层次分析法培训讲义
管理决策9.4讲义-层次分析法( AHP 法)
9.4 层次分析法（AHP法）
（1）层次分析法的求解步骤
第一步：确定决策目标，建立层次结构模型。
第二步：由决策人两两比较构造判断矩阵。
第三步：求取判断矩阵的最大特征值和特征向量。
第四步：判断矩阵的一致性检验。
第五步：层次总排序。
（2）应用举例
例9-2下面应用层次分析法，利用各种定性、定量指标之间的相对重要程度，对瓶罐玻璃行业中72家企业进行绩效评价，首先计算出19个指标在企业绩效中的权重，之后对企业进行绩效打分及排序。
并指出影响企业绩效优劣的关键指标，以期决策者在这些方面提出改进，为企业增强自身核心竞争能力、参与全行业的竞争、制定可持续发展战略奠定基础。
层次分析法课件(学生用)
层次分析法的步骤
1 A 2
4
1/ 2 1 2
1/ 4 1/ 2
1
0.14 0.14 0.14 A 0.29 0.29 0.29
0.57 0.57 0.57
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
例：检验判断矩阵A 的一致性 2、将矩阵 A 按行相加得到向量 W 。
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CR可由下式计算： CR CI RI
其中RI为平均随机一致性指标（Random Index），仅与 矩阵的阶数（n）相关，其取值如下表所示：
平均随机一致性指标RI值
层次分析法的步骤
构造判断矩阵
判断矩阵的一致性检验
CI为判断矩阵的一致性指数（Consistency Index）可由
层次分析法的步骤层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵目标层a的判断矩阵a层次分析法的步骤选择单位a目标层准则层方案层构造判断矩阵层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层稳定性c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层薪酬待遇c层次分析法的步骤构造判断矩阵构造两两判断矩阵准则层未来发展c层次分析法的步骤构造判断矩阵判断矩阵的一致性检验一个正确的判断矩阵是符合逻辑的
在决策时，需要考虑到：经济效益B1、社 会效益B2、环境效益B3这3个准则层因素对目标 实现的影响。其中，经济效益B1需考虑直接经 济效益C1、间接经济效益C2；社会效益B2，需 考虑提高生活质量C3、增加旅游收益C4；环境 效益B3需考虑改善城市面貌C5、改善空气质量 C6。
请根据已知信息，构建层次结构模型。
层次分析法的步骤
ma x1 3 （ (W A W 1)1(A W 2W )2(A W 3W )3)
《层次分析法教程》课件
了解什么是层次分析法及其应用场景。
层次分析法的基本原理和步骤
层次分析法是一种多属性决策方法，基于对不同层级和准则的比较，帮助决策者做出权衡和选择。它的基本步 骤包括：
1. 确定决策目标和问题 2. 构建层次结构模型 3. 判断准则之间的相对重要性 4. 计算指标权重 5. 进行一致性检验 6. 做出最终决策
一般层次分析法的计算流程
一般层次分析法的计算流程包括确定目标、构建层次结构、两两比较、计统地进行决策。
层次分析法的数学模型
层次分析法的数学模型基于特征向量和特征值的计算。通过求解数学模型， 可以得出各指标的权重和最终决策结果。
层次分析法中的层级结构
层次分析法中的层级结构包括目标、准则和方案三个层级。决策者需要沿着 这个层次结构进行比较和权衡，从而作出最优的决策。
构建层次结构模型的方法
构建层次结构模型的方法包括直接构造法和间接构造法。直接构造法是直接 由决策者确定各层级和准则的重要性，而间接构造法是通过专家评估、问卷 调查等方式获取权重。
判断层次之间的相对重要性的准则
判断层次之间的相对重要性可以使用两两比较法或者对比式比较法。这些准则可以帮助决策者判断哪个层次对 决策结果具有更大的影响。
计算指标权重的方法
计算指标权重的方法包括特征向量法和逐步递减法。特征向量法是通过计算特征向量来得出指标权重，而逐步 递减法是从上层向下逐步分配权重。
层次分析法WJ培训课件
叫权向量.
