离散傅里叶变换的应用共47页文档
离散傅里叶变换的应用
离散傅里叶变换的应用离散傅里叶变换，听起来是不是有点高大上？别怕，今天就带你轻松了解这玩意儿！简单来说，离散傅里叶变换（DFT）就像是一把魔法钥匙，能把复杂的信号转换成频率的“歌单”。
想象一下，你在听一首喜欢的歌，这首歌里的每个乐器、每个音符，DFT都能把它们分开，帮你找到最喜欢的那一部分。
就像去KTV点歌，想唱的部分一按就来！1. DFT的基础知识1.1 什么是DFT？首先，得说说DFT是什么。
其实，它是一种数学工具，用于分析信号，尤其是周期性信号。
简单点说，DFT能把时间域的信号转化为频率域的信号。
它能让你看到信号中的频率成分，就像透过望远镜，能看到星空中闪烁的星星。
信号中每个频率的强度就像星星的亮度，有的星星亮得像灯泡，有的则像黑夜中的微光。
1.2 DFT的计算在计算方面，DFT的公式有点复杂，乍一看可能让人头疼。
但是别着急，想象一下，在玩拼图。
每个拼图块代表信号中的一个频率，DFT就是把这些拼图块拼在一起，最后形成完整的图案。
它的计算过程涉及到很多乘法和加法，但只要掌握了技巧，就能游刃有余。
就像学骑自行车，刚开始可能会摔跤，但多试几次，就能骑得飞起。
2. DFT的实际应用2.1 音频处理说到DFT的应用，音频处理绝对是个“大头”。
比如，当你用手机录音的时候，手机就会用DFT分析录到的声音，提取出其中的频率信息。
这样一来，不管是音乐、讲话，还是狗吠声，手机都能识别出来。
更妙的是，当你听歌时，音乐播放器也在后台默默地运用DFT，把每种乐器的声音处理得淋漓尽致。
听着听着，你就觉得那旋律简直像是从天而降，动人心弦！2.2 图像处理除了音频，DFT在图像处理上的表现也不容小觑。
想象一下你在手机上修图，给照片加点滤镜。
其实，滤镜背后就是在利用DFT来调整频率。
高频部分让图像更清晰，低频部分则负责平滑过渡。
DFT就像是图像的“美颜师”，能让你的照片瞬间“变身”，从平平无奇到惊艳绝伦。
看到镜头中的自己，哇，那可是美得像个明星！3. DFT的其他领域3.1 通信系统在通信领域，DFT也是个不可或缺的角色。
[第7章]离散傅里叶变换的特性及应用
![[第7章]离散傅里叶变换的特性及应用](https://img.taocdn.com/s3/m/e66ad3e4561252d381eb6e14.png)
计算得出结果 yn 1,4,9,11,8,3,0,0
是由于我们使用了8点DFT和IDFT yn 1,4,9,11,8,3
。实际上，需要的最小点数为6
例7.3.2 自习
44
7.4 利用DFT对信号进行频率分析
➢利用有限记录的DFT进行频谱分析
▪ 对序列 {x(n)}截取L个样本进行频率分析
第7章 离散傅里叶变换的特性及应用
延边大学工学院 电子信息通信学科
许一男
7.1.1 离散时间信号的频域采样和重建
➢对离散时间信号进行频域分析：时域序列转换
成频域表达式来分析
➢频域采用方式：离散傅立叶变换(DFT) ➢DTFT - DFT
2
傅立叶变换的频域采样
➢非周期离散时间信号x(n)的傅立叶变换：
24
DFT的对称总结
25
7.2.2 两个DFT的乘法和圆周卷积
➢性质：两个DFT相乘之后的结果也是一个DFT
- 如，序列x1(n), x2 (n), x3(n)的DFT各表示为
X1(k), X 2 (k), X 3 (k)
- 则，X3 k X1kX2 k, k 0,1, , N 1
➢ X3(k) 的IDFT为
x3
m
1 N
N1 k0
N 1 n 0
x1
n
e j2kn
N
N1 l0
x
2
l e j2kl N e j2km N
1 N1 N n0 x1
n
N1
x2
l0
l
N 1 k0 e
j2 k m n l
N
26
➢ N1
其中， 可以写成 e j2kmnl N
k0
25-26-离散傅里叶变换-运用举例
- 离散傅里叶变换的推导与定义 - 离散傅里叶变换的基本性质
- 频率域采样 - 离散傅里叶变换的应用举例
DFT 的 快 速 算 法 ----FFT 的 出 现， 使DFT在数字通信、 信号处 理、 数值分析等各个领域都得到广 泛应用。
1 用DFT计算线性卷积
如果
y(n) 0≤k≤L-1
2 fc N F 1 Tp F
[例] 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F≤10 Hz，信号最 高频率 fc=2.5kHz ，试确定最小记录时间 TPmin ，最大的采样 间隔Tmax，最少的采样点数 Nmin。如果fc不变， 要求谱分辨 率提高一倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少?
