第03章 一元一次方程全章教案

第03章 一元一次方程全章教案

3.1.1一元一次方程（1）

一、教学目标

1、通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；

2、初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；

3、培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。 二、教学难点、知识重点 均是从实际问题中寻找相等关系。 三、教学过程（师生活动） （一）情境引入

教师提出教科书第79页的问题，并用多媒体直观演示，同进出现下图：

问题1：从上图中你能获得哪些信息？（必要时可以提示学生从时间、路程、速度、四地的排列顺序等方面去考虑。）

教师可以在学生回答的基础上做回顾小结

问题2：你会用算术方法求出王家庄到翠湖的距离吗·（当学生列出不同算式时，应让他们说明每个式子的含义）

教师可以在学生回答的基础上做回顾小结：

1、问题涉及的三个基本物理量及其关系；

2、从已知的信息中可以求出汽车的速度；

3、从路程的角度可以列出不同的算式：

()5070

1510702301513+?--=-

()5070

1310502301513

+?-+=-

问题3：能否用方程的知识来解决这个问题呢？ （二）学习新知

1、教师引导学生设未知数，并用含未知数的字母表示有关的数量．

如果设王家庄到翠湖的路程为x 千米，那么王家庄距青山 千米，王家庄距秀水 千米．

2、教师引导学生寻找相等关系，列出方程． 问题1:题目中的“汽车匀速行驶”是什么意思？

问题2:汽车在王家庄至青山这段路上行驶的速度该怎样表示？你能表示其他各段路程的车速吗？

问题3：根据车速相等，你能列出方程吗？ 教师根据学生的回答情况进行分析，如：

依据“王家庄至青山路段的车速=王家庄至秀水路段的车速”可列方程：

5070

35

x x -+= ， 依据“王家庄至青山路段的车速=青山至秀水路段的车速” 可列方程：

505070

32

x -+= 3、给出方程的概念，介绍等式、等式的左边、等式的右边等概念． 4、归纳列方程解决实际问题的两个步骤：

(1)用字母表示问题中的未知数（通常用x,y,z 等字母）； (2)根据问题中的相等关系，列出方程． （三）举一反三讨论交流

1、比较列算式和列方程两种方法的特点．建议用小组讨论的方式进行，可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点，也可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点，然后向全班汇报．

列算式：只用已知数，表示计算程序，依据是间题中的数量关系； 列方程：可用未知数，表示相等关系，依据是问题中的等量关系。

2、思考：对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？、 建议按以下的顺序进行：！ （1)学生独立思考； （2)小组合作交流； （3）全班交流．

如果直接设元，还可列方程：

70

605

x += 如果设王家庄到青山的路程为x 千米，那么可以列方程：

12060;335

x x x +==

依据各路段的车速相等，也可以先求出汽车到达翠湖的时刻：

55

2126

?=，再列出方程5

36

x +=60

说明：要求出王家庄到翠湖的路程，只要解出方程中的x 即可，我们在以后几节课中再来学习．

（四）初步应用、课堂练习

1、例题（补充）：根据下列条件，列出关于x 的方程： （1)x 与18的和等于54；

（2）27与x 的差的一半等于x 的4倍．

建议：本例题可以先让学生尝试解答，然后教师点评． 解：（1）x ＋18=54； （2）

1

2

（27－x ）＝4x. 列出方程后教师说明：“4x"表示4与x 的积，当乘数中有字母时，通常省略乘号“X ”，并把数字乘数写在字母乘数的前面． 2、练习（补充）： (1)列式表示：

① 比a 小9的数； ② x 的2倍与3的和； ③ 5与y 的差的一半； ④ a 与b 的7倍的和． (2)根据下列条件，列出关于x 的方程： （1） 12与x 的差等于x 的2倍； （2）x 的三分之一与5的和等于6. （五）课堂小结

