2015年上高中教师资格证数学真题及答案

D．对任意数列 {xn } ， xn x0 ， 0, N , n N 有 | f ( xn ) f ( x0 ) | 4．三次函数 y ax3 bx 2 cx d 的导函数图像如图 1，
则此三次函数的图像是（
） 。 y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0 A． B．
x
y
0
x
C． A． x 是 f ( x) 的因式 B． x 整除 f ( x) C． ( , 0) 是函数 y f ( x) 的图像与 x 轴的交点 D． f ( ) 0 6． x 2 xy y 2 1 表示的曲线是（ ） 。
1 1 9 5 1 )(1 ) 1 。 10 6 10 6 4 1 。 4
显然 P2 P 1 ，所以走 A-C-D 线路发生堵车概率最小，概率为
11． 【答案】证明：由已知可得，整系数方程 3x bx cx 8 0 可分解为
3
2
qx - p lx2 mx n 0 ，其中 l，m，n 均为整数，
f ( xn ) f ( x0 ) A．对任意数列 {xn } ， xn x0 ，有 lim n
B． 0, 0 ，使得 | x x0 | ，有 | f ( x) f ( x0 ) |
f ( xn ) f ( x0 ) C．存在数列 {xn } ， xn x0 ，有 lim n
2 2
ab ab (a 0, b 0) 成立。 2
13． 【参考答案】 尺规作图的基本要求： （1）尺规作图使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同；
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一 起，不可以在上画刻度。 （3）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。 古希腊时期“几何作图三大问题” ：这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直 到十九世纪被证实这是不可能的： （1）立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 （2）化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 （3）三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
二、简答题（本大题共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
9．某投资人本金为 A 元。投资策略为： （1）一年连续投资 n 次，每个投资周期为
1 年； （2） n
在每个投资周期中，利率均为 回答下列问题：
x ； （3）总是连本带息滚动投资。 n
（1）一年后的资金总额？ （2）当 n 时，资金总额是否趋于无穷？
2015 年上半年中小学教师资格考试 数学学科知识与教学能力试题（高级中学）参考答案及解析
一、单项选择题
【答案】B。解析：集合 M { y | y [1,1]} ， N { y | y 1} ，所以 M N = {1} 。 1． 2． 【答案】B。 （1）当 a 0, b 0 时， a b a b a a b b ； （2） a 0, b 0 时，
t 表示的曲线是椭圆。
二、简答题
9． 【答案】解析： （1）第 1 个投资周期后资金为 A(1+
x )元， n
第 2 个投资周期后资金总额为 A(1+ ． ． ． ． ． ．
x 2 ) 元， n
第 n 个投资周期后，即一年后资金总额为 A(1+
x n ) 元。 n
x n x x （2） lim A(1 ) A lim[(1 ) x ] Aex n n n n
4 4 3 3 3 3 a b a 4 b4 a3 a b3 b ； （3）当 a 0，b 0 时，显然有 a b a a b b 成立，
因此 a b 是 a a b b 成立的充分必要条件。 3． 【 答 案 】 C 。 解 析 ： 设 函 数 f ( x)
3 3
1 3
x
） 。
C． ） 。
D． (1,1]
2． a, b R ， “ a b ”是“ a | a | b | b | ”成立的（ A．充分条件但不是必要条件 C．必要条件但不是充分条件
B．充分必要条件 D．以上都不是 ） 。
3．与命题“ y f ( x) 在 x0 连续”不等价 的命题是（ ．．．
12．举例说明运用分析法证明数学结论的思维过程和特点。
13．简述“尺规作图”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的具体内容。
三、解答题（本大题 1 小题，10 分）
x 2 y 2 1, 14．已知方程 表示的几何图形是椭圆，求出其短半轴与长半轴的长度。 px qy z 0
分析法证明的特点：从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，其逐步推理，实际上是寻找使 结论成立的充分条件。 例如：对于任意的 a 0, b 0 ，满足基本不等式
ab ab 的证明过程。 2
分析法证明：要证
ab ab 2
只需证： a b 2 ab 只需证： a b 2 ab 0 只需证： ( a b ) 0 因为 ( a b ) 0 成立 所以
cos sin
坐标系中的坐标。则
，y 为旋转后 ，可得
sin
cos
（ α 为逆时针旋转的角度） ，当 α =45° 时，
‴
‴
故 ‴ ‴
。将
‴
代入原方程
‴
‴
t，可得
t
‴
t。
7． 【答案】D。解析：A 选项是起止框（终端框） ，B 选项是输入、输出框，C 选项是处理框（执 行框） ，D 选项是判断框。 8． 【答案】D。解析：学生数学学习评价的基本理念： “评价的主要目的是全面了解学生的数学 学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学；应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。 对数学学习的评价要关注学生的学习结果， 更要关注他们学习的过程； 要关注学生数学学习的水平， 更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立信心。 ”
六、教学设计题（本大题 1 小题，30 分）
