离散傅里叶变换(DFT)

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(2)求傅立叶级数逆变换的图形,与原信号图形进行对比。
clear; N=16; xn=[ones(1,N/4),zeros(1,3*N/4)]; xn=[xn,xn,xn]; n=0:3*N-1; k=0:3*N-1; Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n„*k); %DFS变换 x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n„*k))/N; %IDFS变换 subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)'); axis([-1,3*N,1.1*min(xn),1.1*max(xn)]); subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); %显示IDFS结果 title(„IDFS|X(k)|‟); axis([-1,3*N,1.1*min(x),1.1*max(x)]); subplot(2,2,3);stem(k,abs(Xk)); %序列幅度谱 title('|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(abs(Xk)),1.1*max(abs(Xk))]); subplot(2,2,4); stem(k,angle(Xk)); %序列相位谱 title('arg|X(k)|'); axis([-1,3*N,1.1*min(angle(Xk)),1.1*max(angle(Xk))]);
arg|X(k)|
序列周期重复次数对序列频谱的影响: 理论上,周期序列不满足绝对可积条件,因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析,可以先取K个周期处理, 然后再让K趋于无穷大,研究其极限情况。基于该思想,可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时,频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
例:一个矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/2,一个周期的 采样点数为10点,要求用傅立叶级数求信号的幅度频谱。 重复周期数分别为:1,4,7,10.
§0、离散时间傅立叶变换
“DTFT”是“Discrete Time Fourier Transformation”的缩写。传统的傅立叶 变换(FT)一般只能用来分析连续时间信号的频谱,而计算机只会处理离 散的数字编码消息,所以应用中需要对大量的离散时间序列信号进行傅立 叶分析。DTFT就是对离散非周期时间信号进行频谱分析的数学工具之一。
也是以N为周期的周期序列
2 N
nk } 只有N个是独立的,可以用这N个
因而,离散傅里叶级数的所有谐波成分中只有N个是独立的。因此在展开成 离散傅里叶级数时,我们只能取N个独立的谐波分量,通常取k=0到(N-1).
~ X (k ) ~ x (n) 是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS) 变换对,这种对 称关系可表为: 2 N 1 j nk 1 ~ ~ ~ N x (n) IDFS[ X (k )] X (k )e N k 0
FT:傅立叶变换,用于分析连续非周期信号,由于信号是非周期的,它必包含了各种 频率的信号,所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。 DTFT:离散时间傅立叶变换 ,它用于离散非周期序列分析,由于信号是非周期序列, 它必包含了各种频率的信号,所以对离散非周期信号变换后的频谱为连续的,即有时 域离散非周期对应频域连续周期的特点。 DFS:离散时间傅立叶级数 ,离散周期序列信号,取主值序列 ,得出每个主值在各 频率上的频谱分量,这样就表示出了周期序列的频谱特性。
1 0
mk mk
则DFS变换对可写为
N 1 ~ kn X (k ) ~ x (n)WN DFS~ x ( n) n 0
1 ~ x ( n) N
~ ~ kn X (k )WN IDFS X (k )
k 0
N 1


