疲劳试验数据统计方案与分析方法研究

§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法 诸多规律表明两变量间存在着线性关系，可以统归为如下数学 模型：
y = a + bx + ε ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 1)
实际测得的x与y的值之间不严格地存在线 性关系，总存在一误差项 ε
( x1，y1 )， ( x2，y2 )， ⋅⋅⋅， ( xn，yn )，为测得的一组观测值即样本
§3.2 概率纸（probability paper） 1、正态概率纸的应用
正态概率纸适用于推断观测值是否来 自于正态分布的整体、估计整体均值、 标准差与不合格品率。
2、正态概率纸的构成
依测量结果在图纸上能形成一条直 线的原理设计而成，横坐标均匀刻 度，纵坐标刻度不均匀，表示标准正 态分布的函数值。其确定方式如下： 选具代表性的概率点α，查标 准正态分布表求出对应分位数Zα在 纵坐标一侧均匀分度标出，再在另一 侧标出同Zα对应的概率值α作为正 态概率纸的纵坐标。
§2.1 取样
从总样本中选取样本总的原则是：随机选取被测试 样，并且试样的选取应能准确代表所要描述的总样本。 具体注意以下几点： 1、若总样本由几批或几组材料组成，则试样应根据每 一批或组的比例随机地抽取，试样总数与所需样本大小 相等； 2、若总样本显示了一系列特性，那么总样本应根据这 些特性进行分组，每组抽取的样品数与组的大小成比列 。
由于
n
xi
i
不完全相同，正规方程组的参数行列式
n
∑x
i =1 n i =1
∑ xi
i =1
n
2 x ∑ i
= n∑ xi − (∑ xi ) = n∑ ( xi − x) 2 ≠ 0.
2 2 i =1 i =1 i =1
n
n
n
式（3-3）有唯一解
^ ^ a = y − b x， n ( xi − x)( yi − y ) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 4) ^ ∑ . b = i =1 n 2 ( x x ) − ∑ i i =1
§3.3 线性拟合实例
1. 疲劳寿命统计估计范例 附录A 对7个试样进行某应力水平下的疲劳测试得到一个数据样本如下： 1> 对样本数据按由小到大排序，对疲劳数据样本取十为底的对数，并计算 对应的累积失效概率Pi ，列于下表。
i − 0.3 P = (即等于中位秩)， (n < 30); i n + 0.4 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 6) P = i (n ≥ 30). i n +1
S-N曲线通常为对数 坐标下的曲线图， 横坐标为寿命值的 对数纵轴为应力幅 值，之所以带参数 是因为图中的每一 条S-N曲线均由指定 失效概率下的应力 与疲劳寿命坐标点 拟合而成。
如何获取 S-N中的坐标值？
§1.1 疲劳分布
两种获取疲劳数据的方式即给定应力下的疲劳寿命分 布和给定疲劳寿命下的疲劳强度分布。 补称两个名词释义： 1. 疲劳寿命：指定应力水平下，试验达到定义的失效标准 之前所经历的应力循环数； 2. 疲劳强度：指定疲劳寿命下，试样发生失效时的应力水 平 S；
则称Zα 为标准正态分布的上α 分位点。例如： Z0.05 = 1.645；Z0.005 = 2.57；Z0.001 = 3.10。对于t分布， F分布，卡方(χ 2 )分布等的定义类似。
§2.2 最少被测试样数的确定 指定失效概率水平不同置信度下试验数据被期待落在总样 本真值以下的最少试样数如下表所示: 置信度1-α(%) 失效概率 50 90 P(%) 试样数n 50 1 3 10 7 22 5 13 45 1 69 229 n 值圆整到最接近的整数 95 4 28 58 298
§2.4 升降法
预估疲劳极限的一种方法，具体参照资 料《室内整车总成及零部件结构测试》
Adobe Acrobat Document
§3 数据处理: 参数估计——线性拟合
1.基于最小二乘法原理的参数 估计方法 2.概率纸 3.几个线性拟合的例子
§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法