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
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… 小石块Wn
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7.3.1 单一准则排序
单一准则排序是指，对于上一层某因素而言，本层 次各因素的重要性的排序。
可归结为，计算判断矩阵最大特征根 max与对应 于 max的特征向量 W的问题。
W 的分量 i即是相应元素单排序的权值。 （方根法、和积法）
i1
a 22
n
a i2
i1
a n1
n i1
a i1
a n2
n
a i2
i1
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a1n
n
i 1
a in
a 2n
n
a in
i1
a nn
n
i1
a in
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第二步：将归一化后的 各行相加；
w~
n
a~
i
ij
j1
a11 n
+
i1
a i1
a 21
+
n
a i1
i1
a n1
+
n i1
通过一致 性检验
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第二步：计算与准则层各准则相关的判断矩阵最大特征 根及权向量：
相对于景色
P1 P2 P3
P1 1 2 5 B1 P2 1/ 2 1 2
P3 1/ 5 1/ 2 `1
对应于 ma的x 正规化的特征向量为：
经计算得：max3.005
0 .595
W (3) 1
0 .277
0 .129
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第三步，算出 B2,B3,B4,B5的最大特征值分别为：
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预 测 》课件
9 层次分析法
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9 层次分析法
9.1 层次分析法旳基本原理 9.2 层次分析法旳计算
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9.1 层次分析法旳基本原理
9.1.1 递阶层次构造 9.1.2 判断矩阵旳构成 9.1.3 一致性检验
为了确保层次分析法得到旳结论基本合理，必须对人们对 客观事物旳定性分析判断进行严格旳“是否一致”旳定量检验。
实际中用CI来表达一致性偏差，CI被称为一致性指标。
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9.2 层次分析法旳计算
9.2.1 单层次计算措施 9.2.2 层次总排序 9.2.3 层次分析法旳计算实例
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9.2.3 层次分析法旳计算实例
详见书上P190～192
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9.2.1 单层次计算措施
（1）方根法——五个环节。 （2）和积法——五个环节。
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9.2.2 层次总排序
为了求出最低层全部原因对于最高 层旳相对主要性旳权重向量，可采用逐层 叠加旳措施，从最高层开始，由高向低逐 层进行计算。
r1n
r2n
(rij
)mn
rmn
二、层次分析法中判断矩阵旳构成
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层次分析法讲义
综合评价作业某市共有四所医院,需要通过医疗质量指标、医疗工作量指标和医疗工作效率指标等3个方面共7个具体指标(如图1),建立合理的模型对医院质量进行评价.图1. 目标树该市某年4所医院的相关指标实际值如表1所示.表1. 四所医院相关指标值第一章导论§1.1 综合评价的基本概念§1.2 常规的两个评价实例§1.3 评价指标的选取§1.4 数据的无量纲化方法§1.5 指标权重的确定§1.6 常见的综合方法第二章层次分析法§2.1 层次分析法的思想和原理§2.2 预备的数学知识§2.3 层次分析法的步骤§2.4 层次分析法的应用案例第三章模糊综合评判法§3.1 模糊综合评判法的简介§3.2 预备的数学知识§3.3 模糊综合评判法的步骤§3.4 模糊综合评判法的应用案例第四章灰色综合评价法§4.1 灰色综合评价法的思想和原理§4.2 灰色综合评价法的步骤§4.3灰色关联分析法的应用案例第五章误差分析§5.1 误差分类§5.2 误差修正第一章导论§1.1 综合评价的基本概念一、评价(evaluation)通过对照某些标准来判断观测结果.评价是人类社会中一项经常性的,极为重要的认识活动.比如:评价哪所高等院校的声誉高?哪个学生的素质高?哪个企业的效益好?二、综合评价(synthetical evaluation)所谓的多指标综合评价,就是指通过一定的数学函数(或称综合评价参数)将多个评价指标值“合成”为一个整体性的综合评价值, 再据此择优或者排序.注意:1. 评价的依据是指标;2. 评价的基本条件是信息;3. 评价最主要的功能是排序;4. 评价的本质是凭借一些可以直接观察、测量的指标,去推断不可观察、测量的性能.三、综合评价的基本条件1. 有高质量的内容丰富的信息源.(1) 信息收集(一手,二手):完整、准确、及时、适用、经济.(2) 信息的处理.a. 离群值(outlier):过大,过小的极端值,往往由过失误差造成,不要轻易地去掉.需反复检查加以纠正.若找不出原因,则增加观测次数或用专门的统计工具删掉.b. 缺失数据(missing data):进行缺失值估计.方法有经验法,均值替代法,回归法,期望最大法(EM)等.c. 定性资料或等级资料的定量化.2. 提倡现成历史资料的综合利用.四、综合评价的一般步骤1. 确定评价对象2. 明确评价目标3. 组织评价小组4. 确定评价指标体系5. 选择评价方法6. 建立评价模型7. 评价结果分析五、评价的分类1. 评价手段:定量评价(quantitative evaluation)和定性评价(qualitative evaluation).2. 评价模式:传统评价和线代评价3. 评价方式:预评价(pre-event evaluation),中期评价(interim evaluation)和终结评价(after-event evaluation).4. 评价领域:六、评价方法的发展历程1. 20世纪60年代,模糊评价方法.(对主观或定性指标进行评价)2. 20世纪70~80年代,层次分析法、数据包络分析法等.3.20世纪80~90年代,灰色综合评价法、人工神经网络评价法等.评价过程中,不同的评价方法,评价的结果可能不唯一,有时甚至相左.究竟选择哪一种评价方法,要注意以下几点:1. 选评价者最熟悉的方法;2. 该评价方法有坚实的理论基础;3. 简洁明了,降低算法的复杂性;4. 所选的评价方法能正确的反映评价对象和评价目的.注意:对于应用者来说,最迫切的问题往往不是建立一个新的评价方法,更重要的是如何从纷繁复杂的方法中,选择出最合适的方法.