初等数论 带余数除法

设除数为x, 余数y,由题意有
2007 50x y, 0 y x,
故
50x 50x

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2007 x 2007
,
解得39
18 51

x

40
7 50
,
而x N,故取x 40,从而y 7
因此所求除数为, 40,余数为7.
• 例2 任给的五个整数中,必有三个数之和被3 整除.
2证明: 记n 10q r, (r 0,1, 2,L ,9), 则nk4 - nk被10除的余数和rk4 - r k r k (r 4 1) 被10除的余数相同, 对r 0,1, 2,L ,9进行验证,即证.
3证明: 对于任何整数n, m,等式n2 (n 1)2 m2 2 左边被4除的余数为1, 而右边被除4除的余数 为2或3, 故它不可能成立.
如果q q1,则上式左边 b . 这是不可能的.因此q q1而r1 r.
定义
若a,b是两个整数,其中b 0, 两个整数q及r使得 a qb r(0 r | b |) (1) 成立,. 则把(1)式中的q叫做a被b除的不完全商, r是a被b除的余数.
例1. 2007除以某自然数,商为50,求除数和余 数.
下面证明q, r的唯一性,设q1, r1是满足a bq r, 0 r b的两个整数,则a bq1 r1, 0 r1 b, 因而bq r bq1 r1,于是b(q - q1) r1 r, 故 b q - q1 r1 r . 由于r及r1都是小于 b 的整数, 所以上式右边是小于 b 的.
思考问题
1设3 | a2 b2, 证明: 3 | a且3 | b.
2 设n, k是正整数, 证明: nk与nk4的个位数字相同.
3 证明: 对于任何整数n, m,等式n2 (n 1)2 m2 2 不可能成立.
1证明: 记a 3q1 r1,b 3q2 r2, r1, r2 0,1或2, 由3 | a2 b2 3Q r12 r22知, r1 r2 0,即3 | a且3 | b.
例3 设a0 , a1,L , an Z , f (x) an xn L a1x a0. 已知f (0)与f (1)都不是3的倍数.证明: 若方程f (x) 0 有整数解,则3 | f (1).
证明: 对任意整数x,都有x 3q r, 0 r 3. (1)若r 0,即x 3q, 则f (x) f (3q) an (3q)n L a1(3q) a0 3Q1 a0 3Q1 f (0), Q1 Z , Q f (0)不是3的倍数, f (x) 0;
(2)若r 1,即x 3q 1,则f (x) f (3q 1) an (3q 1)n L a1(3q 1) a0 3Q2 an L a1 a0 3Q2 f (1), 同理可知f (x) 0; 综上若f (x) 0有解,则x 3q 2 3q -1, 于是0 f (x) f (3q -1) an (3q -1)n L a1(3q -1) a0 3Q3 a0 a1 a2 L (-1)n an 3Q3 f (-1),3 f (-1).
第三节 带余数除法
定理
若a,b是两个整数,其中b 0, 则存在两个整数q及r, 使得 a qb r(0 r | b |) (1) 成立, 且q和r是唯一的.
证明: 作整数序列L , 3b, 2b, b, 0,b, 2b,3b,L 则a必在上述序列的某两项之间, 即存在一个整数q使得qb a (q 1)b成立. 令a - qb r,则a bq r,而0 r b.
证明: 对任意整数x, y, 记x 3q1 r1, y 3q2 r2 (0 r1, r2 3) 则x3 (3q1 r1)3 9Q1 R1, y3 (3q2 r2 )3 9Q2 R2 , 其中R1和R2被9除的余数 分别与r13和r23被9除的余数相同, 即R1 0,1,或8, R2 0,1,或8, x3 y3 9(Q1 Q2 ) R1 R2 , R1 R2被9除的余数 只可能是0,1, 2, 7或8,所以x3 y3不可能等于a.
4 证明: 3 | n(n 1)(2n 1).
5 试证形如3n -1的数不是平方数.
6 证明: 对任意的整数x, y, x2 y2 4k 3,其中k为整数.
4 证明: 设n 3q r, r 0,1, 2. 当r 0时, n 3q,显然3 | n,3 | n(n 1)(2n 1) 当r 1时,这时2n 1 6q 3,显然3 | (2n 1), 3 | n(n 1)(2n 1) 当r 2时,这时n 1 3q 3,显然3 | (n 1), 3 | n(n 1)(2n 1) 综上, 对任何n,总有3 | n(n 1)(2n 1).
例4 设n是奇数,则16 | n4 4n2 11.
证明: n4 4n2 11 (n2 -1)(n2 5) 16,Q n是奇数, 8 n2 -1, 2 n2 5,16 n4 4n2 11.
例5 证明: 若a被9除的余数是3, 4,5,或6, 则方程x3 y3 a无整数解.
• 3.已知2761除以某整数,余数不为 零,不完全商为95,求除数与余数.
• 4.有一个自然数,用它去除 63,91,129得到三个余数之和为25, 求这个自然数.
解 : 设ai 3qi ri , 0 ri 3, i 1, 2,3, 4,5. (1)若在ri中数0,1, 2都出现,不妨设r1 0, r2 1, r3 2, 则a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3成立. (2)若在ri中数0,1, 2至少有一个不出现, 则至少有三个ri取相同的值,令r1 r2 r3 r(r 0,1或2), 则a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r成立.
5 证明: 任一整数可以写成3n或3n 1, 因为(3n)2 9n2 3k, (3n 1)2 3(3n2 2n) 1 3t 1, 形如3n -1的数不是平方数.
课后作业
1.证明: 对任意整数n有,若2 | n,3 | n,则24 | n2 23.
2.设m和n为正整数, m 3.证明: 2m 1 | 2n 1.