最优化：可行方向法概要
可行方向法简介
min f ( x k + λd k ) s.t. A2 x k + λA2 d k ≥ b2 (4)
λ≥0
由 （ 4 ） 的 约 束 可 求 出
λ
的 上 限
λmax
，
ˆ = b − A x k ,d = A d k ˆ 令b 2 ，于是 2 2
考虑问题
min f ( x) s.t. Ax = b x≥0
为 S = {x | Ax = b, x ≥ 0} 。 1. 近似线性化和可行下降方向
（5）
其中 A为 m × n 行满秩，b ∈ R m ， f 为连续函数，并记可行域
设迭代点 x k ∈ S ， 利用 Taylor 公式得到 f 在点 x k 处的线性 近似
处的可行方向的充要条件是 A1d ≥ 0, Ed = 0 。
因此，在 Zoutendijk 可行方向法中，确定搜 ∇f ( x)T d s.t. A1d ≥ 0 Ed = 0 -1 ≤ d j ≤ 1 , j = 1,
必定小于或等于零。
,n
（2）
在（2）中，显然 d = 0 是可行解，故目标函数的最优值
k
满足停机条件。 常用方法： Zoutendijk 可行方向法； 既约梯度法； Rosen 梯度投影法；Frank-Wolfe 方法
一. Zoutendijk 可行方向法（1960） 考虑线性约束问题
min f ( x) s.t. Ax ≥ b Ex = e
（1） 利用起作用约束构造可行下降方向
（1）
（6）
去掉目标函数中的常数项， （5）等价于 （7）
y k ，则由线性规划的基本知识 假设此问题存在有限最优解
最优化：可行方向法
2.线性搜索—计算步长
为确保
x x tdD 关于t的计算, 我们考虑三种情:形
情 1 ： i形 I(x )及 j E ,
由于 aiTd 0,i I(x) aTj d 0,j E
对任意的 t 0,我们有 aiT (x td) aiT x taiTd bi, i I(x) aTj (x td) aTj x taTj d bj 0,j E
|| d ||1
情形1：f (x)Td 0,则d 0,
(13.2)
显然,d是f在x处的一个下降可行 ; 方向
情2形 ： f(x)Td0,则 d0,这说x明 处在 不存在 可行,方 即向 线性系统：
f (x)T d 0
aiTd 0,iI(x) 无非零解
aTj d
0,
j E
x是问题(13.1) 的KKT点
最优化：可行方向法
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第十三章 约束问题算法(II) —— 可行方向法
一、Zoutendijk可行方向法 二、投影梯度法 三、既约梯度法
思想 构造可行点{序 xk}列 使得目标函数
列{f (xk)}单调下,降 且xk KK点 T
思想
取负梯度方向为搜索向方 ; 否则, 将负 梯度在可行方向集的影投作为搜索方
向, 即取负梯度在有效约的束梯度的零
空间的投影为搜索方 . 向
x 2 f (x)
xd ● D
o
x1
首先,我们介绍投影的概念：
定义13.2.1 设Rn是闭凸集.对xRn,若向量P(x) 满足:
||P(x)x|| min{||y-x|| | y} 则称P(x)是x在中的投影. 为计算向量在集合中 投的 影,我们引入投影矩. 阵
8约束优化-可行方向法
4、第二次迭代的线形搜 索： x ( 2) d ( 2) [5 / 6,5 / 6]T [1,1 / 5]T [5 / 6 ,5 / 6 / 5]T f ( x (1) d (1) ) 125/ 8 22 / 15 622 / 25 s.t. ０ 5 / 12 可得 55 / 186 ，x (3) [35 / 31,24 / 31]T ， f ( x (3) ) [32 / 31,160/ 31]T 5、第三次迭代，确定可 行方向d的LP问题为： min z 32d1 / 31 160d 2 / 31 s.t. d1 5d２ 0 1 d1 1 1 d2 1 可解得最优解 d (3) [1,1 / 5]T ，z ( 3) 0 最优解x x (3) [35 / 31,24 / 31]T ，f ( x) 7.16