§1.2 常规的两个评价实例所谓的常规的评价方法,是指一方面,不涉及模糊数学、运筹学、多元统计分析等其它学科的方法;另一方面,在各类文献资料中常见.例1.1 综合国力的评价.20世纪60年代,人们开始尝试对综合国力进行定量分析研究.I.P.考尔是第一个对综合国力进行定量测算的学者.他把度量国力状况的指标,选取为人口、国土面积、钢消费量、能源消费量、国民生产总值、总军事实力等6项(见表1.1).将各国占世界总数的比重作为处理对象,按事先确定的权重加权平均,其结果作为该国综合国力的总得分,由此进行各国的比较.用公式可表示为6611,(1,2,,)ijj i i i i ix y w w j n X ====∑∑. 式中符号含义为:n 参评国家个数; :ij x 第j 国第i 项指标值; :i X 第i 项指标世界总计值;:j y 第j 国综合国力总得分.表1.1 综合国力评价指标和权数即:综合国力→构成要素分解→指标选择→指标值转换→权数确定→多指标综合→比较结果排序.例1.2 新生婴儿缺氧状况的Apgar 评分方法.首先根据医学理论与临床经验,选择心率、呼吸等5个体征作为评价指标,并赋予相等的权重;然后依据理论与实践,确定各个指标三个评价等级的界限及0、1、2三个分值的平分标准,建立如表1.2所示的评分标准;最后确定以累加法累计某评估对象各指标评分,并确定正常、轻度缺氧、中度缺氧三个等级的数量界限.通过实践检验,该模型仍然是产科临床用以判断新生儿有无窒息及窒息程度的常用方法.表1.2 新生儿Apgar 评分标准注:以累加法累计总分,8~10分为正常值,4~7分为轻度缺氧,0~3分为中度缺氧. 解释:§1.3 评价指标的选取对某事物进行评价时,必然要考查诸多因素的影响.这些因素中有些是可控的,有些是不可控的;有些是独立的,有些是相互关联的;有些对评价结果影响小,有些对评价结果影响大.我们有必要对影响因素进行分析,力图分清主次,抓住主要因子,剔除次要因子:一方面,使得评价模型简单化,能就事件的主流或本质进行评价;另一方面,节省计算量,提高模型的精度与准确度.一、指标及指标体系指标:根据研究的对象和目的,能够确定地反映研究对象某一方面情况的特征依据.指标体系:由一系列相互联系的指标所构成的整体.它能够综合反映出对象各个方面的情况.二、建立指标体系应遵循的原则1. 宜少不宜多,宜简不宜繁;2. 指标应具有独立性;3. 指标应具有代表性和差异性(可比性);4. 指标可行.三、建立指标体系的方法1. 经验方法.(大多评价中采用经验法,即专家调研法)2. 数学方法.(单因素分析法,多元相关分析,多元回归分析,逐步回归法,岭回归法,条件广义方差极小,极大不相关,典型指标法)3. 文献资料分析选优法.四、选取评价指标的前提及与指标相关的问题:1. 对被评价事物的发展的内在机理要比较清楚;2. 指标的制定多为评价者与有关专家共同确定,带有一定的主观性;3. 用定量的方法给予筛选;(主讲典型指标法)4. 逆指标需要转化成正指标;5. 定性指标需要转化成定量指标;6. 即使指标都是定量指标,仍然需要进行无量纲化.五、单相关系数选取典型指标法步骤若评价指标过多,则可将相近的指标聚成类(可查阅聚类分析),然后,在每一类中选取若干个典型指标,其方法可以用条件广义方差极小或极大不相关,但计算量相当大.用单相关系数选取典型指标法,该方法较为粗略,但简单,具体步骤如下:1. 设反映事物同一侧面或聚为同一类的指标为n 个,分别为12,,,n a a a ;被评价的对象为m 个.计算n 个指标之间的相关系数矩阵R (对称矩阵).111212122212n n m m mn r r r r r r R r r r ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 其中,ij r -指标i x 与指标j x 的相关系数,ij S r =,11()()mij ki i kj j k S x x x x m ==--∑,(ij s 是指标i x 与指标j x 的协方差)11.mi k i k x x n ==∑(样本均值)2. 计算每一个指标与其它1n -个指标的决定系数(相关系数的平方)的平均值2i r ,即2211(1),1,2,,.1ni ij j r r i n n ==-=-∑2i r -反映了i x 与其它1n -个指标的相关程度.注意:之所以用相关系数的平方,是为了防止相关系数为负,无法直接相加求平均.若相关系数均为正,则可以直接用相关系数.3. 比较2i r 的大小, 令221max k i i nr r ≤≤=,则选k x 作为12,,,n a a a 的典型指标.需要的话,在余下的1n -个指标里继续选取.(此时,相关系数矩阵为原来的矩阵去掉第k 行,第k 列后剩下的1n -阶矩阵.)六、例题(用典型指标法确立下列评价指标系)例1.3 我国各地区普通高校高等教育发展水平的综合评价. (仅从567,,x x x 中选取典型指标) (P14)1. 指标567,,x x x 反映了高教发展水平的同一个侧面,即教职工的情况.写出他们的相关系数矩阵55565765666775767710.998590.5598810.550011r r r R r r r r r r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. 求i x 与其余2个指标的相关系数的平均值,5,6,7.i r i =51(10.998590.559881)0.77924,31r =++-=- 同理, 670.7743,0.55495.r r == 3. 比较,5,6,7.i r i =的大小.5r 最大,故选5x 做为567,,x x x 的典型指标.若再选一个,需从67,x x 中选取.而67,x x 的相关性为0.55001,无法再用上边的方法选,但从相关系数矩阵可以看出,56570.99859,0.55988,r r ==故可选7.x§1.4 数据的无量纲化方法I.P.考尔在综合国力评价时选了6个指标,显然,这6个指标是异量纲的,且数值差异很大,直接相加是不合适的,也没有实际意义.考尔将各个指标实际值与世界总计值比较,把指标值转换为无量纲的相对数——比重(ij ix X ),同时数值大小规范在[0,1]内,这种去掉指标量纲的过程称为数据的无量钢化过程.无量钢化之后的数据称为指标的评价值.数据的无量钢化过程——指标的实际值转化为评价值的过程,或者从数学的角度来看,就是找到指标的评价值和实际值之间的一种函数关系.思考:ij ix X 的具体表示的含义.一、数据的无量钢化方法1. 直线型: 阈值法,标准化法,比重法.2. 折线法: 凸折线,凹折线,三折线.3. 曲线法. 二、阈值法阈值——临界值.比如:极大值,极小值,满意值,不允许值等. 阈值法——指标的实际值和阈值相比得到的指标评价值的方法.此外,实际中也有将指标的实际值除以该指标的第一个值或均值,分别称为指标的初始化和均值化.(灰色综合评价法中数据的无量钢化用到的是均值化法) 三、标准化法,i i x x y S -=其中11,n i i x x S n ===∑ 与阈值法相比,标准化法有如下特点: 1. 利用了原是数据的所有的信息; 2. 要求数据量大;3. 数据有正,有负,且有的超出了[0,1]区间,为了更符合习惯,将其转化为“百分数”形式.如601006010.10i i i x xx x y S S--=+⨯=+⨯注意:这种“百分数”转化不同于一般的百分数.