(完整版)高中数学数列专题练习(精编版)

高中数学数列专题练习（精编版）1. 已知数列na nN是等比数列,且130,2,8.na a a (1)求数列n a 的通项公式; (2)求证:11111321na a a a ；(3)设1log 22n na b ,求数列n b 的前100项和.2.数列{a n }中，18a ，42a ，且满足21nna a 常数C(1)求常数C 和数列的通项公式；(2)设201220||||||T a a a L ， (3)12||||||n n T a a a L,nN3. 已知数列nn 2,n a =2n 1,n 为奇数；－为偶数；，求2nS 4 .已知数列n a 的相邻两项1,n n a a 是关于x 的方程022nnb xxn (N )*的两根,且11a .(1) 求证: 数列nna 231是等比数列;(2) 求数列n b 的前n 项和n S .5.某种汽车购车费用10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…，各年的维修费平均数组成等差数列，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年时，年平均费用最少）？6. 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少51，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？7. 在等比数列{a n }(n ∈N*)中，已知a 1＞1，q ＞0．设b n =log 2a n ，且b 1＋b 3＋b 5=6，b 1b 3b 5=0．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式a n 、b n ；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与a n 的大小．8. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n 是S n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x -y +2=0上。

（1）求a 1和a 2的值；（2）求数列{a n }，{b n }的通项a n 和b n ；（3）设c n =a n ·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n 。

9. 已知数列n a 的前n 项和为11,4n S a 且1112n nnS S a ，数列n b 满足11194b 且13nnb b n (2)n n N 且．（１）求n a 的通项公式；（２）求证：数列nn b a 为等比数列;（３）求n b 前n 项和的最小值．10. 已知等差数列a n 的前9项和为153．（1）求5a ；（2）若，82a ，从数列a n 中，依次取出第二项、第四项、第八项，……，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列c n ，求数列c n 的前n 项和S n .11.已知曲线C ：xy e （其中e 为自然对数的底数）在点1,P e 处的切线与x 轴交于点1Q ，过点1Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点1P ，曲线C 在点1P 处的切线与x 轴交于点2Q ，过点2Q 作x 轴的垂线交曲线C 于点2P ，……，依次下去得到一系列点1P 、2P 、……、n P ，设点n P 的坐标为,n n x y （*n N ）．（Ⅰ）分别求n x 与n y 的表达式；（Ⅱ）求1ni i i x y ．12. 在数列)0,(2)2(,2111N na a ，ａa n n nn n 中（1）求证：数列2{()}nnna 是等差数列；（2）求数列n a 的前n 项和n S ；13. 在等差数列n a 中，公差d0，且56a ，（1）求46a a 的值．（2）当33a 时，在数列n a 中是否存在一项m a （m 正整数），使得3a ，5a ，m a 成等比数列，若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．（3）若自然数123t n , n , n ,, n ,, (t 为正整数)满足5< 1n <2n << t n <，使得31t 5n n a , a ,a ,,a ,成等比数列，当32a 时，用t 表示tn14. 已知二次函数2()f x axbx 满足条件:①(0)(1)f f ; ②()f x 的最小值为18.(Ⅰ)求函数()f x 的解析式;(Ⅱ)设数列{}n a 的前n 项积为n T , 且()45f n nT , 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 试问数列{}n b 中第几项的值最小? 求出这个最小值. 15. 已知函数f （x ）=x 2－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）（n N +），（Ⅰ）用x n 表示x n+1；（Ⅱ）若x 1=4，记a n =lg22n nx x ，证明数列｛n a ｝成等比数列，并求数列｛n x ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.数列专题练习参考答案1. 解：(1)设等比数列n a 的公比为q.则由等比数列的通项公式11n na a q得3131a a q,284,2q又0,22n a q L L 分数列n a 的通项公式是12223n nna 分L L .123231111211111112221222212nnna a a a LL11,2n 6分L L 11,117,2nn 分Q L L 123111118.n a a a a 分LL L2132log 21219,212112,,nn nnn b n b b n n b 由分又常数数列是首项为3,公差为2的等差数列11分L L Q L L 数列n b 的前100项和是100100991003210200122S 分L L 2．