弹性力学课件圣维南边界条件1

平面问题的应力边界条件
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分布的 面力。分析其边界条件。
h/2
h/2
h/ 2 ( x )xl dy 1 h/ 2 f xdy 1
h/2
h/2
( ) h/ 2 x xl ydy 1 h/ 2 f x ydy 1


F 2
平面问题的应力边界条件
➢方法三：
1、沿次要边界面取出一个薄片（无厚度）为 脱离体，在薄片内侧面标出正的应力（按正 面正向，负面负向）；
2、建立薄片脱离体的平衡条件（力系和力矩 的平衡），即可得到积分边界条件：
Fx 0 Fy 0 Mo 0
例题
例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
h/2
h/2
h/ 2 ( xy )xl dy 1 h/ 2 f ydy 1
h/2
( h/ 2
)x xl
dy
1

FN
h / 2 ( h/ 2
)x xl
ydy
1

M
h/2
( h/ 2
xy
) xl
dy
1
Fs
例题
例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
§2.8 平面问题的求解方法-位移法
平面问题的基本方程与未知数
➢平衡微分方程：2个，两类问题完全相同 ➢几何方程：3个，两类问题完全相同 ➢物理方程：3个，两类问题不同，只需对系数作替换 ➢未知函数：3个应力分量、3个应变分量、2个位移分量 ➢ 边界条件：8个方程是弹性体内部必须满足的条件，
而在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合）
的方法有三种：
方法一：
1、在次要边界上应力的主失量和主矩的数值应当等 于相应面力的主失量和主矩的数值（绝对值） 。
2、面力的主失量和主矩的方向就是应力的主失量和 主矩的方向。
例题
习题2－8第二部分：列出图2-14所示问题的边界条件（
固定边不写）。
上下边界：
y h: 2
( y ) yh 0, ( xy ) yh q1
左右边界：
x 0: x b:
上边界：
( x )x0 gy, ( xy )x0 0 ( x )xb 0, ( xy )xb q
Fy 0
b
0 ( y ) y0 dx
3F 2
M o 0
b
0 ( y ) y0 xdx
平面问题 主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
➢对于上述应力边界条件，应注意以下几点：
1、表示主要边界上任一点的应力和面力之间的关系， 是函数方程，在边界上每一点都应满足（要将边界面 方程代入式中各项）；
2、式中的面力和应力分别应用各自的正负号规定，外
法线方向余弦l 和 m 则按三角公式确定正负号。
3、对于边界面为坐标面的情形，上式可进行简化。
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力失量的正方向；正的应力乘以正的 矩臂就是应力主矩的正方向。
圣维南原理及应用
➢如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力的
主失量和主矩，则具体表达式为：
h/2
( h/ 2
➢应用圣维南原理后的积分边界条件具体表达式为：
h/2
h/2
h / 2 ( x ) xl dy 1 h / 2 f x ( y)dy 1
h/2
h/2
( ) h / 2
x xl
ydy 1
h/ 2
f x ( y) ydy 1
h/2
h/2
h / 2 ( xy ) xl dy 1 h / 2 f y ( y)dy 1
§2.7 圣维南原理及应用
➢弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基
本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移 满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位 移是很难完全满足这个要求。这使得弹性力学解的应用将 受到极大的限制。为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽 这种限制，圣维南提出了局部影响原理。
x

1
E

2
( x

y )
y

1 E
( y
x )
y

E
1 2
( y

x )
式(2-17)
xy

2(1 E
) xy
xy

E 2(1
) xy
按位移求解平面问题
3、推导求位移分量的方程。将公式（2-17）代入平衡微分方程， 得到用 u 和 v 表示的平衡微分方程，即为求解位移的基本方程：
圣维南原理及应用
➢下面讨论在局部边界上具体如何应用圣维南原理
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。
圣维南原理及应用
➢按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左
右边界上应满足条件：
( x )xl f x ( y), ( xy )xl f y ( y)
3F 2
b
0 ( y ) y0 xdx
3 Fb 4
b 0
(
xy
) y0 d x


F 2
平面问题的应力边界条件
方法二： 1、在坐标系的第一象限取微分单元体，根据
应力正负号约定标出单元体各侧面上正的应力（ 按正面正向，负面负向）；
2、建立次要边界积分边界条件时，应当使与 边界面对应微分单元体侧面上的应力合成的主失 （主矩）绝对值与面力主失（主矩）绝对值相等 ，并且应力分量与面力分量方向一致时取正号， 方向相反时取负号。
左右边界：
x 0: x b:
上边界：
( x )x0 gy, ( xy )x0 0 ( x )xb 0, ( xy )xb q
b
0 ( y ) y0 dx
3F 2
b
0 ( y ) y0 xdx
3 Fb 4
b 0
(
xy
) y0 d x
xy
)
x0
d
y