因为个别极端值可转化超出[0,100].此外,也有将均值转化为50的;此外,多元统计方法中,大多用标准化.例1.4 某次考试中统计结果及甲乙两考生的成绩原始数据及用标准化法无量钢化后的数据如表1.4所示.(为了方便,没有给出全班同学的具体成绩,而最终也应该计算每个同学无量钢化的成绩)表1.4 甲乙两考生成绩的相关数据通过标准化公式60100601010i i i x x x xy S S--=+⨯=+⨯将数据无量钢化.从无量钢化后的成绩可以看出,甲的成绩要比乙的成绩好.尽管原始成绩中,乙在数学和化学上比甲高出6分,甲在物理上比乙高4分,但这4分的“含金量”显然要高.注意:有人认为成绩是分数,无单位,且都是百分制,不用无量钢化!直接相加即可.但是每门科目试题的难易程度,分量不一定相同,因而,分值的含金量也不一定相同.§1.5 指标权重的确定一、权的定义(定性描述)对于评价目标来说,评价指标之间的相对重要性是不同的.评价指标之间这种相对重要性的大小,称为权重系数,简称权重或者权,一般用w表示.例1.5 医院工作质量的评价.注意:.然而,同一组指标值,赋予不同的权重系数,会导致不同的甚至截然相反的结论.因此,权重的确定是评价中最棘手的问题,确定时应特别谨慎.二、确定权重的方法确定权重也称加权,它表示对某指标重要程度的定量分配.根据计算权数时数据的来源不同,加权的方法大体可分为两种:1. 主观赋权法(其原始数据主要由专家根据经验判断得到):专家评分法,成对比较法,Satty’s权重法(层次分析法中用到).2. 客观赋权法(其原始数据由各指标在评价中的实际数据形成):模糊定权法,秩和比法,熵权法,相关系数法(变异系数,复相关系数的倒数).注意:1. 并不是只有客观赋权法才是科学的方法,主观赋权法同样也是科学的方法.“主观”与“随意”是两个不同的概念.2. 目前,权数确定的方法主要采用专家咨询的经验判断法.比如,评为投票表决法方便易行,是一种可以采用的方法.3. 但是,为了提高科学性,也可采用其它确定权重的方法,比如层次分析法中的Satty’s权重法,是目前使用较多的一种方法.三、权的综合从各种角度来考虑评价问题,即使是同一组指标,也会引出不同的权.对于通过各种各样方法给出的同一组指标的权,如何综合给出一个合适的权?这便是权的综合问题.例如n w nw (1)(2)(1)(2)1,1,2,,.i i i nj jj w w w i n ww ===∑例1.6 评价各地区高教发展水平最终选了7个指标每个指标分别得到了2个权重如表1.5,请利用上述方法,给出综合后的权重.表1.5高教发展水平指标权重的综合注:(1)(2)10.147601j j j w w ==∑.§1.6 常见的综合方法常见的综合评价方法都与平均值有关,如算术平均,几何平均等.不常规的方法,则不用求平均值. 一、四种常见的综合法1. 累加法(1pi i x =∑)2. 连乘法(1pi i x =∏)3. 加乘法(11in m ij j i x ==∑∏,评价指标按其联系分成若干个小组,首先求各小组评分之和,再将各小组评分连乘.ij x ——第i 个小组第j 个指标的平分值,n i ——第i 个小组中包含的指标的项数, m ——指标小组数.4. 加权法(1pi i i S w =∑)(主要讲加权法)二、加权法1. 算术平均1211111.n i n i x x x x n n nn==+++∑ 2. 加权算术平均11221.ni in n i w xw x w x w x ==+++∑注意:此加权算术平均概括了许多方法.比如,121n w w w n====时,就是算术平均; 若对12,,,n x x x 中的最大值和最小值的权赋予0,则记为我们熟悉的去掉一个最高分,去掉一个最低分.3. 几何平均11nn ii x==∏4. 加权几何平均12121.i nnw w w w i n i x x x x ==∏注意:1. 人们总认为加权算术平均比普通的算术平均要好,其实不然,这是习惯势力的影响.若12,,,n x x x 彼此之间的相关系数很大,那么任何两个加权算术评价之间的相关性亦很大,所以,加权就没有意义了.平均值的上述性质很早就被人发现了.2. 当指标i x 是比例型的,无单位,无量纲,如贫困人口的比例,受教育人口的比例等可以用算术加权.当指标i x 是比值型的,如劳动生产率,单位可以是元/人.年或万元/人.年,量纲不同,算术加权产生的影响是明显的,此时,用几何平均或加权几何平均就能消除此影响.第二章层次分析法§2.1 层次分析法的思想和原理一、多目标决策1. 多目标决策内容多目标决策方法是从20世纪70年代中期发展起来的一种决策分析方法.在社会经济系统的研究控制过程中我们所面临的系统决策问题常常是多目标的,这些目标之间相互作用和矛盾,使决策过程相当复杂,决策者常常很难轻易作出决策.这类具有多个目标的决策就是多目标决策.2. 多目标决策主要用到的方法(1) 化多为少法(2) 分层序列法(3) 直接求非劣解法(4) 目标规划法(5) 多属性效应法(6) 层次分析法(7) 重排序法(8) 多目标群决策和多目标模糊决策等二、层次分析法概述1. 起源(1) 美国的运筹学家匹兹堡大学教授T.L.Satty(萨蒂)于20世纪70年代初为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价法,提出的一种层次权重决策分析方法(AHP-Analytic Hierarchy Process).(2) 该方法于1982年引入中国.2. 本质层次分析法是依据序标度,将系统因素按支配关系分组以形成有序的递阶层次结构,通过两两比较判断的方式确定每一层次中因素的相对重要性,然后在递阶层次结构内进行合成以得到决策因素相对于目标的重要性的总顺序,从而为决策提供确定性的判据.3. 忧缺点优点: 既采用具有适应环境的灵活性的“相对标度”,同时又充分利用了专家的经验和判断,并能对误差作出估计,能较好地解决公共决策系统中的问题.缺点: 就是对目标准则难易保证互斥性和完备性.注意:AHP是一种定性和定量相结合,系统化的层次化的分析方法.对那些对定量要求不高的问题,取得较好的结果,而对于那些对定量要求高的问题,不太合适.4. 应用a. 日常工作,生活中的决策问题.(决策就是面临多种方案时,依据一定的标准,选择某一种方案.)(1) 海尔,新飞,容声,雪花四种冰箱中选购一种.考虑:信誉,价格,功能,耗电量.(2) 桂林,黄山,北戴河选择一个旅游景点.考虑:景色,费用,居住,饮食,交通.(3) 在一本高校中选择一所学校.考虑: , ,…….(4) 找工作.考虑:贡献,收入,发展,声誉,关系,位置.b. 经济和社会等方面的决策问题:能源的政策和分配,经济计划与管理,人才的选拔与评价,科研选题,城市规划,方案排序,产业结构,教育,医疗,环境,军事等.(1)(2)(3)§2.2 预备的数学知识层次分析法中用到较多的数学知识是线性代数的知识,具体如下: 一、正互反阵(层次分析法中的判断矩阵就是正互反阵)对于n 阶方阵A ,若满足:10,,ij ij jia a a >=则称A 为正互反阵.注意:1. 正互反阵中主对角线上的元素全是1,即1.ni i n λ==∑2. 正互反阵中,1,ij ji a a ⋅=但并不是对任意的,,i j k ,都有.ik kj ij a a a ⋅=3. 