第四章透镜位相调制和傅里叶变换性质.

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傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件

其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜，在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前焦面，二次位相弯曲消失，后焦面的光场分布是物体准确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面，由于变换式前的二次位相因子，使物体的频谱也产生一个位相弯曲。

4透镜的Fourier变换性质

k
2 2
z u 2 ( x2 , y 2 ) e i d 0 d i
i
k1 z (1 )( x 2 y 2 ) z di di
U ( x , y )e
t 1 1

i
k z (1 ) 2 d0 d0
e
i 2 [
z ( xx yy )] d0 d1 1 1
dxdy
S
d
S
0
U ( x, y )
i
di
透镜的透过率函数为
2 2 k 1 1 U t ( x, y ) i ( )( x y ) t l ( x, y ) e 2 di d0 U i ( x, y )
1 1 由f (n 1)( )薄透镜物像关系公式 R1 R2 和tl ( x, y )＝e
2
x . f y . f
fx
fy
结论 : 平面波照射下, 正入射, 在透镜焦面上得到t ( x1 , y1 )的d0 , 不论d0为何值, 导致一个二次位相因子.但位相弯曲不影响光强.观察焦面上的强度分布没有影响,仍为功率谱.
三、单色球面波照射孔径平面
a0 k 2 2 球面光场U i ( x1 , y1 ) exp{i ( x1 y1 )} 2 透射场U t ( x1 , y1 ) U i ( x1 , y1 )t ( x1 , y1 )代入 * 式 z k z 2 2 焦面光场U 2 ( x2 , y2 ) exp{i (1 )( x2 y2 )} t ( x1 , y1 ) i d i d 0 2d i d0 k z d0 z exp[i (1 )]exp[i 2 ( x1 x2 y1 y2 )]dx1dy1} 2 d d0 di

透镜成像

第四章第3节透镜成像规律
特例透镜孔径无限大： P（x，y）= 1 透镜孔径无限大：（，）
∞
1 h( x 0 , y 0 ; x i , y i ) = 2 λ d0d i
−∞
∫ ∫ P( x, y)
2 π ( x + Mx ) ( y + My 0 ) y x+ × exp − j 2 π [( xi i + Mx0 0 )x + ( y ii + My 0 ) y ] dxdy dxdy λd λd i λd i i
U i ( xi , yi ) = 1 x y x y δ ( − i ,− i ) ∗ U 0 ( − i ,− i ) M M M M M
1 xi yi U i ( xi , yi ) = U 0 (− ,− ) M M M
意义当不考虑孔径衍射作用时，像是物的准确复现，只是尺寸有缩放，强度有改变：M＞1时，放大，强度降低，M＜1时，缩小，强度增大；负号表示像是倒立的。与几何光学结果一致。几何光学是一种理想情况。
1、h 的一般形式：、的一般形式：
物面（物面（x0，y0）
透镜面（，）透镜面（x，y）
（x0’，y0’），）（-Mx0’，-My0’）
① 菲涅耳衍射 UL U0 d0
③ 菲涅耳衍射 U’L di Ui
② 透镜的位相变换
返回 p4
第四章
第3节透镜成像规律
利用菲涅耳公式，得到透镜前表面的光场复振幅函数 ① 利用菲涅耳公式，得到透镜前表面的光场复振幅函数 δ[(x0- x’0 ),(y0 - y’0 )] ∞ exp( jkz 0 ) UL( x , y ) = ∫ ∫ U 0 ( x0 , y0 ) jλ z 0 −∞ d0

信息光学之透镜的傅里叶变换特性

r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体

傅里叶变换光学

傅里叶变换光学LT22012111(,)()()2D x y D x y R R =-+-（4）其中1R 、2R 是构成透镜的两个球面的曲率半径。

公式（4）对双凹、双凸、或凹凸透镜都成立。

引入焦距f ，其定义为：12111(1)()n f R R=-- （5）代入（3）得： 220(,)exp()exp[()]2k t x y jknD j xy f =-+（6）式（6）即是透镜位相调制的表达式，它表明复振幅(,)LU x y 通过透镜时，透镜各点都发生位相延迟。

从式（6）容易看出第一项位相因子0exp()jknD 仅表示入射光波的常量位相延迟，不影响位相的空间分布，即波面形状，所以在运算过程中可以略去。

第二项22exp[()]2k j xy f -+是具有调制作用的因子，它表明光波通过透镜的位相延迟与该点到透镜中心的距离的平方成正比。

而且与透镜的焦距有关。

当考虑透镜孔径后，有：22(,)exp[()](,)2kt x y jx y p x y f=-+（7）其中的(,)p x y 为透镜的光瞳函数，表达式为： 1(,)0p x y ⎧=⎨⎩ 孔径内其它（8）2、透镜的傅里叶变换性质在单色平面波垂直照射下，夫琅和斐衍射光场的复振幅分布正比于衍射屏透射系数的傅里叶变换。

