等腰三角形相似．12．⑨宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．现将折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图4－4－39所示)：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；第四步：过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．'图4－4－39解题突破⑨对于没有出现具体数据的计算题或证明题，我们可以考虑设参数，如假设正方形的边长是2a，接下来你知道该怎么做了吗？13．⑩三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．如图4－4－37①，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝36°.(1)在图①中，用尺规作AB 的垂直平分线交AC 于点D ，并连接BD (保留作图痕迹，不写作法)．(2)△BCD 是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由． (3)设BCAC＝k ，试求k 的值．图4－4－40解题突破○10(1)可根据基本作图中线段垂直平分线的作法进行作图； (2)根据角度判断；(3)根据相似三角形的性质求解.14．⑪如图4－4－41①，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC AB ＝BCAC ，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果S 1S ＝S 2S 1，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图②)，则直线CD 是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？(2)三角形的中线是该三角形的黄金分割线吗？(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF(如图③)，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由；(4)如图④，点E是▱ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是▱ABCD的黄金分割线．请你画一条▱ABCD的黄金分割线，使它不经过▱ABCD 各边的黄金分割点．图4－4－41解题突破⑪对于新定义问题，关键是理解新定义的概念，解决此题的关键是把黄金分割线与黄金分割点联系起来，把面积与边长联系起来．详解详析【关键问答】①当AC 2＝BC·AB 时，线段AB 被点C 黄金分割． ②5－12≈0.618. 1．A [解析] 根据线段黄金分割的定义，得AC 2＝BC·AB. 2．D [解析] ∵宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形，∴ba ＝5－12，∴当a ＝2，b ＝5－1时满足题意．故选D .3．C [解析] 方法1：设这本书的宽为x cm ，则有2020＋x ＝x20，解得x ≈12.36(负值已舍去)．方法2：书的宽约为20×0.618＝12.36(cm )．4．B [解析] 根据黄金分割的概念，得AP AB ＝PB AP ，则S 1S 2＝AP 2AB ·PB ＝1，即S 1＝S 2.故选B.5.5－12[解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC ∥AD ，BC ＝AD ， ∴△BEF ∽△DAF ， ∴BE ∶DA ＝BF ∶DF . ∵BC ＝AD ， ∴BE ∶BC ＝BF ∶DF .∵点E 是BC 边上的黄金分割点， ∴BE ∶BC ＝5－12， ∴BF ∶DF ＝5－12. 6．(4 5－8) [解析] 设这个矩形的长为x m ，宽为y m ，则x ＋y ＝2. 由题意，得y x ＝xx ＋y ＝5－12，解得x ＝5－1，y ＝3－5，所以这个矩形的面积为(5－1)×(3－5)＝(4 5－8)m 2. 7.5－2 [解析] 设MN ＝x .由题意可知DE ＝AB ＝5－12. ∵∠EDM ＝∠ECD ＝36°，∠END ＝∠EDN ＝72°，∴DE ＝EN ，同理CD ＝CM ， ∴EM ＝5－12－x ， EC ＝EN ＋CM －MN ＝5－1－x .∵∠DEM ＝∠DEC ，∴△DEM ∽△CED ， ∴DE 2＝EM ·EC ， ∴(5－12)2＝(5－12－x )(5－1－x )， 整理，得x 2－32×(5－1)x ＋（5－1）24＝0， ∴⎣⎡⎦⎤x －34×（5－1）2＝516×(5－1)2， ∴x ＝5－2或x ＝12(5＋1)(不合题意，舍去)，∴MN ＝5－2.8．D [解析] 根据黄金分割点的概念，得AC ＝5－12AB ＝(605－60)cm.故选D. 9．(15－5 5)cm [解析] ∵P 为AB 的黄金分割点(AP ＞PB )， ∴AP ＝5－12AB ＝5－12×10＝(5 5－5)cm ， ∴PB ＝AB －AP ＝10－(5 5－5)＝(15－5 5)cm. 10．4.8 cm [解析] 设她应选择高跟鞋的高度是x cm ，则 102＋x168＋x ＝0.618， 解得x ≈4.8.经检验，x ≈4.8是原分式方程的解且符合题意， 即她应该选择穿4.8 cm 的高跟鞋看起来更美．11．[解析] (1)根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB ＝72°，再根据角平分线的定义求出∠BCE ＝36°，从而得到∠BCE ＝∠A ，然后判定△ABC 和△CBE 相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式整理，并根据黄金分割点的定义即可得证；(2)根据等角对等边的性质可得AE ＝BC ，再根据黄金比求解即可． 解：(1)证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°， ∴∠ACB ＝∠B ＝12×(180°－36°)＝72°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝12×72°＝36°，∴∠BCE ＝∠A ＝∠ACE ＝36°，∴AE ＝CE ， ∴∠BEC ＝180°－∠BCE －∠B ＝72°， ∴∠BEC ＝∠B ， ∴BC ＝CE ＝AE . 又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC ＝BCBE， ∴BC 2＝AB ·BE ， 即AE 2＝AB ·BE ，∴E 为线段AB 的黄金分割点．(2)∵E 为AB 的黄金分割点，∴AEAB ＝5－12.又BC ＝AE ， ∴BC ＝5－12·AB ＝5－12×4＝2 5－2. 