6西安电子科技大学矩阵论

d1 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 3) → (λ − 2)2 和(λ − 3) d 2 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 3)5 → (λ − 2)2 和(λ − 3)5
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Jordan标准形 Jordan标准形的求法
求出特征矩阵（λI - A）的初等因子组
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a1n (λ ) a 2 n ( λ ) a nn (λ )
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Jordan标准形 多项式矩阵的初等变换
初等变换的目的是为了在保持矩阵原有属性 的前提下形式上变得简单
1. 互换两行（列） 2. 以非零常数乘以某行（列）
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酉对角化充要条件 定理
n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复）
• [证明] • 由Schur引理，存在酉矩阵U使得
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酉对角化充要条件
显然
λ1 ΛH = (U H AU ) H = t ij
λ1 , λ 2 , , λ s 为A的特征值，可以是多重的 J i (λi ) 中的特征值全为 λi 对于不同的 i、j，有可能 λi = λ j
• 即多重特征值可能对应多个Jordan块矩阵
Jordan标准形是唯一的
• 这种唯一性是指各Jordan块矩阵的阶数和对应的特 征值是唯一的 • 但各Jordan块矩阵的位置可以变化
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3
内积空间 Gram-Schmidt正交化手续
设 为一组线性无关的元素或向量 则可进行如下正交归一化操作
x y1 = 1 | x1 | y2 =
y3 =
• 即正交规范化或正交单位化
k21 = −( x2 , y1 )
′ x2 + k21 y1 = ′ , y1 ) = ( x2 ( x2 , y1 ) + k21 ( y1 , y1 ) = 0 x 2 ′, y ( x3 = ( x3 , y1 ) + k = 0 1) 31 ′, y ( x3 = ( x 3 , y2 ) + k = 0 2) 32
• 设Di(λ)为A(λ)的所有i 阶子行列式的最大公因式 • 则有
di ( λ ) = Di ( λ ) Di −1 ( λ )
D0 ( λ ) = 1
– Di(λ)称为i 阶行列式因子
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Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式
将每个不变因子化为不可约因式，这些不可约 因式称为A(λ)的初等因子 全体初等因子称为初等因子组
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酉对角化充要条件 说明
1.不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆 变换将其对角化
• 例如
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酉对角化充要条件
2.实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角 化。（若特征值全为实数，则可正交相似对角 化）
正规阵，但不可能对角化
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酉对角化充要条件 不能对角化的矩阵一定具有多重特征值， 对于不能对角化的矩阵也希望找到某种标 准形式，使之尽量接近对角化的形式—— Jordan标准形
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Jordan标准形 Jordan标准形的存在定理
任何方阵A均可通过某一相似变换化为如下 λ i 1 Jordan标准形
这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵 的秩和属性
3. 将某行Βιβλιοθήκη Baidu列）乘以λ的多项式加到另一行（列）
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Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式
采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式
0 d 1 (λ ) d 2 (λ ) A(λ ) → d r (λ ) 0 0 0
• 多项式di(λ)是首一多项式（首项系数为1，即最高幂 次项的系数为1） • 且di(λ)是di+1(λ)的因式
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Jordan标准形 多项式矩阵的标准形式
多项式矩阵的标准形式不随所采用的初等变换 而变，故称di(λ)为不变因子。 不变因子可采用如下方法求得
矩 阵 论
主讲教师：徐乐
2014年10月29日星期三
上讲回顾 第五讲 矩阵对角化
内积空间 正规矩阵 酉对角化
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内积空间
酉空间
设V是复线性空间（k∈C），对于V中任何两个元素x、 y均按某一规则存在一个复数与之对应，记为(x , y) 若它满足以下四个性质，则称(x , y)为x与y的内积 定义了内积的复线性空间称为酉空间 • （1）交换律 ( x , y ) = ( y , x )
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Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组-D4
0 1 1 0 λ − 2 −1 −1 λ − 2 − 0 0 1 1 1 λ − 4 −1 1 0 1 ( λ I − A) = − − λ 0 1 0 3 1 0 0 λ −4 0 0 0 0 λ − 3 0 0 0 1 −1
λ2
0 λn
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酉对角化充要条件
λ1 2 H Λ Λ=
λ2 + t12
2
2

