6西安电子科技大学矩阵论
关于矩阵奇异值的若干性质
第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi ： 10. 3969/j. issn. 1008-1399. 2021. 01. 017关于矩阵奇异值的若干性质尹小艳，杨丹丹(西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安J10071)摘要探讨矩阵奇异值的性质及其与范数、谱半径、特征值等矩阵“大小”度量的关系，帮助学生建立这些概念之间的内在联系，强化对相关概念的理解和掌握.关键词奇异值；谱半径；范数"条件数中图分类号 O151.2 文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0056 - 03Properties of Singular Values of MatricesYIN Xiaoyan and YANG Dandan(School of Mathematics and S t a t i s t i c s，Xidian University，Xi’an 710071)Abstract W e gather several properties of singular values and investigate the relations between singular values and some other measures on matrices such as n o r m，spectral radius，eigenvalues and so on.This work m a y lead the students to a deeper comprehension of these concepts.Keywords singular value，spectral radius，n o r m，condition number1引言矩阵的奇异值是矩阵的重要数字特征，在矩阵 计算、误差分析、图像处理、数据挖掘、推荐系统等理 论和实际问题中应用广泛&一2'矩阵作为有限维 线性空间上线性变换的数学模型，除奇异值外，对矩 阵的“大小”，还有着多种不同的度量，比如大家熟知 的矩阵范数、特征值、谱半径等.本文介绍奇异值的一些重要性质，并深人探讨这几个概念之间的有机联系，帮助同学们更好地理解和掌握矩阵的这几种数值'收稿日期！ 2020 - 03 - 17 修改日期2020- 07 -05基金项目：西安电子科技大学矩阵分析与计算精品课程建设项目；西 安电子科技大学教学改革项目一研究型教学在矩阵分析与计算课程中的探索与实践，西安电子科技大学高等代数MOOC建设项目.作者简介：尹小艳（1979 —），女，陕西咸阳人，副教授，博士，从事矩阵 理论研究工作.Email:xyyin@.2奇异值的概念定义&]设A)crx"，称'")=槡)，("*")，4=1，2，…，-为矩阵"的正奇异值，简称奇异值.因为对任意矩阵crx"，总有")= -(a)，从而矩阵"的正奇异值的个数总是等于"的$.3奇异值的基本性质(1)对任意 A)crx"，A=0L'1")=…='r(A)=0.证明设A为任意复矩阵，A=0 l a2a=0L)1 (A2a)=…=A…(A2a)=0L'1(A)=…='(A)=0.第2"卷第1期尹小艳，杨丹丹：关于矩阵奇异值的若干性质57(2) 对任意w阶方阵A，有A非奇异Lff，(A)>0，i=1,2，…，w.(3) 对任意w R复方阵A，有|det(A) |y^A) - ■••f f…(A).这里|det(A) |表示矩阵A的行列式的模.证明设A为任意w阶复方阵，det(A)2 =det(A*A)=Ai(A*A)…A…(A*A)='!(A)…'!(A)(4) 奇异值具有转置、共轭、酉不变性.即对任意A)CTx"，i=1，2,…，r，有'(A*)='(A)='(A T)='(A)，at(U A V)=at(A)，这里A*，A T，A分别表示矩阵A的共轭转置、转置和共轭矩阵，U@分别为适当阶的酉矩阵.证明对任意A)Crx"，'2(A *)=)i(AA *)=)i(A *A)=ai(A)，'(A T)=A!((A T)* A T)=A，（(A*)TA T)=A，（(A A*)T)=)i(AA * )=A；(A *A)=ai(A)，a!(A T)=a!((A T)* )=(a(A)，a i(U A V)=A t(V*A*U*U A V)=At(A*A)=a2(A).(5) 奇异值分解（S T O)定理对任意A)CTx"，必存在™•阶酉矩阵U和w阶酉矩阵@，使得0]U*A V=，其中'Y d i a g'，•••'），'！，•••，'r 为 A的奇异值.奇异值分解在图像处理、数值计算等方面有着极为重要的应用，关于这一定理的重要意义及其应用后续文章会深人探讨.(6) 奇异值的几何意义先看一个具体的例子•设30' 3 0]* ;1A=U〇1.V=(«! w2)$ 1.其中 “1=(1，“2=(f，>#)'于是对V x Y h V i+h V i，有A v#=3«i ,A v2=m2故！=A# =ZiMi +Z2m2=3〇i M1+02a2.此时，若I I # I I 2=1即〇2Z〇2=i，则对应向量！满足32+/2 = 1.这表明4把财2中的单位圆{•r)N2，|| z || 2=1}变成了椭圆{：V =A：r，|| z || 2=1}，而两个奇异值恰好是这一椭圆的两个半轴长，长轴所在直线span+1}，短轴所在直线span {m2 }，它们分别是spanV h s p a n+z}的像.一般地，设A)C，"，记null(A)的正交补空间为W，A B r维子空间W中的单位复球面映成C™中的复椭球面，其中A的奇异值'1，…，〇，即为该椭球面的r个半轴长.3奇异值与矩阵其它度量的关系3.1奇异值与特征值的关系(1) 对任意w阶复方阵A,最大、最小奇异值构 成矩阵特征值的模的上下界•即V A)A(A)，有f f m i n(A)"|A I(A)证明设A为任意w阶方阵，对V A)A(A)，设#为A的属于特征值A的单位特征向量，A# =A#，I I # I I =1，由Amm (A *A)3"A*A"Am… (A *A)3可知，a?i n(A)=Amin(A*A)"#*A*A#= |A |2#* #=|A |z"Ama X(A*A)=a?ax(A)•(2) 设A为w阶方阵，对；=1,2，••，，,|(A) |模>0，若A正规a,(A)=1 |(A) |绝对值>0，若 A* =AU(A)，A>。
西安电子科技大学线性代数精品课课件
⎛ 2 ⎞ ⎛ 2 ×1 2 × 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (1) ⎜ − 2 ⎟ (1 2 ) = ⎜− 2 × 1 − 2 × 2⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ 3 ×1 3 × 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎞ ⎛2 −2 BA = ⎜ ⎟ ⎝− 2 2⎠
⇒ AB = BA.
若AB=BA, 则称A与B可交换.
例4 计算下列乘积：
(1) ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 ⎟(1 2) ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠
⎛ 2 6 12⎞⎛ 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ ⎜ (2) (1 ,−1,0)⎜ 4 9 42⎟⎜ 0 ⎟ ⎜ − 8 10 33⎟⎜ − 1⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
称为列矩阵(或列向量).