12．证明：在正方形ABCD 中，设AB ＝2a . ∵N 为BC 的中点，∴NC ＝12BC ＝a .在Rt △DNC 中，ND ＝NC 2＋CD 2＝a 2＋（2a ）2＝5a .又∵NE ＝ND ，∴CE ＝NE －NC ＝(5－1)a ， ∴CE CD ＝()5－1a2a ＝5－12， ∴矩形DCEF 为黄金矩形． 13．解：(1)如图所示．(2)△BCD 是黄金三角形．证明如下：∵点D 在AB 的垂直平分线上， ∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝36°.∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝72°， ∴∠ABD ＝∠DBC ＝36°.又∵∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝72°， ∴∠BDC ＝∠C ，∴BD ＝BC ， ∴△BCD 是黄金三角形．(3)设BC ＝x ，AC ＝y ，由(2)知，AD ＝BD ＝BC ＝x . ∵∠DBC ＝∠A ，∠C ＝∠C ， ∴△BDC ∽△ABC ， ∴BC AC ＝DC BC ，即x y ＝y －x x， 整理，得x 2＋xy －y 2＝0，解得x ＝－1±52y .∵x ，y 均为正数，∴k ＝xy ＝5－12.14．解：(1)对．理由如下： 设△ABC 的边AB 上的高为h .11 / 11 则S △ADC ＝12AD ·h ，S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ， ∴S △ADC S △ABC ＝AD AB ，S △BDC S △ADC ＝BD AD. 又∵点D 为边AB 的黄金分割点，∴AD AB ＝BD AD， ∴S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC ， ∴直线CD 是△ABC 的黄金分割线．(2)∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴S 1＝S 2＝12S ，即S 1S ≠S 2S 1， 故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．(3)∵DF ∥CE ，∴△DFC 和△DFE 的公共边DF 上的高也相等，∴S △DFC ＝S △DFE ，∴S △ADC ＝S △ADF ＋S △DFC ＝S △ADF ＋S △DFE ＝S △AEF ，S △BDC ＝S 四边形BEFC .又∵S △ADC S △ABC ＝S △BDC S △ADC， ∴S △AEF S △ABC ＝S 四边形BEFC S △AEF， 因此，直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．(4)画法不唯一，现提供两种画法；画法一：如图①，取EF 的中点G ，过点G 作一条直线分别交AB ，DC 于M ，N 两点，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线；画法二：如图②，在DF 上取一点N ，连接EN ，再过点F 作FM ∥EN 交AB 于点M ，连接MN ，则直线MN 就是▱ABCD 的黄金分割线．。
黄金分割专项练习题有答案
黄金分割专项练习30题（有答案）1．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC 中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．2．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB的长度；（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB的长度，若不能，说明理由；（3）若这个矩形为黄金矩形（AD与AB之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号）3．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；（2）求出线段AD的长．4．作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比．（1）尺规作图并保留作图痕迹；（2）写出你的作法；（3）证明：腰与底之比为黄金比．5．（1）已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求AP的长；（2）求作线段AB的黄金分割点P，要求尺规作图，且使AP＞PB．6．如图，线段AB的长度为1．（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB，求线段AC的长度；（选做）（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC，求线段AD的长度；（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD，求线段AE的长度；上面各题的结果反映了什么规律？（提示：在每一小题中设x和l）7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠1=∠2，请问点D是不是线段AC的黄金分割点．请说明理由．8．在△ABC中，AB=AC=2，BC=﹣1，∠A=36°，BD平分∠ABC，交于AC于D．试说明点D是线段AC的黄金分割点．9．在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD中，当时，称矩形ABCD 为黄金矩形ABCD．请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD；取AD的中点E，连接EB；延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH．则点H是AB的黄金分割点．为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说．11．如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，∠A=36°，∠C=72°，∠ADB=108°．求证：（1）AD=BD=BC；（2）点D是线段AC的黄金分割点．12．已知AB=2，点C是AB的黄金分割线，点D在AB上，且AD2=BD•AB，求的值．13．如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中，≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．14．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，求EC+CD 的长．