应用高等数学第六章课件共38页

二 级数的基本性质
性质 1
若级数
un
n 1
收敛，则一般项un 的极限为零，
u 即 lim n
n=0.
想一想：
（1）当时,级数收敛还是发散？如果不存在，或虽然存在但不为零，该级
数发散吗？
（2） lim n
un
= 0 时，级数
n 1
un
收敛吗？
例 4 判别级数 n 0.01 的敛散性. n1
例
例7
判别正项级数
nn n!
的敛散性.
2n
例 8 判别正项级数 n1 n(n 1) 的敛散性.
§6.3 交错级数
本节我们讨论各项具有任意正负号的级数的敛散性，首先我们讨论其 中最简单而又最重要的特殊形式的级数.
5
判别级数
n1
(
1 2n
1 3n
)
的敛散性..
性质 2 若级数 un 收敛， k 为常数，则级数 kun 也收敛，且级数
n 1
n1
kun = k un ；如果级数
vn 发散， k 为非零常数，则级数
kvn 也发
n1
n 1
n 1
n1
散.
性质 3 若级数 un 与 vn 都收敛，则级数 (un vn )
u1 u2 u3 un 的和为
常数项无穷级数，也称为数项级数，简称级数,记为 un ， n 1
即 un u1 u2 u3 un ， n1
其中un 称为级数的
一般项或通项. 例如：
1
n1 n
1 1 1 1 234
1 n
称为调和级数，其通项为 u n =
1 n
；
aq n1 a aq aqn1 称为几何级数，其通
定义 6.2
若级数 un 的部分和有极限 S，即 n 1
lim
n
Sn
S ，则称级数
un
n 1
收敛，并称 S 为此级数的和，记作 un S ；若{ S n }的极限不存在，则 n 1
称级数 un 发散，发散级数没有和. n 1
例如：
1
n1 n
1
1 2
1 3
1 4
1 n
称为调和级数，其通项为 u n
我们根据数列{ Sn }有没有极限，来判断无穷级数 un 的收敛与发散. n 1
定义 2
若级数 u n 的部分和有极限 S，即 n 1
lim
n
Sn
S ，则称级数 un n 1
收
敛，并称 S 为此级数的和，记作 un S ， n1
此时也称级数 u n 收敛于 S .若{ Sn }的极限不存在，则称级数 un 发散.发
例 2
1 讨论正项级数 n1 n p
1 1 2p
1 3p
1 np
的
敛散性.
例 3 判别下列正项级数的敛散性：
1
（1） n1 n 2 1 ；
1
(2) n1 ln(n 1) ；
例 4 判别下列正项级数的敛散性：
1
(3) n1 2n 3 .
1
1
n 1
（1）
n1
4n3 5 ；
（2） n1
散.但加括号后得到的新级数收敛，而原级数就不一定收敛.
如级数 (11) (11) 收敛，而级数 1111 (1)n1 发散.
§6.2 正项级数
一 正项级数定义
定义 3 若 un 0 (n 1,2, ) ，则称级数
un u1 u2 u3
n1
二 正项级数敛散性的判定
1．比较判别法则
=
1 n
；
u
aqn1 a aq aqn1 称为几何级数，其通项为
n aq n1 ，
n 1
都是数项级数.
n 项实（复）数之和
S n u1 u2 u3 un
称为级数
u
n
的前
n
项部分和，简称部分和，级数 un
的前
n
项
n 1
n 1
部分和数列{ Sn } 即
S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , , Sn u1 u2 un，
n 1
n 1
散级数没有和.
当级数 un 收敛时称 rn S S n un1 un2 为级数 n 1
un
n 1
的余项.显然级数 un n 1
收敛的充要条件是
lim
n
rn
0.
1
例1
判别级数 n1
n(n 1) 的敛散性.
n
例2
判别级数 ln n 1
n 1 的敛散性.
例 3 讨论几何级数 aq n1 ( a 0 )的敛散性. n 1
n 1
项为 u n aq n1，都是数项级数.
Sn u1 u2 u3 un
称为级数
un
的前
n
项部分和，简称部分和，级数
un
的前
n
项部分和
n 1
n 1
数列{ S n }即 S1 u1, S2 u1 u2 , S3 u1 u2 u3 , , Sn u1 u2 un， .
第六章 无穷级数
本章重点:
1、常数项级数的概念和性质； 2、正项级数的定义及判别法则； 3、交错级数的定义及判别法则； 4、幂级数的概念和性质； 5、函数的幂级数展开。
§6.1 常数项级数的概念和性质 一 数项级数的概念
定 义 1 设 u1 , u2 , u3 , , un , 为 一 个 给 定 的 数 列 ， 称 形 如
n(n 1)
；（3） n1 n3 2n 1 .
想一想：
当级数的通项为有理分式时，怎样判别级数的敛散性？
一般将分母最高幂次减分子最高幂次之差为 p 的广义调和级数与之进行比 较，从而判别出级数的敛散性.
2．比值判别法则 定理 6.2 达朗贝尔（D’Alembert）判别法
设 un n 1
是正项级数，且
为正项级数.
定理 6.1 设 un , vn 均为正项级数，且 un vn
n 1
n 1
(n 1,2, ) ，则
（1） 如果正项级数 vn 收敛，则正项级数 un 也收敛；
n 1
n 1
（2） 如果正项级数 un 发散，则正项级数 vn 也发散.
n 1
n 1Biblioteka （证明略）1例 1 判别调和级数 n1 n 的敛散性.
lim
n
u n 1 un
l ，则
（1） 当 l 1时，级数 un 收敛； n 1
（2） 当 l 1 时，级数 un 发散； n 1
（3）
当
l
1
时，级数
u
n
可能收敛，也可能发散.（证明略）
n 1
n
例 5 判别正项级数 n1 2 n 的敛散性.
1
例 6 判别正项级数 n1 n n 的敛散性
n 1
n 1
n 1
也收敛，且级数
(un vn ) = un
vn .
n 1
n 1
n 1
性质 4 改变级数任意有限项的值，不改变级数的敛散性，但收敛级数
的和要改变.
性质 5 将一个级数相邻有限项加括号得到的新级数，如果原级数收敛，
则新级数也收敛，且与原级数有相同的和；如果新级数发散，则原级数也发