可以采用师生问答的方式或先让学归纳，补充，然后教师补充的方式进行，主要围绕以下问题：

1、本节课我们学了什么知识？

2、你有什么收获？

说明方程解决许多实际问题的工具。 （六）本课作业

1、必做题：第84--85页习题3.1第1，5题。

2、选做题：根据下列条件，用式表示问题的结果：

（1）一打铅笔有12支，m打铅笔有多少支？

（2）某班有a名学生，要求平均每人展出4枚邮票，实际展出的邮标量比要求数多了15枚，问该班共展出多少枚邮票？

（3）根据下列条件列出方程：小青家3月份收入a元，生活费花去了三分之一，还剩2400元，求三月份的收入。

（七）板书设计

教学反思：

3.1.1 一元一次方程（2）

一、教学目标

①理解一元一次方程、方程的解等概念；

②掌握检验某个值是不是方程的解的方法；

③培养学生根据间题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的能力；

④体验用估算方法寻求方程的解的过程，培养学生求实的态度。

二、教学重、难点

重点：寻找相等关系、列出方程．

难点：对于复杂一点的方程，用估算的方法寻求方程的解，需要多次的尝试，也需要一定的估计能力

三、教学过程（师生活动）

（一）情境引入

问题：小雨、小思的年龄和是25.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁，小雨、小思的年龄各是几岁？

如果设小雨的年龄为x岁，你能用不同的方法表示小思的年龄吗？

在学生回答的基础上，教师加以引导：小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示，这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示．由于这两个不同的式子表示的是同一个量，因此我们又可以写成：25-x=2x-8．这样就得到了一个方程．

（二）自主尝试

①．尝试：

让学生尝试解答教科书第80页的例1。对于基础比较差的学生，教师可以作如下提示： (1）选择一个未知数，设为x，

(2）对于这三个问题，分别考虑：

用含x的式子表示这台计算机的检修时间；

用含x的式子分别表示长方形的长和宽；

用含x的式子分别表示男生和女生的人数．

(3)找一个问题中的相等关系列出方程．

②交流：

在学生基本完成解答的基础上，请几名学生汇报所列的方程，并解释方程等号左右两边式子的含义．

③教师在学生回答的基础上作补充讲解，并强调：

(1）方程等号两边表示的是同一个量；

(2）左右两边表示的方法不同．

简单地说：列方程就是用两种不同的方法表示同一个量．以第(1)题为例：方程左边的式子"1 700＋150x”表示计算机已使用的时间加上后来可使用的时间，也就是规定的检修时间．右边的"2 450”也是规定检修的时间．这样就有“1 700十150x =2 450".

④讨论：

问题1：在第(1)题中，你还能用两种不同的方法来表示另一个量，再列出方程吗？

让学生在学习小组内讨论，然后分组汇报交流：

选“已使用的时间”可列方程：2 450-150x=1 700.

选“还可使用的时间”可列方程：150x=2 450-1 700.

问题2：在第(3)题中，你还能设其他的未知数为x吗？

在学生独立思考、小组讨论的基础上交流：

设这个学校的男生数为x，那么女生数为(x+80)，全校的学生数为(x+x+80).

列方程：x＋80=52％(x+x＋80)．

（三）建立概念

①概念的建立．

让学生在观察上述方程的基础上，教师进行归纳：各方程都只含有一个未知数，并且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程．

“一元”：一个未知数；“一次”：未知数的指数是一次．

判断下列方程是不是一元一次方程：

（1）23-x=一7：（2）2a-b=3

(3 )y+3＝6y-9；（4）0.32 m-(3＋0.02 m) =0.7.

（5）x2＝1 （6）11

4

23 y y

-=

②引导学生归纳：

从上面的分析过程我们可以发现，用方程的方法来解决实际问题，一般要经历哪几个步骤？在学生回答的基础上，教师用方框表示：

分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法．

概念的建立要经历由感性到理性的过程，“判断”的目的就是为了对概念进一步理解。（四）估算求解

列出方程后，还必须解这个方程，求出未知数的值．对于简单的方程，我们可以采用估算的方法．

①问题：你认为该怎样进行估算？

可以采用“尝试—发现—归纳”的方法：让学生尝试后发现，要求出答案必须用一些具体的数值代入，看方程是否成立，最后教师进行归纳．

可以像教科书那样用列表的方法进行尝试，也可以像下面的示意图那样按程序进行尝试．

②在此基础上给出概念：能使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．求方程的解的过程，叫做解方程．