15．人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？16．如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）点M是AD的黄金分割点吗？为什么？17．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小．18．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即，BE交DC于点F，已知，求CF的长．19．图1是一张宽与长之比为的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形．同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗？若是，请根据图2证明你的结论；若不是，请说明理由．20．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设=k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△AB C的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？21．在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感．张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？（精确到十分位）22．已知线段AB，按照如下的方法作图：以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连接EB，延长DA到F，使EF=EB，以线段AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？请说明理由．23．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．24．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB．类似的，在AB上折出点M使AM=AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．25．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长；③在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．26．宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感．现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形ABCD；第二步：分别取AD，BC的中点M，N，连接MN；第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于E；第四步：过E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形．27．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，把像这样的三角形叫做黄金三角形．（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要求证明．分别画在图1，图2，图3中）（2）如图4中，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．试判断CM 与AB之间的数量关系？只需说明结果，不用证明．答：CM与AB之间的数量关系是．28．折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）29．三角形中，顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：AB=AC，且∠A=36°．（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）；（2）△BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；（3）设，试求k的值；（4）如图2，在△A1B1C1中，已知A1B1=A1C1，∠A1=108°，且A1B1=AB，请直接写出的值．30．如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF 是平行四边形ABCD的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．黄金分割专项练习30题参考答案:1．（1）证明：∵AB=AC=1，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，∴DA=DB，BD=BC，∴AD=BD=BC，易得△BDC∽△ABC，∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD•AC，∴AD2=CD•AC，∴点D是线段AC的黄金分割点；（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，∵AD2=CD•AC，∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，即AD的长为2．解：（1）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=99，整理得x2﹣20x+99=0，解得x1=9，x2=11，当x=9时，20﹣x=11；当x=11时，20﹣11=9，而AB＞AD，所以x=11，即AB的长为11cm；（2）不能．理由如下：设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得x（20﹣x）=101，整理得x2﹣20x+101=0，因为△=202﹣4×101=﹣4＜0，所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2；（3）设AB=xcm，则AD=（20﹣x）cm，根据题意得20﹣x=x，解得x=10（﹣1），则20﹣x=10（3﹣），所以矩形的面积=10（﹣1）•10（3﹣）=（400﹣800）cm2．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，∴AD=BD，BC=BD，∴△ABC∽△BDC，∴=，即=，∴AD2=AC•CD．∴点D是线段AC的黄金分割点．（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，∴AD=AC，∵AC=2，∴AD=﹣14．