任意角的三角函数复习课件

高考数学必胜秘诀（4）

三角函数

1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。

2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

3. 终边相同的角的表示：

（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z ，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角

1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：25-；5

36

π-

） （2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ⇔()k k αθπ=+∈Z . （3）α终边与θ终边关于x 轴对称⇔2()k k αθπ=-+∈Z . （4）α终边与θ终边关于y 轴对称⇔2()k k απθπ=-+∈Z . （5）α终边与θ终边关于原点对称⇔2()k k απθπ=++∈Z .

（6）α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈；α终边在y 轴上的角可表示为：

,2k k Z παπ=+∈；α终边在坐标轴上的角可表示为：,2k k Z πα=∈.如α的终边与6

π

的

终边关于直线x y =对称，则α＝____________。（答：Z k k ∈+

,3

2π

π）

4、α与2

α的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，

则

2

α

是第_____象限角（答：一、三） 5.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式：2

11||22

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.

如已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ）

6、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），它与原点的距离

是0r =

>，那么sin ,cos y x

r r

αα=

=，()tan ,0y x x α=

≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

x

α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。三角函

数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。如（1）已知角α的终边经过点P(5，

－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。（答：7

13

-）；（2）设α是第三、四象限角，

m m --=432sin α，则m 的取值范围是_______（答：（－1，)2

3

）；（3）若

0|cos |cos sin |sin |=+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号（答：负）

7.三角函数线的特征是：正弦线MP “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM “躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线AT “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重要应用是比较三

y

T

A x

α B

S

O M P

角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若08

π

θ-

<<，则 sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：tan sin cos θθθ<<)；

（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；（3）函数

)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______（答：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+∈）

（1）平方关系：2

2

2

2

2

2

sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三

角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数sin tan cos cot y αα

αα

+=

+的值的符号为____（答：大于0）；

（2）若π220≤≤x ，则使x x 2cos 2sin 12=-成立的x 的取值范围是____（答：

[0,

]

4π

],4

3

[ππ）

； （3）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（答：125

-）

；（4）已知11tan tan -=-αα，则α

αααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2

++ααα＝

_________（答：35-；513

）；

（5）已知a = 200sin ，则

160tan 等于 A 、21a a

-- B 、21a

a

- C 、a a 21-- D 、a a 2

1-（答：B ）；

（6）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______（答：－1）。