南京大学线性代数期中试卷2013.11
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（1）求a,b满足的条件 （2）求对角矩阵D及相似变换矩阵P使得 P AP D
-1
a1b2 x2 ... anb2
3
2
1 0 0 ... 0 x
0 x ... 0 0
... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... 1 x ... 0 1
... a1bn ... a2bn ... ... ... xn
三．求下列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ参数的齐次线性方程组的基础解系（10分）
2 x1 3 x2 x3 7 x4 0 4 x1 3 x2 x3 6 x4 0 x x 2x 0 4 1 2
四．(10分）求一个非齐次线性方程组，使得其通解为
X (1,1,3)T k1 (1,3,2)T k 2 (2,1,1)T , 其中 k1 , k 2 为任意常数
五．（10分）设有4个三维向量
T T T 1 （ - 2， - 3， - 4） ， 2 （4,6,8) T ，1 （2,4,4） ， 2 （7,4,15）
考虑以下两个向量集合：
S1 {v R 3 | v k11 k 2 2 , k1 , k 2 R}
求向量集合 S1 S 2
S 2 {v R 3 | v l11 l2 2 , l1 , l2 R}
0 a 4 六．（10分）设矩阵 A 0 2 0 可以对角化 1 b 0
南京大学线性代数（第一层次）期中试卷 一．简答题（ 4 10 40分 )
2013.11.16
1 2 3 1.将矩阵 3 1 2 用初等变换化为行简化阶梯形矩阵 2 1 3
2.设A，B分别为 m n, n m 矩阵， En 为 n 阶单位阵，若 m n ，判断矩阵 可逆，并说明理由
A En
0 是否 B
3.设 n 2 ，A是 n 阶实方阵。如果 AX 的基础解系为向量 (1,1,1...,1) ，求
T
A * X 的基础解系
a11 4.设 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 A a23 ，及 (b1 , b2 , b3 )T ，令 B T a33
，如果 0
r ( A) r ( B ) ，试判断非齐次方程 AX 是否有解，并给出理由
二．计算下列行列式（ 2 10 20 分）
n 1 0 （1） Dn ... 0 0
x1 a2b1 （2） Dn ... anb1
n 1 n 2 ... x 1 ... 0 0
-1
a1b2 x2 ... anb2
3
2
1 0 0 ... 0 x
0 x ... 0 0
... 0 0 ... 0 0 ... ... ... ... 1 x ... 0 1
... a1bn ... a2bn ... ... ... xn
三．求下列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ参数的齐次线性方程组的基础解系（10分）
2 x1 3 x2 x3 7 x4 0 4 x1 3 x2 x3 6 x4 0 x x 2x 0 4 1 2
四．(10分）求一个非齐次线性方程组，使得其通解为
X (1,1,3)T k1 (1,3,2)T k 2 (2,1,1)T , 其中 k1 , k 2 为任意常数
五．（10分）设有4个三维向量
T T T 1 （ - 2， - 3， - 4） ， 2 （4,6,8) T ，1 （2,4,4） ， 2 （7,4,15）
考虑以下两个向量集合：
S1 {v R 3 | v k11 k 2 2 , k1 , k 2 R}
求向量集合 S1 S 2
S 2 {v R 3 | v l11 l2 2 , l1 , l2 R}
0 a 4 六．（10分）设矩阵 A 0 2 0 可以对角化 1 b 0
南京大学线性代数（第一层次）期中试卷 一．简答题（ 4 10 40分 )
2013.11.16
1 2 3 1.将矩阵 3 1 2 用初等变换化为行简化阶梯形矩阵 2 1 3
2.设A，B分别为 m n, n m 矩阵， En 为 n 阶单位阵，若 m n ，判断矩阵 可逆，并说明理由
A En
0 是否 B
3.设 n 2 ，A是 n 阶实方阵。如果 AX 的基础解系为向量 (1,1,1...,1) ，求
T
A * X 的基础解系
a11 4.设 A a21 a 31
a12 a22 a32
a13 A a23 ，及 (b1 , b2 , b3 )T ，令 B T a33
，如果 0
r ( A) r ( B ) ，试判断非齐次方程 AX 是否有解，并给出理由
二．计算下列行列式（ 2 10 20 分）
n 1 0 （1） Dn ... 0 0
x1 a2b1 （2） Dn ... anb1
n 1 n 2 ... x 1 ... 0 0