解：（1）腰与底之比为黄金比为黄金比如图，（2）作法：①画线段AB作为三角形底边；②取AB的一半作AB的垂线AC，连接BC，在BC上取CD=CA．③分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为E；④分别连接EA、EB，则△ABE即是所求的三角形．（3）证明：设AB=2，则AC=1，BC=，AE=BE=BD=BC﹣CD=﹣1，=．5．解：（1）由于P为线段AB=2的黄金分割点，则AP=2×=﹣1，或AP=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）如图，点P是线段AB的一个黄金分割点．6．解：（1）设AC=x，则BC=AB﹣AC=1﹣x，∵AC2=BC•AB，∴x2=1×（1﹣x），整理得x2+x﹣1=0，解得x1=，x2=（舍去），所以线段AC的长度为；（2）设线段AD的长度为x，AC=l，∵AD2=CD•AC，∴x2=l×（l﹣x），∴x1=，x2=（舍去），∴线段AD的长度AC；（3）同理得到线段AE的长度AD；上面各题的结果反映：若线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），则C点为AB的黄金分割点7．解：D是AC的黄金分割点．理由如下：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB==72°．∵∠1=∠2，∴∠1=∠2=∠ABC=36°．∴在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠2﹣∠C=72°，∴∠C=∠BDC，∴BC=BD．∵∠A=∠1，∴AD=BC．∵△ABC和△BDC中，∠2=∠A，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，又∵AB=AC，AD=BC=BD，∴，∴AD2=AC•CD，即D是AC的黄金分割点8．证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=（180°﹣36°）=72°，∵BD平分∠ABC，交于AC于D，∴∠DBC=×∠ABC=×72°=36°，∴∠A=∠DBC，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ABC，∴∵AB=AC，∴=，∵AB=AC=2，BC=﹣1，∴（﹣1）2=2×（2﹣AD），解得AD=，AD：AC=（）：2．∴点D是线段AC的黄金分割点．9．证明：在AB上截取AE=BC，DF=BC，连接EF．∵AE=BC，DF=BC，∴AE=DF=BC=AD，又∵∠ADF=90°，∴四边形AEFD是正方形．BE=，∴，∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形．∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成．10．解：设正方形ABCD的边长为2，在Rt△AEB中，依题意，得AE=1，AB=2，由勾股定理知EB===，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=﹣1，HB=AB﹣AH=3﹣；∴AH2=（）2=6﹣2，AB•HB=2×（3﹣）=6﹣2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．11．证明：（1）∵∠A=36°，∠C=72°，∴∠ABC=180°﹣36°﹣72°=72°，∵∠ADB=108°，∴∠ABD=180°﹣36°﹣108°=36°，∴△ADB是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠ADC=180°﹣108°=72°，∴△BDC是等腰三角形，∴AD=BD=BC．（2）∵∠DBC=∠A=36°，∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴BC：AC=CD：BC，∴BC2=AC•DC，∵BC=AD，∴AD2=AC•DC，∴点D是线段AC的黄金分割点．12．解：∵D在AB上，且AD2=BD•AB，∴点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点，∴AC=AB=﹣1，AD=AB﹣AB=AB=3﹣或AD=﹣1，AC=3﹣，∴CD=﹣1﹣（3﹣）=2﹣4，∴==或==．13．解：矩形ABFE是黄金矩形．∵AD=BC，DE=AB，∴==﹣1==．∴矩形ABFE是黄金矩形．14．解：∵D为AB的黄金分割点（AD＞BD），∴AD=AB=10﹣10，∵EC+CD=AC+CD=AD，∴EC+CD=（10﹣10）cm．15．解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x：1.70=0.618，即x=1.70×0.618≈1.1（m）．答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段．16．解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD===，∴AM=AF=PF﹣AP=PD﹣AP=﹣1，DM=AD﹣AM=3﹣．故AM的长为﹣1，DM的长为3﹣；（2）点M是AD的黄金分割点．由于=，∴点M是AD的黄金分割点．17．解：∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2=BP×AB，又∵S1=AP2，S2=PB×AB，∴S1=S2．18．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠CBF=∠AEB，∠BCF=∠BAE，∴△BCF∽△EAB，∴，即，把AD=，AB=+1代入得，=，解得：CF=2．故答案为：2．19．解：矩形EFDC是黄金矩形，证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF，又∵，∴，即点F是线段AD的黄金分割点．∴，∴，∴矩形CDFE是黄金矩形．20．解：（1）满足≈0.618的矩形是黄金矩形；（2）由=k得，BP=1×k=k，从而AP=1﹣k，由得，BP2=AP×AB，即k2=（1﹣k）×1，解得k=，∵k＞0，∴k=≈0.618；（3）因为点P是线段AB的黄金分割点，所以，设△ABC的AB上的高为h，则，∴∴直线CP是△ABC的黄金分割线．（4）由（2）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．21．解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96cm，设选择的高跟鞋的高度是xcm，则根据黄金分割的定义得：=0.618，解得：x≈7.5cm．故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美．