一般地，要检验某个值是不是方程的解，可以用这个值代替未知数代人方程，看方程左右两边的值是否相等．

（五）课堂练习

练习教科书第82页中练习

（六）课堂小结

着重引导学生从以下几个方面进行归纳：

①这节课我们学习了什么内容？

②用列方程的方法解决实际问题的一般思路是什么？

③列方程的实质就是用两种不同的方法来表示同一个量．

④估算是一种重要的方法．

思考：教科书第81页中的“思考”．（不一定让学生估算出方程的解，目的是体验用估算的方法有时会很麻烦）

（七）本课作业

①必做题：教科书第84--85页习题3.1第2,6,7,8题·

②选做题：教科书第85页习题3.1第11题．

③备选题：

（1）x=3是下列哪个方程的解？（）

A. 3x-1-9=0

B. x=10-4x

C. x(x-2)＝3

D. 2x-7＝12

（2）方程

6

2

x

=-

的解是（）

A. －3 .B －1

3 C. 12 D. －12

（3）已知x－5与2x－4的值互为相反数，列出关于x的方程．

(4)某班开展为贫困山区学校捐书活动，捐的书比平均每人捐3本多21本，比平均每人捐4本少27本，求这个班，有多少名学生？如果设这个班有x名学生，请列出关于 x的方程．

教学反思：

3.1.2 等式的性质（1）

一、教学目标

①了解等式的两条性质；

②会用等式的性质解简单的（用等式的一条性质）一元一次方程；

③培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力；

④渗透“化归”的思想．

二、教学重点、难点

教学重点：理解和应用等式的性质

知识难点：应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”.

三、教学准备

演示实验用的一架天平、砝码（估计与乒乓球等质量的取3只）、小木块等．

四、教学过程（师生活动）

（一）提出问题

用观察的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解．你能用这种方法求出下列方程的解吗？

（1） 3x-5＝22； (2) 0.28-0.13y=0.27y＋1.

第(1)题要求学生给出解答，第(2)题较复杂，估算比较困难，此时教师提出：我们必须学习解一元一次方程的其他方法．

（二）探究新知

①实验演示：

教师先提出实验的要求：请同学们仔细观察实验的过程，思考能否从中发现规律，再用自己的语言叙述你发现的规律．然后按教科书第82页图3.1-2的方法演示

实验．

教师可以进行两次不同物体的实验．

②归纳：

请几名学生回答前面的问题．

在学生叙述发现的规律后，教师进一步引导：等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同

样的性质．比如“8=8”，我们在两边都加上6，就有“8＋6=8＋6”；两边都减去11，就有“8－11=8－11” . ③表示：

问题1：你能用文字来叙述等式的这个性质吗？

在学生回答的基础上，教师必须说明：等式两边加上的可以是同一个数，也可以是同一个式子．

问题2：等式一般可以用a=b 来表示．等式的性质1怎样用式子的形式来表示？

④观察教科书第83页图3.1－3，你又能发现什么规律？你能用实验加以验证吗？

在学生观察图3.1一3时，必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义．观察后再请一名学生用实验验证．

然后让学生用两种语言表示等式的性质

2.

问题3：你能再举几个运用等式性质的例子吗？

如：用5元钱可以买一支钢笔，用2元钱可以买一本笔记本，那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本，15元钱就可以买3支钢笔．相当于： “5元一买1支钢笔的钱；2元一买1本笔记本的钱． 5元＋2元=买1支钢笔的钱＋买1本笔记本的钱． 3×5元=3×买1支钢笔的钱． （三）应用举例

方程是含有未知数的等式，我们可以运用等式的性质来解方程。 例1教科书第83页例2中的第（1）、（2）题．

分析：所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x=？’’因此我们需要把方程转化为“x=a(a 为常数)”形式。

问题 1：怎样才能把方程x＋7=26转化为x=a的形式？

学生回答，教师板书：

解：（1）两边减7，得、

x+7－7=26－7，

x=19.

问题2：式子“－5x”表示什么？我们把其中的－5叫做这个式子的系数．你能运用等式的性质把方程－5x=20转化为x=a的形式吗？

用同样的方法给出方程的解．

小结：请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式．

例2（补充）小涵的妈妈从商店买回一条裤子，小涵问妈妈：“这条裤子需要多少钱？”妈妈说：“按标价的八折是36元．”你知道标价是多少元吗？

要求学生尝试用列方程的方法进行解答．在学生基本完成的情况下，教师给出示范．解：设标价是x元，则售价就是80％x元，根据售价是36元

可列方程：

80%x=36，

两边同除以80％，得

x=45.

