第四章 透镜位相调制和傅里叶变换性质.

径时，必须考虑投影孔径的影响，卷积的作用使得频谱
面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失 真越严重。
3.物体放置在透镜前方
t ( x 0 , y 0) 1
P(x,y)
U(xi,yi)
•
2
d1 f
从图中可以看出，光照到物体后，透过物体的光波可以分解成不同 方向的平行光，物上各点小于1角的平行光均能全部通过，而大于2角 的平行光均通不过。所以，全部通过的频谱对应小于1，而全部截止的 频谱对应大于2；在1到2之间的频谱只有部分通过。 P133 透镜孔径是一个滤波器：低频成分可以通过；稍高频成分 部分通过；高频成分完全滤除。因而透镜后焦面上得不到物体的准确频 谱，给傅里叶变换带来误差。这种现象称为“渐晕效应”。透镜孔径越 大，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。但孔径越大，不满 足旁轴近似，所以，大孔径的变换透镜是专门设计的。
Ui x, y x2 y 2 t ( x, y) U 0 exp( jk ) Ui x, y 2f
再如图所示当焦距为f 的透镜对 点光源成像时，物点光源S照射 在透镜前表面的光场为
Ui Ui S d0 di
S
x2 y2 U i ( x, y ) U 0i exp( jk ) 2d 0
2 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 x0 y0 t ( x0 , y0 ) exp jk exp jk d x d y 0 0 dxdy 2(d1 ) 2(d1 d 0 )
把以上各量代入，可以得到t(x0,y0) 与U(xi,yi)的关系为
( xi x) 2 ( yi y ) 2 x2 y 2 U ( xi , yi ) exp( jk ) exp jk 2 (d1 d 0 )(d1 )di 2f 2d i
x y k U ( xi , yi ) C exp j ( xi2 yi2 ) t ( x0 , y0 ) exp j 2 ( i x0 i y0 ) dx0dy0 2 xi yi k 2 2 ℱ t ( x , y ) fx C exp j ( xi yi ) fy 0 0 2
焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）
透镜后Leabharlann Baidu面的光场为
f
U ( xi , yi )
k 2 exp j ( xi yi2 ) ℱ t ( x, y) P x, y j f 2f A


xi f y fy i f fx
k 2 yi xi yi A 2 xi exp j ( xi yi ) T , , P j f 2 f f f f f
xi x0 yi y0 1 1 1 2 2 ( )( x y ) 2( ) x 2( ) y dxdy dx0dy0 di d1 f di d1 di d1
可以证明，当观察平面是照明光源S的共轭平面时，即
1 1 1 di d0 f
xi fx f yi fy f
当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通 过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时， 必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱 与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
t(x0,y0)
2.物体放在透镜后方 会聚光在物体上投影的等效孔径函数为
U(xi,yi)
f f P x, y P x0 , y0 d d
物体后表面的光场为
f d
x0 , y0 U0
Af k 2 f f 2 exp j x y P x , y 0 0 0 0 t x0 , y0 d d 2d d
1 1 1 由于 d0 di f
x2 y2 t ( x, y ) U 0 exp( jk ) 2f
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f
对于凸透镜，f >0，对于凹透镜，f<0。 如果透镜的孔径函数为P(x,y)
根据几何光学符号规定，物距透镜的距离为-d1，照明光源S距透镜的距 离为-d0。S是一个点光源，它到物面的距离为d1-d0。观察平面到透镜的 距离为di
点光源照在x0y0平面前表面的光场分布为
2 2 a0t ( x0 , y0 ) x0 y0 ( x0 , y0 ) U 0 ( x0 , y0 )t ( x0 , y0 ) U0 exp jk d1 d 0 2( d d ) 1 0
d
由于X=Y=0
xi2 yi2 U ( xi , yi ) C exp( jk )ℱt ( x0 , y0 ) 2d
xi d y fy i d fx
结论：照明光源的像平面是透镜的傅里叶变换平面。
物在透镜前： 平行光照明，fx=xi /f，对固定的空间频率fx，由于f 给定，
f
xi fx f
yi fy f

(1
d1 ) d0 f d0
f
1

k d1 2 2 t ( x0 , y0 ) U ( xi , yi ) C exp j (1 )( xi yi ) ℱ f 2f
xi fx f yi fy f
xi=f fx ，也是固定的。
物在透镜后： 对固定的空间频率fx， fx=xi /d， xi=fd，d 越大， xi 也越大。从而使得频谱分的更开，便于进行滤波处理。
三、透镜孔径对傅里叶变换的影响 以上讨论时并没有考虑透镜孔径的影响，实际上，透镜孔 径是有限的，设孔径函数为P(x,y)，透镜透过率函数为
透镜后表面的场是会聚于像点的场在后平面上的分布
x2 y 2 exp( jk Ui( x, y) U 0 ) 2di
透镜的位相透过率为
U i( x, y ) U 0 1 1 2 2 t ( x, y ) exp jk ( )( x y ) U i ( x, y ) U 0 i 2d 0 2d i
有