（4）同型矩阵与矩阵相等的概念: 1. 行数相等且列数相等的两个矩阵,称为同型矩阵.
例如
⎛1 ⎜ ⎜5 ⎜3 ⎝
6 −4
2 ⎞ ⎛ 14 ⎟ ⎜ 6 ⎟与⎜ 8 ⎟ 7⎠ ⎜ 3 ⎝
10 ⎞ ⎛ 2 ⎟与⎜ 5 ⎠ ⎝0
3⎞ ⎟ 4 ⎟ 为同型矩阵. 9⎟ ⎠
0 6 − 7⎞ ⎟是同型矩阵 . 3 ⎠
x 3⎞ ⎟, 1 z⎠
已知 A = B , 求 x , y , z .
解
Q A = B,
∴ x = 2, y = 3, z = 2.
(5)行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶 方阵.也可记作 An .
⎛ a11 ⎜ 0 A=⎜ ⎜L ⎜ ⎝ 0
a12 L a1n ⎞ ⎟ a22 L a2 n ⎟ L L L⎟ ⎟ 0 L ann ⎠
( 6)若A是n阶方阵 , 则记 Ak = AAL A,
并称之为 A的k次幂 , k个A
m n m+n
易知 : ( A ) = A
频变交叉耦合滤波器的矩阵优化综合方法
频变交叉耦合滤波器的矩阵优化综合方法李刚【摘要】为了解决传统交叉耦合滤波器模型中的非频变耦合系数无法准确表征宽带条件下耦合结构的频率特性问题,提出了一种含有频变耦合系数的N+2型交叉耦合滤波器矩阵优化综合方法.首先通过矩阵的缩放和相似变换过程,将指定拓扑的N+2型频变耦合矩阵变换为非频变耦合矩阵;然后以N+2型全规范耦合矩阵的特征值为趋近目标构造目标函数;最后通过梯度优化算法进行搜索,即可获得指定拓扑的N+2型频变耦合矩阵.不同拓扑结构的优化综合实例表明,该方法可以高效地解决复杂频变交叉耦合滤波器的综合问题.【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(046)003【总页数】6页(P154-159)【关键词】耦合矩阵;频变耦合;等效电路;综合方法;微波滤波器【作者】李刚【作者单位】湖北文理学院物理与电子工程学院,湖北襄阳 441053【正文语种】中文【中图分类】TN713.5现代无线通信系统对滤波器的频率特性和结构紧凑性要求越来越高，对这类滤波器的综合理论也一直是该领域的研究热点。
传统基于窄带近似条件下的交叉耦合滤波器综合理论已经成熟并得到广泛应用[1-4]。
该理论假设了谐振腔之间的耦合系数具有非频变特性，这一假设对特定物理结构或者窄带滤波器是适用的。
在宽带条件下或者滤波器的耦合结构具有较强的色散特性时，非频变耦合系数不再能够准确地表征滤波器耦合结构的实际频率特性，传统的耦合矩阵综合方法不再适用。
近年来，频变交叉耦合滤波器综合理论引起了研究者们的广泛关注[5-7]。
文献[8-10]针对个别特殊滤波器进行综合设计，未能给出频变耦合系数滤波器的一般综合方法。
文献[11]针对N型交叉耦合滤波器情况，给出了一种优化的综合方法，但该方法无法适用于N+2型频变交叉耦合滤波器。
为了解决N+2型频变交叉耦合滤波器综合问题，笔者提出了一种N+2型频变交叉耦合滤波器的一般综合方法。
对于指定拓扑结构的N+2型频变耦合矩阵，首先利用文中的矩阵变换公式，将频变耦合矩阵变换为非频变耦合矩阵。
电子科大矩阵理论试题答案(2005级)
2005级硕士研究生《矩阵理论》试卷参考答案一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯） 1、A n 为阶实对称矩阵，n R x 对中的列向量，||x |Ax =定义, ||x||x 则为向量 的范数. ( ⨯ )2、设A n 为阶Hermite 矩阵，12,,,n λλλ是矩阵A 的特征值，则2221||||nm i i A λ==∑.( ∨ ) 3、如果m n A C ⨯∈，且0A ≠，()H AA AA --=, 则2||||AA n -=. ( ⨯ ) 4、设||||a 为丛属于向量范数||||a x 的算子范数，2H H E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则||||a H n = ( ⨯ )5、设1/51/51/51/51/62/61/61/61/71/73/71/71/81/81/84/8A ⎛⎫⎪⎪=⎪⎪⎝⎭，则A 矩阵的谱半径()1r A <. ( ∨ )因为||||1A ∞<，故结论成立6、若(1)m m A C m ⨯∈>严格对角占优，则A 的谱半径()||2||.m r A A ∞< ( ∨ )7、若设n x R ∈，则212||||||||||x x x ≤≤. ( ∨ )8、设111122223333A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1||||1m A +=. ( ⨯ )9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则 秩()DGB n =. ( ⨯ )10、设A ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭0.90.010.12=0.010.80.130.010.020.4，则A 的特征值均为实数. ( ∨ )二、证明：(1) 当0A =时，||||0A =；当0A ≠时，存在,i j 使得0ij a ≠，从而|||||0ij A a ≥>。
(2) ,||||||ij i jkA ka=,||||ij i jk a =||||||k A =.(3) ,||||||ij ij i jA B a b +=+,|||)ij ij i ja b ≤+,,||max ||)ij ij i ji ja b ≤+||||||||A B ≤+.(4) 22211||||||mn ij j i j Ax a x ===∑∑22111(||||)m nnij j i j j a x ===≤∙∑∑∑22111(||)||m nnij j i j j a x ===≤∙∑∑∑222max ||||||ij ijmn a x ≤∙222||||||||A x ≤∙三、证明：()||||1r A A ∞≤=|1|0E A -=⇒1为A 的特征值 ∴()1r A =四、设m n D C ⨯∈为列满秩矩阵，D +为M-P 广义逆，n n A C ⨯∈,证明: 2||||||||A DAD += 为n n C ⨯上的矩阵范数. (10分)证明：(1) 当0A =时，||||0A =；当0A ≠时，m n D C ⨯∈为列满秩矩阵, 则1()H H D D D D +-=, D D E +=。
矩阵论合成版 西电课件
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体集合的表示：枚举,表达式集合的运算：并（ ），交（ ）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
线性空间的概念是某类事物从量的方面的一个抽象。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合, 其元素用x,y,z等表示, 并称之为向量；K 是一个数域，其元素用k,l,m等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]（I）在V中定义一个“加法”运算，即当x,y V∈时，有唯一的和+∈（封闭性），且加法运算满足下列性质x y V（1）结合律()()++=++；x y z x y z（2）交换律x y y x+=+；（3）存在零元素0, 使x 0x +=；（4）存在负元素, 即对于任一向量x V ∈，存在向量y V ∈，使x y 0+=，且称y 为x 的负元素，记为x -。
则有()x x 0+-=。
