1.2.1任意角的三角函数复习课.ppt

解析： 当角 α 的终边在第一象限时，角 α 的终边上取点 P(1,2)，
∵x＝1，y＝2，∴r＝ 12＋22＝ 5，
∴sin α＝yr＝ 25＝25
5，cos
α＝xr＝
1＝ 5
55，
tan α＝yx＝21＝2.
当角 α 的终边在第三象限时，角 α 的终边上取点 Q(－1，－2)，
∵x＝－1，y＝－2，∴r＝ －12＋－22＝ 5， ∴sin α＝yr＝－52＝－25 5，cos α＝xr＝－51＝－ 55， tan α＝yx＝－ －21＝2.
3．填写下表中三角函数的定义域、值域
函数
定义域
值域
y＝sin α
R
[－1,1]
y＝cos α
R
[－1,1]
y＝tan α
α|α≠π2＋kπ，k∈Z
R
思考应用
4．三角函数线有哪些特征？应用三角函数线体现了什 么数学思想方法？
解析： (1)三条有向线段的位置：正弦线为α的终边与单 位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单 位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单 位圆内，一条在单位圆外．
自测自评
1．若－ π <α<0，则点Q(cos α，sin α)位于( ) 2
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： ∵－ π <α<0，则cos α>0，sin α<0，故选D. 2
答案：D
2．已知角 α 的终边过点 P 23，21，则 cos α＝( )
1 A.2
3 B. 2
应用诱导公式(一)进行化简、求值
求下列各三角函数的值：
(1)cos(－1050°)；(2)sin －341π . 解析：(1)∵－1050°＝－3×360°＋30°， ∴－1050°角与 30°角的终边相同，
∴cos(－1050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝ 23； (2)∵－341π＝－4×2π＋4π，∴－341π 角与π4角的终边相同，
当角α是第三象限角时，sin α<0，cos α<0，则点P(sin α， cos α)在第三象限；
当角α是第四象限角时，sin α<0，cos α>0，则点P(sin α， cos α)在第二象限．
答案：四、三、二
(2)依据三角函数线，作出如下四个判断：
①sinπ6＝sin76π；②cosπ4＝cos－π4；③tanπ8>tan38π；
思考应用 3．公式一中的角α一定是锐角吗？ 解析：公式一中的角α为任意角，公式一都成立．
四、三角函数线
1．有向线段：有向线段是规定了方向(即起点、终点) 的线段，它是________、 ________的．在直角坐标系中， 和坐标轴同向的有向线段为正，反向的为负．
2．正弦线、余弦线、正切线：三角函数线是用来形象 地表示三角函数值的有向线段．有向线段的________表示三 角函数值的________，有向线段的________表示三角函数值 的绝对值的________．
解析： 口诀：“一全二正弦，三正切四余弦”，意为： 第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正， 其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四 象限余弦为正，其余两个为负．
三、诱导公式一 由定义可知，三角函数值是由角的终边的位置确定 的，因此，终边相同的角的同一三角函数的值________， 这相样等就有下面的一组公式(诱导公式一) sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，tan(2kπ＋α) ＝tan α，(k∈Z)．
练习1：已知角A的终边与单位圆的交点为P0－35，45， 求角α的正弦、余弦和正切值．
解析：由三角函数定义知， sin α＝y＝45，cos α＝x＝－35，tan α＝yx＝－43.
思考应用
1．三角函数的值与点P在终边上的位置有关系吗？
解析：利用三角形的相似性可知任意角α的三角函数值 只与α有关，而与点P的位置无关．对于α角的终边上任意一点 P，设其坐标为(x，y)，点P到原点的距离r＝ x2＋>y20.
解析：如下图，设角x的终边与单位圆交于点P，单位 圆与x轴交于点A，作PM⊥x轴，垂足为M，作AT⊥x轴，交 射线OP于T，由三角函数定义知sin x＝MP，tan x＝AT，x ＝弧AP的长．
∴S△AOP＝12·OA·MP＝12MP＝12sin x， S 扇形 AOP＝12·R2·x＝12x，其中 R＝1 为单位圆的半径， S△AOT＝12·OA·AT＝12AT ＝12tan x， ∵S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT， ∴sin x<x<tan x.
1．单位圆：在直角坐标系中，以原点O为圆心，以单位 长度为半径的圆称为________．
2．三角函数的定义：设角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合．在直角坐标系中，角α终边与单位圆交于一 点P(x，y)，则r＝|OP|＝1.那么：
(1)y叫做________，记作sin α，即y＝sin α；
(1) y 比值叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝ r
(2) x 比值叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝ r
(3) y 比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ x
单位圆上是一种特殊情形．
；y r
；x r
.y点P在 x
二、三角函数值在各个象限内的符号
1．由三角函数的定义，以及各象限内的点的坐标的符
(2)三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向α的终边与 单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向 与α的终边的交点．
(3)三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴 同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值．
(4)三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前， 终点字母在后面．
应用三角函数线解决问题体现了数形结合的思想方 法．
应用三角函数线解决不等式问题
下列表示sin 1与cos 1的大小关系中，表述正确
的是( )
A．sin 1>cos 1
B．sin 1＝cos 1
C．sin 1<cos 1
D．不能确定
解析： ∵ π <1< π ，过单位圆与角1终边的交点P，作 42
PM⊥x轴，垂足为M，则由三角函数线的定义得MP＝sin 1，
则cos α＝
－x x2＋y2
.
其中，不正确命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3 D．4
解析： ①正确；②不正确；③不正确，例：α＝ 成立；④不正确．故选C.