对于任意的,i k ,恒有,.ik kk ik ii ik ik a a a a a a ⋅=⋅= 例2.11124331261755112,,14.1121211111A B C ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦矩阵B 中,232112137,12,4,b b b b ====所以,21132321138,.b b b b b ⋅=≠⋅ 二、正互反阵的性质1. 正互反阵A 的最大特征根是单根,其对应的向量为正向量(可以作为权向量).2. n 阶正互反阵A 的最大特征值max n λ≥.(即12max n n λλλλ++++=,max 0n λ-≤.)三、一致阵A 为正互反阵,若对于任意的,i j ,都有,ik kj ij a a a ⋅=则称正互反阵A 为一致阵. 比如例2.1中,A 是一致阵(所有的二阶正互反阵必定是一致阵),而B 不是一致阵. 四、一致阵的性质若(),ij n n A a ⨯=为一致阵,则 1. ()1;R A =2. A 的唯一非零特征根为;n3. A 的任意的列向量是对应于n 的特征向量;4. A 的归一化特征向量可以作为权向量. 五、一致阵的判定1. 定义A 为正互反阵,则当max n λ=时,或者是(,,1,2,,.)ij ik jk a a a i j k n ==称A 为完全一致阵;当max n λ>时,C 不是完全一致阵,若A 满足一定的条件, 则称A 为满意一致阵.注意:(1). 2n ≤时,正互反阵均为完全一致阵; (2). 3n ≥时,正互反阵不一定是完全一致阵. 2. 满意一致阵的判定需要的预备知识:CI (Coherence Index)——一致性指标;(A 的最大特征值(max n λ≥)以外的其余特征值的负平均,即max 1nCI n λ-=-.)一致性指标CI 的值越大,表明成对比较阵偏离完全一致阵性的程度越大;CI 的值越小,表明成对比较阵越接近于完全一致性. 但是,在实操作中人们发现,成对比较阵的阶数n 越小,人为造成的偏离完全一致性指标CI 的值便越小;n 越大,人为造成的偏离完全一致性指标CI 的值便越大,故应放宽对高维成对比较阵的一致性要求.为确定A 的不一致程度的容许范围,于是Satty 引入了所谓的随机一致性指标RI .其定义及计算的过程如下:定义:RI (Random Index)——平均随机一致性指标(用计算机模拟1000个n 阶互反阵,分别求出其一致性指标,再取平均,即121000nCI CI CI RI +++=,其值可查,如下表格:表2.1 RI 的取值(1) 对于固定的n ,随机构造正互反阵A ,其元素()ij a i j <从19和119中随机选取.(2) 计算A 的一致性指标,因此A 非常不一致,此时CI 值相当大. (3) 构造相当多的A ,用它们的CI 平均值作为随机一致性指标.(4) Satty 对于不同的n (115n =),用100500个样本A 计算出上表所列出的n 阶矩阵的随机一致性指标作为修正值.CR (Coherence Ratio)——一致性比率(CICR RI=),判断矩阵的一致性指标CI 与同阶判断矩阵的平均随机一致性指标RI 之比称为随机一致性比率.若0.10CR <时,便认为成对比较阵具有可以接受的一致性.当0.10CR ≥时,就需要调整和修正成对比较阵,使其最终满足0.10CR <,从而具有满意的一致性.例2.2 判断112433175511213111B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的一致性. 解 求B 的最大特征值为max 5.0735λ=≠,则其不是完全一致阵. 又max 50.018,51CI λ-==-查表得 1.12RI =,故 0.0180.0160.1,1.12CI CR RI ===<即B 通过一致性检验,为满意一致阵. 六、正互反阵最大特征值和特征向量的简化计算(和法,方根法,特征值法,最小二乘法,幂法)正互反阵如果是完全一致阵,则其任一列向量都是特征向量,正互反阵如果是满意一致阵,则其列向量都应近似等于特征向量,可取其在某种意义下的平均.例2.3 求矩阵126114211164A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦的最大特征值和其对应的特征向量. 方法一(和法):先将A 的列向量归一化,即1260.60.6150.5451140.30.3080.36420.10.0770.09111164A ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⇒⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦, 再将归一化后的矩阵的列向量取算术平均,或每行做和后再归一化,得0.5870.3240.089ω⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 又因为1.7690.5871 1.7690.9740.2860.9740.324() 3.00930.5870.3240.0890.2860.089A λωλωλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而该矩阵的最大特征值和对应的特征向量的精确值为:0.5880.322, 3.0100.090ωλ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 方法二(方根法):1. 计算该矩阵每一行元素的乘积(1,2,3)i M i =.123112,2,.24M M M ===2. 计算(1,2,3)i M i =的n 次方根.1232.289, 1.260,0.347.M M M ====== 3. 令123()T ωωωω=,并将ω归一化.(2.289 1.2600.347)T =,其归一化后的向量为(0.5880.3230.089)T ω=.又因为0.58810.323()30.5880.3230.0890.089A λωλωλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.§2.3 层次分析法的步骤一、明确问题在分析社会、经济以及科学管理等领域的问题时,首先要对问题有明确的认识,弄清问题的范围,了解问题所包含的因素,确定出因素之间的关联关系和隶属关系.二、建立层次结构模型根据对问题的分析和了解,将问题所包含的因素,按照是否共有某些特征进行归纳成组,并把他们之间的共同特性看成是系统中新的层次中的一些因素,而这些因素本身也按照另外的特征再进行分组,并把他们之间的共同特性看成是更高层次的因素,直到最终成为单一的最高层次因素.同一层各因素从属于上一层因素,或对上一层因素有影响,同时又支配下一层因素或受到下层因素的影响,而层内各因素基本上相对独立.最上层为目标层(一般只有一个因素),最下层为方案层或对象层/决策层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则层或指标层.即目标层O—准则层C—方案层P.当准则层因素过多(例如多于9个) 时,应进一步分出子准则层.注意:建立一个好的层次结构对于解决问题极为重要,要有主要决策层参与.三、建立两两比较的判断矩阵并做一致性检验1. 建立判断矩阵判断矩阵表示针对上一层次某因素,本层次与它有关的因素之间相对重要性的比较.一般取如下的形式:在层次分析法中,为了使判断定量化,关键在于设法使任意两个因素对于某一个因素的相对优越程度得到定量的描述.