（II ）在V 中定义一个数乘 (数与向量的乘法) 运算，即当x V ∈，k K∈时，有唯一的kx V ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质（5）数因子分配律 ()k x y k x k y +=+； （6）分配律 ()k l x k x l x +=+； （7）结合律 ()()k l x k l x =；（8）恒等律 1x x =； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间或向量空间。
注意：1）线性空间不能离开某一数域来定义，因为同一个集合，如果数域不同，该集合构成的线性空间也不同。
（2）两种运算、八条性质数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则可以十分抽象。
[西电最新]遥感信息科学与技术-学术型直接攻博研究生培养方案
![[西电最新]遥感信息科学与技术-学术型直接攻博研究生培养方案](https://img.taocdn.com/s3/m/497626d50c22590102029d88.png)
遥感信息科学与技术学科（直接攻读博士学位）学科代码：99J5一、学科简介“遥感信息科学与技术”学科为一级学科“信息与通信工程”、“电子科学与技术”以及“光学工程”的交叉学科，该学科具有博士及硕士授予权。
西电的“遥感信息科学与技术”学科在综合研究光学、微波遥感的基础上，以微波遥感的研究与应用、微波与光学数据融合为特色，主要研究方向有：遥感信息理解与解译、先进遥感理论及技术、微波遥感干涉测绘技术与应用、微波遥感影像获取与应用等。
主干课程：矩阵论、数字信号处理、数字图象处理、雷达干涉与立体摄影技术、遥感应用分析原理与方法、多源遥感图像处理技术等。
随着遥感技术的发展，目前对遥感技术人才的需求越来越多、越来越高，从“遥感信息科学与技术”学科毕业的学生能够在城市、农业、水利、交通、军事、地质、环境、海洋等领域从事航空航天摄影测量、遥感系统和应用系统研制及系统集成的建设与开发以及有关空间信息系统的建设和应用，容易找到对口的工作，从而成为国家、国防工业特别是航空航天单位急需的优秀的专业人才，进而满足国家对遥感人才的迫切需要，为我国的航空航天和遥感事业贡献力量。
二、培养目标遥感信息科学与技术专业通过引导学生参与遥感信息科学领域的科学研究，不断提高学生理论水平和实践能力，着重加强理论与实践的结合能力，加强对学生能力和素质的培养，使学生的综合素质能力得到全方面的发展，具体培养目标如下：（一）掌握马克思主义、毛泽东思想、邓小平理论以及江泽民同志“三个代表”重要理论的基本原理；拥护中国共产党的领导，热爱社会主义祖国；遵守宪法、法律和学校的各项规章制度；具有良好的职业道德和文明风尚；积极为社会主义现代化建设服务；（二）掌握遥感信息科学领域扎实的基础理论、系统的专业知识和专业处理的基本技能；（三）具有独立从事遥感信息科学领域科学研究、开发、设计、教学、生产及管理等方面的工作或专门技术工作的能力；（四）具有较强实际工程能力和一定研究能力，以满足国防建设以及经济发展对遥感专业人才的需求；（五）掌握一门外国语，具有较熟练的阅读能力，一定的读写、译的能力和基本的听、说能力，能够以英语为工具进行本专业的学习和科学研究；（六）积极参加体育锻炼，具有健康的体魄。
一种RC链式电路时域响应建模方法
一种RC链式电路时域响应建模方法任鹏;相征【摘要】A fast and efficient model is constructed for the RC chain circuit to output the responses of all nodes each time.Concretely,the relationship between input and output voltage related to nodes is derived by using the circuit principle in the time-domain,and then the output responses of the RC chain circuit are gradually calculated in a mathematicalway.Experimental results demonstrate that the proposed model has a good performance with a predicted accuracy and propagation delay and its computational complexity reaches a low level.%针对链式 RC电路,提出了一种快速有效的模型来估计 RC 电路上每一时刻各个节点的输出响应。
利用电路原理建立链式 RC电路各个节点间的输入输出关系,然后通过一种矩阵变换的方法,计算出链式RC电路输出响应的解析式。
实验结果表明：通过该方法得到的时幅响应准确度达到10-9,与波形松弛法多次迭代的准确度相当,但其运算复杂度低于波形松弛法的运算复杂度,其传播时延的误差远低于 Elmore模型及其改进模型的传播时延误差。
【期刊名称】《西安电子科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】6页(P6-11)【关键词】RC电路;时域分析;输出响应;传播时延【作者】任鹏;相征【作者单位】西安电子科技大学通信工程学院，陕西西安 710071;西安电子科技大学通信工程学院，陕西西安 710071【正文语种】中文【中图分类】TN711.4在电子电路领域,RC电路的应用非常广泛,包括RC滤波器、超大规模集成电路(VLSI)、多导体传输线(MTL)等,其所涉及的一些特性研究是不可或缺的,其中最主要的是其时延特性和时域输出响应.目前一阶和二阶RC电路已得到了充分的分析和探讨[1-3],而如何快速地描述链式RC电路的相关特性已成为电路系统领域所关注的焦点之一.著名的Elmore时延模型[4]被广泛用于RC电路中.通过Elmore模型来大致预测RC电路的50%传播时延,以便为后续的电路设计提供依据.但Elmore模型只是对时延进行一个粗略的估计,其误差达30%以上,并且数字脉冲信号在实际中并不是理想的阶跃信号,而是存在一段上升时间的“斜坡信号”.为了得到更准确的估计结果,文献[5]以“斜坡”信号作为RC电路的输入信号,以此建立一个简单的闭合式来估计链式RC电路的传播时延.然而这种简单的方法要准确地估计链式RC电路的时延特性是较为困难的.文献[6]提出了一种新的半解析法来预测“斜坡”信号在链式RC电路中的传播时延,其预测误差在15%以下.虽然这些研究都以实际的“斜坡”信号作为研究对象,并在Elmore模型的基础进行了改进,但得到的预测误差依然较大.准确的链式RC电路时域输出响应不仅能够计算出RC链式电路的50%传播时延,而且还在低通滤波器的参数设计和多导体传输线理论等方面具有指导性意义.对链式RC电路进行建模时,被普遍接受且效果较好的方法是波形松弛法,但其具有较差的收敛性.因此,优化的波形松弛法[7]被提出并用于链式RC电路中.文献[8]中通过数学分析提高了优化的波形松弛法的性能,但依然需进行多次迭代才能解得RC电路的输出响应,其造成高的运算复杂度.为了快速且准确地反映链式RC电路的时延特性和输出响应,笔者首先对RC电路的输入输出关系进行分析、建模,然后利用矩阵论知识提出一种新的便捷的RC电路输出响应计算方法.链式RC电路由n个一阶RC电路链接而成,其拓扑结构如图1所示.符号u0(t)表示t时刻链式RC的输入电压,则相应的第j个节点在t时刻的输出响应为uj(t),j=1,2,…,n.符号Rj和Cj分别标识第j个节点上的电阻和电容.从链式RC电路的组成结构来看,要研究其各个节点的输出响应,应先需着手分析一阶RC电路的输出特性.因此,笔者首先建立一阶RC电路响应模型,然后逐步推导和求解链式RC电路的输出响应.1.1 一阶RC电路响应模型一阶RC电路由电阻R和电容C串联而成,如图2(a)所示.其输入信号ui(t)为u′(t)表示输入信号达到稳态电压U前随时间t变化的暂态电压,T为u(t)到达U的时刻.当t＜T时,根据欧姆定律,可得uo(t)为输出信号,符号I表示电流值.