解：（1）C 2102na n＝－，－1256125671251256720520(2)||||||||| =(+a ) =2()(++a )=2S S =260n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a L LL L LLL｜－－－ (3)229 ,5409,5nn n n T nn n－－12321352124621352-12()()2(14)(-12222)(3711)341422(41)23nn n n n n nS a a a a a a a a a a a a n n nnn－3.解：－）（＋＋＋－－4 .解：证法1: ∵1,n n a a 是关于x 的方程022nnb xxn (N )*的两根,∴.,211n n nnnn a a b a a由nnn a a 21,得nnn na a 23123111,故数列nna 231是首项为31321a ,公比为1的等比数列.证法2: ∵1,n n a a 是关于x 的方程022n nb xx n(N )*的两根,∴.,211n n n nnn a a b a a ∵nnnn nnnnn a a a a 23123122312311111231231nnnn a a ,故数列nna 231是首项为31321a ,公比为1的等比数列. (2)解: 由(1)得1131231n nna , 即nnna 1231.∴111121291n n nnnn na ab 1229112nn.∴nna a a a S 321nn11122223123221122311nn .2220.20.40.60.2(1)0.20.10.1 (42)100.90.10.1100.1.........................................6nn nnn nnnnn 5.解：维修费总费用＝分＝＋分210 100.1100.1121 3............................................9.............................10nnnnnn平均费用当时，汽车报废最合算＝分分6. 解：(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×(1－51)万元，…第n 年投入为800×(1－51)n －1万元，所以，n 年内的总投入为a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－51)n －1=nk 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(54)n ］第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×(1+41)，…，第n 年旅游业收入400×(1+41)n －1万元.所以，n 年内的旅游业总收入为b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+41)k －1=nk 1400×(45)k －1.=1600×［(45)n－1］(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即：1600×［(45)n－1］－4000×［1－(54)n］＞0，令x =(54)n，代入上式得：5x 2－7x +2＞0.解此不等式，得x ＜52，或x ＞1(舍去).即(54)n＜52，由此得n ≥5.∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.7.111213515561355132131323322522111(1),,1,0,{},log ,01,1,0.60,6,log 6,264,164,8.81,. 16.2n n n n n n na a qa q ab a b b b a a b b b b b b b a a a a a a a a q qq a a q a a a qQ 7.解∶由题设有数列是单调数列又及知必有即由及得即即由得115214116()2log 5. (6)2()(9) (2)(1),5,.229,0,0,;12,47;168,;111345678,91010974,421,248n nn n n nnn n nn n nn n nnb a n n b b n n b n S n S a a S n S a a S nS a a S ；分由知当≥时≤当或时或或当时、、、、、、、、、、、、、、、.,129,;345678,.(13)n nn nn n n a S na S 综上所述当或或≥时有当时有分、、、、、8. 解：（1）∵a n 是S n 与2的等差中项∴S n =2a n -2 ∴a 1=S 1=2a 1-2，解得a 1=2a 1+a 2=S 2=2a 2-2，解得a 2=4 ···3分（2）∵S n =2a n -2，S n -1=2a n -1-2，又S n —S n -1=a n ，*),2(N n n ∴a n =2a n -2a n-1，∵a n ≠0，∴*),2(21N n n a a nn ，即数列{a n }是等比树立∵a 1=2，∴a n =2n∵点P (b n ，b n+1)在直线x-y+2=0上，∴b n -b n+1+2=0，∴b n+1-b n =2，即数列{b n }是等差数列，又b 1=1，∴b n =2n-1，···8分（3）∵c n =(2n -1)2n∴T n =a 1b 1+ a 2b 2+····a n b n =1×2+3×22+5×23+····+(2n -1)2n ，∴2T n =1×22+3×23+····+(2n-3)2n +(2n-1)2n+1因此：-T n =1×2+(2×22+2×23+···+2×2n )-(2n -1)2n +1，即：-T n =1×2+(23+24+····+2n+1)-(2n -1)2n+1，∴T n =(2n -3)2n+1+6 ··14分9. 解： (1)由112221n n n S S a 得1221n n a a , 112n n a a ……2分∴111(1)24n a a n d n ……………………………………4分(2)∵13n n b b n ,∴11133n n b b n,∴1111111111113()3324364324n n nnnb a b nnb nb n;11111113(1)2424nn nnb a b n b n∴由上面两式得1113nn nnb a b a ,又1111913044b a ∴数列nn b a 是以-30为首项,13为公比的等比数列.