网络流算法介绍

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二分图匹配

给定二分图G，在G的子图M中，M的任意两 条边都不共点，则称M为G图的一个匹配。 M中边数最大的子集称为G的最大匹配。
如果在最大匹配中，边涵盖了图中所有的点， 则这样的匹配为完美匹配。


匈牙利算法

实际上它也是一种不断寻找增广路径的算法 增广路径定义： 若path是图G中一条连通两个未匹配顶点 (分别属于X,Y)的路径， 并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待 匹配的边)在Path上交替出现， 则称Path为相对于M的一条增广路径。
二分图增广路

由增广路定义可以得出： 1、path的长度必为奇数，且第一条边和最后 一条边为不匹配边。 2、path经过路径取反操作以后，得到比当前 更大的匹配。 3、当找不到增广路径时候，得到的匹配即为 最大匹配。 与增广路求最大流算法很类似
最大流和二分图匹配


实际上二分图可以改造成一个流网络 把X，Y的边改成从X到Y的有向边，并赋值为 1，表示从X到Y容量为1。 添加源点s，s到X部每个点的容量都为1。 添加汇点t，Y到t部每个点的容量都为1。 以此建立的流网络求得到最大流，即为原二分 图中的最大匹配数。
最大流例题BOJ1154





求最大流 int maxflow() { int i, j, flow = 0, min; //min为增广路径上的瓶颈流量;flow网络最大流 while(findload()) { min = 0x7ffffff; for(i = t; i!= s; i = pre[i]) min <?= cap[pre[i]][i]; //找增广路径的瓶颈流量 flow += min; for(i = t; i != s; i = pre[i]) //更新路径上的流量 { cap[pre[i]][i] -= min; //前向弧加min cap[i][pre[i]] += min; //后向弧减min } return flow; }
二分图匹配例题BOJ1155





找增广路径 int path(int v) //从X部的V点找增广路径 { for(int i = 1; i <= m; i++) { if(g[v][i] && !visited[i]) //找到未匹配边 { visited[i] = true; if(match[i] == -1 || path(match[i]) == 1) { match[i] = v; //路径取反操作 return 1; } } } return 0; }
2
2 t

其中像(v1,s)这样的边 称为后向弧,它表示从 v1到s还可以增加4单 位的流量。 但是从v1到s和原网络 中的弧的方向相反。 这样的弧称为后向弧。 问题：有必要建后向 弧线？
为什么要建立后向弧



在寻找最大流的过程中，有些弧的选择一开始 可能就是错误的。 所以在路径中加上后向弧，作为标记。 当发现了另一条可增广的路径是并包含后向弧， 意味这条路径对以前对这条弧顶选择进行取消 后向弧为算法纠正自己所犯的错误提供了可能 性，它允许算法取消先前的错误的行为
网络流算法介绍
1.基本概念 2.最大流问题求解 3.二分图匹配 4.二分图最佳匹配
关键词： 源点、 汇点、 容量、 流量、 残量、 费用、 增广路径
网络流问题
类比：求最短路径 把实际问题的道路地图抽象为有向图，然后 用一定算法求解最短路径。 我们也可以将一个有向图看作一个流网络来 解决另一类型的问题 。 匹配问题、运输问题、任务分配问题。。。
最小切割时使c(S,T)最小的切割
割的流量
任意割的流量等于网络的流量 证明： f(S,T) = f(S,V) – f(S,S) = f(S,V) + 0 = f(s, V) + f(S-{s}, V) = f(s, V) + 0 = |f|

割的流量
网络的流量小等于任意割的容量 证明： |f| = f(S, T) = ∑ ∑f(x, y)
Leapin' Lizards



题意:有一间房子,有n*m个pillars,第一个矩阵表 示相应的pillars能跳几个Lizards,第二个矩阵表 示哪个pillars上有Lizard. d表示能跳的最大范 围.Lizard跳出边界就能逃跑,问最少还有几个 Lizards跑不了. 思路:拆点,最大流.将每个>0的pillars拆开,有L 的点由源点向其引一条边,边容量为1,能跳出边 界的点向汇点引边,边容量为无穷. 其他题目: pku 3498
流网络示例
流速/流量f 流速限制 容量c
水源
蓄水池 汇点T 水管/边
源点S
网络流三个性质