继而利用电流的定义,则有已知一阶RC电路的初始条件为采用微分方程求解方法,即可得到ui(t)的输出响应图2(b)给出了一阶RC电路的输入输出特性.1.2 链式RC电路响应模型模拟一阶RC电路响应模型的建立过程,可以得到链式RC电路各个节点之间的关系: 令u(t)=(u1(t),u2(t),u3(t),…,un(t))T,v(t)=(u0(t),0,0,…,0)T,同时定义n阶三对角方阵A和n阶方阵B:则微分方程式(6)可表示为两边同乘以exp(-A t)后进行积分,则有求解式(8),即可得到其中,u(t0)=(u1(t0),u2(t0),u3(t0),…,un(t0))T,表示链式RC电路在初始时刻t0时各个节点的电压值.通过上述推导,链式RC电路中各个节点的输出响应uj(t)(j=1,2,…,n)的函数形式已经得到.若能进一步计算出矩阵指数exp(At),则各个节点在每一时刻的具体输出值uj(t)即可得到.假设:其中,变量k=1,2,…,n-1,则矩阵A即为定义变换矩阵P1为则有T为对称的三对角矩阵,与A具有相同的特征值.由于T是对称矩阵,则存在可逆矩阵P2,有其中,λi(i=1,2,…,n)是矩阵A和T的特征值,P2由矩阵T的特征向量组构成.设P=P2P1,则计算出exp(A t)后,按照式(9)可快速地获取到各个节点处的输出响应uj(t),j=1,2,…,n.为了验证链式RC电路响应模型的有效性,笔者搭建了如图1所示的电路,其中n取值为10.要强调的是,这种模型可以应用到更大的链式RC电路中.为了更符合高速数字电路等实际应用场景,实验选用的电阻值依次为30Ω、45Ω、25Ω、55Ω、20Ω、35Ω、40Ω、25Ω、15Ω、30Ω,电容值依次为0.3 p F、1.0 p F、0.7 p F、0.6 p F、0.4 p F、1.1 p F、0.8 p F、0.5 p F、0.6 p F、0.2 p F.输入信号u0(t)为“斜坡”信号,即T等于10-11s,初始值u(0)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)T.首先按照笔者提出的RC电路响应模型来计算各个节点的输出特性,然后利用安捷伦公司的Advanced Design System(ADS)来模拟真实环境下各个节点的输出特性.定义评价模型准确性的指标为相对误差,即其中,Vm表示笔者提出的模型计算出来的输出电压,如图3(a)所示;Vs表示ADS工具生成的输出电压,如图3(b)所示.图4显示了链式RC电路中各个节点在不同时刻的具体相对误差.在信号接入瞬间,笔者提出的模型计算出来的各个节点的输出响应误差较大,但随着时间的增加,误差急速减小,在0.9 ns时刻达到最小误差,之后其值保持稳定.各个节点的平均相对误差如表1所示.由此可见,笔者提出的模型得到的输出响应能够有效地描述真实环境下的输出特性.根据图3所示的Vm和Vs在各个时刻的值及图4所示的各个节点在各个时刻的相对误差,计算可得各个节点输出响应的平均相对误差,结果如表1所示.如第1节所述,波形松弛法被用来计算多级链式RC电路的时域输出响应.在这里,选择经典波形松弛法(WR)、优化波形松弛法以及文献[8]提出的改进的波形松弛法进行分析对比.由于波形松弛法的原理较为复杂,不在本文中进行叙述.3种方法的详细内容可参见文献[8].采用3种波形松弛法分析10节点RC链式实验电路的输出响应的误差收敛速度,其结果如图5所示.其次,选择Elmore模型与笔者提出的模型对比50%传播时延.分别由ADS工具、经典Elmore模型、文献[6]中改进的Elmore模型和笔者提出的模型得到的实验电路的50%传播时延如表2所示.在传播时延方面,如表2所示,经典Elmore模型和文献[6]的改进Elmore模型计算出来的“斜坡”信号的50%传播时延误差要大于笔者提出的模型,笔者提出的模型与实验电路的传播时延几乎完全一致;在时域输出响应方面,如图5所示,经典波形松弛法和优化波形松弛法在20次迭代后的误差在10-4～10-5之间,文献[8]中的改进波形松弛法在经过7次迭代后,相对误差达到10-8,而如图4所示,笔者提出的模型只需一次计算即可达到10-8误差级别.因此,笔者所提模型与Elmore模型和波形松弛法相比,都有相应的改进,能够在小运算量的条件下快速准确地描述当前RC 电路的各个节点响应情况,得到准确的传播时延.RC电路在大规模数字集成电路设计、滤波器设计及多导体传输线等领域都起着举足轻重的作用,因此它的响应特性也是业界关注的重点.笔者研究了在更贴近实际情况的“斜坡”输入信号时多级RC链式电路的时域响应问题,通过建立一个特殊形式的变换矩阵,实现了任意形式的三对角矩阵的对称化,进一步实现了其对角化,得到其矩阵指数函数,并求解出多级RC链式电路各节点的时域响应的解析式.通过该方法实现了多级RC链式电路时延特性的建模,与波形松弛法和Elmore模型相比,笔者建立的响应模型的精确度远高于Elmore模型和经典及优化的波形松弛法的,低于多次迭代运算后的改进的波形松弛法的.笔者提出方法的运算量远低于需要进行迭代运算的波形松弛法的.此外,由于基于矩阵变换,笔者提出的方法适用于多级RC 链式电路时延特性的计算机建模.【相关文献】[1]KoláˇrováE.Statistical Estimates of S tochastic Solutions of RL Electrical Circuits[C]//IEEE International Conference on Industrial Technology.Piscataway:IEEE,2006:2546-2550. [2]Patil N,Gawalwad B,Sharma S.A Random Input-driven Resistor-capacitor Series Circuit[C]//International Conference on Recent Advancements in Electrical,Electronics and Control Engineering.Piscataway:IEEE,2011:100-103.[3]Rahman F,Parisa N.A Stochastic Perspective of RL Electrical Circuit Using Different Noise Terms[J].The International Journal for Computation andMathematics in Electrical and Electronic Engineering,2011,30(2):812-822.[4]Elmore W.The Transient Response of Damped Linear Network with Particular Regard to Wideband Amplifiers[J]. Journal of Applied Physics,1948,19(1):55-63.[5]Cataldo G,Mita R,Palumbo G,et al.RC-Chain:a SimpleModel of Delay with a Ramp Input[C]//13th IEEE International Conference on Electronics,Circuits andSystems.Piscataway:IEEE,2006:557-560.[6]Mita R,Palumbo G,PoliM.Propagation Delay of an RC-Chain with a Ramp Input[J].IEEETransactions on Circuits and Systems-Ⅱ:Express Briefs,2007,54(1):66-70.[7]GanderM,Ruehli A.Optimized Waveform RelaxationMethods for RC Type Circuits[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems-Ⅰ:Regular Papers,2004,51(4):755-768.[8]Al-KhaleelM,GanderM,Ruehli A.AMathematical Analysis of Optimized Waveform Relaxation for a Small RC Circuit [J].Applied NumericalMathematics,2013,75:61-76.。