第二种情况是 在约束面上的迭代 点xk处，产生一个 可行方向d，沿此方 向作一维最优化搜 索，所得到的新点x 在可行域外，则设 法将x点移到约束面 上，即取d与约束面 的交点。
第三种情况是沿约 束面搜索。 对于只具有线性约 束条件的非线性规划问 题，沿约束面移动，在 有限的几步内即可搜索 到约束最优点；
（一）可行方向法的搜索策略： 可行方向法的第一步迭代都是从可行的初始 点x0出发，沿负梯度方向将初始点移动到某一个 约束面(只有一个起作用的约束时)上或约束面的 交集(有几个起作用的约束时)上。然后根据约束 函数和目标函数的不同性状．分别采用以下几种 策略继续搜索。
第一种情况是在约束 面上的迭代点xk处， 产生一个可行方向d， 沿此方向作一维最优 化搜索，所得到的新 点x在可行域内，即 令xk+1 =x，再沿xk+1点 的负梯度方向继续搜 索。
可行方向法
a1 , a2 ,, am 和 b 是 n
维
的向量 p
T ai p 0, i 1, 2,, m
T b p0
也满足
的充要条件是，存在非负数
i 1
m b i ai .
Farkas引理的几何解释：
1 , 2 ,, m
，使得
T
j I ( x).
I ( x)是x 起作用约束集
证明：充分性
d 设 x 是问题(1)可行解，满足定理条件。来自必要性： d 是可行方向
T 是 的下降方向，则有 d x f ( x) d ，因此 0
T d 从 x 出发，选择 ，应使f ( x) d越小越好。
所以规划问题： min f ( x)T d ,
设可行域D R , x D, 若存在非零向量
n
d R , 存在 0, t (0, ),均有
n
x td D, 则称d为x的可行方向。
d
D
1
x
d
Farkas引理：
首先介绍两个引理，这两个引理本身在最优化理论中 处于很重要的地位。
引理4.7（Farkas） 设 向量，则满足
(1)
min f ( x),
T T
x Rn i 1,, l j 1, , m
s.t. i x bi 0
j x bj 0
(1’)
定理：设
x 是约束问题的可行点，则 d 为
x 可行方向的充分必要条件是：
iT d 0, i 1,2, l
j d 0,
可行方向法
1、可行方向的两个相关结论
d是x D的可行方向 , 则gi ( x)T d 0 i I ( x)
最优化方法最详细总结
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最优化可行方向法
最优化可行方向法最优化问题是数学中的一类重要问题，目标在于找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
可行方向法是一种常用的最优化算法，它通过在每个迭代步骤中确定一个可行方向，并将变量值沿该方向进行调整，逐步逼近最优解。
可行方向法的核心思想是从当前解的邻域中选择一个可以改进目标函数的方向。
具体而言，它通过计算目标函数的梯度（或是次梯度）来确定一个可行方向，并沿该方向对解进行调整。
这个过程可以反复迭代，直到满足终止条件为止。
在可行方向法中，选择合适的可行方向是一个关键问题。
一种常用的方法是梯度下降法，它使用目标函数的梯度方向作为可行方向，以减小目标函数的值。
另一种常用的方法是牛顿法，它使用目标函数的海森矩阵（Hessian Matrix）作为可行方向，以更快地逼近最优解。
可行方向法的具体步骤如下：1.初始化变量的取值。
2.计算目标函数在当前解的梯度或次梯度。
3.判断是否满足终止条件。
如果满足，结束迭代，输出当前解；否则，继续下面的步骤。
5.根据可行方向，计算变量的调整量。
6.更新变量的取值。
7.转到步骤2可行方向法的收敛性分析是一个重要的研究课题。
对于一般的最优化问题，如果目标函数是Lipschitz连续可微的，并且可行解集是非空、有界的，则可行方向法在有限步后可以找到一个近似最优解。
但对于非凸问题或非平滑问题，可行方向法的收敛性可能会有所不同。
除了梯度下降法和牛顿法外，可行方向法还有其他的变种，如共轭梯度法、拟牛顿法等。