在照明光源的像平面上，是透镜的傅里叶变换平面， 即物体的频谱面。

d 0 d1 (d 0 f )(d1 f ) 1 d i (d 1 d 0 )d i 2 (d 0 d 1 ) f 2
(d 0 d 1 )d i (d 0 d 1 ) f d0 d0 f
2． d0=
di=f
d1=-f
t(x0,y0)
U(xi,yi)
0
f
f
f
U ( xi , y i ) C ℱt ( x0 , y 0 )
fx
完全傅里叶变换。
3． d0=
1 f
xi f
fy
yi f
t(x0,y0) U(xi,yi)
-d1=0
f
di=f
k 2 2 exp j ( xi yi ) 二次位相因子变为 2f k 2 t ( x0 , y0 ) U ( xi , yi ) C exp j ( xi yi2 ) ℱ 2f
f
xi f yi fy f fx
二、物体放在透镜之后 如图，照明光源为点光源S，它经过透镜后，成像 为一个会聚的点。
t (x0,y 0) U(xi,yi)
在菲涅耳衍射中曾讲过， 当用会聚在（X，Y）点 的会聚光照明物体时，在 会聚点所在的平面上，菲 涅耳衍射是傅里叶变换。
S
d di
fx xi X d yi Y
xi2 yi2 a exp( jkd ) X 2 Y 2 U ( xi , yi ) exp( jk ) exp( jk )ℱ t ( x0 , y0 )f y 2 j d 2d 2d
讨论： 1．d0=时，di=f
(1
f )(d 1 d0 d1 ) d0
t(x0,y0)
U(xi,yi)
-d1
f

f) f
2
(1

d1 f f
2

d 1 (1 1 ) f f
二次位相因子变为
k d1 2 2 exp j (1 )( xi yi ) f 2f
x2 y 2 tl ( x, y) p x, y exp( jk ) 2f
§4—2 透镜的傅里叶变换性质
为了讨论方便，先不考虑透镜有限孔径的影响。
一、物在透镜之前（如图所示）
x0
t(x0,y0)
x
xi
S
o0 o oi
y0 U0 U0 -d0 -d1
y U L U L di
yi U
焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）
Af k 2 2 U ( xi , yi ) exp j ( xi yi ) 2 j d 2d

xi f f d t ( x , y ) P x , y ℱ 0 0 0 0 d d y fy i d fx
exp jkdi ( xi x) 2 ( yi y ) 2 ( x, y ) exp jk U ( xi , yi ) UL dxdy j d i 2d i
U(xi,yi)是UL(x,y)的菲涅耳衍射
x2 y 2 ( x, y) U L ( x, y) exp( jk UL ) 2f
第四章 透镜的位相调制和傅里叶变换性质
透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可 以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还 能对物体进行傅里叶变换。
§4—1 透镜的位相调制作用
透镜一般由两个球面构成，当光线入射到不同的 位置时，由于各点厚度不同，其位相延迟是不同的。
如图所示，单位振幅平行光垂直入射在透镜的前表面，光场为
Af xi yi xi yi k 2 2 exp j ( x y ) T , P , i i 2 j d 2d d d d d
当物体限度小于投影孔径函数时，物体上的信息全 部到达频谱面，投影孔径没有影响；当物体大于投影孔
Ui ( x, y) 1
设透镜各点的透明度是一致的，
Ui Ui f
光线通过后对振幅的影响可以忽略， 仅对位相产生作用，其位相透过率 为t(x,y)，则后表面的光场为
a0 x2 y 2 U i( x, y ) exp( jkf ) exp( jk ) f 2f x2 y 2 U 0 exp( jk ) 2f 其透过率为
x2 y 2 tl ( x, y) P x, y exp( jk ) 2f
下面讨论振幅为A平行光垂直照射物体时的几种情况
1.物体紧靠透镜放置
t(x,y)
U(xi,yi)
x2 y 2 U l x, y At ( x, y) P x, y exp( jk ) 2f
x0y0平面后表面的光场分布为
2 2 a0 x0 y0 U 0 x0 , y0 exp jk d1 d0 2( d d ) 1 0
从U0 到UL可以看着菲涅耳衍射 exp jkd1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( x0 , y0 ) exp jk U L ( x, y ) U0 dx0dy0 j (d1 ) 2(d1 )
a0 exp jk di d1

xi2 yi2 1 1 2 jk 2 C t ( x0 , y0 ) exp ( )( x0 y0 ) di 2 d1 d0 d1