答：这条裤子的标价是45元．

（四）课堂练习

分别说出下列各式子的系数

3x，－7m，3

5

y

，a，－x，

1

2

n

-

利用等式的性质解下列方程

（1） x－5=6 （2）0.3x=45 （3）－y=0.6 （4）1

2 3

y=-

③七年级3班有18名男生，占全班人数的45%，求七年级3班的学生人数。（五）课堂小结

让学生进行小结，主要从以下几个方面去归纳：

①等式的性质有那几条？用字母怎样表示？字母代表什么？

②解方程的依据是什么？最终必须化为什么形式？

③在字母与数字的乘积中，数字因数又叫做这个式子的系数．

思考：你能用等式的性质解本课引入时的方程

3x－5=22吗？（第2个方程在学了后续的知识后再解答）（六）本课作业

必做题

（1）利用等式的性质解下列方程：

① a＋25=95 ②x－12=－4

③ 0.3x=12 ④2

3 3

x=-

（2）教科书第85页第9题

选作题：

一件电器，按标价的七五折出售是213元，问这件电器的标价是多少元？（七）板书设计

等式的性质

1、等式的性质1

2、等式的性质2

3、例

4、练习

教学反思：

3.1.2 等式的性质（2）

一、教学目标

①进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程

②初步具有解方程中的化归意识；

③培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．

二、教学重点、难点

教学重点：用等式的性质解方程。

知识难点：需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。

三、教学过程（师生活动）

（一）复习引入

解下列方程：（1）x＋7=1.2; （2）23 32 x=

在学生解答后的讲评中围绕两个问题：

每一步的依据分别是什么？

求方程的解就是把方程化成什么形式？

这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。

（二）探究新知

对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？

例1 利用等式的性质解方程：

（1）0.5x－x=3.4 （2）

1

54 3

x

--=

先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：

要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？然后给出解答：

解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5

化简，得－x=－2．9，、

两边同乘－1，得 x=－2.9

小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．

你能用这种方法解第（2）题吗？

在学生解答后再点评．

解后反思：

①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？

②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？

允许学生在讨论后再回答．

例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？

在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？

解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得 80x×3.5＋1.5x＝355．

化简，得

280＋1.5x＝355，

两边减280，得

280＋1.5x－280＝355－280，

化简，得

1.5x＝75，

两边同除以1.5，得x＝50．

答：用余下的布还可以做50套儿童服装．

解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．

问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？

在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355

方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。

你能检验一下x=－27是不是方程

1

54

3

x

--=

的解吗？

（三）课堂练习

教科书第84页练习第（3）（4）题。

小聪带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求解）

建议：采用小组竞赛的方法进行评议

（四）课堂小结

建议：①先让学生进行归纳、补充。主要围绕以下几个方面：

这节课学习的内容。

我有哪些收获？

我应该注意什么问题？

②教师对学生的学习情况进行评价。

③思考题用等式的性质求x:－2x=－5x＋7

（五）本课作业

必做题：教科书第85页第4（1）、（2）、（4）题；补充：用等式的性质解方程：①3＋4x=17;

②4－1

2 x =3

选做题：教科书第85页3.1第10题。（六）板书设计

等式的性质

1、例

2、练习

教学反思：

3.2 解一元一次方程（一）

——合并同类项与移项（1）

一、教学目标

①经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．

②学会合并（同类项），会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程．

③能够找出实际问题中的已知数和未知数，分析它们之间的数量关系，列出方程．

④初步体会一元一次方程的应用价值，感受数学文化。

二、教学重点、难点

知识重点：建立方程解决实际问题，会解“ax＋bx=c”类型的一元一次方程

教学难点：分析实际问题中的已知量和未知量，找出相等关系，列出方程

三、教学过程（师生活动）

（一）设置情境、提出问题

（出示背景资料）约公元825年，中亚细亚数学家阿

尔一花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？通过下面几节课的学习讨论，相信同学们一定能回答这个问题．

出示教科书88页问题1：某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买的数量又是去年的2倍。前年这个学校购买了多少台计算机？