这些方法在选择可行方向和调整变量值的方式上有所差别，但其基本思想仍然是寻找使目标函数得以改进的方向。
在实际应用中，可行方向法通常结合其他算法一起使用，以充分发挥各种算法的优势。
例如，可以使用可行方向法寻找一个大致的最优解，然后再使用更精确的算法对该解进行优化。
总之，可行方向法是一种重要的最优化方法，它通过选择合适的可行方向来逼近最优解。
尽管不同的变种方法有所差异，但它们的核心思想都是通过迭代调整变量值来逐步逼近最优解。
最优化——第十一次可行方向法
1 2 max min , 1 1 2
进行一维搜索, 解
min
0 1
f ( x 1 d 1 ) 2 2 6 6
得步长 1 1
1 x x d 1
2 1 1 1
同样,进行第二次迭代:
令 D { x | Ax b , x 0 } , 称 D 为可行域。
2. 算法分析
算法思想： 在每次迭代中，将目标 函数 f ( x ) 线性化，再利用 线性规划方法求解。
算法分析：
设已知可行点 x k , 则有
f ( x ) f ( x k ) f ( x k )T ( x x k ) f ( x k )T x [ f ( x k ) f ( x k ) T x k ]
求解线性规划
min s .t . f ( x k )T x x D
( 2)
定理 设 f ( x ) 可微， x k D ，如果 y k 是线性规划（ 2）的最优解， 则有 （1）当 f ( x k )T ( y k x k ) 0 时 , 则 x k 是（1）的 K T 点。 （2）当 f ( x k )T ( y k x k ) 0 时 , 则向量 d k y k x k 是 f ( x ) 在点 x k 处关于 D 的可行下降方向。
计算 f ( x k )。
( 3 ) 求解线性规划问题 min
f ( x k )T d A1 d 0 Cd 0 | d | 1, j j
s .t .
求得最优解 d k 。
( 4 ) 如果 f ( x k )T d k 0 , 则算法结束， x k 是 K T 点；否则转（ 5）。
第四章 非线性规划5-可行方向法
第五节 可行方向法（FDM ）可行方向法是用梯度去求解约束非线性最优化问题的一种有代表性的直接探索方法，也是求解大型约束优化设计问题的主要方法之一。
其收敛速度快，效果较好，适用于大中型约束最优化问题，但程序比较复杂。
可行方向法(Feasible Direction Method)是一种直接搜索方法，其搜索方向的获取利用了目标函数和约束函数的梯度信息。
用目标函数的梯度可以得到目标函数值的下降方向，而利用约束函数的梯度则可以得到可行的搜索方向。
因此，可行方向法的搜索方向实质上是既使目标函数值下降，同时又可行的方向，即可行下降方向。
满足这一条件的方法就称为可行方向法。
一、基本原理当求解目标函数的极小值min () ..()0 1,2,3,nu f X X R s t g X u m ⎧∈⎨≤=⎩ 当设计点()k X 处于起作用约束i g 上时，下降可行方向S 必须同时满足条件： ()0T k i S g X ∇≤()0T k S f X ∇<由于于多数非线性规划的最优点都处在可行区的约束边界上或者几个约束边界的交点上，因此最优搜索如能沿着约束边界附近进行，就有可能加速最优化搜索的进程。
按照这一基本思路，在任意选定—初始点后到最后得到最优点必须解决三个问题： 一是如何尽快使最优搜索从初始点到达约束边界二是到达边界后怎样判断所找到的边界点是否是最优点；三是如果边界点经判断不是最优点，那么下一步应如何进行最优搜索。
二、如何从初始点尽快到达边界在任意选定初始点0X 之后，首先判断0X 是否为可行点，若是可行点，则选择目标函数的负梯度方向作为下一步的搜索方向。
若是非可行点，则选择目标函数的梯度方向为搜索方向。
搜索的步长可采用试探的方法逐步缩小，直到最后到达边界。
如图5-13表示了初始点为可行点时的搜索过程。