最小二乘法原理为一种在多学科领域 获得广泛应用的数据处理方法，用它可以 解决参数的最可信赖值估计、组合测量数 据处理、用试验方法来拟合经验公式、回 归分析等一些数据处理问题，按具体方法 的不同还分为经典最小二乘法（代数法） 和矩阵最小二乘法。
σ /MPa
σs
σ r－持久极限
N
l S-N 曲线 − 应力 S（σ 或 τ）与相应 应力循环数（或寿命） N 的关系曲线 l 持久极限 − 通常也叫疲劳极限材料 能经受无限次应力循环而不发生疲劳破 坏的最大应力值，用 σr 或τr 表示，r－ 循环特征
§1.1 疲劳分布
带统计参数的S－N 曲线图
§3.3 线性拟合实例
2> 查标准正态分布表找出对应 累积失效概率下的分位数 3> 在excel中作x、y的散点图 4> 得到拟合曲线为： 标准正 态分布 表 xy散点 图
Zα = 7.9872x - 39.26 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 7)
5> 曲线上对应于90%和10%概率下的值分别为x(90)和x(10)分 别对应于标准正态分布上的 Z 和Z 查标准正态分布表有
注： 1. 式（1-1）未考虑疲劳极限处及其附近发生失效时的概率； 2. 并假设样本中所有个体在试样中全部失效。
§1.1.2 给定疲劳寿命下的疲劳强度分布 给定疲劳寿命下的疲劳强度分布也按正态分布模型来分 析，其累积失效概率由下式获得，即：
1 P( y ) = σ ( y ) 2π 1 y − µy 2 ∫−∞ exp[− 2 ( σ y ) ]dy ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1 − 2)
Z 0.9 =1.28， Z 0.1 = −1.28.
从而可以求得
0.9
0.1
代入式（3-7）得
x(90) = 5.076, x(10) = 4.755.
x(90) + x (10) ^ µ = = 4.9155; x 2 ^ σ = x(90) − x (10) = 0.1254. x 2.56
y
其中y = S ( N 下的疲劳寿命)，µ y 和σ ( y)分别是y的平均值和标准差。
说明：当应力与疲劳寿命之间用双对数坐标表达呈线性关系 时，只要x=logS是正态分布，那么y=logS的分布也被指定 为正态分布。
§2 试验方法——获取疲劳数据样本
§2.1 取样 §2.2 确定最少的被测试样数 §2.3 试样的分配 §2.4 升降法
内容提要
建立疲劳性能统计分布的数学模型；
试验方法——获取疲劳数据样本；
数据处理：参数估计——数据的线性拟合。
§1 疲劳性能统计分布数学模型的建立
通常疲劳设计以材料的疲劳 曲线即S(应力)-N(寿命)为依据 。由于试验结果的离散性，因 此只能用统计的方法来绘制此 曲线；
§1.1 疲劳分布
σb 钢
上表 给出了一些典型的试样数。一般，最右列对应于 95%置信度的试样数用于可靠性的设计目的，50%置信度的 试样数用于解释试验，其它置信度用于工程应用。
§2.3 试样的分配
分配试样时同样要遵循随机的原则： • 多台试验机并列使用时，每台机器试样数应相等 或接近，试验的次序也应随机；前提是各台试验 机是等同的。 • 保证试验条件的等同性。 • 对于不同应力下给定的被测试样数，在每一应力 下重复试验的次数影响对结果变量估计值的统计 置信度。
即
n n na + (∑ xi )b = ∑ yi , i =1 i =1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 3) n n n ( x )a + ( x 2 )b = x y . ∑ ∑ ∑ i i i i i =1 i =1 i =1
式（3-3）称正规方程。
§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法
§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法
根据微分学的极值原理分别求
Q(a，b) 对a,b的偏导数并令其为零
n ∂Q ∂a = −2∑ ( yi − a − bxi ) = 0, i =1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 2) n ∂Q = −2 ( y − a − bx )x = 0. ∑ i i i b ∂ i =1