（二）探索分析、解决问题

设问1：如何列方程？分哪些步骤？

师生讨论分析：

设未知数：前年购买计算机x台

找相等关系：

前年购买量＋去年购买量＋今年购买量=140台

列方程：x ＋2x ＋4x=140

设问2：怎样解这个方程？如何将这个方程转化为x=a 的形式？学生观察、思考： 根据分配律，可以把含 x 的项合并，即 x ＋2x ＋4x=（1＋2＋4）x=7x 老师板演解方程过程：（略）

为帮助有困难的学生理解，可以在上述过程中标上箭头和框图。

设问3：以上解方程“合并”起了什么作用？每一步的根据是什么？ 学生讨论、回答，师生共同整理：

“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a 的形式。

（三）例题分析、体现方法 出示课本第89页例1

采用学生叙述、教师板书的师生合作方式完成。 （四）课堂练习

学生练习课本上第89页练习 （五）拓广探索、比较分析

对于问题1还有不同的未知数的设法吗？ 学生思考回答：若设去年购买计算机x 台，得方程

21402x

x x ++=

若设今年购买计算机x 台，得方程

14042x x

x ++=

（六）综合应用、巩固提高

一个黑白足球的表面一共有32个皮块，其中有若干块黑色五边形和白色六边形，黑、白皮块的数目之比为3：5，问黑色皮块有多少？ 学生思考、讨论出多种解法，师生共同讲评。 （七）课堂小结 提问：

你今天学习的解方程有哪些步骤，每一步依据是什么？

今天讨论的问题中的相等关系有何共同特点？

学生思考后回答、整理：

解方程的步骤及依据分别是：合并和系数化为1

总量=各部分量的和

（八）本课作业

必做题：课本P93--94页习题3.2中1、3①②、4、6 选做题：

在一卷古埃及草卷中，记载着这样一个数学问题“啊哈，它的全部，与它的1

7，其和等于

19。”你能求这问题中的他吗？

阅读诗文：

三百一十五里关，初行健步并不难。次日脚痛减一半，六朝才得至其返。欲问每朝行数里，请公仔细算相还。

（九）板书设计

1、例

2、练习

教学反思：

3.2 解一元一次方程（一）

——合并同类项与移项（2）

一、教学目标

1、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．

2、掌握移项方法，学会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程，理解解方程的目标，体会解法中蕴涵的化归思想．

二、教学重点、难点

知识重点：建立方程解决实际问题，会解“ax＋b=cx+d”类型的一元一次方程

难点：分析实际问题中的相等关系，列出方程

三、教学过程（师生活动）

（一）提出问题

出示教科书89页问题2：把一些图书分给某班学生

阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．这个班有多少学生？（二）分析问题

引导学生回顾列方程解决实际问题的基本思路．

学生讨论、分析：

1、设未知数：设这个班有x名学生

2、找相等关系：

这批书的总数是一个定值，表示它的两个等式相等．

3、列方程：3x＋20=4x-25 (1)

设问1：怎样解这个方程？它与上节课遇到的方程有

何不同？

学生讨论后发现：方程的两边都有含x的项（3x与

4x)和不含字母的常数项（20与－25）．

设问2：怎样才能使它向x=a的形式转化呢？

学生思考、探索：为使方程的右边没有含x的项，等号两边同减去4x，为使方程的左边

没有常数项，等号两边同减去20. 3x －4x=－25－20… （2） 设问3：以上变形依据是什么？ 等式的性质1。

归纳：像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。 师生共同完成解答过程。

设问4：以上解方程中“移项”起了什么作用？ 学生讨论、回答，师生共同整理：

通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a 的形式。 （三）运用新知 出示课本第91页例2

可以由学生叙述教师板演，也可以让学生尝试给出解答，教师再进行讲评。 解题后反思归纳：

什么时候需要“移项”？ “移项”起了什么作用？ “移项”的依据是什么？“移项”应注意什么？

（四）课堂练习

学生练习课本上第91页练习 （五）拓广探索、比较分析

对于问题1还有不同的未知数的设法吗？ 学生思考回答：若设去年购买计算机x 台，得方程

21402x

x x ++=

若设今年购买计算机x 台，得方程

14042x x

x ++=

（六）综合应用、巩固提高

有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每条船坐6人，如果减少一条船 ，正好每条船坐9人，问这个班共多少同学？