解：
样频率Fs不能够满足采样定理，则将会在Fs/2附近发生频率混叠 现象，此时用DFT进行分析结果必然在Fs/2附近产生较大误差。
一般取Fs＝(3~5)fc。在Fs确定时，一般在采样前进行预滤
波，以滤除高于折叠频率的频率成分。 解决办法: 预滤波 增大采样频率
(2). 栅栏效应 1.通过DFT来分析连续时间信号的频谱特性，而 DFT是对DTFT在一个周期内的N点等间隔采样 2.所以DFT的结果只能表示信号的频谱特性在一 些频域采样点上的值。仿佛是隔着栅栏看风景 减轻栅栏效应（减小栅栏宽度）：
(6) i =i＋1，返回(2)。
应当说明，一般x(n)是因果序列，假设初始 条件y－1(n)=0。
2 用DFT对信号进行谱分析
信号的谱分析就是计算信号的傅里叶变换。 DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适 合数值运算，是分析离散信号和系统的有力工具。
1. 用DFT对连续信号进行谱分析
连续信号xa(t)，其频谱函数Xa(jΩ)也是连续函数。
离散傅里叶变换及其应用
离散傅⾥叶变换及其应⽤实验三离散傅⽴叶变换及其应⽤⼀、实验⽬的：1.进⼀步加深DFT 算法的原理和基本性质的理解；2.学习⽤FFT 对信号进⾏谱分析的⽅法，并分析其误差及其原因；3.学习利⽤DFT 计算程序计算IDFT 的⽅法。
⼆、实验原理：1．N 点序列的DFT 和IDFT 变换定义式如下：km N N k W k x m X ∑-==10][][， km N N m W m X N k x --=∑=10][1][ 利⽤旋转因⼦km N W 具有周期性，可以得到快速算法（FFT ）。
在MATLAB 中，可以⽤函数X=fft(x) %计算N 点的DFT ，N 为序列x[k]的长度，即N=length （x ）； X=fft （x ，N ）%计算序列x[k]的N 点DFT ；x=ifft （X ） %计算N 点的IDFT ，N 为序列x[m]的长度；x=ifft （X ，N ）%计算序列x[m]的N 点IDFT ；2． impz 函数是求解离散系统单位脉冲响应，并绘制其时域波形，其调⽤格式为：impz(b,a)3.MATLAB 计算循环卷积函数的调⽤格式：y=circonv(x,h)4．求有限长序列的DTFT ，并画出它的幅度谱，相位谱，实部和虚部。
三、实验内容1.假设现含有3种频率成分，Hz f 201=，Hz f 5.202=，Hz f 403=， )2sin()2sin()2sin()(321t f t f t f t x πππ++=，取采样频率Hz f s 100=对)(t x 进⾏等间隔采样得)(k x ，对)(k x 加长度为128的矩形窗进⾏截断得有限长序列)(1k x ，对)(1k x 做128点的DFT ，画出原信号此时的频谱图，然后对)(1k x 做512的DFT ，画出原信号此时的频谱图，分析两副图的特点，总结实验中的主要结论。
2.若)(k x 加矩形窗的长度为512，并作512点的DFT ，画出原信号的此时的频谱图，对⽐（1）的结果，分析其结论。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
数字信号处理PPT 第4章离散傅立叶变换(DFT)及应用
①运算特点相乘累加。 ②序列特点：有限长x(n),n=0,1,…N-1，X(k)称为DFT，长度也为N。
−j 2π N N −1 ⎧ + nk ⎪ X (k ) = ∑ x(n)W N ， k = 0,1,2,...N − 1 ⎧ X (k ) = DFT [ x(n)] ⎪ n =0 ⇒⎨ or ⎨ N −1 ⎩ x(n) = IDFT [ X (k )] ⎪ x ( n) = 1 − ∑ X (k )WN nk ， n = 0,1,2,...N − 1 ⎪ N k =0 ⎩