§1.1.1 给定应力下的疲劳寿命 当疲劳寿命的对数呈对数分布时，疲劳寿命与累积失效 概率的关系由下式确定；
1 P( x) = σ ( x) 2π
1 x − µx 2 ∫−∞ exp[− 2 ( σ x ) ]dx ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1 − 1)
x
其中x = log N，µ x 和σ ( x)分别是x的平均值和标准差。
即 Pr {xi ≤ x( p ) } = P 在置信度 1 − α 下总样本失效概率为
1 − (1 − P)n 所以保证数据有效的最小样本数n需满足
1 − (1 − P) n ≥ 1 − α即n ≥ ln α ln(1 − P)
§2.2 最少被测试样数的确定 补称几个名词： 1. 置信度（confidence level） 置信度也叫置信水平，指总 体参数落在样本统计值某一区间内的概率，而置信区间是 指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间的误差 范围。 2. 可靠度（Durability） 可靠度也叫可靠性指产品或结构在规 定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的能力。它包 括安全性、适用性和耐久性，当以概率来度量时称为可靠 度，测试产品可靠度指标的试验称为可靠性试验。 （0， ）若Zα 满足条件P{ X > Zα } = α，(0<α <1) 1 3. 分位点 设X ~ N
金属材料疲劳试验 数据统计方案与分析方法 ———GB/T 24176– 2009/ISO 12107:2003标准 解读
奇瑞汽车股份有限公司试验技术中心 刘来云 2010年4月
金属材料疲劳失效统计分析 的必要性
1. 试样之间包括化学成分、热处理、表面状态的差别； 2. 疲劳失效是一 个随机过程； 3. 评价机械结构材料的疲劳性能需要对以上固有差异 进行精确量化。
§2.2 最少被测试样数的确定 我们试验的直接目的是要获取容量为n的样本中所有样件的 疲劳寿，所以我们在试验之前是期望所选取的样本在设定的 试验背景之下最终能达到失效。所以在这个假设下来确定保 证数据有意义的最小样本大小n。
⋅⋅⋅，x1，xn ) 为取自对数 根据前面的数学模型，假设 ( x1，x2， 正态整体的一个样本，在疲劳寿命 x( p ) 处的失效概率为 P
由式(3-1)得 误差方程为：
ε i = yi − (a + bxi )
§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法
可得误差的 平方和为：
Q (a，b) = ∑ ε i2 = ∑ [ yi − (a + bxi )]2
i =1 i =1
n
n
使上述误差平方和为最小的
a和b
^
^
作为a和b的估计值Baidu Nhomakorabea
与平面某直线的偏差平方和比它们与任何 当点 ( xi，yi ) 其他直线偏差的平方和都小时，这条直线 便能最佳地反映这些点的分布状况。
§3.3 线性拟合实例 或者
§3.1 基于最小二乘法原理的参数估计方法
于是可得线性回归方程为：
y = a + b x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3 − 5)
^
^
§3.2 概率纸（probability paper）
一类依特定的概率分布而制作的坐标纸。 对于每个连续的分布函数，都可以设计一种 坐标纸，使该分布函数在其上的图形呈一条 直线。因此，概率纸常依概率分布来命名， 例如正态概率纸、对数正态概率纸，威布尔 概率纸和伽玛概率纸等。利用概率纸，可根 据样本对总体分布的类型进行检验，对分布 参数进行估计，以及进行其他简便快速的统 计推断。
试验序号 1 2 3 4 5 6 7
疲劳寿命 Ni/周 次 6.05×104 6.31×104 7.39×104 8.46×104 9.11×104 9.37×104 1.25×105
疲劳寿命 对应标准正态分布上的分 的对数 概率Pi/% 位数Za xi=lgNi 4.782 4.800 4.869 4.927 4.960 4.972 5.097 9.46 23.0 36.5 50.0 63.5 77.0 90.5 -1.3129 -0.7390 -0.3451 0.0000 0.3451 0.7390 1.3106