从初始点0X 出发沿0()f X -∇方向，取步长为t ，进行搜索，得到1X100()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长加大一倍继续搜索得到2112()X X t f X =-∇若1X 仍在可行区内，则把步长再加大一倍继续搜索，如此方法得到新点只要仍在可行区内，则加大步长只到得到的点进入非可行区。
最优化方法 第三章(可行方向法)
又 f ( x k )T d * * 0,
d * 是可行下降方向。
改进方法具有全局收敛性。
一、Zoutendijk法
Frank Wolfe 方法 min f ( x )
给定线性规划问题
Ax b s .t . x0
f ( x k )T d k 0 gi ( x k )T d k 0 , i I ( x k )
1 di 1, i 1, 2,
,n
������ = 0 , 则 ������ ������ 处不存在可行下降方向 , ������ ������ 已是 ������−������ 点. 有例子表明上述方法不一定收敛到 ������−������ 点，即总有������ < 0 .
如果可行点为内点， 可取������ = −������������(������ )计算。
一、Zoutendijk法 非线性约束模型的可行方向确定方法
min s.t.
z f ( x )T d z 0 gi ( x) d z 0, i I
T
一、Zoutendijk法 线性约束模型的可行方向
min f ( x ) Ax b s .t . Cx e
紧约束
A1 b1 定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中A , b ， A2 b2 则非零向量 d 是 x 处的可行方向的充分必要条件是
定理 设 f ( x )可微， x k D, 如果y k 是上述线性规划的最优解,则有
(1) 当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则x k 是(1)的K -T点；
可行方向法
可行方向法可行方向法摘要可行方向法是求解最优化问题的重要方法，在可行方向法求解过程中，一般需要构造一个求解可行下降方向的子问题，而可行方向法的不同取决于所采用的求解可行下降方向的子问题，它具有如下特点：迭代过程中所采用的搜索方向为可行方向，所产生的迭代点列是中在可行域内，目标函数值单调下降，由此可见，很多方法都可以归入可行方向法一类，本文主要介绍Frank-Wolf 方法。
一、问题形式min ().. 0f x Ax b s t x ≥??≥? （11.1）其中A 为m n ?矩阵，m b R ∈，n x R ∈。
记{},0,nD xAx bx x R =≥≥∈并设()f x 一阶连续可微。
二、算法基本思想D 是一个凸多面体，任取0x D ∈，将()f x 在0x 处线性展开000()()()()()T L f x f x f x x x f x ≈+?-= 用min ().. 0L f x Ax b s t x ≥??≥? 或 0min ().. 0T f x xAx bs t x ?≥??≥? （11.2）逼近原问题，这是一个线性规划问题，设0y D ∈是其最优解。
1）若000()()0T f x y x ?-=，则0x 也是线性规划问题（11.2）的最优解，此时可证0x 为原问题的K-T 点。
2）若000()()0T f x y x ?-≠，则由0y 是（11.2）的最优解，故必有0000()()T T f x y f x x ?<?从而 000()()0T f x y x ?-<即00y x -为()f x 在0x 处的下降方向，沿此方向作有约束的一维搜索00001min (())f x y x λλ≤≤+-设最佳步长因子为0λ，令100000000()(1)()x x y x y x D λλλ=+-=+-∈当λ充分小时100000001()min (())(())f x f x y x f x y x λλλ≤≤=+-≤+-00000()()()()()T f x f x y x o f x λλ=+?-+< 用1x 取代0x ，重复以上计算过程。
可行方向法 最优化理论与方法 教学PPT课件
定理
设非线性规划问题
s.t.