0
Xo(k)
N-1
k
两个定理：
0
N-1
k
⎧ xep (n) = 0.5[ x(n) + x * ( N − n)] ⎪ 共轭对称和共轭反对称性 如果x(n) = xep (n) + xop (n), 其中⎨ * ⎪ xop (n) = 0.5[ x(n) − x ( N − n)] ⎩ ⎧ X R (k ) = DFT [ xep (n)] = 0.5[ X (k ) + X * (k )] ⎪ 那么X (k ) = X R (k ) + jX I (k ), 其中⎨ * ⎪ jX I (k ) = DFT [ xop (n)] = 0.5[ X (k ) − X (k )] ⎩
m =0 N −1
x1(n)
3
0
2
1
1 1
0 1
n
x2(n)
1
0
1
1
n
⎯ x ⎯⎯ ⎯ x 特点：x1 (n)、x 2 (n) ⎯⎯ ⎯ → ~1 (n)、~2 (n) ⎯周期卷积 → 截主周期 ~ (n) * ~ (n) ⎯⎯ ⎯ → ~ (n) * ~ (n) R (n) ⎯ x x x x
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N 1 m
Y (k)
x((n' )) N WNk (n'm) WNkm
x((
n'
))
N
W kn' N
n'm
n'm
N 1
WNkm
x(n ')WNkn'
W km N
X
(k )
n '0
24
频域循环移位定理
3、频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N，0≤k≤N-1，Y(k)=X((k+l))NRN(k)，则
(b)、(c)和(d)所示。请计算
验证本例的8点循环卷积结
果等于h(n)与x(n)的线性卷
积结果。后面将证明，当
循环卷积区间长度L大于等
于y(n) = h(n)*x(n)的长度
yc
(1)
2
1
0
0
0
0
4
3 1
3
yc yc yc
(2)
(3)
(4)
3 4 0
2 3 4
1 2 3
0 1 2
0 0 1
0 0 0
0 0 0
4 1 6
0 0
1
0
10 9
列则得到有限长序列x(n)
的循环移位序列y(n)。
可见，循环移位的本质是
周期移位。
22
时域循环移位定理
2、时域循环移位定理
设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位， 即
y(n) x((n m)) N RN (n)
离散傅里叶变换在信号处理中的应用
离散傅里叶变换在信号处理中的应用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是一种重要的数学工具，它在信号处理领域有着广泛的应用。
本文将围绕离散傅里叶变换在信号处理中的应用展开讨论，并探索其在音频处理、图像处理和通信系统中的重要作用。
一、音频处理中的应用离散傅里叶变换在音频处理中起到了至关重要的作用。
无论是音频的采样、分析还是合成，离散傅里叶变换都是不可或缺的工具。
通过对音频信号进行离散傅里叶变换，我们可以得到音频的频域分布情况，进而实现音频的谱分析和频谱绘制等功能。
此外，离散傅里叶变换还能够在音频处理中实现滤波和音频特征提取等功能，为音频信号的处理和处理后的应用提供了强大的工具支持。
二、图像处理中的应用在图像处理领域，离散傅里叶变换也扮演着重要的角色。
通过对图像进行离散傅里叶变换，我们可以将图像从时域转换到频域，进而实现图像的频域滤波、图像增强和图像压缩等功能。
频域滤波可以通过对图像进行频域分析，更好地去除图像中的噪声或者实现图像的锐化和模糊等效果。
图像增强可以通过对图像频谱进行处理，提高图像的对比度和清晰度。
另外，利用离散傅里叶变换，我们还能够实现图像的压缩，将图像表示为频域系数，降低图像的存储空间和传输带宽要求。