电子科技大学 矩阵理论!ppt课件
( , ) H aibi i 1
则上式定义了一个内积,C n是酉空间.
返回
定义: 设1,L , n是酉空间V一组基,令aij ( i , j ),
则称矩阵A=(aij )为基1,L
,
的度量矩阵
n
,或Gram矩阵
.
定理:
设矩阵A=(aij
)为酉空间V的一组基1,L
,
的
n
度量矩阵,则
(1) AH A;
xi H Bx j ij .
返回
定理 6 设n n矩阵 A AH , B BH，且B正定，与B共扼 向量系x1 , x2 ,L , xn具有以下性质， （1） xi 0 ( i 1, 2,L ,n ) ; （2） x1 , x2 ,L , xn 线性无关 ; （3）i与xi满足方程Axi i Bxi ; （4）若令X ( x1 , x2 ,L , xn ) , X H BX E , X H AX diag( 1 , 2 ,L ,n )
定义 4 ( x, y) 0
向量 x和y正交,记为 x y
勾股定理： x y
|| x y ||2 || x ||2 || y ||2
垂线最短定理：欧氏空间Vn ( R) 中的一个固定向量 和一个子空间中各向量的距离“垂线最短”.
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定义5
n维欧氏空间V中向量1 ,2 ,L ,k的Gram行列式 :
b
(f (x), g(x)) a f ( x )g( x )dx
证明: C[a,b]是欧氏空间.
b
f ( x ), g( x ), a f ( x )g( x )dx 是唯一确定实数
返回
1
f
,
g
b
a
矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用
矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用【摘要】在现代科学技术的众多领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用，随着科技的发展，自动控制理论跨入了一个全新的阶段——现代控制理论，它主要研究具有高性能、高精度的多变量变参数系统的最优控制问题，而研究多变量系统的主要工具是矩阵理论。
因此，矩阵理论及其矩阵函数理论在现代控制理论中有着广泛而重要的应用。
本文主要介绍了矩阵理论在控制系统稳定性分析中的应用，重点讨论了两种李亚普诺夫方法。
【关键词】线性定常系统；非线性定常系统；矩阵函数；矩阵理论；雅可比矩阵1.引言一个自动控制系统要能正常工作，必须是一个稳定的系统。
例如，电压自动调节系统中保持点击电压为恒定的能力；电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。
稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰消失以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。
一个动态系统的稳定性，通常指系统的平衡状态是否稳定。
简单地说，是指系统在扰动消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能，它是系统的一个自身动态属性。
如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
稳定性和能控性、能观测性一样，均是系统的结构性质。
稳定性是子弹控制系统能否正常工作的先决条件，因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首要问题。
1892年，俄国学者李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。
该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。
基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性，因此，经典控制理论中的稳定性一般指输出（外部）稳定性；状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性，且全面揭示了系统的内部特性，因此，借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态（内部）稳定性。
考研六大热门专业利与弊 通信与信息系统
考研六大热门专业利与弊通信与信息系统◆专业介绍1、学科简介通信与信息系统是一级学科信息与通信工程下设的二级学科。
该专业是现代高新技术的重要组成部分，是信息社会的主要支柱，是国民经济高速发展的前提，国家的神经系统和命脉。
现代通信与信息技术正影响着我们生活的方方面面，在我国《2010年国民经济和社会发展的远景目标》中，对现代通信体系和国家信息基础设施提出了明确的目标，现代通信和信息技术及信息安全技术是实现这些目标的关键技术。
本学科主要的研究对象是以信息传输、信息交换以及信息网络为主体的各类通信与信息系统。
2、培养目标1.研究生应掌握通信科学、信息科学领域坚实的数理基础和系统的专门知识，并具有电子科学、计算机科学以及控制科学方面的一般理论与技术;2.能从事通信、信息科学及相关领域的科研开发与教学工作;3.较为熟练地掌握一门外国语，以便进行学术研讨;4.能在本学科及相关学科领域独立开展工作。
3、主要研究方向新一代通信网络、光纤宽带通信网、网络探测和网络管理、移动通信、宽带/高速无线通信、卫星通信、专用无线通信系统、网络与信息安全、电子商务、通信抗干扰系统、电子对抗系统、指挥自动化系统、卫星遥感系统、信息编码与信号传输、语音与图像处理及多媒体通信技术、通信信号处理、自适应信号处理、语音信号处理、图象处理等。
4、考试科目①101政治理论②201英语③301数学(一)④811信号与系统、通信原理(注：各招生单位研究方向和考试科目不同，在此以西安电子科技大学为例)5、相近专业与通信与信息系统专业相关的学科有：信号与信息处理◆就业前景1、就业方向：此专业几乎渗透到所有科学和国民经济的所有部门。
主要到国家各级管理部门、工商企业、金融机构、科研单位等部门从事开发、应用通信技术与设备的工作。
2、就业前景：(1)科学技术的重要性和该学科自身优势决定了其重要位置科学技术是第一生产力。
随着信息产业成为全球经济热点中的热点，我国的信息产业发展速度也逐步加快，目前已跃居全国工业之首，成为中国国民经济的第一支柱产业。
西安电子科技大学线性代数试卷及参考答案3
α1 = (1,1, 0 ) ,
T
α 2 = ( 0, 0,1)
T
同理，当 λ2 = 0 时，得线性无关的特征向量为 α 3 = ( −1,1, 0 ) ．
T
将 α1 , α 2 , α 3 单位化得
η1 =
1 1 T T T (1,1, 0 ) ，η2 = ( 0, 0,1) ，η3 = ( −1,1, 0 ) 2 2
n
0 0
L
0 0
L L
n −1 1− n
L
三、 （12 分）问 a, b 为何值时，线性方程组
⎧ x1 + x2 + 2 x3 + 3 x4 = 1; ⎪ x + 3 x + 6 x + x = 3; ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪3 x1 − x2 − ax3 + 15 x4 = 3; ⎪ ⎩ x1 − 5 x2 − 10 x3 + 12 x4 = b.
