_统计计算_09随机模拟计算——随机模拟方法的特点

内容和要求

•随机模拟的基本方法；用随机模拟方法求解确定性问题；常用随机过程的模拟；模拟方法在随机服务系统中的应用。

•1．了解随机模拟方法的特点、基本步骤；•2．熟练掌握求解确定性问题的随机模拟方法；•3．掌握常见随机过程的模拟方法；

•4．能够利用模拟方法进行服务系统的随机模拟。

Monte-Carlo 方法•一、MC 的起源和发展

Buffon试验

排队系统模拟：M/G/1排队系统•二、MC 的原理

•三、随机数的产生原理与IMSL库均匀分布U(0,1)的随机数的产生

其他各种分布的随机数的产生

随机过程模拟

•四、MC的应用举例

定积分的MC计算

随机微分方程的数值模拟

•五、EM算法及其MCMC方法

一、MC 的起源和发展

•随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯·诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，Monte Carlo方法也是他的功劳。

•事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率π的值。这个著名的Buffon试验是Monte Carlo方法的最早的尝试！

•历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过呢，他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。

•在大众的心目中，科学的代言人是心不在焉的牛顿或者爆炸式发型的爱因斯坦，但这只是传统形象，比他们更了解现代计算技术的冯·诺伊曼是个衣着考究，风度翩翩的人物，他说：纯粹数学和应用数学的许多分支非常需要计算工具，用以打破目前由于纯粹分析的研究方法不能解决非线性问题而形成的停滞状态。•Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。

排队系统模拟：M/G/1排队系统

关心的指标：

（１）时刻t时，系统中的顾客数；即队长的分布；

（２）顾客的等待时间；

（３）服务的忙碌程度；（４）．．．．．．．

用最朴素的Monte-Carlo方法可以得到这些指标的估计．

二、MC 的原理

•应用Monte Carlo方法求解工程技术问题可以分为两类：

•确定性问题

•随机性问题

思路：

•1、针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。

•2、根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数，再进行随机模拟试验。

思路：

•3、根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。

•4、按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。

•5、统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。

•6、必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。

三、随机数的产生原理与IMSL库•随机数的产生是实现MC计算的先决条件。而大多数概率分布的随机数的产生都是基于均

匀分布U(0,1)的随机数。

•首先，介绍服从均匀分布U(0,1)的随机数的产生方法。

•其次，介绍服从其他各种分布的随机数的产生方法。以及服从正态分布的随机数的产生方法。

•接下来，介绍随机过程模拟。

•最后，关于随机数的几点注。

均匀分布U(0,1)的随机数的产生

•产生均匀分布的标准算法在很多高级计算机语言的书都可以看到。算法简单，容易实现。使用者可以自己手动编程实现。IMSL统计库中也提供给我们用于产生均匀分布的各种函数。我们的重点是怎样通过均匀分布产生服从其他分布的随机数。因此，直接使用IMSL提供的可靠安全的标准函数，当然不用费事了。

IMSL库中的函数使用

•RNSET: 种子的设定

•CALL RNSET (ISEED)•RNOPT:产生器的类型的设定

•CALL RNOPT (IOPT)•RNUN/DRNUN: 产生均匀分布的随机数•CALL RNUN (NR, R)

其他各种分布的随机数的产生

•基本方法有如下三种：

•逆变换法

•合成法

•筛选法

逆变换法

•设随机变量的分布函数为，定义

•定理设随机变量服从上的均匀分布，

则的分布函数为。

•因此，要产生来自的随机数，只要先产生

来自的随机数，然后计算即可。

•其步骤为

•X ()x F ()(){}1

0,:inf 1≤≤≥=−y y x F x y F U )1,0(()U F X 1−=()x F ()x F ()1,0U ()u F 1−()()

⎩⎨⎧=−u F x u U 11,0计算，抽取由

IMSL库中的函数使用

•RNSET:种子的设定

•CALL RNSET (ISEED)•RNOPT:产生器的类型的设定

•CALL RNOPT (IOPT)•RNNOA:产生服从标准正态分布的伪随机数•CALL RNNOA (NR, R)