层次分析法培训讲义
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CI RI
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整 判断矩阵。
λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合
理，于是我们可用
* m
CI= 作为检验B的一致性的指标。
m 1
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI= m
m 1
Irwin/McGraw-Hill
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Operations Research
对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数
RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5 8024215924
Irwin/McGraw-Hill
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Operations Research
目标层 中间层 1
准则 1
中间层 2
方案层
子准则 1
方案 1
Irwin/McGraw-Hill
决策目标 准则 2 子准则 2
准则 k 子准则 m
方案 2 图 15.1
Operations Research
7
Bi比Bj重要性明显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
上述各值的 倒数
Irwin/McGraw-Hill
相应的反比较，即
Bi和Bj比较其相对 重要性用上述之一
值进行标度，则Bj
运用层次分析法进行决策，可分为以下五个步骤：
Irwin/McGraw-Hill
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Operations Research
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
和B 比较以该值的 i
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Operations Research
判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
bij
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
标度值
意义
说明
1
3
5
Irwin/McGraw-Hill
Bi与Bj同样重要
Bi，Bj对一个目 标贡献相同
Bi比Bj重要性稍 二者间判断差异
高一些
轻微
Bi比Bj重要性明 二者间判断差异
显高
明显 © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
层次分析法
Operations Research
由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提 出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP） 是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将 决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量 化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其 相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分 类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次 结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重 要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确 定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总 目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
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© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
Operations Research
三、层次单排序
利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言， 本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
Irwin/McGraw-Hill
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Operations Research
其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度。 通常按下表的方式定义。
显然判bij＞断0矩，阵biBi==1，（bbjiij=）有1 关，系i式,j=1，…，m
方案 n
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
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二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系 构造如下的判断矩阵：
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
BU=λU
的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
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在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且
因为一、二阶判断矩阵具有致性，其RI值只是形 式上的，于是当判断矩阵阶数大于2时，CI与RI之比称 为判断矩阵的随机一致比例，记为CR，当CR=＜0.10 时，认为判断矩阵的一致性可以接受，否则需要调整 判断矩阵。
λmax≥m，当B具有满意的一致性时，λmax稍大于m，其余 的特征值接近于零，此时，层次分析得出的结论基本合
理，于是我们可用
* m
CI= 作为检验B的一致性的指标。
m 1
显然，当判断矩阵具有一致性，CI=0，λ*-m越大， CI越大，一致性越差。
此外还要考虑判断矩阵的平均随机一致性指标RI。 通过多次随机的构造m阶判断矩阵，计算其最大特征根 ，然后取平均值得λ，于是得到
RI= m
m 1
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对于1~12阶判断矩阵，RI值为
阶 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数
RI 0 0 0.5 0.9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.4 1.4 1.5 1.5 8024215924
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目标层 中间层 1
准则 1
中间层 2
方案层
子准则 1
方案 1
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决策目标 准则 2 子准则 2
准则 k 子准则 m
方案 2 图 15.1
Operations Research
7
Bi比Bj重要性明显 二者间判断差异强
多
烈
9
Bi比Bj极端重要
二者间差异达到可
能范围的下限度
2，4，6，8 表示相邻判断的中 用于需要达成妥协
间值
场合
上述各值的 倒数
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相应的反比较，即
Bi和Bj比较其相对 重要性用上述之一
值进行标度，则Bj
运用层次分析法进行决策，可分为以下五个步骤：
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Operations Research
一、明确问题建立层次
通过分析，找出问题所研究的全部元素，并按 各元素之间的相互影响与作用进行分类，每类作为 一个层次，按最高层（即目标层，表示解决问题的 目的）、若干有关的中间层（表示采用某种措施或 根据某种准则来实现预定目标所涉及的中间环节） 和最低层（表示解决问题的措施和方案）的形成排 列起来形成一个层次结构图（图4.1）。在这个层次 结构中，某一中间层次的元素作为准则，对下一层 次某些元素起支配作用，同时，又从属于上一层次 的某个元素。
和B 比较以该值的 i
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判断矩阵的数值是根据客观数据、专家意见和 分析者的认识综合平衡后给出的，因此对判断矩阵 的质量有一致性的要求，即B中元素满足要求
bijbjk=bik i，j，k=1，2，…，m
bij
因此对于m阶判断矩阵，我们仅需要对m（m-1） /2个元素给出标度即可。
标度值
意义
说明
1
3
5
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Bi与Bj同样重要
Bi，Bj对一个目 标贡献相同
Bi比Bj重要性稍 二者间判断差异
高一些
轻微
Bi比Bj重要性明 二者间判断差异
显高
明显 © The McGraw-Hill Companies, Inc., 1999
层次分析法
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由美国著名运筹学家萨蒂（T.L.Saaty）在70年代初提 出的层次分析法（Analytical Hierarchy Process，简称AHP） 是一种具有定性分析与定量分析相结合的决策方法，可将 决策者对复杂对象的决策思维过程系统化、模型化、数量 化。其基本思想是通过分析复杂问题包含的各种因素及其 相互关系，将问题所研究的全部元素按不同的层次进行分 类，标出上一层与下层元素之间的联系，形成一个多层次 结构。在每一层次，均按某一准则对该层元素进行相对重 要性判断，构造判断矩阵，并通过解矩阵特征值问题，确 定元素的排序权重，最后再进一步计算出各层次元素对总 目标的组合权重，为决策问题提供数量化的决策依据。
可以证明判断矩阵满足一致性要求的充分必要 条件是它的最大特征值λ*=m。
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三、层次单排序
利用判断矩阵，计算对于上一层某元素而言， 本层次与之有联系的元素的重要性次序的权值（权 向量）的过程，称为层次单排序。层次的单排序可 以归结为计算判断矩阵的特征值与特征向量的问题 ，即对于判断矩阵B，求解满足
…
b1m
B2
b12
b22
…
b2m
…
Bm
bm1
bm2
…
bmn
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其中bij表示对于Ak而言，Bi对Bj相对重要性的标度。 通常按下表的方式定义。
显然判bij＞断0矩，阵biBi==1，（bbjiij=）有1 关，系i式,j=1，…，m
方案 n
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二、构造判断矩阵 建立了层次结构后，上下层次之间的从属关系就确定
。假定A层中元素Ak与下层中元素B1，B2，…，Bm有联系 构造如下的判断矩阵：
Ak
B1
B2
…
Bm
B1
b11
b12
BU=λU
的最大特征值λ*以及对应λ*的正规化（单位化）的特 征向量U*，U*的分量即为相应元素的单排序权重。
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在一般情况下，判断矩阵的特征值为单根，且