一般对单一准则来说,两个因素进行比较总能判断出优劣.层次分析法从层次结构模型的第二层开始,对于从属于或者影响及上一层每个因素的同一层的相关因素,采用成对比较法和1~9标度法,建立了该层相关因素对上一层每个因素的成对比较阵,直到最下层.判断矩阵(成对比较阵)()ij n n A a ⨯=,ij a -比较尺度,ij a 取值为1,2,,9及其相反数111,,,29.为了便于定性到定量的转化,规定:相同——两个元素对某个属性具有同样的重要性; 稍强——两个元素比较,一个比另一个稍微有利; 强——两个元素比较,一个比另一个更为有利;明显强——两个元素比较,一个比另一个有利,且在实践中证明; 绝对强——两个元素比较,一个比另一个重要程度明显. 2,4,6,8——指两相邻程度之间的中间值,需要折中时用.注意:(1) 成对比较阵是评价的数量依据.判断矩阵中的ij a 是根据资料数据、专家的意见和系统分析人员的经验经过反复研究后确定的.(2) 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个.2. 一致性检验(1) 对每个成对比较阵,计算其最大特征根max λ和特征向量(和法、根法、幂法等)1n W W W →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2) 利用一致性指标CI (Consistency Index),随机一致性指标RI 和一致性比率CICR RI=做一致性检验.(3) 若通过检验,即0.1CR <,则将上层计算出的特征向量1n W W W →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭归一化后作为j B 到j A 的权向量,即单排序权向量.(4) 若0.1CR <不成立,则需重新调整成对比较阵,直至符合一致性检验.。
层次分析法培训课件(ppt 117页)
判断矩阵中的bij是根据资料 数据、专家的意见和系统分析人
员的经验经过反复研究后确定。
应用层次分析法保持判断思维的
一致性是非常重要的，只要矩阵 中的bij满足上述三条关系式时， 就说明判断矩阵具有完全的一致 性。
判断矩阵一致性指标 C.I.(Consistency Index)
层次分析法（AHP） 应用这种方法，决策者通过将
复杂问题分解为若干层次和若干因 素，在各因素之间进行简单的比较 和计算，就可以得出不同方案的权 重，为最佳方案的选择提供依据。
层次分析法（AHP）基本原理： AHP法首先把问题层次化，按
问题性质和总目标将此问题分解成 不同层次，构成一个多层次的分析 结构模型，分为最低层（供决策的 方案、措施等），相对于最高层（ 总目标）的相对重要性权值的确定 或相对优劣次序的排序问题。
层次分析法（AHP）具体步骤：
递阶层次结构的建立 根据对问题分析和了解，将问
题所包含的因素，按照是否共有某 些特征进行归纳成组，并把它们之 间的共同特性看成是系统中新的层 次中的一些因素，而这些因素本身 也按照另外的特性组合起来，形成
层次分析法（AHP）具体步骤：
更高层次的因素，直到最终形成单 一的最高层次因素。 o最高层是目标层 o中间层是准则层 o…….. o最低层是方案层或措施层
在层次分析法中，为了使判
断定量化，关键在于设法使任意 两个方案对于某一准则的相对优 越程度得到定量描述。一般对单 一准则来说，两个方案进行比较 总能判断出优劣，层次分析法采 用1-9标度方法，对不同情况的 评比给出数量标度。
标度
定义与说明
1 两个元素对某个属性具有同样重要性
3 两个元素比较，一元素比另一元素稍微重要
《层次分析法教程》课件
案例二：投资项目评估
总结词
层次分析法可以用于评估投资项目的风险和收益，帮助投资者做出明智的决策。
详细描述
投资者可以根据项目特点和需求，构建项目评估的层次结构模型，对项目的风险和收益进行量化评估 ，从而选择最优的投资项目。
案例三：供应商选择问题
总结词
层次分析法可以帮助企业更加科学地选择合适的供应商，提高采购效率和降低采购成本 。
一致性检验的限制
层次分析法在检验判断 矩阵的一致性时，对于 大型问题可能会遇到一 致性检验的限制，导致 结果的不准确。
适用范围有限
层次分析法主要适用于 具有层次结构的问题， 对于非层次化的问题可 能不太适用。
层次分析法的改进方向
引入客观评价方法
为了减少主观因素的影响，可以 考虑引入客观评价方法，如熵权 法、灰色关联分析等，来辅助确 定权重和判断矩阵。
判断矩阵的权重计算
权重计算的方法
权重计算是层次分析法的核心步骤之一，常用的方法有和积法、方根法等。这些方法都是基于判断矩阵的元素值 来计算各个因素的权重。
权重计算的结果
通过权重计算，可以得到各个因素在整体中的相对重要性程度。这些权重值可以用于后续的决策分析中，以帮助 决策者做出更加科学合理的决策。
准则层
01
准则层是层次分析法的中间层，代表实现目标所需要考虑的准 则或限制条件。
02
在制定准则层时，需要深入分析问题，识别出影响目标实现的
关键因素或限制条件。
准则层可以有多个元素，代表不同的准则或限制条件。
03
方案层
01
方案层是层次分析法的最低层，代表实现目标的具体
方案或措施。
02
在制定方案层时，需要提出具体的解决方案或措施，
《层次分析法培训》PPT课件讲课稿
（1）过河效益层次结构
过河的效益 A
经济效益 B1
社会效益 B2
节 收岸 当 建安 交 自
省 入间 地 筑全 往 豪
时 C2 商 商 就 可 沟 感
间
业 业 业 靠 通 C8
C1
C3 C4 C5 C6 C7
环境效益 B3
舒进 美
适出 化
C9
方 便
C11
C1
0
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（2）过河代价层次结构
过去研究自然和社会现象主要有机理分析法和统计分析法 两种方法，前者用经典的数学工具分析现象的因果关系，后 者以随机数学为工具，通过大量的观察数据寻求统计规律。 近年发展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系统分 析的数学工具之一。
层次分析法的基本思路： 选择钢笔
质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进行排序 经综合分析决定买哪支钢笔.
质颜价外实 量色格形用
准则层
可供选择的笔
方案层
例2 选择旅游地的层次结构
选择
旅游地
景
费
居
饮
旅
色
用
住
食
途
苏杭、北戴河、
桂林
目标层Z 准则层A 方案层B
人们在决策的时候凭自己的经验和知识进行判断，当 因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的，如果 只是定性的结果，则常常不被别人接受。Saaty 等人的 做法，一是不把所有因素放在一起比较，而是两两相互 对比；二是对比时采用相对尺度，以尽可能地减少性质 不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
3
表示两个元素相比，一个元素比另一个元素稍 微重要
《层次分析法》课件
企业在制定战略决策时，需要考虑多种因素，如市场环境、 竞争态势、自身资源等。层次分析法可以将这些因素按照重 要性进行排序，帮助企业明确重点，制定出更符合实际情况 的战略计划。
资源分配问题
总结词