容量限制：f(u,v) <= c(u,v) 对称性：f(u,v) == -f(v,u) 收支平衡: 对于不是源点也不是汇点的任意结 点,流入该结点的流量和等于流出该结点的流 量和。
只要满足这三个性质,就是一个合法的网络流.
求最大流的增广路算法


每次用BFS找一条最短的增广路径； 然后沿着这条路径修改流量值（实际修 改的是残量网络的边权）。 路径上的后向弧+流量值 路径上的前向弧-流量值 当没有增广路时，算法停止，此时的流 就是最大流。
最大流例题BOJ1154


典型的最大流问题 已知网络容量,求最大流量 根据题意构图如下: 1为源点,M为汇点. 容量为题目已知给出,可能的情况是相同两个结点之间 有多条水渠,将它们累加即可. 初始化流量网络为0,则残量网络即初始为容量网络. 算法流程: 构图->求最大流->输出最大流
二分图匹配例题BOJ1155
容量限制
f(v6,v4)图中不给出
残量网络

对于网络中的每一条边，计算容量与流量 的差即表示为残量。


R(u,v) = C(u,v) – F(u,v)
形象的说，一条边的残量即为该边还能流 过的流量。
残量网络举例
原网络 残量网络
s
(4,4) (0,3) (2, 2) 4 v2 (2,2) t v1 2 2
最大流和二分图匹配





对上述的流网络求最大流的增广路算法我们已 经了解了。 每次找增广路时必然是以条从s到t的通路，除 去s到X,Y到t两条边，剩下的边必然是在原二 分图中交替前进。 前向弧表示尚未匹配的边 后向弧表示已经匹配的边 路径取反操作实际上是更新流量操作
二分图匹配的构图

增广路径

在残量网络中，从源点S出发到汇点T的一 条路径。 增广路径上的最小残量表示该网络还可增 加的额外流量。

点集间的流量
定义点集间的流量：f(X, Y) = ∑ ∑f(x, y) x∈X y∈Y 则有： f(X,X) = 0 (流的对称性) f(X,Y) = -f(Y,X) (流的对称性) f(X∪Y,Z) = f(X,Z) + f(Y,Z) f(X,Y∪Z) = f(X,Y) + f(X,Z)
Cable TV Network


题意:一个无向图,问去掉几个点使得其不连通. 思路:最小点割集,根据最小割最大流定理求解. 拆点,求最大流.因为此题没有明确的源点和汇 点,所以要枚举源点和汇点,然后求最大流,最大 流的最小值就是最小割的最小值. 其他题目： POJ3469
二分图


二分图作为流网络的一个特例，我们既可以特 别去讨论它，也可以从网络流的角度来理解它。 定义：二分图又称二部图，它是一个无向图， 图的顶点分成两个不相交的点集X, Y. 对于图中任意一条边的两端点分别来自不同点 集。
最大流模型构图


对于求流网络最大流的算法我们可以有现成的模板 套用，在实际问题中，如何去构图建立最大流模型 才是解决问题的难点和关键。 构图一般考虑下面几个要素: 1、问题是否符合求源点到目标点的所经过网络的等 效最大流。 2、找准源点和汇点 3、源点和网络中的点，汇点和网络中点的关系。 4、网络中的个点的关系。 5、明确什么是容量、流量、残量。
s 3 2 v2
v1
(2,4)
2
t
残量网络

s
3
4 v1 2 2 v2


2
t
2
从残量网络中可以清 楚地看到： 因为存在边(s,v2) = 3,则知道从S到v2还 可以再增加2单位的 流量； 因为存在边(v1,t) = 2, 则从v1到t还可以再 增加2单位的流量。
后向弧

s 3
4 v1 2

v2
网络的流量、最大流
一个合法的网络流量|f|定义为：
从源点流出的流量 流向汇点的流量
∑f(s,v) ∑f(v,t)
|f|的最大值表示为最大流
流网络示例
收支平衡 网络的流量 |f| = 5+3=8
或等于5 + 2 + 1(汇点处)
0 <= |f| <= 最大流 f(v4,v6) = -f(v6,v4) = 1
点集间的流量

不包含s,t的点集，与它关联的边上的流量和为 零
x∈X v∈V
证明：f(X, V) = ∑ {∑f(x,v)} = ∑0
x∈X
(流量收支平衡)
=0
网络中的割

割（S,T）由两个点集S,T组成，满足 1、 S + T = V 2、 源点在S集合中 3、 汇点在T集合中 4、 f(S,T)表示割的流量 5、 c(S,T)表示割的容量