22．解：设正方形ABCD的边长为2a，在Rt△AEB中，依题意，得AE=a，AB=2a，由勾股定理知EB==a，∴AH=AF=EF﹣AE=EB﹣AE=（﹣1）a，HB=AB﹣AH=（3﹣）a；∴AH2=（6﹣2）a2，AB•HB=2a×（3﹣）a=（6﹣2）a2，∴AH2=AB•HB，所以点H是线段AB的黄金分割点．23．证明：设正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，又∵B′E=BE=1，∴AB′=AE﹣B′E=﹣1，∴AB″∴点B″是线段AB的黄金分割点．24．证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE=1∴AE==，∵EF=BE=1，∴AF=AE﹣EF=﹣1，∴AM=AF=﹣1，∴AM：AB=（﹣1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．25．解：（1）∵BD=DC=AC．则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．又∠BOC=108°，∴∠B+∠A=108°．∴x+2x=108，x=36°．∴∠B=36°；（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．∵DB=DC，∠B=36°，∴△DBC是黄金三角形，（或∵CD=CA，∠ACD=180°﹣∠CDA﹣∠A=36°．∴△CDA是黄金三角形．或∵∠ACE=108°，∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，∴∠A=∠ACB．∴BA=BC．∴△BAC是黄金三角形．②△BAC是黄金三角形，∴，∵BC=2，∴AC=﹣1．∵BA=BC=2，BD=AC=﹣1，∴AD=BA﹣BD=2﹣（﹣1）=3﹣，③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．ⅰ）以CD为底边的黄金三角形：作CD的垂直平分线分别交直线AB、BC得到点P1、P2．ⅱ）以CD为腰的黄金三角形：以点C为圆心，CD为半径作弧与BC的交点为点P3．26．证明：在正方形ABCD中，取AB=2a，∵N为BC的中点，∴NC=BC=a．在Rt△DNC中，．又∵NE=ND，∴CE=NE﹣NC=（﹣1）a．∴．故矩形DCEF为黄金矩形．27．解：（1）（2）CM=AB（4分）28．证明：如图，连接GF，设正方形ABCD的边长为1，则DF=．在R t△BCF中，BF==，则A′F=BF﹣BA′=﹣1．设AG=A′G=x，则GD=1﹣x，在Rt△A′GF和Rt△DGF中，有A'F2+A'G2=DF2+DG2，即，解得x=，即点G是AD的黄金分割点（AG＞GD）．29．解：（1）如图所示；（2）△BCD是黄金三角形．证明如下：∵点D在AB的垂直平分线上，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∴∠ABD=∠DBC=36°．又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，∴△BCD是黄金三角形．（3）设BC=x，AC=y，由（2）知，AD=BD=BC=x．∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC，∴，即，整理，得x2+xy﹣y2=0，解得．因为x、y均为正数，所以．（4）．理由：延长BC到E，使CE=AC，连接AE．∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=72°，∴∠ACE=180°﹣72°=108°，∴∠ACE=∠B1A1C1．∵A1B1=AB，∴AC=CE=A1B1=A1C1，∴△ACE≌△B1A1C1，∴AE=B1C1．由（3）知，∴，，∴．30．解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：设△ABC的边AB上的高为h．则，，，∴，．又∵点D为边AB的黄金分割点，∴，∴．故直线CD是△ABC的黄金分割线．（2）∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，∴，即，故三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．（3）∵DF∥CE，∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高也相等，∴S△DFC=S△DFE，∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，S△BDC=S四边形BEFC．又∵，∴．因此，直线EF也是△ABC的黄金分割线．（7分）（4）画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如答图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．画法二：如答图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．（9分）。
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黄金分割比：
假设身高160cm，上半身高度为64cm，则妈妈应该穿多高的高跟鞋？64÷0.618≈103.5 cm 理想下半身
160－64=96 cm 实际下半身
103.5－96=7.5 cm 高跟鞋高度
实践作业：
1、帮妈妈计算需要的高跟鞋高度？
2、寻找生活中的黄金比？记录下来。
易错题:
1.一个和长方形的周长是36厘米,长和宽的比是4:5,长和宽各是多少厘米?
2.一个三角形三个内角度数比是1:2:3,这个三角形是什么三角形?
3.六年级三个班数学平均成绩是87,比为4:5:6,三个班的成绩各是多少?
4.一项工程,甲队单独做完成要5天完成,乙队单独做要6天完成,甲乙两队工作
效率比是多少?
5.糖与水比是1:50,现有水300千克,需加糖多少千克?
6.甲,乙两数之和是18,.甲数是乙数的5分之一,求甲乙两数?
7.A、B两地相距408KM，客车和货车同时从A、B两地相对开出，3小时后相遇，已知客车和货车的速度比是9:8，客车每时比货车每时快多少千米？
8.一件商品按20%的利润定价，然后又按8折出售，结果亏了64元，这件商品的成本是多少元？9.将一根384cm的铁丝焊成一个长、宽、高的比是3:2:1的长方体模型。
这个模型的长、宽、高各是多少厘米？表面积是多少平方厘米？
10.一块长方形土地，周长是160m，长和宽的是5:3，这块长方形土地的面积是多少平方米？
11.李老师把2000元钱存入银行，整存整取五年，年利率是4.14%。
到期时，李老师一共能取回多少钱？（利息税是5%）
12.李明和张华参加赛跑，李明跑到中点时，张华跑了全程的40%,此时两人相距80米，你知道赛程多少米吗？。