17． “两角差的余弦公式”是高中数学必修 4 中的内容“经历用向量的数量积推出两角差的余弦 公式的过程，进一步体会向量方法的作用”请完成“两角差的余弦公式推导过程”教学设计中的下 列任务： （1）分析学生已有的知识基础； （2）确定学生学习的难点； （3）写出推导过程。
2 2
。
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15． 【参考答案】 数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如 函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时， 应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺 旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。 例如，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。因此， 教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求，教材可以 将函数内容的学习分为三个主要阶段： 第一阶段，通过一些具体实例，体会数集之间的一种特殊的对应关系。从学生已掌握的具体函
10．某人从 A 处开车到 D 处上班，若各路段发生堵车事件是相互独立的，发生堵车的概率如图
2 所示（例如路段 AC 发生堵车的概率是 最小，并计算此概率。
1 ） 。请选择一条由 A 到 D 的路线，使得发生堵车的概率 10
图2
11． x 除 3。
p 3 2 是整系数方程 3 x bx cx 8 0 的根，其中 p，q 互素，证明：p 整除 8，q 整 q
2015 年上半年中小学教师资格证考试 数学学科知识与教学能力试题（高中数学）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）在每小题列出 的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
1．已知集合 M { y | y x , x [1,1]}, N { y | y 3 , x 0} ，则集合 M N =（ A． ( ,1] B． {1}
D． ） 。
5．设 x 是代数方程 f ( x) =0 的根，则下列结论不正确 的是（ ．．．
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线 ） 。
D．两条相交直线
7．下列图形符号中表示算法程序“判断框”的是（
A．
B．
C． 8．下面是关于学生数学学习评价的认识：
D．
①通过考查学生的知识技能就可以对学生的数学学习进行全面评价 ②通过考查学生的情感与态度就可以对学生的数学学习水平进行评价 ③数学学习的评价重在学习过程，对于学习结果不必看重 ④数学学习的评价重在激励学生学习，而不是改进教师教学 其中，不正确的为（ A．③④ ） 。 B．①②③ C．①②④ D．①②③④
展开后，得 lqx mq - lp x nq - mp x -np 0
3 2
与原方程比较得， lp 3， np 8 。 因为 l，n 均为整数，所以 p 整除 8，q 整除 3。 12． 【参考答案】 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的 条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法。 分析法证明的思维过程：用 Q 表示要证明的结论，则分析法的思维过程可用框图表示为：
而r
x 2 y 2 z 2 1 z 2 1 ( px qy )2 ，由柯西不等式得
r 1 ( px qy )2 1 ( p 2 q 2 )( x 2 y 2 ) 1 p 2 q 2 ， 当且仅当 py=qx 时， 取等号。
故椭圆的短半轴长为 1，长半轴长为 1 p q
3
3
1 , x为有理数 0 ，其他
， xn
n 1 ； 则 有 xn ， 2n 1 2
1 lim f ( xn ) f ( ) 1 ，但是 f ( x ) 处处不连续。 n 2
4． 【答案】B。解析： f ( x) 在某个区间 I 内有导数，则 f '( x) 0(x I) f '( x) 0 在 I 内为 增函数； f '( x) 0(x I) f ( x) 在 I 内为减函数。结合图 1 中导函数的函数值从左到右依次大于 0、小于 0、大于 0，因此原函数图象从左到右变化趋势依次是单调递增、单调递减、单调递增。因 此选 B。 5． 【答案】D。解析：由于 x 是代数方程 f ( x) 0 的根，固有 f ( ) 0 ， x 是 f ( x) 的 因式， x 整除 f ( x) ， ( , 0) 是函数 y f ( x) 的图像与 x 轴的交点，但是不一定有 f '( ) 0 ， 比如 f ( x) x 2 。 6． 【答案】A。解析：由旋转变换的矩阵表示，设 ，y 为原坐标系中坐标，
三、解答题
14． 【答案】已知椭圆即为柱面 x y 1 与平面π：px+qy+z=0 的交线。 平面π经过坐标原点，椭圆的中心在坐标原点。设椭圆上任一点 P（x，y，z） ，则原点 O 与 P 的距离 r 的最大、小值即为椭圆的长半轴与短半轴长。
2 2
r x 2 y 2 z 2 1 z 2 ，当 z=0 时， rmin 1
四、论述题（本大题 1 小题，15 分）
15．以高中阶段的函数概念为例，阐述数学课程内容的呈现如何体现螺旋上升的原则？
五、案例分析题（本大题 1 小题，20 分）阅读案例，并回答问题。
16．方式 1．实数有加法运算，那么下列集合的关系呢？ 方式 2．班里有会弹钢琴的，会打拳击的，会……（给出集合的并集的定义） 方式 3．前面学习了集合，集合的表示、基本关系，接下来呢…… （1）分析三种引入方式的特点； （6 分） （2）对于方式 3，教师可以引导学生进一步提出哪些问题； （6 分） （3）数学概念引入的关键点是什么？（4 分）如何使数学概念的引入更加自然？（4 分）
即当 n 时，资金总额趋于 Aex 元，不会趋于无穷。 10． 【答案】解析：由 A 到 D 的线路有两条分别是 A-B-D，A-C-D。 走 A-B-D 发生堵车的概率为 P 1 1 (1 )(1
n
1 5
1 4 11 4 ) 1 ， 12 5 12 15
走 A-C-D 发生堵车的概率为 P2 1 (1