…………………8分(3)由(2)得1130()3n nnb a ，∴11111130()30()3243nnnnb a n 12111111130()(1)30()243243n n nnb b nn =221111130()(1)20()023323n n ，∴n b 是递增数列………11分当n =1时, 11194b <0；当n=2时, 23104b <0；当n=3时, 351043b <0；当n=4时, 471049b >0，所以,从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且31101(135)3010414312S …………………………13分10. 解：（1）15392292)(955919a a a a S 175a ………５分（2）设数列a n 的公差为d ，则35174811512da da a d a a 23n a n………９分S a a a a n nnn n2482132482232……·()26n …12分11.解：（Ⅰ）∵xy e ，∴曲线C ：xye 在点1,P e 处的切线方程为1y e e x ，即y ex ．此切线与x 轴的交点1Q 的坐标为0,0，∴点1P 的坐标为0,1．……2分∵点n P 的坐标为,n n x y （*n N ），∴曲线C ：xy e 在点n P ,n n x y 处的切线方程为nnx x n yeexx ，……4分令0y，得点1n Q 的横坐标为11nnx x ．∴数列n x 是以0为首项，1为公差的等差数列．∴1nx n ，1nny e．（*nN ）……8分（Ⅱ）∴1122331.........ni i n ni x y x y x y x y x y 123411232122112234........(1) (1)234........(1) (2)(1)(2)(1)1........(1)1(1)[1](1)(1nnnnnnSe e e en e eS e e e e n ee Se een e e n e Se e－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－得到：－－－－－－－－)e ……14分12. 解：（1）由1*1(2)2,(,0)n nnn a a nN ，可得11122()()1n nnnn na a 所以2{()}nnna 是首项为0，公差为1的等差数列.（2）解：因为2()1nnna n 即*(1)2,()nnna n nN 设2312(2)(1)n nnT n n ……①3412(2)(1)nn nT nn ……②当1时，①②得2341(1)(1)nn nT n 211(1)(1)1n n n 21121222(1)(1)(1)1(1)n n n n nn n n T 13. 解：（1）在等差数列n a 中，公差d0，且56a ，则546462a a a ,a a 12…………………… 3分（2）在等差数列n a 中，公差d 0，且56a ，33a 则11233014621na d 3d= , a ,a n a d2n N又235ma a a Q 则3631m 3a ,12=m ,m=92……… 7分（3）在等差数列n a 中，公差d 0，且56a ，3a 2则1124461na d 2 d=2 , a 2 ,a 2n ,n Na d又因为公比53632a q , a 首项32a ，123tt na 又因为112442332tt t nttta n ,2n , n n N ………… 12分14.解: (1) 由题知:20148a b aba, 解得1212ab, 故211()22f x xx . ………2分(2) 221245n nnnT a a a L ,2(1)(1)211214(2)5n n nn T a a a nL ,114(2)5n n nnT a nT ,又111a T 满足上式.所以14()5n na nN ……………7分(3) 若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ,从而21110()22nn nn a a b a , 得2239565()55nnn nb a a a .因为14()5n n a nN 是n 的减函数, 所以当35n a , 即3()n nN 时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ; 当35n a , 即4()n n N 时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .又343355a a , 所以34b b ,即数列{}n b 中3b 最小, 且2223442245655125b . …………12分15. 解：（Ⅰ）由题可得'()2f x x ．所以曲线()y f x 在点(,())n n x f x 处的切线方程是：()'()()n n n y f x f x x x ．即2(4)2()nn n y x x x x ．令0y ，得21(4)2()nn n n xx x x ．即2142nn n xx x ．显然0nx ，∴122nnnx x x ．（Ⅱ）由122nnn x x x ，知21(2)22222n nnnnx x x x x ，同理21(2)22nn nx x x ．故21122()22n n nnx x x x ．从而1122lg2lg 22n n nn x x x x ，即12nn a a ．所以，数列{}n a 成等比数列．故111111222lg2lg 32n n n n x a a x ．即12lg2lg 32n n nx x ．从而12232nn nx x 所以11222(31)31nnnx （Ⅲ）由（Ⅱ）知11222(31)31nn n x ，∴1242031nnnb x ∴111112122223111113313133n n n n n nb b 当1n 时，显然1123T b ．当1n 时，21121111()()333n nnn b b b b L∴12nn T b b b L 111111()33n b b b L 11[1()]3113nb 133()33n．综上，3nT (*)nN ．。