故 λ1 = −1 为 A 的三重特征值．
⎛ −3 1 −2 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 (λ1 E − A) X = 0 ．因 − E − A = −5 2 −3 → 0 1 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 1 ⎟ ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
得其基础解系中只含一个解向量 α = (−1, −1,1) ，从而属于 λ1 = −1 的线性无关的特征向
⎛1 ⎜ 0 初等行 三 解： A ⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝
( −1) 或
2
n −1
( n + 1)! ）
1 2 3 −1 1 2 0 2−a 2 0 0 3
1 ⎞ ⎟ 1 ⎟ = A1 4 ⎟ ⎟ b+5 ⎟ ⎠
电子科技大学矩阵理论!
1.上三角矩阵R 的逆 R 1 也是上三角矩阵,且对角 元是R 对角元的倒数;
2.两个上三角矩阵 R1、R2 的乘积 R1R2也是上三角
矩阵,且对角元是 R1与R2对角元之积; 3.酉矩阵U 的逆 U 1也是酉矩阵; 4.两个酉矩阵之积 U1U2也是酉矩阵.
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(3 )三角 |A | 不 B | ||A ||等 ||B || |式 ,A ,B P m n .
则称映 |||射 |为pmn上的矩阵 . 范数
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例 1 设APmn， 则
nm
|| A||m1
| aij |
j1i1
nm
1
|| A||m2(
| aij |2)2
j1i1
|A ||m | m i,j{a a i||j} x 1 i m 1 j n
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定义 2 设 |||a | : P m l R ,|||b | : P l n R ,
||||c:Pmn R是 矩 阵 范 数 ， 如 果 ||A|c B | ||A |a |||B |b |
则 称 矩 |||a |阵 ,|||b |和 范 |||c |数 相. 容 如果 ||A|B |||A ||||B ||
0 0 0 0 0 0
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定理 2 设 A C r m n ,且 A B 1 D 1 B 2 D 2 均 为 A 的最大秩分解，则
(1) 存在 r阶可逆Q， 矩使 阵得 B 1 B 2 Q D 1 Q 1 D 2
( 2 ) D 1 H ( D 1 D 1 H ) 1 ( B 1 H B 1 ) 1 B 1 H D 2 H (D 2 D 2 H ) 1 (B 2 H B 2 ) 1 B 2 H
电子科大矩阵理论06试题参考答案
2006级硕士研究生《矩阵理论》试卷一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯） 1、设m nA R⨯∈的奇异值为12n σσσ≥≥≥ ，则2221||||ni i A σ==∑. ( ⨯ )2、设n n A C ⨯∈，且有某种算子范数||||⋅，使得||||1A <，则11||()||1||||E A A -->-,其中E 为n 阶单位矩阵. ( ⨯ )111()()()()E E A E A E A A E A ---=--=---⇒11()()E A E A E A ---=+-⇒ 11||()||||()||E A E A E A ---=+-1||||||||||()||E A E A -≤+-⇒1||||1||()||1||||1||||E E A A A --≤=--3、设2H A E uu =-(其中，E 为n 阶单位矩阵，2||||1n u C u ∈=且)，则2||||m A =( ∨ )(2)H H HA E u u =- (2)H H E uu =-2H E uu =-A =(2)(2)H H HA A E u u E u u=--224H H H H E u u u u u u u u E=--+=2||||mA n∴4、设123424681101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的M -P 广义逆A +的秩()1rank A +=. ( ⨯ )5、设矩阵n n A C ⨯∈，0A ≠且，2||()||1H H A A A A +=则. ( ∨ ) ()H H B A A A A +=⇒H B B =⇒2||||()B B ρ=则；2B B =⇒01B ⇒的特征值为或者0A ≠⇒1B ⇒是的特征值()1H r B B =6、若A 为列满秩矩阵，则H H A A A 1)(-既是A 的左逆又是A 的M -P 广义逆A +.( ∨ )7、设n εεε,,,21 线性空间n V 的一组基，n n n V x x x x ∈++=εεε 2211，则. )0(||||||||||2222211≥++=i n n k x k x k x k x 是n V 上向量x 的范数. ( ⨯ )8、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01821022330A ，则A 有三个实特征值. ( ∨ )9、设G 为矩阵()m n r A C r n ⨯∈<的广义逆A -，A BD =为A 的最大秩分解，则r DGB =2||||. ( ⨯ ) 10、设)1()(>∈=⨯n C a A n n ij 为严格对角占优矩阵，),,,(22nn ii a a a diag D =，A D EB 1--=(E 为n 阶单位矩阵)，则B 的谱半径1)(≥B r . ( ⨯ )二、计算与证明（60分）1. 设矩阵U 是酉矩阵, 12diag(,,,)n A a a a = , 证明: UA 的所有特征值λ满足不等式{||}||{||}max min i i iia a λ≤≤. (10分)证： PAx x μ=⇒H H H H x A P x μ=⇒H H H x A Ax x x μ=⇒2222222211221||||||||||||||||nn n ii a x a x a x x μ=+++=⇒∑222222111||||||||nnniiii i i mx x Mx μ===≤≤⇒∑∑∑222||m M μ≤≤⇒||m M μ≤≤。
矩阵论 第二讲 西安电子科技大学 翟会清老师
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二、子空间的交与和
