图论的起源和发展

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摘要：图论是数学领域中发展最快的分支之一，数学史上著名的七桥问题欧拉只用了一步就证明了不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！这是拓扑学研究的先声。图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。数学家赫伍德（Hedwood）成功地运用肯普的方法证明了五色定理，即一张地图能够用五种或者更少的颜色染色。美国伊利诺斯大学的黑肯（W.Haken）和阿佩尔（Appel），经过四年的艰苦工作，终于完成了四色猜想的证明。正是上述那些似乎没有多大意义的游戏的抽象与论证的方法，开创了图论科学的研究。

关键词：团论；染色体；四色猜想

图论是组合数学的—个分支，与其他的数学分支，如群论、矩阵论、概率论、拓扑学、数值分析等有着密切的联系（参见文献[1]）。图论中以图为研究对象，图形中我们用点表示对象，两点之间的连线表示对象之间的某种特定的关系。事实上，任何一个包含了某种二元关系的系统都可以用图形来模拟，而且它具有形象直观的特点。由于我们感兴趣的是两对象之间是否有某种特定关系，所以图形中两点间连接与否尤为重要，而图形的位置、大小、形状及连接线的曲直长短则无关紧要。

20世纪后，图论的应用渗透到许多其他学科领域。从20世纪50年代以后，由于计算机的迅速发展，有力地推动了图论的发展，使图论成为数学领域中发展最快的分支之一。

一、图论的起源

图论是一个古老的但又十分活跃的数学学科，也是一门很有实用价值的学科，它在自然科学、社会科学等各领域均有很多应用。近年来它受计算机科学蓬勃发展的刺激，发展极其迅速。应用范围不断拓广，已渗透到诸如语言学、逻辑学、物理学、化学、电讯工程、计算机科学以及数学的其它分支中。

1736年是图论的历史元年。这一年，欧拉（L•Euler）研究了哥尼斯堡城（Königsberg）的七桥问题，发表了图论的首篇论文。欧拉也因此被称为图论之父。

古老而美丽的哥尼斯堡城濒临蓝色的波罗的海，是著名的哲学家康德（Immanuel Kant）的出生地，城中有一条普莱格尔（Pregel）河，河的两条支流在这里汇合，然后横穿全城，流入大海。河水把城市分成4块，于是，人们建造了7座各具特色的桥，把哥尼斯堡城连成一体，如图1．1(a)所示。

早在18世纪，这些形态各异的小桥吸引了众多的游客，游人在陶醉于美丽风光的同时，不知不觉间，脚下的桥触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开。

谁能够从两岸A，B或两个小岛C，D中任一个地方出发一次走遍所有的7座桥，而且每座桥都只通过一次？这个问题似乎不难，谁都乐意用这个问题来测试一下自己的智力。可是，谁也没有找到一条这样的路线。这个问题极大的刺激了德意志人的好奇心，许多人热衷于解决这个问题，然而始终未能成功。“七桥问题” 难住了哥尼斯堡城的所有居民。哥尼斯堡城也因“七桥问题” 而出了名。这就是数学史上著名的七桥问题。

问题看来不复杂，但谁也解决不了，也说不出其所以然来。1736年，当时著名的数学家欧拉仔细研究了这个问题，他将上述四块陆地与七座桥间的关系用一个抽象图形来描述(见图1．1(b))，其中A、B、C、D分别用四个点来表示，而陆地之间有桥相连者则用连接两个点的连线来表示，这样，上述的哥尼斯堡七桥问题就变成了由点和边所组成的如下问题：

试求从图中的任一点出发，通过每条边一次，最后返回到该点，这样的路径是否存在？于是问题就变得简洁明了多了，同时也更一般、更深刻。这样一来，七桥问题就转变为图论中的一个一笔画问题。即能不能一笔不重复的画出图1．1(b)中的这个图形。

原先人们是要求找出一条不重复的路线，欧拉想，成千上万的人都失败了，这样的路线也许根本不存在。于是，欧拉接下来着手判断：这样不重复的路线究竟存不存在？由于这么改变了一下提问的角度，欧拉抓住了问题的实质。最后，欧拉认真考虑了一笔画图形的结构特征。

欧拉发现，凡是能用一笔画成的图形，都有这样一个特点：每当用笔画一条线进入中间的一个点时，还必须画一条线离开这个点。否则，整个图形就不可能用一笔画出。也就是说，单独考察图中的任何一点（起点和终点除外），这个点都应该与偶数条线相连；如果起点与终点重合，那么，连这个点也应该与偶数条线相连。

在七桥问题的几何图中，A、B、D三点分别与3条线相连，C 点与5条线相连。连线都是奇数条。因此，欧拉断定：一笔画出这个图形是不可能的。也就是说，不重复地通过7座桥的路线是根本不存在的！天才的欧拉只用了一步就证明了这个难题，从这里我们也可以看到图论的威力有多么的强大！

欧拉对七桥问题的研究，是拓扑学研究的先声。

1750年，欧拉又发现了一个有趣的的现象。欧拉得到了后人以他的名字命名的“多面体欧拉公式”。正4面体有4个顶点、6

条棱，它的面数加顶点数减去棱数等于2；正6面体有8个顶点、12条棱，它的面数加顶点数减去棱数也等于2。接着，欧拉又考察了正12面体、正24面体，发现都有相同的结论。于是继续深入研究这个问题，终于发现了一个著名的定理：

这个公式证明了多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体五种。这个定理成为拓扑学的第一个定理，这个公式被认为开启了数学史上新的一页，促成了拓扑学的发展。

二、图论的发展

从19世纪中叶开始，图论进入第二个发展阶段。这一时期图论问题大量出现，诸如关于地图染色的四色问题、由“周游世界”游戏发展起来的哈密顿(W.Hamilton)问题等。

图的染色问题一直是图论研究的焦点问题。最早记载染色问题的是英国伦敦大学（University of London）的数学教授德•摩根（D.Morgan）。

1852年，一位刚从伦敦大学毕业的学生费南西斯•古色利（F.Guthrie）在研究英国地图时想到了一个奇怪的问题。这个问题被称为世界近代三大数学难题之一，这就是著名的“四色猜想”。问题的起源是这样的：

古色利望着挂在墙上的英国地图发呆，他边数着英国的行政区域，边查找它们的位置，同时还注意各区域的地图着色，看着看着他突然发现，该地图仅用四种不同的颜色便可以将地图中相邻的区域分开。古色利无法解释这一现象，于是他写信给仍在大学读书的弟弟，让他向该校有名的数学家德•摩根请教。摩根首先注意到：区分地图上的不同区域少于四种颜色不行。但遗憾的是摩根本人也未能解决这个问题。于是向自己的好友、著名数学家哈密顿爵士请教。哈密顿接到摩根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密顿逝世，问题也没有能够解决。

1878年，英国数学家凯莱（Cayley）在伦敦数学年会上正式提出该问题——平面或球面上的地图仅需四种颜色可以将任何相邻的两区域分开——且征求解答，人称“四色猜想” 的问题便引起了世界数学界的重视。许多一流的数学家纷纷参加了四色猜想的大会战。1878—1880年，著名的律师兼数学家肯普（Kempe）和泰勒（Taylor）两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。但是数学家赫伍德（Hedwood）仍然花费毕生精力致力于四

图论的起源和发展

李 冰 （河北省唐山第五中学 063000）

图1．1(a)

A

D

C 图1．1(b)

理论研究