Ax b 的最优解存在，
x
0
且对算法产生的点列{xk } ，线性规划问题
min f (xk )T x
Ax b
s.t.
x
0
的最优解总存在。则
1） 若迭代到某步 k0 ，有 f (xk0 )T ( yk0 xk0 ) 0 ， 则 xk0 为原问题的 K-T 点；
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一、算法基本思想
Rosen 的梯度投影法的基本思想是将无约束的 最速下降算法推广到有约束情形。
1） 若当前迭代点 xk 位于约束域内部，此时负梯度
方向为可行下降方向；
2） 若 xk 位于约束域边界上，此时将负梯度方向向可
行域内部投影，以保证方向是可行下降方向。
二、投影矩阵的基本概念
3）若 f (xk )T ( yk xk ) ，Stop, x* xk ；否则 转 4)。 4）进行一维搜索 min f (xk ( yk xk )) ，得最优步长因子 k ；
0 1
令 xk1 xk k ( yk xk ) ， k : k 1，转 2)
四、算法收敛性定理
min f (x)
3．投影矩阵：设 P 为 n n 矩阵， 若 PT P, 且 PP P ，则称 P 为投影矩阵
4．投影矩阵性质
设 P 为 n n 矩阵 1）若 P 为投影矩阵，则 P 0 2） P 为投影矩阵 I P 为投影矩阵 3）若 P 为投影矩阵， Q I P ，则
L Px x Rn 和 L Qx x Rn 是互补的正交子空间，
Cx d
A m n,C P n,b Rm, d RP
x D, 作分解
A
A1 A2
最优化：可行方向法
若情形3 不存在, 自然令 t max 然后我们通过求解 min f ( x td )
0t tmax
来计算步长 t. 在上面分析的基础上, 我们得到如下的可行方向法 :
算法13.1 (Zoutendij k算法) 步0 ： 选取初始点x0 D, 精度 0.令k : 0; 步2：求解下列关于 d 的线性规划问题 min s.t. f ( xk ) T d aiT d 0, i I ( xk ) aT j d 0, j E || d || 1 得解d k 步3 ： 若 | f ( x k ) T d k | , 则得解xk , STOP. 否则转下一步. 步4：由(13.3) 计算t max , 其中x x k , d d k . 求解
考虑到(1)和(2), 我们先介绍线性约束问题的可行 方向法, 然后将其适当推广到非线性约束问题.
第一节 Zoutendijk 算法
一. 线性约束情形
考虑线性约束问题 min f ( x) s.t. g i ( x ) aiT x bi 0, i I h j ( x) a T j x b j 0, j E 记可行域 D {x | g i ( x ) 0, i I ; h j ( x ) 0, j E } x D, 在x处的有效集为 A( x ) I ( x ) E {i | g i ( x ) 0, i I } E (.)
1、下降可行方向
由于(13.1)的约束是线性的, x D, 在x处的可行方向集 S ( x ) {d R n | aiT d 0, i I ( x ); a T j d 0, j E} 而在x处的目标函数的下降方向满足： f ( x ) T d 0 因此, 在x处, 我们通过求解下列线性规划问题来计算下 降可行方向 :
Zoutendijk可行方向法
(9.1.14)的 约束条件
线性约束情形 算法步骤 Step1 Step2
Zoutendijk可行方向法
Step3
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 举例 参见P243 例9.1.1
非线性约束情形
Zoutendijk可行方向法
非线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
Zoutendijk可行方向法
Zoutendijk法的改进– ε 起作用约束可行方向法 定义
εk 起作用约束指标集.
