离散傅里叶变换(DFT)

也是以N为周期的周期序列
2 N
nk } 只有N个是独立的，可以用这N个
因而，离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成 离散傅里叶级数时，我们只能取N个独立的谐波分量，通常取k=0到(N-1).
~ X (k ) ~ x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对，这种对 称关系可表为： 2 N 1 j nk 1 ~ ~ ~ N x (n) IDFS[ X (k )] X (k )e N k 0
X (e ) 1 x ( n) 2
j
n
j n x ( n ) e




X (e j )e jn d
其中ω为数字角频率，单位为弧度。 注意：非周期序列，包含了各种频率的信号。
局限性：离散时间傅里叶变换（DTFT）是特殊的Z变换，在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为， 在DTFT的变换对中，离散时间序列在时间n上是离散的，但其频谱在数字角 频率ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以， 如果要想利用计算机实现DTFT的运算，必须建立时域离散和频域离散的对应 关系。
20
30
40
比较可知，逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多，主要 因为周期序列长度为单周期序列的3倍，做逆变换时未做处理。 可将IDFS改成：x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);
x(n) 1 1 0.8 0.6 0.5 0.4 0.2 0 0 10 20 |X(k)| 12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 -1 0 10 20 30 40 1 0 2 30 40 0 10 20 30 40 IDFS|X(k)|
N
WN的性质:
N
WN e
j2 N
1.周期性
n ( n rN ) WN WN
n n * 2.共轭对称性 W N (W N ) rn n 3.可约性 WrN W N
4.正交性
1 N
W
n 0
N 1
kn N
(W
mn N
1 ) N
*
W
n 0
N 1
( mk ) n N
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的， 因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要 条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅 里叶分析。
§1、傅里叶级数
~ ~ 周期为N的序列 x (n) x (n rN ), (r为整数)
采样
0
离散性 谐 波性 衰减 性
连续
离散 DFS DTFT
周 期
周期 非周期
FS FT
周 期
离散性 谐波性 周期性


密度性 连续性 衰 减性
采样
密度性 连续性 周期性
0
DFT的提出： 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于 DTFT ， 它更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅 里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来， 计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
~ x (n) x(n rN ) r ~ x ( n) 0 n N 1 x ( n) 其它n 0
~ x(n) x(n) 0 n N 1 0 其余 n
~
周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 x ( n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为 ~ x (n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
clear; xn=[ones(1,5),zeros(1,5)]; Nx=length(xn); %单周期序列长度 Nw=1000; dw=2*pi/Nw; %把2*pi分为Nw份频率分辨率为dw k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量 for r=0:3; K=3*r+1; % 1,4,7,10 nx=0:(K*Nx-1); %周期延拓后的时间向量 x=xn(mod(nx,Nx)+1); %周期延拓后的时间信号x Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS subplot(4,2,2*r+1), stem(nx,x); axis([0,K*Nx-1,0,1.1]); ylabel('x(n)'); subplot(4,2,2*r+2), plot(k*dw,abs(Xk)); axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]); ylabel('X(k)'); end
N 1 j ~ ~ ~ X (k ) DFS[ x (n)] x (n)e n 0 2 nk N
习惯上：记 WN e
~
2 j N
X ( k ) 是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数，也称为周期序列的
频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和，各谐波 ~ 的频率为 2 k ，幅度为 1 X (k )
x(n) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 0 10
IDFS|X(k)|
20
30
40
|X(k)| 2.5 12 10 8 6 4 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 10 20 30 40 0 10
arg|X(k)|
（2）求傅立叶级数逆变换的图形，与原信号图形进行对比。
clear; N=16; xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)]; xn=[xn,xn,xn]; n=0:3*N-1; k=0:3*N-1; Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n„*k); %DFS变换 x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n„*k))/N; %IDFS变换 subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)'); axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); %显示IDFS结果 title(„IDFS|X(k)|‟); axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk)); %序列幅度谱 title('|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4); stem(k,angle(Xk)); %序列相位谱 title('arg|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);
FT：傅立叶变换，用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种 频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。 DTFT：离散时间傅立叶变换 ，它用于离散非周期序列分析，由于信号是非周期序列， 它必包含了各种频率的信号，所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时 域离散非周期对应频域连续周期的特点。 DFS：离散时间傅立叶级数 ，离散周期序列信号，取主值序列 ，得出每个主值在各 频率上的频谱分量，这样就表示出了周期序列的频谱特性。
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4 0.5
X(k)
0 20 40 60 80
x(n)
2 0 -4
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
结论：序列的周期数越多，频谱越是向几个频点集中，当序列信号的周期
数N为无穷大时，频谱转化为离散谱。
DFS的局限性 ： 在离散傅里叶级数（DFS）中，离散时间周期序列在时间 n 上是离散的，在频率ω上也是离散的，且频谱是ω的周期函数， 理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。 但由于其在时域和频域都是周期序列，所以都是无限长序 列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此，还 有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。
1 0
mk mk
则DFS变换对可写为
N 1 ~ kn X (k ) ~ x (n)WN DFS~ x ( n) n 0
1 ~ x ( n) N
~ ~ kn X (k )WN IDFS X (k )
k 0
N 1


DFS[·] ——离散傅里叶级数变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。 DFS变换对公式表明，一个周期序列虽然是无穷长序列，但是只要知 道它一个周期的内容（一个周期内信号的变化情况），其它的内容也就都 知道了，所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的，因 此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
1 4 0.5
X(k)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x(n)
2 0 -4
0
-3
-2
-1
0 0.5
X(k)
0 5 10 15 20 25 30 35
x(n)
2 0 -4
0
-3