陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案
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【教学案例】
直线的方程(一)
(西安高新一中)
(一)教学分析
1.学生起点分析:
(1)学生已经具备的知识:点的坐标,直线的y截距,直线的倾斜角,直线的斜率,两点确定一条直线,
(2)学生活动的经验基础:
学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线,如何过直线外一点作一条直线的的平行线,其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向,意识到确定直线需要的2个要素。
2.教学任务分析:
(1)通过本节的学习,学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
(2)有了直线的点斜式方程,就可逐一探求出直线方程的其他形式。探求过程本身并没有多少难度,但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。从点斜式到斜截式,是从一般到特殊的思维过程,用到了演绎思想;从点斜式到两点式,是从一般到一般的逻辑推理,依靠直线的斜率来过渡,体现了转化思想;从两点式到截距式,又是从一般到特殊的思维过程,再一次用到演绎思想。
(3)两点确定一条直线,这是学生很早就接触的几何公理,然而在解析几何,平面向量等理论中,直线或向量的方向是极其重要的要素,解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率.因而在教学中要突出点斜式方程。
(二)教学过程
1.问题提出:
方案一:我们知道,点的代数表示形式是坐标,那么点动成线,直线的代数表示形式会有吗?如果有,应该是什么?我们来探究。
方案二:一次函数的一般形式为y = kx + b,其图像为一条直线。当一次项系数k> 0时,函数单调递增,图像呈上升趋势,是一条逐渐上升的直线;当一次项系数k< 0时,函数单调递减,图像呈下降趋势,是一条逐渐下降的直线;当一次项系数k = 0时,函数为常数函数,图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出:
①从集合的角度看,直线可以看成什么?
②在平面直角坐标系中,点的代数形式是什么?
③一次函数的图像是怎么描绘出来的?
④一次函数的解析式可以看成什么?
⑤在平面直角坐标系中,直线的代数形式是什么?
⑥从直线的代数形式上看,确定直线的因素是什么?
⑦这些因素的几何意义你知道吗?是什么?
⑧在平面直角坐标系中,确定一条直线的几何因素是什么?
⑨从对上面问题的解答中,你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗?分别有哪些?你能对它们进行叙述或定义吗?
⑩在平面直角坐标系中,所有直线都可以写成一次函数的解析式吗?
问题解答:①可以看成点的集合。
②有序实数对,用(x,y)表示。
③用列表描点法,即从解析式中取出一组组有序实数对,变成一个个点,再描绘到平面直角坐标系中。
④可以看成一个二元一次方程。
⑤一次函数的解析式,即一个二元一次方程。
⑥是一次项系数k和常数项b。
⑦因素k的几何意义是决定直线上升或下降的幅度,即直线的倾斜角或斜率,因素b的几何意义是直线与y轴交点的纵坐标。
⑧是直线上升或下降的幅度和直线上的一个点。
⑨可以,它们应该是直线上的一个点和直线的倾斜角或斜率。这些概念在上一节课上已经讲过。
⑩不是,垂直于x轴的直线就不行。
通过对若干问题的提出和解答,再给出一些具体的直线让学生去体会,学生一定能够较好的认识直线的方程。
方案三:西安市计划近几年里要建造两条地铁线,一条是东西走向,称为地铁一号线,一条是南北走向,称为地铁二号线。
地铁二号线正在建造当中,线路呈直线状,经过钟楼和南门,请问,这条线路经过小寨十字吗?请从数学的角度考虑,是怎样测算出来的?
答:建立平面直角坐标系,如果能找到线路上所有点的代数表示形式,即直线的代数表示形式,然后把小寨十字对应点的坐标代入这个“代数表示形式”中去检验就行了,如果适合,就说明地铁线路经过小寨十字;如果不适合,说明地铁线路不经过小寨十字。
那么,这个“代数表示形式”是什么呢?这就是我们今天要学习的内容。
2.直线方程的点斜式:
在平面直角坐标系中,直线l 经过点
),
(00y x P ,斜率为k ,点),(y x Q 是直线l 不同
于点1p 的任一点,
分析:由于P ,Q 都在直线l 上,从而用P ,Q 的坐标来表示直线l 的斜率,则由斜率公式可得:
00
x x y y k --= 整理得:)(00x x k y y -=-
即直线l 由直线的几何特征,这个方程是由直线上的一点和斜率(一个方向)所确定的,称为直线方程的点斜式.
在推导直线方程的点斜式时,教师可帮助启发学生作如下分
析:
建立点斜式的主要依据是,经过直线上一个定点与这条直线上任意一点的直线是惟一的,其斜率都等于k 。
提问:
(1)上述变形过程中是否是恒等变形,也就是说该方程是否表是了这条直线上的所有点,而直线上所有点也是否在该直线上,如果不是的话,丢失或添加了那些元素?
(2)直线方程的点斜式可以把所有直线都表示出来?有遗漏的吗?(在“斜”上加重语气,唤醒思考,不满足于一时的成功)
解答:(1)由题意易得,满足方程的点都在直线上,而得出方程00
x x y y k --=后,要把它变成方程)(00x x k y y -=-.因为前后并不
是等价变形,而前者表示的直线上缺少一个点0P ,变形后得到的
后者恰好将是成为整条直线的方程。
(2)如果一条直线的斜率不存在,是不可能用点斜式表示出来的。但这个问题反而更容易求解,反倒应特别注意的是不要遗漏此种情况。
当直线的斜率k 不存在时,无法用点斜式求它的方程,这时的直线方程为1x x =.
值得注意的是,当直线斜率0=k 时,虽然也能用点斜式,但由于斜率的特殊性,该直线方程可直接写为1y y =;
评注:点斜式方程推导对学生来说是容易接受的,因此,本