DFS[·] ——离散傅里叶级数变换 IDFS[·]——离散傅里叶级数反变换。 DFS变换对公式表明,一个周期序列虽然是无穷长序列,但是只要知 道它一个周期的内容(一个周期内信号的变化情况),其它的内容也就都 知道了,所以这种无穷长序列实际上只有N个序列值的信息是有用的,因 此周期序列与有限长序列有着本质的联系。
第三章 离散傅里叶变换(DFT)
• • • •
傅立叶级数(DFS) 傅立叶变换(DFT) DFT应用 DFT存在的问题
FS FT DFS DTFT :
FS:傅立叶级数展开 ,用于分析连续周期信号 ,时域上任意连续的周期信号可以分解为 无限多个正弦信号之和,在频域上就表示为离散非周期的信号,即时域连续周期对应 频域离散非周期的特点 。
clear; xn=[ones(1,5),zeros(1,5)]; Nx=length(xn); %单周期序列长度 Nw=1000; dw=2*pi/Nw; %把2*pi分为Nw份频率分辨率为dw k=floor((-Nw/2+0.5):(Nw/2+0.5)); %建立关于纵轴对称的频率相量 for r=0:3; K=3*r+1; % 1,4,7,10 nx=0:(K*Nx-1); %周期延拓后的时间向量 x=xn(mod(nx,Nx)+1); %周期延拓后的时间信号x Xk=x*(exp(-j*dw*nx'*k))/K; %DFS subplot(4,2,2*r+1), stem(nx,x); axis([0,K*Nx-1,0,1.1]); ylabel('x(n)'); subplot(4,2,2*r+2), plot(k*dw,abs(Xk)); axis([-4,4,0,1.1*max(abs(Xk))]); ylabel('X(k)'); end
1 4 0.5
X(k)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x(n)
2 0 -4
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4 0.5
X(k)
0 5 10 15 20 25 30 35
x(n)
2 0 -4
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4 0.5
X(k)
0 10 20 30 40 50 60
x(n)
2 0 -4
0
-3
基频序列为 e1 (n) e
j( 2 )n N
j( 2 ) nk N
k次谐波序列为 ek (n) e
ek rN (n) e
∴ 故所有谐波成分中{ e j ~ 独立成分将x ( n )展开。
n ( k rN ) j 2N
e
nk j 2N
ek (n)
e
nk j 2N
x(n) 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 10 20 30 40 0 10
IDFS|X(k)|
20
30
Biblioteka Baidu
40
|X(k)| 2.5 12 10 8 6 4 2 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 10 20 30 40 0 10
arg|X(k)|
当离散的信号为周期序列时,严格的讲,离散时间傅里叶变换是不存在的, 因为它不满足信号序列绝对级数和收敛(绝对可和)这一傅里叶变换的充要 条件,但是采用DFS(离散傅里叶级数)这一分析工具仍然可以对其进行傅 里叶分析。
§1、傅里叶级数
~ ~ 周期为N的序列 x (n) x (n rN ), (r为整数)
20
30
40
比较可知,逆变换的图形比原信号的图形幅度扩大很多,主要 因为周期序列长度为单周期序列的3倍,做逆变换时未做处理。 可将IDFS改成:x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/(3*3*N);
x(n) 1 1 0.8 0.6 0.5 0.4 0.2 0 0 10 20 |X(k)| 12 10 8 6 4 2 0 10 20 30 40 -1 0 10 20 30 40 1 0 2 30 40 0 10 20 30 40 IDFS|X(k)|
-2
-1
0
1
2
3
4
1 4 0.5
X(k)
0 20 40 60 80
x(n)
2 0 -4
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
结论:序列的周期数越多,频谱越是向几个频点集中,当序列信号的周期
数N为无穷大时,频谱转化为离散谱。
DFS的局限性 : 在离散傅里叶级数(DFS)中,离散时间周期序列在时间 n 上是离散的,在频率ω上也是离散的,且频谱是ω的周期函数, 理论上解决了时域离散和频域离散的对应关系问题。 但由于其在时域和频域都是周期序列,所以都是无限长序 列。无限长序列在计算机运算上仍然是无法实现的。因此,还 有必要对有限长序列研究其时域离散和频域离散的对应关系。
~ x (n) x(n rN ) r ~ x ( n) 0 n N 1 x ( n) 其它n 0
~ x(n) x(n) 0 n N 1 0 其余 n
~
周期序列的主值区间与主值序列: 对于周期序列 x ( n) ,定义其第一个周期 n=0~N-1,为 ~ x (n) 的“主值区间”,主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
与连续周期信号的傅立叶级数相比较,周期序列的离散傅立叶 级数的特点:
(1)连续性周期信号的傅立叶级数对应的谐波分量的系数有 无穷多。而周期为N的周期序列,其离散傅立叶级数谐波分量 只有N个是独立的。 (2)周期序列的频谱
X ( k ) 也是一个以N为周期的周期序列。
~
例:一个周期矩形序列的脉冲宽度占整个周期的1/4,一个周 期的采样点数为16点,显示3个周期的信号序列波形,并要 求: (1)用傅立叶级数求信号的幅度频谱和相位频谱。
§ 2、 离散傅里叶变换(DFT)
1)主值区间与主值序列
我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义,因此 它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n),长为N,
为了引用周期序列的概念,假定一个周期序列 x ( n ) ,它由长度为 N 的有限长序列 x(n) 延拓而成,它们的关系:
X (e ) 1 x ( n) 2
j
n
j n x ( n ) e




X (e j )e jn d
其中ω为数字角频率,单位为弧度。 注意:非周期序列,包含了各种频率的信号。
局限性:离散时间傅里叶变换(DTFT)是特殊的Z变换,在数学和信号分 析中具有重要的理论意义。但在用计算机实现运算方面比较困难。这是因为, 在DTFT的变换对中,离散时间序列在时间n上是离散的,但其频谱在数字角 频率ω上却是连续的周期函数。而计算机只能处理变量离散的数字信号。所以, 如果要想利用计算机实现DTFT的运算,必须建立时域离散和频域离散的对应 关系。
N
WN的性质:
N
WN e
j2 N
1.周期性
n ( n rN ) WN WN
n n * 2.共轭对称性 W N (W N ) rn n 3.可约性 WrN W N
4.正交性
1 N
W
n 0
N 1
kn N
(W
mn N
1 ) N
*
W
n 0
N 1
( mk ) n N
采样
0
离散性 谐 波性 衰减 性
连续
离散 DFS DTFT
周 期
周期 非周期
FS FT
周 期
离散性 谐波性 周期性


密度性 连续性 衰 减性
采样
密度性 连续性 周期性
0
DFT的提出: 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义,相对于 DTFT , 它更便于用计算机处理。但是,直至上个世纪六十年代,由 于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量 较大,离散傅里叶变换长期得不到真正的应用,快速离散傅 里叶变换算法的提出,才得以显现出离散傅里叶变换的强大 功能,并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来, 计算机的处理速率有了惊人的发展,同时在数字信号处理领 域出现了许多新的方法,但在许多应用中始终无法替代离散 傅里叶变换及其快速算法。
N 1 j ~ ~ ~ X (k ) DFS[ x (n)] x (n)e n 0 2 nk N
习惯上:记 WN e
~
2 j N
X ( k ) 是周期序列离散傅立叶级数第k次谐波分量的系数,也称为周期序列的
频谱。可将周期为N的序列分解成N个离散的谐波分量的加权和,各谐波 ~ 的频率为 2 k ,幅度为 1 X (k )
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