Zoutendijk法的改进 ε起作用约束可行方向算法步骤
Step1 Step2 Step3
Step4 Step5 Step6
Zoutendijk可行方向法
Zoutendijk法的改进– Topkis-Veinott 可行方向法 简介
可行方向法是其中的一类求解(线性)约束最优化问题的方法．
此类方法可看做无约束下降算法的自然推广．
可行方向法的基本思想是从可行点出发，沿可行下降方向进
行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点．
算法包括选择搜索方向和确定搜索步长两个主要方面．
搜索方向的选择方式不同就形成不同的可行方向法．
第九章 可行方向法
带约束的 一维优化 问题
利用可行方向条件与 起作用约束简化(9.1.11)
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 基本原理 (2) 确定一维搜索步长
(a)
简化 (a)
(9.1.5)
Zoutendijk可行方向法
线性约束情形 基本原理
(2) 确定一维搜索步长
分两种情况讨论(9.1.5) :
问题(9.1.11) 一维搜索问题
12可行方向法
a i d 0 , i I ( x )； f ( x ) d 0
T
则 d 是可行下降方向
.
可行方向法思路：
从当前迭代点 x 出发，沿着可行下降方 ˆ x , 使得 向 d 搜索，
得到一个新的可行点
ˆ f (x) f (x)
问题：可行下降方向d不唯一，怎么选择？ －－－－选择目标函数值下降最快的方向
(k )
D,d
(k )
是x
(k )
处的可行下降方向，令
x x
(k )
d
(k )
考虑约束条件
T T
d
(k )
是问题 ( 1 )或 ( 2 )或 ( 3 )的解
bi a i d
T (k )
a i x bi a i x a i x bi a i x
T T
(k )
0, 0,
定理 1
.
线性化可行方向
件是
设 x D , 则 d 为 x 处的可行方向的充要条 a i d 0, i E ;
T T
a i d 0 , i I ( x ).
定义 2
设 x D , 若 d 是 x 处的可行方向，又是 .
x 处的下降
方向，则称 d 是 x 处的可行下降方向
若 d 满足 a i d 0, i E ;
T
a 3 x b3 x1 0,
T
a 4 x b4 x 2 0,
T
取初始点 x
(1 )
( 0 ,0 ) .
T
二、投影梯度法 无约束问题最速下降法：任取一点，若其梯度不为0，则沿 负梯度方向前进，总可以找到一个新的使函数值下降的点。 对约束问题，若再沿负梯度方向前进，可能是不可行的； 解决方法：把负梯度方向投影到可行方向上去！ 1.投影矩阵
第十章+可行方向法
第十章 可行方向法min ()..0,{1,,}0,{1,,}n x R Ti i Ti i f x s t a x b i E l a x b i I l l m ∈−=∈=−≤∈=++（10.0.1）一、可行方向法（一）可行方向与可行下降方向1． 可行方向(0,)n d d d R ≠∈是约束问题（10.0.1）在可行点x 处的可行方向是指存在0δ>，使得当(0,]a δ∈时，有x a D δ+∈。
这里D 是（10.0.1）的可行域。
判定：d 是可行点x 处的可行方向的充要条件是0,0,()T i T i a d i Ea d i I x =∈≤∈2． 可行下降方向d 既是可行点x 处的可行方向，又是x 处的下降方向。
判定：若d 满足0,0,()()0T i T i T a d i Ea d i I x f x d =∈≤∈∇< （10.1.1）则d 是x 处的可行下降方向。
（二）可行下降方向的求取寻找满足条件（10.1.1），且使()T f x d ∇达到最小的d ：min ()..0,0,()T T i Ti f x ds t a d i Ea d i I x ∇=∈≤∈ （10.1.2）线性规划问题（10.1.2）无有限最优解，这是因为若ˆd是线性规划问题的可行解，且ˆ()0T f x d ∇<。
令ˆ,0d ada =≠，则d 也是（10.1.2）的可行解，且当a →+∞时，()T f x d ∇→−∞。
因此必须对d 或()T f x d∇加以某些限制,常用的限制分别有11,1,,i d i n −≤≤= ，1T d d ≤和()1T f x d ∇≥−，由此得到如下的三个问题：问题1： min ()..0,0,()11,1,,T T i T i i f x ds t a d i Ea d i I x d i n ∇=∈≤∈−≤≤=问题2：min()..0,0,()1TTiTiTf x ds t a d i Ea d i I xd d∇=∈≤∈≤问题3：min()..0,0,()()1TTiTiTf x ds t a d i Ea d i I xf x d∇=∈≤∈∇≥−（三）约束问题（10.0.1）的KKT 点条件定理10.1.2：设x 是约束问题（10.0.1）的可行点，则x 是约束问题（10.0.1）的KKT 点的充要条件是问题1或问题2或问题3的最优目标函数值为0。