2 h 2
(
f
y
)
x0
dy

FS
例题
例：如图所示，列出其边界条件（固定边不写）。
左右边界：
x 0: x b:
上边界：
( x )x0 gy, ( xy )x0 0 ( x )xb 0, ( xy )xb q
b
0 ( y ) y0 dx
➢它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处
处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
➢但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主失量和主矩分别等于对应的面力的 主失量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
圣维南原理及应用
式(2-17)
x
x

yx
y

fx
0
y
y

xy
x

fy
0
式(2-18)
4、推导用位移表示的边界条件。将公式（2-17）代入应力边界条
件，得到用 u 和 v 表示的应力边界条件：
式(2-17)
➢圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上
作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主 失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界 近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处， 其影响可以忽略不计。
圣维南原理及应用
➢应用圣维南原理时必须注意：
1、变换的外力必须与原外力是静力等效的：主失量相 同，对同一点的主矩也相同
➢按应力求解：以 3 个应力分量为基本未知函数，从基本方
程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含应力分量 的基本方程和边界条件，由此解出应力分量，然后根据物理方 程和几何方程求应变分量和位移分量。
按位移求解平面问题＿具体过程
➢按位移求解：以 2 个位移分量 u 和 v 为基本未知函数。为了消元
平面问题的求解方法
➢求解方法：未知函数及方程较多，难于求解，通常采用消
元法。又可分为：按位移求解和按应力求解。
➢按位移求解：以 2 个位移分量为基本未知函数，从基本方
程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位移分量 的基本方程和边界条件，由此解出位移分量，然后根据几何方 程和物理方程求应变分量和应力分量。
，其它 6 个未知函数须用 u 和 v 表示；
1、将应变分量用 u 和 v 表示，直接采用几何方程：
x

u x
, y

v y
,
xy

v x

u y
式(2-8)
2、为了将应力分量用 u 和 v 表示，将几何方程代入用应变表示的
物理方程（以平面应力问题为例）：
x

1 E
( x
y )
2、式（2-15）是精确的，而积分边界条件是近似的；
3、式（2-15）有两个条件，一般为两个函数方程，而 积分边界条件有三个积分条件，均为代数方程。
4、在求解时，式（2-15）难以满足，而积分边界条件 易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分 积分边界条件来代替。
平面问题的应力边界条件 处理方法
2、只能在局部边界上（小边界）进行静力等效变换。
3、根据圣维南局部影响原理，假如我们用一静力等效 力系取代弹性体上作用的原外力，则其影响仅在力的 作用区域附近。离此区域较远处，几乎不受影响。
圣维南原理及应用
➢例2.7.1：用一个钳子夹住铁杆，钳子对铁杆的作用相当于
一组平衡力系。实验证明，无论作用力多大，在距离力的作用 区域比较远处，几乎没有应力产生。
3 Fb 4
Fx 0
b 0
(
xy
) y0
dx


F 2
课后作业
作业： 1、习题2－8第一部分：列出图2－13所示问题的全部边界条件。 2、习题2－9。
主要内容
平面应力问题与平面应变问题 平面问题的平衡微分方程 平面问题中的一点应力状态分析 平面问题的几何方程与刚体位移 平面问题的物理方程 平面问题的边界条件 圣维南原理及应用 按位移法求解平面问题 按应力求解平面问题及相容方程 常体力情况下的简化与应力函数
圣维南原理及应用
➢例2.7.2：以矩形薄板受单向拉伸力作用为例分析
圣维南原理及应用
➢通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理的边界
条件转化为基本方程所能够满足的边界条件，使得弹性力 学问题得到解答。
➢ 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力
是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个 面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不 计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状 态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
平面问题的应力边界条件
2、次要边界上的积分边界条件（静力等效变换）
➢对于次要边界，精确的边界条件较难满足。这时可应用
圣维南原理，用如下静力等效条件来代替精确的应力边界 条件：在这一局部边界上，使应力的主失量和主矩分别等 于对应的面力的主失量和主矩。
平面问题的应力边界条件
➢具体解题时，建立次要边界上的积分边界条件
2
2
左边界：
yh: 2
( y ) yh q, ( xy ) yh 0
2
2
h
h

2 h
2
(
x
)
x
0
dy


2 h 2
(
f
x
) x0
dy
FN
h
h
2 ( h 2
x )x0
ydy


2(
h 2
f x )x0
ydy

M
h
h

2 h
2
(
x
) xl
dy
1

FN
h/2
( h/ 2
x
) xl
ydy
1

M
ຫໍສະໝຸດ Baiduh/2
( h/ 2
) xy xl
dy 1
Fs
圣维南原理及应用
➢将小边界上的精确边界条件(2-15)与近似的积分边
界条件进行比较，可以得出：
1、式（2-15）等号两边均是单位面积上的力，而积分 边界条件两边是力或力矩；
平面问题的应力边界条件
1、主要边界上的精确应力边界条件 在主要边界上，若给定了部分边界上面力分量，
则边界上每一点的应力与面力的关系式：
( xl xym)s f x (s) ( xyl ym)s f y (s)
平面问题的应力边界条件
( xl xym)s fx (s) ( xyl ym)s f y (s)