三、通信系统中的应用离散傅里叶变换在通信系统中有着广泛的应用。
在调制解调器设计中，离散傅里叶变换被用于将调制信号从时域转换到频域，实现信号的调制和解调。
此外，当我们需要将信号从时域传输到频域时，离散傅里叶变换也扮演着重要的角色。
在无线通信中，离散傅里叶变换可以用于OFDM（正交频分复用）技术中，通过将时域信号转换为频域信号，实现多载波信号的传输和接收。
OFDM技术在4G和5G等通信系统中广泛应用，离散傅里叶变换在其中发挥了重要的作用。
综上所述，离散傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
无论是音频处理、图像处理还是通信系统设计，离散傅里叶变换都是不可或缺的工具。
离散傅里叶变换应用.ppt
N2fmT1
（5-9）
16
三、误差产生原因及解决办法
❖ （三）频谱泄漏
❖ 频谱泄漏又称截断误差，是由于对信号进行截断， 把无限长的信号限定为有限长，即令有限区间外 的函数值均为零值，相当于用一个矩形（窗）信 号乘相应的信号，如图5-5所示。
xa(t)
y(t)
-T1/2
0
T1/2 t
W(t)
1
-T1/2
0 T1/2 t
图5-5 用矩形窗截断信号
17
第三节 倒频谱分析
一
倒频谱的定义
二 倒频谱的应用——对语言信号的分析
18
一、倒频谱的定义
❖ 设时域连续信号x(t)的傅里叶变换为
X() x(t)ejtdt
其功率谱为
P ()X ()X ()X ()2
19
或从N而，T看1 也到可
以采用频谱 原来看不
细化技术，使谱线变密 到的“频谱景象”
， 。
15
T1
三、误差产生原因及解决办法
❖ （二）混叠效应
❖ 时域信号的离散化是通过抽样实现的，当采样频 率 fs 1不T够高时，采样信号相对原信号就会产生 频谱的混叠，引起频谱失真。频谱混叠效应是由 于时域的离散化引起的，克服的办法是提高采样 频率，设法满足采样定理，保证 fs ，其2f中m 是 原信f m号的最高频率。如果时间记录长度为 ， 则
4
一
时域的有限化和离散化
二
频域的有限化和离散化
三
误差产生原因及解决办法
四
周期信号的数字谱分析
五
谱分析时DFT参数的选择
六
频谱细化技术
5
DSP离散傅里叶变换PPT课件
(kmN )
(2) X(k)隐含的周期性 N(周期为NN)
K,m,N均为整数
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n x(n)WNkn X (k)
(3) 序列x(n)隐含的周期性( 周n期0 为N)
n0
N 1
(4)当N足够大时，|X(k)|的包络可逼 近|X(ejw)|曲线；
(
5
)
|
X
(
k
)
|
表
示
w
k
=
2
k
/
N
频
点的幅
第7页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
3.1.3 DFT的隐含周期性
在DFT变换的定义对中， x(n)与X(k)均为有限长序列。 (1) 旋转因子WknN的周期性(周期为N)
W W , k,m, N k
x(n)WNkn X (k)
n0
x(n+mN)=x(n)
第8页/共71页
3.1 离散傅里叶变换的定义
任何周期为N的周期序列 都可以看作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而 x(n)则是 的一个周期， 即:
~~
x(n) x(n mN )
mm
(3.1.5)
x(n)• • 0 •• •
离散傅里叶变换(DFT) 本章主要内容
• 离散傅里叶变换的定义 • 离散傅里叶变换的基本性质 • 频率域采样 • 离散傅里叶变换的应用举例
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离散傅里叶变换(DFT)
