初中数学动点问题归纳

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图(3)

A B

图(1)

A B

图(2) 动点问题

题型方法归纳

动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。 一、三角形边上动点

1、(2009年齐齐哈尔市)直线3

64y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出

发,同时到达A 点,运动停止.点Q 沿线段OA 运动,速度为位长度,点P 沿路线O →B →A 运动. (1)直接写出A B 、两点的坐标;

(2)设点Q 的运动时间为t 秒,OPQ △的面积为S ,求出S 与

t 之间

的函数关系式;

(3)当48

5

S =时,求出点P 的坐标,并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点

M 的坐标.

解:1、A (8,0) B (0,6)

2、当0<t <3时,S=t

2

当3<t <8时,S=3/8(8-t)t

提示:第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;

第(3)问是分类讨论:已知三定点O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边,②OP 为边、OQ 为对角线,③OP 为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形,根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)

如图,AB 是⊙O 的直径,弦BC=2cm , ∠ABC=60o .

(1)求⊙O 的直径;

(2)若D 是AB 延长线上一点,连结CD ,当BD 长为多少时,CD 与⊙O 相切; (3)若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动,同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动,设运动时间为)20)((<

3、(2009重庆綦江)如图,已知

抛物

线

(1)20)a x a =-+≠经过点

(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于

O M B H A C x y 图O M B

H A C x y

图(2) x

y

M

C D P

Q

O

A B P Q A

C

D 点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC . (1)求该抛物线的解析式;

(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为

()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形直角梯形等腰梯形

(3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小并求出最小值及此时PQ 的长.

注意:发现并充分运用特殊角∠DAB=60°

当△OPQ 面积最大时,四边形BCPQ 的面积最小。 二、 特殊四边形边上动点 4、(2009年吉林省)如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,60B ∠=°.从初始时刻开始,点P 、

Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A C B →→的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度

沿A B C D →→→的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动,设P 、Q 运动的时间为x 秒时,APQ △与ABC △重叠部分....的面积为y 平方厘米(这里规定:点和线段是面积为O 的三角形),解答下列问题:

(1)点P 、Q 从出发到相遇所用时间是 秒;

(2)点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当APQ △x 的值是

秒;

(3)求y 与x 之间的函数关系式.

提示:第(3)问按点Q 到拐点时间B 、C 所有时间分段分类 ; 提醒----- 高相等的两个三角形面积比等于底边的比 。 5、(2009年哈尔滨)如图1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点A 的坐标为(3-,4),点C 在x 轴的正半轴上,直线AC 交y 轴于点M ,AB 边交y 轴于点H . (1)求直线AC 的解析式;

(2)连接BM ,如图2,动点P 从点A 出发,沿折线ABC 方向以2个单位/秒的速度向终点C 匀速运动,设△PMB 的面积为S (0S ≠),点P 的运动时间为t 秒,求S 与t 之间的函数关系式(要求写出自变量t 的取值范围);

(3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值.

注意:第(2)问按点P 到拐点B 所用时间分段分类;

第(3)问发现∠MBC=90°,∠BCO 与∠ABM 互余,画出点P

运动过程中, ∠MPB=∠ABM 的两种情况,求出t 值。 利用OB ⊥AC,再求OP 与AC 夹角正切值.

6、(2009年温州)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,0),

B(33,2),C (0,2).动点D 以每秒1个单位的速度从点0出发沿OC 向终点C 运动,同时动点E 以每秒2个单位的速度从点A 出发沿AB 向终点B 运动.过点E 作EF 上AB ,交BC 于点F ,连结DA 、DF .设运动时间为t 秒. (1)求∠ABC 的度数;

(2)当t 为何值时,AB∥DF; (3)设四边形AEFD 的面积为S . ①求S 关于t 的函数关系式;

②若一抛物线y=x 2+mx 经过动点E ,当S<23时,求m 的取值范围(写出答案即可). 注意:发现特殊性,DE ∥OA 7、(07黄冈)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO 是菱形,且

∠AOC=60°,点B 的坐标是(0,83),点P 从点C 开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB 上向点B 移动,同时,点Q 从点O 开始以每秒a (1≤a ≤3)个单位长度的速度沿射线OA 方向移动,设(08)t t <≤秒后,直线

PQ 交OB 于点D. (1)求∠AOB 的度数及线段OA 的长;

(2)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式;

(3)当43,33

a OD ==

时,求t 的值及此时直线PQ 的解析式;

(4)当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ∆相似当a 为何值时,以O ,P ,Q ,D 为顶点的三角形与OAB ∆不相似请给出你的结论,并加以证明. 8、(08黄冈)已知:如图,在直角梯形COAB 中,OC AB ∥,以O 为原点建立平面直角坐标系,

A B C ,,三点的坐标分别为(80)(810)(04)A B C ,,

,,,,点D 为线段BC 的中点,动点P 从点O 出发,以每秒1个单位的速度,沿折线OABD 的路线移动,移动的时间为t 秒. (1)求直线BC 的解析式;

(2)若动点P 在线段OA 上移动,当t 为何值时,四边形OPDC 的面积是梯形COAB 面积的

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(3)动点P 从点O 出发,沿折线OABD 的路线移动过程中,设OPD △的面积为S ,请直接写出S 与t 的函数关系式,并指出自变量t 的取值范围;

(4)当动点P 在线段AB 上移动时,能否在线段OA 上找到一点Q ,使四边形CQPD 为矩形请求出此时动点P 的坐标;若不能,请说明理由. 9、(09年黄冈市)如图,在平面直角坐标系xoy 中,抛物线

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10189y x x =--与x 轴的交点为点A,与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ,交抛物线于点C ,连结AC .现有两动点P,Q 分别从O ,C 两点同时出发,点P 以每

4个单位的速度沿OA 向终点A 移动,点Q 以每秒

1个单位的速度沿CB 向点B 移动,点P ,点Q 也同时停止运动,线段OC ,PQ 相交于点D ,过点D 作DE ∥OA ,交CA 于点E ,

射线QE 交x 轴于点F .设动点P,Q 移动的时间为t (单位:

B

A

C D

P

O Q x y A B D C

O P y A

B

D

C O

y (此题备

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