π2 也
答案：C
α的值．
利用三角函数的定义求三角函数值 已知角α的终边过点P(－3,2)，求sin α，cos α，tan
分析：本题考查角α的三角函数值，已知x＝－3，y＝2，
A．－45
B．－35
3
4
C.5
D.5
解析：∵x＝－3，y＝4，∴r＝ －32＋42＝5， ∴cos α＝xr＝－53＝－35，故正确答案为 B. 答案：B
2．已知角α的终边落在直线y＝2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
分析： 因为角α的终边是一条射线，故应分两种情况进 行讨论．可在直线上取一特殊点转化成例1类似的问题，进而 求解．
(2)x叫做________，记作cos α，即x＝cos α；
(3)
y x
叫做________，记作tan
α，即
y x＝tan α(x≠0)．
一、1.单位圆
2．(1)α的正弦 (2)α的余弦 (3)α的正切
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点 的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们把它们统称为 _三__角__函__数_．
④sin35π>sin45π.
其中判断正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：在平面直角坐标系中作单位圆，依次作相关角的 三角函数线，由图象可知
sinπ6≠sin76π，cosπ4＝cos－π4，tanπ8<tan38π，
sin35π>sin45π，
∴序号②④判断正确，答案选B.
象二限、角三时，cos α<0；
tan α＝
y x
，当x与y同号时，它们的比值为正，当x与y同、
异号时，它们的比值为负，即：当α是第______一__、象三限角时，
tan α>0；当α是第 ________象二限、角四时，tan α<0.
2．根据终边所在位置总结出形象的识记口诀1：
为0；“tsainnαα＝＝yr
3 C. 3
D．±12
解析： ∵点P 23，21 是单位圆上一点，则cos α＝x ＝ 3， 故选B.
2
答案：B
3．有下列四个命题： ①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不相等； ③若sin α>0，则α是第一或第二象限角；
④若α是第二象限角，且P(x，y)是其终边上一点，
先求出r，然后根据三角函数的定义求解．
解析：∵x＝－3，y＝2，∴r＝ －32＋22＝ 13， ∴sin α＝yr＝ 213＝123 13， cos α＝xr＝－133＝－133 13， tan α＝yx＝－23＝－23.
跟踪训练
1．在平面直角坐标系中，若角α终边经过点P(－3,4)，则
cos α的值为 ( )
三角函数
1.2 任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数
1．理解并掌握任意角的三角函数的定义及其表示， 能熟练求三角函数的值．
2．理解并掌握三角函数线的几何表示，能利用三 角函数线确定三角函数值的取值范围或角的取值范围．
3．体会单位圆在整个解题过程中的作用．
基础梳理 一、任意角的三角函数
OM＝cos 1，
且在Rt△OPM中，锐角∠POM＝1> π>∠OPM， 4
∴MP>OM，故得sin 1>cos 1，答案选A. 答案：A
点评：此类问题的解题思路在于将三角函数值化为单 位圆中的某些线段，再用几何关系来判断大小．它的实质 是数形结合的思想．
跟踪训练
5．当x∈0，π2 时，求证：sin x<x<tan x. 分析：本题可以分别利用单位圆中角x的正弦线、所 对的弧长、正切线来表示sin x，x和tan x，并借助它们所在 的扇形及三角形的面积大小来解决．
三角函数线的作法如下：
设角α的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线， 垂足为M，则有向线段MP，OM就分别是α角的正弦线与余 弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.
四、1.有长度、有正负 2.方向 正负 长度 大小
过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与α角的终边(或 终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α角的正切线， 即AT＝tan α.
答案：B
点评：此类问题的关键在于牢记各象限内的三角函数 值的符号，尤其是以弧度制给出角时，判断角所在的象限 位置特别重要．
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跟踪训练
4．判断下列各三角函数值的符号： sin 3，cos 4，tan 5.
解析： ∵ π <3<π，π<4< 3，π 3<π5<2π，
2
22
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0.
∴sin－341π＝sin－4×2π＋4π＝sinπ4＝
2 2.
点评：解答此类问题的方法是先把已知角化归到2kπ＋α， (0≤α<2π，k∈Z)的形式，再利用诱导公式(一)化简求值．
跟踪训练
3．求值：cos94π＋tan－161π＝________.
解析：∵cos94π＝cos2π＋π4＝ 22，
：上正下负横为0；cos α＝
：y交叉正负”
x r ：左负右正纵
x
形象的识记口诀2：“一全正二正弦，三正切四余
弦”．
练习2：已知角α的终边过点P0(－3，－4)，求角α的正
弦、解余析弦和：正∵切r＝值．－32＋－42＝5， ∴sin α＝－45，cos α＝－35，tan α＝43.
思考应用
2．你知道形象的识记口诀的意思吗？
号，可以确定三角函数在各象限的符号．
即：当siαn是α＝第_yr__，__其__一中_象、r>限二0，角于时是，ssininαα的>0符；号当与α是y的第符__号__相__同__，
象三限、角四时，sin α<0；
即：当coαs是α＝第_xr__，__其_一_中_、象r>四限0，角于时是，ccoossαα的>0符；号当与α是x的第符_号__相__同__，_
tan－161π＝tan－2π＋π6＝tanπ6＝ 33，
∴cos94π＋tan－161π＝
22＋
3 3.
答案：
22＋
3 3
判断三角函数值的符号问题
(1)若角α分别是第二、三、四象限角，则点 P(sin α，cos α)分别落在第________、________和________ 象限．
解析：当角α是第二象限角时，sin α>0，cos α<0，则点 P(sin α，cos α)在第四象限；