层次分析法可以用于解决资源分配问题，通过对不同方案进行权重分析和比较 ，确定最优的资源分配方案。
详细描述
它通过构建层次结构模型，将决策问题分解为不同的组成因素，并根据 因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同的层次聚集组合，形
成一个多层次的分析结构模型。
在这个模型中，上一层次的元素作为准则，对下一层次元素起支配作用 ，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性。
层次分析法的起源与发展
1980年代初，美国运筹学家 T.L.Saaty首次提出层次分析法。
经过多年的发展，层次分析法已经广 泛应用于各个领域，如经济计划、财 政预算、资源分配、人才选拔等。
该方法最初应用于解决复杂的决策问 题上，特别是那些难以完全用定量方 法来处理的决策问题。
层次分析法的发展也经历了多个阶段 ，包括理论方法的完善、应用领域的 拓展以及计算机软件的普及等。
层次分析法的应用领域
在资源有限的情况下，如何将资源合理分配到各个部门或项目中，是企业管理 者面临的重要问题。层次分析法可以对各种资源分配方案进行评估和比较，为 企业提供科学的决策依据。
风险评估问题
总结词
层次分析法可以用于风险评估，通过对风险因素进行分析和权重排序，帮助企业 识别和评估潜在的风险。
详细描述
企业在经营过程中面临多种风险，如市场风险、财务风险、技术风险等。层次分 析法可以对各种风险因素进行权重分析和排序，帮助企业识别出主要的风险来源 ，从而采取相应的措施进行防范和控制。
层次分析法讲义
层次分析模型讲义人们在日常生活中常常会碰到许多决策问题：买一件衬衫，你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择；请朋友吃饭，要筹划是办家宴或去饭店，吃中餐、西餐或是自助餐；假期旅游，是去风光绮丽的苏杭，还是去迷人的北戴河海滨，或是去山水甲天下的桂林。
如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话，那么当你面临报考学校、挑选专业或者选择工作岗位的时候，就要慎重考虑、反复比较，尽可能地作出满意的决策了。
从事各种职业的人也经常面对这样或那样的决策：一个厂长，要决定购买哪种设备，上马什么产品；科技人员要选择研究课题；医生要为疑难病症确定治疗方案；经理要从若干应试者中选拔秘书；各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。
人们在处理上面这些决策的时候，要考虑的因素有多有少，有大有小，但一个共同点就是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素。
在作比较、判断、评价、决策时，这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化，人们的主观选择也起着相当主要的作用，这就给用一般的数学方法解决问题带来实质上的困难。
T. L. Saaty 等人在七十年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的使用方法，称为层次分析法（AHP ）。
这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
下面介绍层次分析法的基本步骤和应用实例。
例1：假期旅游，有321,,P P P 三个旅游胜地供你选择，你会根据诸如景色、费用、居住、饮食、旅途等一些准则去反复比较那三个候选地点，最终决策去哪个旅游地。
一、建立层次结构模型层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维判断过程大体上是一样的。
此例中，首先，你会确定这些准则在你的心目中占有多大比重，如果醉心旅游，自然会更看重景色；而平时俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用；中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄予较大关注。
其次，你会就每一个准则将三个地点进行对比，譬如1P 景色最好，2P 次之；2P 费用最低，3P 次之等。
层次分析法讲义
层次分析法层次分析法（Analytic Hierarchy Process ，简称AHP ）是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
它是美国运筹学家T. L. Saaty 教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。
§1 层次分析法的基本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学管理领域问题的系统分析中，面临的常常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统。
层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法。
运用层次分析法建模，大体上可按下面四个步骤进行： （i ）建立递阶层次结构模型；（ii ）构造出各层次中的所有判断矩阵； （iii ）层次单排序及一致性检验； （iv ）层次总排序及一致性检验。
下面分别说明这四个步骤的实现过程。
1.1 递阶层次结构的建立与特点应用AHP 分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。
在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。
这些元素又按其属性及关系形成若干层次。
上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。
这些层次可以分为三类：（i ）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
（ii ）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
（iii ）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立。
例1 假期旅游有1P 、2P 、3P 3个旅游胜地供你选择，试确定一个最佳地点。
层次分析法讲义
一致阵的性质：
1.
aij
1 a ji
, aii
1,i,
j
1,2,, n
2. AT也是一致阵
作业
3. A的各行成比例，则rankA 1
4. A的最大特征根（值）为λ n,其余n-1个
特征根均等于0。
5. A 的任一列(行)都是对应于特征根 n 的特征向量。
若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最
当CR 0.1 时，认为层次总排序通过一致性检验。到
此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。
层次分析法的基本步骤归纳如下
1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。
2.构造成对比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。