1.定义：设V1、V2是线性空间V的两个子空间，则
V1 V2 x | x V1 ,x V2
V1 V2 x y | x V1 ,y V2
分别称为V1和V2的交与和。
2014/2/24
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i i
k x p y
i i i i i
i
k x p y
z k'i xi
但是，x1、x2、〃〃〃、xm、y1、y2、〃〃〃、yn1－m是V1的一 个基。因此， pi 0
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pi 0
k x p y q z
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假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为0的数k1、 k2、〃〃〃、km、p1、p2、〃〃〃、pn1－m、q1、 q2、〃〃〃、qn2－m使
k x p y q z
i i i i
i i
0 z V1
z V1 V2
z qi z i V2
t 0
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这与其线性相关性矛盾，x1、x2、· · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt线性无 关， 所以： x1、x2、· · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt可作为 的基 （4）（1）：已知（4）成立 在 x 1、 x 2、 · · · 、xs、y1、y2、· · · 、yt这组基下
V1 V2 x y | x V1 , y V2
反映的是两个子空间的关系特殊。
西安科技大学(博士)参考书目
煤炭工业出版社2002年
科学出版社2001年
戴梅鄂等编
严蔚敏等编
长春地院等编
谭浩强主编
田金兰等编
薛禹群等编
邝孔武等编
萨师煊等编
汪应洛主编
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张兵等编
马如璋编
杜君文等编
刘君华编
张俊哲编
郑南宁编
倪振华主编
卢寿慈编
沈钟等编
赵德丰等编
吴穹等编
龚健雅
华南理工大学等
四校编
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何学秋等编
周光坰等编
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易继锴等编
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邓聚龙主编
陈宝智主编
王永庆等编
侯媛彬主编编
陈珩主编
王兆安等编
荣国斌主编
西安科技大学（博士）参考书目
单位代码：10704单位名称：西安科技大学联系人：杨善虎
电话：（029）85583845地址：西安市雁塔中路58号邮政编码：710054
清华大学出版社1999年
高等教育出版社1999年
高等教育出版社2000年
科学出版社1998年
北京大学出版社2000年
冶金工业出版社1999年
天津大学出版社2002年
西安交通大学出版社1999年
科学出版社1993年
西安交通大学出版社1991年
西安交通大学出版社0999年
轻工业出版社2001年
化学工业出版社1997年
312矿井开采沉陷学
313安全工程学
314流体力学
315有限单元法
316传热学
317热力学
318有机化学
319神经网络理论
西安电子科技大学《线性代数》2020试题A及答案
西安电子科技大学考试时间 120 分钟试 题1.考试形式闭卷□√ 开卷□ ；2.本试卷共八大题，满分100分一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.方程0184211111111132=--x x x 的根是（ ）（A ）1，-1（B ）1，2，-2（C ）0，1，2（D ）1，-1，22．设A 为n 阶方阵，且25A A E O +-=，则1(2)A E -+=( )(A)A E -, (B)E A +, (C)1()3A E +, (D)1()3A E -. 3.设矩阵,AB 都是n 阶矩阵，且0AB=，则矩阵A 和B 的秩（ ）（A ）至少有一个为0 , (B)都小于n,（C ）一个是0一个是n, (D)它们的和不大于n. 4.若向量组123,,ααα线性无关，124,,ααα线性相关，则（ ）（A ）1α必不可由234,,ααα线性表示, （B ）1α必可由234,,ααα线性表示, （C ）4α必不可由123,,ααα线性表示, （D ）4α必可由123,,ααα线性表示. 5. 二次型()22212312313,,224f x x x x x x x x =++-的正惯性指数为（ ） （A ）0, （B ）1 , （C ）2 , （D ）3.二、填空题（每小题4分，共20分）1.若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=9491A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110P ，则矩阵=20212020AP P2.向量空间(){}123123123,,|0,,,Tx x x x x x x x x ==-+=∈V x R 的维数是3.已知R(B )=2，且矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=9-75654321A ,则R(AB )= 4.向量()T23，=β在2R 的一组基()1=1,1Tα()2=0,1T-α下的坐标为5.已知三阶矩阵A 的特征值为1，3，－2，那么 |A 2+2A －2E | = 三、（10分）计算n 阶行列式5333353333533335 =n D四、（15分）当b a ,为何值时，线性方程组()⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--+=++=++bx a x x b x x x x x x 22428852432321321321有唯一解、无解、无穷多解？在有无穷多解时求其通解。
5西安电子科技大学矩阵论
– 当且仅当x=0时, (x ,x)=0
( x , ky ) = k ( x , y )
lexu@
′= x3 x3 + k31 y1 + k32 y2
′ x2 ′| | x2
′ x3 ′| | x3
k31 = − ( x3 , y1 ) k32 = − ( x3 , y2 )
xi′ yi = | xi′ |
kij = − xi , y j
(
)
. . .
