2016年数学花园探秘五年级初赛(解析)_74

2016年“数学花园探秘”科普活动

五年级组初试试卷A 详解

一．填空题Ⅰ（每小题8分，共32分）

1. 算式()1912191912121219⎛⎫

⨯-⨯÷- ⎪⎝⎭

的计算结果是__________．

【考点】计算，分数计算，整体约分 【难度】★ 【答案】228

【分析】原式19191212

(19191212)1219⨯-⨯=⨯-⨯÷

⨯

1219

(19191212)19191212

⨯=⨯-⨯⨯⨯-⨯

1219228=⨯=

2. 有一种细胞，每隔1小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个．如果经过8小时后细胞的

个数为1284，那么，最开始的时候有__________个细胞． 【考点】计算，数列，递推 【难度】★★ 【答案】9

【分析】方法一（逆推）：128422644 ，64422324 ，32422164 ，1642284 ，

842244 ，442224 ，242214 ，14229 ．

方法二（不动点/通项）：若有4个细胞，则每小时细胞数目均不变，故知通项式为0(4)24n n a a ，故801284(4)24a ，09a ．

3. 如图，一道乘法竖式中已经填出了2、0、1、6，那么乘积是__________．

×

61

2

【考点】数字谜，乘法竖式谜 【难度】★★ 【答案】6156

【分析】第二个部分积小于第一个部分积，故第二乘数的十位比个位小，只能是1．进而第一部分积必

为106□，第二部分积十位（即第一乘数十位）为0或1．

若乘数为503，则503126036 ，百位不符合进位要求； 若乘数为508，则508126036 ，百位不符合进位要求； 若乘数为513，则513126156 ，符合要求；

若乘数为518，则518126216 ，百位不符合进位要求． 综上，本题有唯一答案6156．

4. 有一个数列，第一项为12，第二项为19，从第三项起，如果它的前两项和是奇数，那么该项就等

于前两项的和，如果它的前两项和是偶数，该项就等于前两项的差（较大数减较小数）．那么，这列数中第__________项第一次超过2016． 【考点】计算，数列，等差数列 【难度】★★★ 【答案】252

【分析】即奇偶性不同求和，奇偶性相同求差．12、19、31、12、43、55、12、67、79、12、…可见

凡是31n 项都是12，除去这些项，得到的数列即为首项为19，公差为12的等差数列．第167项1912(1671)2011 ，第168项1912(1681)2023 第一次超过2016，这个数列的第168项是原数列的第16823252 项．

二．填空题Ⅱ（每小题10分，共40分）

5. 四位数双成成双的所有因数中，有3个是质数，其它39个不是质数．那么，四位数成双双成有

__________个因数．

【考点】数论，因数个数定理及其逆用 【难度】★★★ 【答案】12

【分析】由题意，双成成双恰有三种质因数，其中必有11，设11x y z p q 双成成双=⨯⨯，

(1)(1)(1)42x y z +++=，得双成成双最小是12611326336⨯⨯=，其他可能值都至少是五位数，故

有唯一解6336双成成双=，进而211366331137成双双成==⨯⨯，有(21)(11)(11)12+⨯+⨯+=个因数．

6. 右图中，A 、B 、C 、D 、E 是正五边形各边的中点，那么，图中共有__________个梯形．

E

C

B

A

【考点】计数，几何计数 【难度】★★★ 【答案】35

【分析】图中有5组平行线，例如AB 、EC 及过D 的边（所在直线设为l ）是一组平行线，AB 、EC 之

间枚举知有2个梯形；AB 、l 之间没有梯形；EC 、l 之间枚举知有5个梯形，故这组平行线共有7个梯形．梯形总数为7535⨯=个．

7.对于自然数N，如果在1～9这九个自然数中至少有六个数可以整除N，则称N是一个“六合数”，

则在大于2000的自然数中，最小的“六合数”是__________．

【考点】数论，分解质因数

【难度】★★

【答案】2016

【分析】6个数中必有偶数，故“六合数”是偶数，枚举知：

=⨯⨯⨯只能被1、2、7整除，不符要求；

2002271113

2

=⨯⨯只能被1、2、3、4、6整除，不符要求；

200423167

200621759

=⨯⨯只能被1、2整除，不符要求；

3

=⨯只能被1、2、4、8整除，不符要求；

20082251

=⨯⨯⨯只能被1、2、3、5、6整除，不符要求；

201023567

2

=⨯只能被1、2、4整除，不符要求；

20122503

201421953

=⨯⨯只能被1、2整除，不符要求；

52

=⨯⨯能被1、2、3、4、6、7、8、9整除，符合要求．

2016237

8.如图，魔术师在一个转盘上的16个位置写下来了1～16共16个数，四名观众甲、乙、丙、丁参

与魔术表演．魔术师闭上眼，然后甲从转盘中选一个数，乙、丙、丁按照顺时针方向依次选取下一个数，图示是一种可能的选取方式．魔术师睁开眼，说：“选到偶数的观众请举手．”这时候，只有甲和丁举手，这时候魔术师就大喝一声：“我知道你们的选的数了！”，你认为甲和丁选的数的乘积是__________．

【考点】组合，进位制，构造

【难度】★★★

【答案】120

【分析】甲、乙、丙、丁四个人所选数分别为偶数、奇数、奇数、偶数，图中连续的位置只有10、11、

9、12符合要求，所以甲、丁所选的数必为10和12，其积为1012120

⨯=．其实连续四个数有16种取法，恰好连续四个数的奇偶情况也是16种，此图的任何连续四个数的奇偶情况都不同，这是魔术的数学原理．