衍射图像的强度分布正比于衍射屏的功率谱分布。

一般情况下，我们是将夫朗和斐衍射图像成像到透镜的像方焦平面出，这就是说，作为成像元件的透镜，就相当于傅里叶变换器。

如图2所示，设单位振幅的单色平面光垂直照射一透射系数为(,)t x y 的衍射屏，与衍射屏相距Z 处放置一焦距为f 的薄透镜L ，先观察其像方平面L 的光场分布。

为了讨论方便，这里我们忽略透镜材料的吸收、散射、透镜表面的反射以及透镜孔径大小等因素的影响。

图2 透镜的傅里叶变换性质设(,)E x y 、11E(,)x y 、11E (,)x y '、(,)ffE x y 分别表示衍射屏后、透镜输入平面、输出平面以及像方平面出光波场的复振幅分布。

第四章透镜的位相调制和傅里叶变换

傍轴近似下单色点光源的发散球面波在平面上造成的光场分布为
U 1 ( x, y ) = A exp( jkp ) exp[ j k ( x 2 + y 2 )] 2p
球面波经透镜变换后向点会聚，在平面上造成的复振幅分布为
k U 1' ( x,y )= Aexp( jkq )exp j (x 2 + y 2 ) 2q
照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系，因此观察平面位照明光源和观察平面的位置始终保持共轭关系置由照明光源位置决定（当照明光源位于光轴上无穷远，即平面波垂直照明时，这时观察平面位于透镜后焦面上）输入平面位于透镜前焦面，由于 d 0 = f ，衍射物体的复振幅透输入平面位于透镜前焦面过率与衍射场的复振幅分布存在准确的傅里叶变换关系，而且只要照明光源和观察平面满足共轭关系，与照明光源的具体位置无关。也就是说，不管照明光源位于何处，均不影响观察面上空间频率与位置坐标的关系
= mm
50 = 463mm 3 0.6 10 180
( f d0 )(x2 + y2 ) ∞ f (x0 x + y0 y) ′ exp jk U(x, y) = c ]dx0dy0 ∫∫ t(x0 , y0 ) exp[ jk q( f d0 ) + fd0 2[q( f d0 ) + fd0 ]∞
两个特殊位置的讨论两个特殊位置的讨论
( f d 0 )(x 2 + y 2 ) ∞ d0 d0 U ( x,y )=c ′exp jk ∫ ∫t (x0 ,y 0 )P x 0 + x,y 0 + 2f 2 f f ∞ x0 x+ y 0 y exp jk dx0 dy 0 f y ×

信息光学-----第4章光学成像系统的频率特性

只要傍轴条件满足，薄透镜就会以上述形式对Ul(x,y)进行相位变换。
§4-1 透镜的相位变换作用: 广义透镜
任何衍射屏，若其复振幅透过率可写为的形式，都可看成一个焦距为 f 的透镜
exp
jk
x2 y2 2f
屏的复振幅透过率：
t ( x,
y)
t(r)
1 2
1 2
cos(ar
2
)circ
U (x, y) c
t(x0 ,
y0 ) exp
j2p
x
lf
x0
y
lf
y0 dx0dy0
c'
t(x0, y0 )
fx
x lf
,
f
y
y lf
c'T ( fx,
f )y
f
x
x lf
,
f
y
y lf
只要照明光源和观察平面满足共轭关系，衍射场的复振幅分布是物函数的准确的傅里叶变换。观察面上空间频率与位置
)
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
U l(x, y)
A0
jld0 0
t(x0 , y0 ) exp[ jk
x02 2( p
y02 ]exp[ d0 )
jk
(x
x0 )2 ( y' y0 )2 2d 0
]dx0 dy0
略去常数相位因子，Σ0为物函数所在的范围
P2 平面（紧靠透镜后）光场复振幅:
略去常数位相因子透镜的复振幅透过率或相位变换因子为：
Ul
' ( x,
y)
Aexp(
jkq) exp
j
k 2q