矩阵论
′ xi + ∑ kij y j x = i
{x , x
' 1
' 2
' , , x n
}
' ' 且 [x1' , x 2 ] = [x1 , x 2 ,, x n ]C 则 , , x n
B = C −1 AC
定理
n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线 性变换在不同基下的矩阵
lexu@ 矩阵论
= x ( y1 , x) y1 + ( y2 , x) y2 + + ( yn , x) yn
证明
yi
lexu@
x= ξ1 y1 + ξ 2 y2 + + ξ n yn
(i = 1, 2, , n)
ξi = ( yi , x)
矩阵论
15
正规矩阵 实对称矩阵与厄米矩阵
矩阵论
11
内积空间 以n维向量空间为例
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′ xi + ∑ kij y j x = i
j =1
i −1
4
正规矩阵 实对称矩阵与厄米矩阵
实对称矩阵 厄米矩阵 实反对称矩阵 反厄米矩阵
T
AT = A AH = A
AT = − A AH = − A
T
实矩阵 复矩阵
正交矩阵和酉矩阵
正交矩阵 A = A AA = I H H A = A AA = I 酉矩阵
d1 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 3) → (λ − 2)2 和(λ − 3) d 2 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 3)5 → (λ − 2)2 和(λ − 3)5
lexu@
矩阵论
23
Jordan标准形 Jordan标准形的求法
求出特征矩阵（λI - A）的初等因子组
矩阵论
7
第5讲 Jordan标准形 酉对角化充要条件 Jordan标准形
lexu@
矩阵论
8
酉对角化充要条件 定理
n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复）
• 不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 • 实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数，则可正交相似对角化）
λ − 2 −1 1 −1 λ − 2 0 1 1 −1 0 1 λ−3
1 1 0 −1 =− (λ 2)(3λ − 4)
λ−2
−1 1 0
0 1 1 0 0 1 = −(λ − 4)2 λ − 4 −1 0 0 0 λ −4
矩阵论
27
lexu@
Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组- D1 D2 D3 D4
公因式为1
lexu@
矩阵论
28
Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组- D5 D5 (λ = ) (λ − 2)
0 1 1 0 λ − 2 −1 −1 λ − 2 0 0 1 − 1 1 1 λ − 4 −1 0 1 ( λ I − A) = − − 0 1 0 λ 3 1 0 0 0 0 0 λ −4 0 − 1 0 0 0 1 λ − 3
λ2
0 λn
lexu@
矩阵论
11
酉对角化充要条件
λ1 2 H Λ Λ=
λ2 + t12
2
2
lexu@
矩阵论
12
酉对角化充要条件
lexu@
24
Jordan标准形 Jordan标准形的求法
合成Jordan矩阵
J 1 J= 0
J2
0 Js
lexu@
矩阵论
25
Jordan标准形 例1 求矩阵A 的Jordan标准形
2 1 0 −1 −1 0 1 2 0 0 −1 1 − 1 − 1 4 1 0 − 1 A= 0 −1 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 −1 3
d 6 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 4)3
lexu@
矩阵论
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Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组-D4
0 1 1 0 λ − 2 −1 −1 λ − 2 − 0 0 1 1 1 λ − 4 −1 1 0 1 ( λ I − A) = − − λ 0 1 0 3 1 0 0 λ −4 0 0 0 0 λ − 3 0 0 0 1 −1
• 设Di(λ)为A(λ)的所有i 阶子行列式的最大公因式 • 则有
di ( λ ) = Di ( λ ) Di −1 ( λ )
D0 ( λ ) = 1
– Di(λ)称为i 阶行列式因子
lexu@
矩阵论
22
Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式
将每个不变因子化为不可约因式，这些不可约 因式称为A(λ)的初等因子 全体初等因子称为初等因子组
• （2）分配律 (x , y + z)= (x , y)+ (x , z) • （3）齐次律 (kx , y) = k (x , y) • （4）非负性 ， (x , x)≥0
– 当且仅当x=0时, (x ,x)=0
( x , ky ) = k ( x , y )
lexu@
lexu@ 矩阵论
6
酉对角化 Schur引理
设 λ1 , λ 2 , , λ n 是 n 阶方阵 A 的特征值 则存在酉矩阵U，使
∗ λ1 λ2 −1 U AU = λn 0
lexu@
0 J 1 (λ1 ) J ( λ ) 2 2 J= J s ( λ s ) 0
J i (λ i ) = 0 0 1 λi
λi
Jordan块矩阵
lexu@
矩阵论
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Jordan标准形 说明
lexu@
矩阵论
5
正规矩阵 正规矩阵
实矩阵A
• 若满足ATA = AAT ，则A为实正规矩阵
复矩阵A
• 若满足AHA = AAH ，则A为复正规矩阵
显然
• 实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规 矩阵 • 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵
( λ − λ1 )
m1
写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个 Jordan块矩阵） 0 λi 1 λ i (λ − λ i ) m → J i (λ i ) =
i
0
1 λi m ×m i i
lexu@
矩阵论
矩阵论
19
a1n (λ ) a 2 n ( λ ) a nn (λ )
lexu@
Jordan标准形 多项式矩阵的初等变换
初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性 的前提下形式上变得简单
1. 互换两行（列） 2. 以非零常数乘以某行（列）
′= x3 x3 + k31 y1 + k32 y2
′ x2 ′| | x2
′ x3 ′| | x3
k31 = − ( x3 , y1 ) k32 = − ( x3 , y2 )
kij = − xi , y j
(
)
xi′ yi = | xi′ |
lexu@
. ξi = ( yi , x) . x= ξ1 y1 + ξ 2 y2 + &年10月29日星期三
上讲回顾 第五讲 矩阵对角化
内积空间 正规矩阵 酉对角化
lexu@
矩阵论
2
内积空间
酉空间
设V是复线性空间（k∈C），对于V中任何两个元素x、 y均按某一规则存在一个复数与之对应，记为(x , y) 若它满足以下四个性质，则称(x , y)为x与y的内积 定义了内积的复线性空间称为酉空间 • （1）交换律 ( x , y ) = ( y , x )
矩阵论
3
内积空间 Gram-Schmidt正交化手续
设 为一组线性无关的元素或向量 则可进行如下正交归一化操作
x y1 = 1 | x1 | y2 =
y3 =
• 即正交规范化或正交单位化
k21 = −( x2 , y1 )
′ x2 + k21 y1 = ′ , y1 ) = ( x2 ( x2 , y1 ) + k21 ( y1 , y1 ) = 0 x 2 ′, y ( x3 = ( x3 , y1 ) + k = 0 1) 31 ′, y ( x3 = ( x 3 , y2 ) + k = 0 2) 32
这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵 的秩和属性
3. 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）
lexu@
矩阵论
20
Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式
采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式
0 d 1 (λ ) d 2 (λ ) A(λ ) → d r (λ ) 0 0 0
lexu@ 矩阵论
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Jordan标准形 多项式矩阵（又称为λ阵）
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a (λ ) 21 22 A(λ ) = a n1 ( λ ) a n 2 ( λ )
称为λ的多项式矩阵 矩阵元素为λ的多项式
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矩阵论
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酉对角化充要条件 定理
n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复）
• [证明] • 由Schur引理，存在酉矩阵U使得
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矩阵论
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酉对角化充要条件
显然
λ1 ΛH = (U H AU ) H = t ij
λ − 2 −1 0 1 0 −1 λ − 2 0 1 −1 −(λ − 2)(λ − 4)2 1 1 λ −4 0 1 = 0 1 0 −1 0 0 0 0 λ −4 0
lexu@
λ − 2 −1 1 1 0 −1 λ − 2 −1 0 1 −1 0 1 1 1= 4(λ − 2)3 0 1 λ − 3 −1 0 −1 0 0 1 λ−3
矩阵论
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酉对角化充要条件 不能对角化的矩阵一定具有多重特征值， 对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标 准形式，使之尽量接近对角化的形式—— Jordan标准形
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矩阵论
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Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理