最优化各算法介绍
最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。
沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。
其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。
从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。
优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。
2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。
缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。
共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。
1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。
基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。
有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。
最优化理论与算法 第12章 可行方向法
怎样确定k ?k的取值原则有两点： 第一，保持迭代点x(k) kd (k)的可行性；
第二，使目标函数值尽可能减小。
根据上述原则,可以通过求解下列一维搜索问题来确
定步长：
min f (x(k) d k )
s.t. A(x(k) d k ) b
E(x(k) d k ) e
(12.1.15)
0
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Ch12 可行方向法
1 Zoutendijk可行方向法 2 Rosen梯度投影法 3 Frank-Wolfe法 4 既约梯度法
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1. Zoutendijk可行方向法
2.1 线性约束情形
考虑NLP问题 min f (x)
s.t Ax b (12.1.1) Ex e
(12.1.7)
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1. Zoutendijk可行方向法
(12.1.6)和(12.1.7)即
A(xˆ d ) b (12.1.8)
又由Ed 0及Exˆ e可知
E(xˆ d ) e (12.1.9)
由上可知,xˆ d是可行点.因此d是xˆ处的可行方向.
于是,如果非零向量d同时满足 f (xˆ)T d 0, A1d 0, Ed 0
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1. Zoutendijk可行方向法
Th12.1.2考虑问题(12.1.1),设x是可行解，在点x处有
A1x b1, A2x b2,其中
A
A1 A2
,
b
b1 b2
则x为KKT点的充要条件是问题(12.1.10)的目标函数
最优化可行方向法
最优化可行方向法
最优化可行方向法（Optimal Feasible Direction Method）是一种优化技术，它主要用于解决有约束条件的线性优化问题，在互联网行业应用较为广泛。
基本思想是通过比较和判断，从当前的可行解中确定国家愿望最大的那个方向。
算法的核心步骤是先设定一个初始计算点，然后确定可行区域的边界矢量，根据给定的目标函数最大化，确定一个最优化可行方向。
在这个方向上的移动调整计算决策，直至收敛。
最优化可行方向法是用来解决线性规划问题的理想工具，它能够很好地去处理
复杂的约束条件优化。
此外，这种方法具有计算简便、容易操作等优点，在求解线性规划问题上能够提高计算效率。
由于最优化可行方向法具有这些优点，在现代电子商务中有广泛应用。
比如，
亚马逊等购物平台使用这种优化方法，进行订单路径规划或仓库调度安排，以时间和金钱效率兼顾的的最佳效果完成任务；同时，在搜索引擎市场中，最优化可行方向法也在提高搜索引擎的内部计算精度上发挥着重要作用。
总的来说，最优化可行方向法在互联网行业是一种重要的优化算法，可以有效
地解决复杂的约束优化问题，并且广泛应用于实际项目中，为多种类型的行业和企业增加效率。
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x是问题(13.1) 的KKT点
由上面的分析, 我们有下列结论：
定理13.1.1 设x D, d是线性规划问题 (13.2)的解 , 则 (1) 若f ( x ) T d 0, 即d 0, 则x是问题 (13.1)的KKT点; (2) 若f ( x )T d 0, 即f ( x )T d 0, 则d是函数 f在可行 点x处的一个下降可行方向 .