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酉对角化充要条件
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′ xi + ∑ kij y j x = i
j =1
i −1
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正规矩阵 实对称矩阵与厄米矩阵
实对称矩阵 厄米矩阵 实反对称矩阵 反厄米矩阵
T
AT = A AH = A
AT = − A AH = − A
T
实矩阵 复矩阵
正交矩阵和酉矩阵
正交矩阵 A = A AA = I H H A = A AA = I 酉矩阵
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Jordan标准形 Jordan标准形的求法
合成Jordan矩阵
J 1 J= 0
J2
0 Js
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Jordan标准形 例1 求矩阵A 的Jordan标准形
2 1 0 −1 −1 0 1 2 0 0 −1 1 − 1 − 1 4 1 0 − 1 A= 0 −1 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 −1 3
′= x3 x3 + k31 y1 + k32 y2
′ x2 ′| | x2
′ x3 ′| | x3
k31 = − ( x3 , y1 ) k32 = − ( x3 , y2 )
kij = − xi , y j
(
)
xi′ yi = | xi′ |
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. ξi = ( yi , x) . x= ξ1 y1 + ξ 2 y2 + + ξ n yn
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Jordan标准形 多项式矩阵（又称为λ阵）
a11 (λ ) a12 (λ ) a (λ ) a (λ ) 21 22 A(λ ) = a n1 ( λ ) a n 2 ( λ )
称为λ的多项式矩阵 矩阵元素为λ的多项式
0 J 1 (λ1 ) J ( λ ) 2 2 J= J s ( λ s ) 0
J i (λ i ) = 0 0 1 λi
λi
Jordan块矩阵
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Jordan标准形 说明
( λ − λ1 )
m1
写出各Jordan块矩阵（一个初等因子对应一个 Jordan块矩阵） 0 λi 1 λ i (λ − λ i ) m → J i (λ i ) =
i
0

1 λi m ×m i i
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第5讲 Jordan标准形 酉对角化充要条件 Jordan标准形
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酉对角化充要条件 定理
n阶方阵A，酉相似于对角阵的充要条件是 A为正规阵（实或复）
• 不能酉对角化的矩阵仍有可能采用其它可逆变换将 其对角化 • 实正规矩阵一般不能通过正交相似变换对角化。 （若特征值全为实数，则可正交相似对角化）
• （2）分配律 (x , y + z)= (x , y)+ (x , z) • （3）齐次律 (kx , y) = k (x , y) • （4）非负性 ， (x , x)≥0
– 当且仅当x=0时, (x ,x)=0
( x , ky ) = k ( x , y )
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Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组- D6
• 特征值行列式为
D6 (λ ) = (λ − 2) (λ − 4)
3
3
Di ( λ ) di ( λ ) = Di −1 ( λ )
= d d= d= d= 1 1 (λ ) 2 (λ ) 3 (λ ) 4 (λ ) = d 5 (λ ) (λ − 2)
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5
正规矩阵 正规矩阵
实矩阵A
• 若满足ATA = AAT ，则A为实正规矩阵
复矩阵A
• 若满足AHA = AAH ，则A为复正规矩阵
显然
• 实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规 矩阵 • 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵
λ − 2 −1 1 −1 λ − 2 0 1 1 −1 0 1 λ−3
1 1 0 −1 =− (λ 2)(3λ − 4)
λ−2
−1 1 0
0 1 1 0 0 1 = −(λ − 4)2 λ − 4 −1 0 0 0 λ −4
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Jordan标准形
d 6 (λ ) = (λ − 2)2 (λ − 4)3
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酉对角化 Schur引理
设 λ1 , λ 2 , , λ n 是 n 阶方阵 A 的特征值 则存在酉矩阵U，使
∗ λ1 λ2 −1 U AU = λn 0
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λ − 2 −1 0 1 0 −1 λ − 2 0 1 −1 −(λ − 2)(λ − 4)2 1 1 λ −4 0 1 = 0 1 0 −1 0 0 0 0 λ −4 0
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λ − 2 −1 1 1 0 −1 λ − 2 −1 0 1 −1 0 1 1 1= 4(λ − 2)3 0 1 λ − 3 −1 0 −1 0 0 1 λ−3
Step1:特征矩阵初等因子组- D1 D2 D3 D4
公因式为1
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Jordan标准形
Step1:特征矩阵初等因子组- D5 D5 (λ = ) (λ − 2)
0 1 1 0 λ − 2 −1 −1 λ − 2 0 0 1 − 1 1 1 λ − 4 −1 0 1 ( λ I − A) = − − 0 1 0 λ 3 1 0 0 0 0 0 λ −4 0 − 1 0 0 0 1 λ − 3