3.计算单排序权向量并做一致性检验 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量， 利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性 检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量； 若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。
对总目标Z的排序为
A1
A2
Am
a1, a2,, am
B层n个因素对上层A中因素为Aj
B1
B2
Bn
的层次单排序为
b1 j ,b2 j ,,bnj ( j 1,2,, m)
B 层的层次总排序为： B1 : a1b11 a2b12 amb1m
i 即 B 层第 个因素对 B2 : a1b21 a2b22 amb2m
2 构造成对比较矩阵
设某层有 n个因素， X x1, x2 ,, xn
要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影响程度，确定 在该层中相对于某一准则所占的比重。（即把 n个因素对上 层某一目标的影响程度排序）
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Operations Research
由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提 出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP） 是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将 决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量 化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其 相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分 类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次 结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重 要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确 定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总 目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
和B 比较以该值的 i
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Operations Research
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
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三、层次单排序
利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言， 本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
CI RI
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
标度值
意义
说明
1
3
5
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Bi与Bj同样重要
Bi，Bj对一个目 标贡献相同
Bi比Bj重要性稍 二者间判断差异
高一些
轻微
Bi比Bj重要性明 二者间判断差异
显高
明显 © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
BU=λU
的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
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在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且
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7
Bi比Bj重要性明显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
上述各值的 倒数
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相应的反比较，即
Bi和Bj比较其相对 重要性用上述之一
值进行标度，则Bj
λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合
理，于是我们可用
* m
CI= 作为检验B的一致性的指标。
m 1
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI= m
m 1
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对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数
RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5 8024215924
运用层次分析法进行决策，可分为以下五个步骤：
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一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
方案 n
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二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系 构造如下的判断矩阵：
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
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其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度。 通常按下表的方式定义。
显然判bij＞断0矩，阵biBi==1，（bbjiij=）有1 关，系i式,j=1，…，m
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目标层 中间层 1
准则 1
中间层 2
方案层
子准则 1
方案 1
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决策目标 准则 2 子准则 2
准则 k 子准则 m
方案 2 图 15.1