情形2 ： i I \ I ( x ), 但a d 0
T i
显然, 对任意的t 0, 我们有 aiT ( x td ) aiT x taiT d bi , i I \ I ( x )
情形3 ： i I \ I ( x ), 但a d 0.
若要使 bi aiT x t , T ai d bi aiT x T t min T i I \ I ( x ), ai d ai d
由定理13.1.1知, 当(13.2)的解d 0时, x不是KKT点, 我们 需计算新的可行点 : x x td D 其中t由线性搜索产生的步长
2.线性搜索—计算步长
为确保 x x td D 关于t的计算, 我们考虑三种情形 :
情形1 ：i I ( x )及 j E ,
min s.t. f ( x ) T d aiT d 0, i I ( x ) aT j d 0, j E || d || 1
(13.2)
确保目标函数有界
约束 || d || 1也可写成如 || d || 1等其它有界形式
设(13.2)的最优解为d , 则f ( x ) d 0.
T
min s.t.
f ( x ) T d aiT d 0, i I ( x ) aT j d 0, j E || d d 0, 则d 0,
显然, d是f在x处的一个下降可行方向;
情形2 ： f ( x )T d 0, 则d 0, 这说明在x处不存在下降 可行方向 , 即线性系统：
若情形3 不存在, 自然令 t max 然后我们通过求解 min f ( x td )
0t tmax
来计算步长 t. 在上面分析的基础上, 我们得到如下的可行方向法 :
算法13.1 (Zoutendij k算法) 步0 ： 选取初始点x0 D, 精度 0.令k : 0; 步2：求解下列关于 d 的线性规划问题 min s.t. f ( xk ) T d aiT d 0, i I ( xk ) aT j d 0, j E || d || 1 得解d k 步3 ： 若 | f ( x k ) T d k | , 则得解xk , STOP. 否则转下一步. 步4：由(13.3) 计算t max , 其中x x k , d d k . 求解
T i
aiT ( x td ) aiT x taiT d bi , 则 从而
综上所述, 步长t 的计算完全由情形3决定, 为此, 我们令 bi aiT x T tmax min T i I \ I ( x ), ai d ai d 则当t [0, t max ]时, 总有 x x td D (.)
1、下降可行方向
由于(13.1)的约束是线性的, x D, 在x处的可行方向集 S ( x ) {d R n | aiT d 0, i I ( x ); a T j d 0, j E} 而在x处的目标函数的下降方向满足： f ( x ) T d 0 因此, 在x处, 我们通过求解下列线性规划问题来计算下 降可行方向 :
考虑到(1)和(2), 我们先介绍线性约束问题的可行 方向法, 然后将其适当推广到非线性约束问题.
第一节 Zoutendijk 算法
一. 线性约束情形
考虑线性约束问题 min f ( x) s.t. g i ( x ) aiT x bi 0, i I h j ( x) a T j x b j 0, j E 记可行域 D {x | g i ( x ) 0, i I ; h j ( x ) 0, j E } x D, 在x处的有效集为 A( x ) I ( x ) E {i | g i ( x ) 0, i I } E (.)
0t tmax
min f ( x k td k )
得步长t k . 令x k 1 xk t k d k . 令k : k 1, 转步1.
由于 aiT d 0, i I ( x ) aT j d 0, j E 对任意的t 0, 我们有 aiT ( x td ) aiT x taiT d bi , i I ( x )
T T aT ( x td ) a x ta j j j d b j 0, j E
唯楚有材
於斯为盛
最优化
主讲：刘陶文
学好最优化，走遍天下都不怕
课件制作：刘陶文
第十三章 约束问题算法(II) —— 可行方向法
一、Zoutendijk可行方向法 二、投影梯度法 三、既约梯度法
思想
构造可行点序列{xk }使得目标函数序 列{ f ( xk )}单调下降, 且xk KKT点
其过程如下： 给定可行点 x k , (1) 计算下降可行方向d k ; (2) 通过线性搜索 (受可行性限制) 计算步长 k , 产生新的可行点：x k 1 xk k d k