反比例函数复习题及答案 (61)

反比例函数复习题及答案

11．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”．

例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（﹣5，6）的“妫川伴侣”为点（﹣5，﹣6）．

（1）①点（2，1）的“妫川伴侣”为（2，1）

②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数y＝的图象上，

那么这个点是点B，（填“点A”或“点B”）．

（2）①点M*（﹣1，﹣2）的“妫川伴侣”点M的坐标为（﹣1，2）；

②如果点N*（m+1，2）是一次函数y＝x+2图象上点N的“妫川伴侣”，求点N的坐标．

（3）如果点P（x，y）在函数y＝﹣（﹣2＜x≤a）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y'的取值范围是y≤﹣2，那么实数a的取值范围是﹣2＜a≤2且a≠0．

【分析】（1）①根据两个点为“妫川伴侣”时坐标的特征直接写出答案，②根据“妫川伴侣”时坐标的特征和反比例函数图象上点的坐标特征做出判断，

（2）①根据点M*（﹣1，﹣2）的“妫川伴侣”点M的坐标的特征直接写出答案，②分两种情况讨论，即横坐标大于0时，和小于0时，再根据一次函数图象上点的坐标特征进行解答，

（3）点P（x，y）在函数y＝﹣（﹣2＜x≤a）的图象上，可能在第二象限，也可能在第四象限，分两种情况分别考虑．当点P的“妫川伴侣”Q的纵坐标y'的取值范围是y ≤﹣2时，对应点P的横坐标x的取值范围，进而确定a的取值范围．

【解答】解：（1）①点（2.1）的“妫川伴侣”点为（2.1）；

②由新定义得：点A（3，﹣1）的“妫川伴侣”点为（3，﹣1）；点B（﹣1，3）的“妫川伴侣”点为（﹣1，﹣3），

一个在函数的图象上，那么这个点是B．

故答案为：（2，1），B；

（2）①根据新定义的：点M*（﹣1，﹣2）的“妫川伴侣”点M（﹣1，2），那么点M 的坐标为（﹣1，2）．

故答案为：（﹣1，2）；

②当m+1≥0，即m≥﹣1时，由题意得N（m+1，2）．

点N在一次函数y＝x+3图象上，

m+1+3＝2，

解得：m＝﹣2（舍去）；

当m+1＜0，即m＜﹣1时，由题意得N（m+1，﹣2）．点N在一次函数y＝x+3图象上，m+1+3＝﹣2，解得：m＝﹣6，

∴N（﹣5，﹣2）；

（3）①当﹣2＜x＜0时，此时点P在第二象限，

点P（x，y）的“妫川伴侣”Q（x，﹣y）．Q的纵坐标y'的取值范围是y≤﹣2，

则P的纵坐标y的取值范围是y≥2，点P（x，y）在函数y＝﹣（﹣2＜x≤a）的图象上，

∴﹣2＜x＜0，

②x＞0时，此时点P在第四象限，

点P（x，y）的“妫川伴侣”Q（x，y）．Q的纵坐标y'的取值范围是y≤﹣2，

则P的纵坐标y的取值范围是y≤﹣2，点P（x，y）在函数y＝﹣（﹣2＜x≤a）的图象上，

∴0＜x≤2，

又∵﹣2＜x≤a，

∴﹣2＜a≤2且a≠0，

故答案为：﹣2＜a≤2且a≠0．

【点评】考查反比例函数的图象和性质，一次函数的图象上点的坐标特征以及新定义“妫

川伴侣”的意义，理解新定义的意义是解决问题的关键．