信息光学chap4透镜的位相调制和傅里叶变换性质

r circ l
x2 y2 1 1 1 2 2 2 2 exp[ ja ( x y )] exp[ ja ( x y )] circ 4 l 2 4
2 2 x y 1 1 1 t ( x, y) exp[ ja( x 2 y 2 )] exp[ ja( x 2 y 2 )]circ 4 l 2 4
利用物像共轭关系1/p + 1/q = 1/f，将位相因子进一步化简;
先不考虑透镜有限孔径的影响，对∑p积分可扩展到无穷；利用概率积分公式

e
ax2
dx
p
a
完成积分
结果
输入平面位于透镜前，在光源共轭面上场分布的一般公式:
( f d 0 )(x y ) U ( x, y ) c exp jk t ( x0 , y0 ) 2[q( f d 0 ) fd 0 ] f ( x0 x y0 y ) exp jk dx0 dy0 q( f d 0 ) fd 0
U0 (x0,y0,0-)
x0 U (x ,y ,0+) 0 0 0
实现位相变换:
x '2 y '2 U l ' ( x' , y ' ) U l ( x' , y ' ) exp jk 2 f
1 P( x' , y ' ) 透镜光瞳函数： 0 透镜孔径内其它
从输入平面出射的光场传播到透镜平面P1，为菲涅耳衍射：
A U ( x , y ) 0 jld 0 0

2 2 x0 y0 ( x x0 ) 2 ( y ' y 0 ) 2 t ( x0 , y 0 ) exp[ jk ] exp[ jk ]dx0 dy0 2( p d 0 ) 2d 0

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2． d0=
di=f
d1=-f
t(x0,y0)
U(xi,yi)
0
f
f
f
U ( xi , y i ) C ℱt ( x0 , y 0 )
fx
完全傅里叶变换。
3． d0=
1 f
xi f
fy
yi f
t(x0,y0) U(xi,yi)
-d1=0
f
di=f
exp jkdi ( xi x) 2 ( yi y ) 2 ( x, y ) exp jk U ( xi , yi ) UL dxdy j d i 2d i
U(xi,yi)是UL(x,y)的菲涅耳衍射
x2 y 2 ( x, y) U L ( x, y) exp( jk UL ) 2f
把以上各量代入，可以得到t(x0,y0) 与U(xi,yi)的关系为
( xi x) 2 ( yi y ) 2 x2 y 2 U ( xi , yi ) exp( jk ) exp jk 2 (d1 d 0 )(d1 )di 2f 2d i
f
xi fx f
yi fy f

(1
d1 ) d0 f d0
f
1

k d1 2 2 t ( x0 , y0 ) U ( xi , yi ) C exp j (1 )( xi yi ) ℱ f 2f
xi fx f yi fy f
Af xi yi xi yi k 2 2 exp j ( x y ) T , P , i i 2 j d 2d d d d d
当物体限度小于投影孔径函数时，物体上的信息全部到达频谱面，投影孔径没有影响；当物体大于投影孔
t (x0,y 0) U(xi,yi)
在菲涅耳衍射中曾讲过，当用会聚在（X，Y）点的会聚光照明物体时，在会聚点所在的平面上，菲涅耳衍射是傅里叶变换。
S
d di
fx xi X d yi Y
xi2 yi2 a exp( jkd ) X 2 Y 2 U ( xi , yi ) exp( jk ) exp( jk )ℱ t ( x0 , y0 )f y 2 j d 2d 2d
径时，必须考虑投影孔径的影响，卷积的作用使得频谱
面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
3.物体放置在透镜前方
t ( x 0 , y 0) 1
P(x,y)
U(xi,可以看出，光照到物体后，透过物体的光波可以分解成不同方向的平行光，物上各点小于1角的平行光均能全部通过，而大于2角的平行光均通不过。所以，全部通过的频谱对应小于1，而全部截止的频谱对应大于2；在1到2之间的频谱只有部分通过。 P133 透镜孔径是一个滤波器：低频成分可以通过；稍高频成分部分通过；高频成分完全滤除。因而透镜后焦面上得不到物体的准确频谱，给傅里叶变换带来误差。这种现象称为“渐晕效应”。透镜孔径越大，或物体尽可能靠近透镜，可以减小渐晕的影响。但孔径越大，不满足旁轴近似，所以，大孔径的变换透镜是专门设计的。
xi fx f yi fy f
当透镜孔径大于物体限度时，物体上的信息全部通过透镜，孔径没有影响；当透镜孔径小于物体限度时，必须考虑孔径的影响，卷积的作用使得频谱面上的频谱与物体的频谱之间产生失真，孔径越小，失真越严重。
t(x0,y0)
2.物体放在透镜后方会聚光在物体上投影的等效孔径函数为
U(xi,yi)
f f P x, y P x0 , y0 d d
物体后表面的光场为
f d
x0 , y0 U0
Af k 2 f f 2 exp j x y P x , y 0 0 0 0 t x0 , y0 d d 2d d
Ui x, y x2 y 2 t ( x, y) U 0 exp( jk ) Ui x, y 2f
再如图所示当焦距为f 的透镜对点光源成像时，物点光源S照射在透镜前表面的光场为
Ui Ui S d0 di
S
x2 y2 U i ( x, y ) U 0i exp( jk ) 2d 0
x2 y 2 tl ( x, y) p x, y exp( jk ) 2f
§4—2 透镜的傅里叶变换性质
为了讨论方便，先不考虑透镜有限孔径的影响。
一、物在透镜之前（如图所示）
x0
t(x0,y0)
x
xi
S
o0 o oi
y0 U0 U0 -d0 -d1
y U L U L di
yi U
k 2 2 exp j ( xi yi ) 二次位相因子变为 2f k 2 t ( x0 , y0 ) U ( xi , yi ) C exp j ( xi yi2 ) ℱ 2f
f
xi f yi fy f fx
二、物体放在透镜之后如图，照明光源为点光源S，它经过透镜后，成像为一个会聚的点。
讨论： 1．d0=时，di=f
(1
f )(d 1 d0 d1 ) d0
t(x0,y0)
U(xi,yi)
-d1
f