DFT变换的实质：有限长序列的傅里叶变换的有限点离散采样(时域和频
第7章离散傅里叶变换性质与应用
{
21
X (ω ) 的幅值和相位
L = 10
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 50
22
DFT的幅值和相位
= L 10, = N 100
= L 10, = N 100
23
3 DFT与线性变换的关系
定义 WN 则点和可表示为 N DFT = e − j 2π / N , X (k ) IDFT N −1 1 N −1 − kn kn ( ) ( ) ( ) x n W x n X k W = ∑ ∑ N N N n 0= k 0
N −1
1 2π = X k k 0,1, , N − 1 N N 1 N −1 2π j 2π kn / N = x p ( n) X k e = n 0,1, , N − 1 ∑ N k =0 N
上式给出了从谱的样本来重构周期信号 X (ω ) x p ( n) 的方法。这并不意味可从样本来重构或。 X ( ω ) x ( n)
12
DFT采样的图解说明
例: 序列长度 L 小于采样点数 N
DFT 连续
采样 周期化 L≤N
No time aliasing
DFT采样的图解说明（重叠）
例: 序列长度 L 大于采样点数 N
DFT
X ( e jω )
x ( n)
连续
周期化
X N (k ) 采样
xN ( n)
L≥N
time aliasing
0 ≤ n ≤ N −1 x ( n)
当时，由于时域存在泄漏，不能从来重构。 N<L x p ( n)
假如 N ≥ L，则有限时宽为 L 的非周期离散时间信号的谱可 以从它在频率 ω k = 2π k / N 的样本完全重构。
离散傅里叶变换应用与计算
离散傅里叶变换应用与计算1 离散傅里叶变换基本原理与计算1822年，法国工程师傅里叶(Fourier)指出，任意一个函数X(t)均可分解为无穷多个不同频率正弦信号的和，这即是谐波分析的基本概念。
在数字计算机时代，模拟信号所携带的信息均被处理为基于0和1的二值离散数据。
模拟信号通过A／D变换为离散的数字信号。
连续函数X(t)因此被抽样为离散的有限长序列X(nT s) (n=0，1，2，…，N-1,T s为采样周期)。
离散傅里叶变换(DFT)将离散的时域信号X(nT s)与离散的频率点结合，使谱分析得以在数字计算机上实现。
根据DFT理论，X(t)的N个抽样点的频谱为：其中：，n=0，1，2，…，N-1；k=0，1，2，…，N-1。
通常，为应用DFT的快速算法(快速傅里叶变换，FFT)，N取值为2的整数次幂。
式(1)的处理结果为复数，在绘制信号频谱时需进行相应的取模运算；另外，为使频谱图直观，通常还会采用半对数图。
2 离散傅里叶级数（DFS）的应用离散傅里叶变换是信号系统中频谱分析最常用的方法，基于离散傅里叶变换插值的方法测量信号频率，在采样率较低的情况下仍然有较好的精度，在提高采样率或增加采样点数的情况下，频率分辨精度能进一步提高，采用滤波和加窗的方法能更好地避免插值方向错误，该方法具有计算简单、速度快、精度高等特点[1]。
在电力系统发展中，一般的感应式电能表准确度只能达到2.0级或1.0级，而且功能单一，已经不能适应现代电能管理的要求。
在现阶段的电量测量仪表中，越来越多的采用交流采样技术。
交流采样技术是将被测电流、电压直接送入数据采集装置，在装置中使用精密电流、电压互感器将其变成小电流(或低电压)，通过A／D转换和CPU计算得到电流、电压的有效值、有功功率、无功功率、有功电度和无功电度等参数。
其中傅立叶变换法可以计算出各次谐波的参数值，总的电参数由各次谐波分量求出，具有很强的滤波功能[2]。
近年来，多速率滤波器组广泛应用于子带编码、语音信号处理、图像压缩和通信系统等领域中。