f) f
2
(1

d1 f f
2

d 1 (1 1 ) f f
二次位相因子变为
k d1 2 2 exp j (1 )( xi yi ) f 2f
焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）
Af k 2 2 U ( xi , yi ) exp j ( xi yi ) 2 j d 2d

xi f f d t ( x , y ) P x , y ℱ 0 0 0 0 d d y fy i d fx
1 1 1 由于 d0 di f
x2 y2 t ( x, y ) U 0 exp( jk ) 2f
一般情况下，透镜的位相调制作用为
x2 y 2 tl ( x, y ) exp( jk ) 2f
对于凸透镜，f >0，对于凹透镜，f<0。如果透镜的孔径函数为P(x,y)
x0y0平面后表面的光场分布为
2 2 a0 x0 y0 U 0 x0 , y0 exp jk d1 d0 2( d d ) 1 0
从U0 到UL可以看着菲涅耳衍射 exp jkd1 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( x0 , y0 ) exp jk U L ( x, y ) U0 dx0dy0 j (d1 ) 2(d1 )
焦平面（频谱面）上的光场为（菲涅耳衍射）
透镜后表面的光场为
f
U ( xi , yi )
k 2 exp j ( xi yi2 ) ℱ t ( x, y) P x, y j f 2f A

xi f y fy i f fx
k 2 yi xi yi A 2 xi exp j ( xi yi ) T , , P j f 2 f f f f f
有

在照明光源的像平面上，是透镜的傅里叶变换平面，即物体的频谱面。

d 0 d1 (d 0 f )(d1 f ) 1 d i (d 1 d 0 )d i 2 (d 0 d 1 ) f 2
(d 0 d 1 )d i (d 0 d 1 ) f d0 d0 f
Ui ( x, y) 1
设透镜各点的透明度是一致的，
Ui Ui f
光线通过后对振幅的影响可以忽略，仅对位相产生作用，其位相透过率为t(x,y)，则后表面的光场为
a0 x2 y 2 U i( x, y ) exp( jkf ) exp( jk ) f 2f x2 y 2 U 0 exp( jk ) 2f 其透过率为
2 2 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 x0 y0 t ( x0 , y0 ) exp jk exp jk d x d y 0 0 dxdy 2(d1 ) 2(d1 d 0 )
d
由于X=Y=0
xi2 yi2 U ( xi , yi ) C exp( jk )ℱt ( x0 , y0 ) 2d
xi d y fy i d fx
结论：照明光源的像平面是透镜的傅里叶变换平面。
物在透镜前：平行光照明，fx=xi /f，对固定的空间频率fx，由于f 给定，
x2 y 2 tl ( x, y) P x, y exp( jk ) 2f
下面讨论振幅为A平行光垂直照射物体时的几种情况
1.物体紧靠透镜放置
t(x,y)
U(xi,yi)
x2 y 2 U l x, y At ( x, y) P x, y exp( jk ) 2f
x y k U ( xi , yi ) C exp j ( xi2 yi2 ) t ( x0 , y0 ) exp j 2 ( i x0 i y0 ) dx0dy0 2 xi yi k 2 2 ℱ t ( x , y ) fx C exp j ( xi yi ) fy 0 0 2
第四章透镜的位相调制和傅里叶变换性质
透镜是最基本、最重要的光学元件。众所周知，它可以对物体进行成像，其实质是改变光波的波前。同时它还能对物体进行傅里叶变换。