同济版 高等数学(上册) 第三章课件1

f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
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二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3

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二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
例1
解
d 设 f ( x) 和 f '( x) 均连续, 问: dx
f ( x)dx 与 f ( x)dx 是否相等?
注 上式中的五个不定积分常数合并为一个任意常数 C .
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四、不定积分的性质 例6 求不定积分: (2) (1 x ) 2 dx ;
因为 (1 x )2 1 2 x x , 故
2 (1 x ) dx (1 2 x x)dx
第三章 一元函数积分学及其应用
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二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
例2
x dx ( 1, x 0) .
解
因为 ( x
1
1 1 ) ( 1) x , 所以 x ' x 1 ,
1 1 x 是 x 的一个原函数. 故 即 1
1 1 x dx 1 x C .
d dx
f xdx f x ;
f x dx f x C .
由此可见, 求导运算与不定积分的运算(简称积分运算, 以记号 表示)是“互 逆”的.
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四、不定积分的性质
第三章 一元函数积分学及其应用
性质2 设函数 f x 及 g x 的原函数存在, 则
4 x
解
4 x ( x 3
2 2 s ixn 3 cxo sx ) d x
1 dx 2 sin xdx 3 cos xdx x
x 4 dx 3x dx 2

1 5 1 x 3x 2 ln x 2 cos x 3sin x C 5 ln 3
G( x) F ( x) C .
因此, 若 F ( x) 为 f ( x) 的一个原函数, 则 f ( x) 的全部原函数可以表示为
F ( x) C ( C 为任意常数).
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二、不定积分
定义2
第三章 一元函数积分学及其应用
在区间 I 上 , 函数 f ( x) 的带有任意常数项的原函数称 为 f ( x) 在区间 I 上的不定积分, 记作 f x dx , 即
节将介绍不定积分的概念及其计算方法.
3

' cos 2x ,
一、原函数
第三章 一元函数积分学及其应用
定义1 已知 f x 是定义在某区间 I 内的函数, 若存在函数 F x , 使得
F x f x 或者 dF x f x dx , x I ,
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二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
例4
x a dx
(a 1, a 0)
解
1 x 1 x x x 因 (a ) a ln a , a ' a , 故 a 是 a x 的一个原函数, 从而 ln a ln a
x
x a dx
1 x a C. ln a
dx 2 x dx xdx
4 3 1 2 2 x x x C. 3 2
1 2
注 其中 1dx dx .
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四、不定积分的性质 例6 求不定积分: (3)
第三章 一元函数积分学及其应用
x 13 dx ;
x2
先将 x 1 展开, 然后利用公式.


将分子重新组合后, 分解被积表达式.
1 1 x (1 x 2 ) 1 x x2 dx 2 x 1 x 2 dx = x1 x2 dx x 1 x


= arctanx ln x C .
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四、不定积分的性质
第三章 一元函数积分学及其应用
f x g x dx f x dx g x dx ,
其中 , 为不全为零常数.
利用上述性质及基本积分公式表, 可以求出一些简单函数的不定积分.
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四、不定积分的性质
第三章 一元函数积分学及其应用
例6 求不定积分: (1)
2 ( x 3 x 2sin x 3cos x)dx
2 又 y x 1 1 , 故 C , 因此所求的曲线方程为 3 1 2 2 y x . 3 3
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二、不定积分
3 x 以 x 2 dx C 为例 , 我们来看关于不定积 3 分的几何意义.
第三章 一元函数积分学及其应用
y y x C 3
3
x3 x3 y C 的图形为 y 的图形沿 y 轴方向 3 3 移动一段距离 C 得到的. C 0 时向上移, C 0 时
1 O
y x 3
3
向下移(见图3-1). 通常称 f x 的一个原函数 F x
的 图 形 为 函 数 f x 的 积 分 曲 线 , 不 定 积 分
x
f x dx 在几何上表示积分曲线族.
在积分曲线族
图3-1
上, 横坐标相同的点处的切线是相互平行的.
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三、基本积分公式
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二、不定积分
例5
第三章 一元函数积分学及其应用
设曲线通过点 1,1 , 且其上任意一点处的切线斜率等于这点横坐标的
平方, 求此曲线的方程.
解 设所求的曲线方程为 y f x . 根据题意知曲线上任意一点 x, y 处的 dy 切线斜率为 x 2 . 由 x 2 dx 1 x3 C 得曲线方程 y 1 x 3 C . dx 3 3
不相等.
设 F ( x) f ( x), 则 d d f ( x)dx ( F ( x) C ) F ( x) 0 f ( x) . dx dx


d 而由不定积分定义 f ( x)dx f ( x) C , 知 dx
f ( x)dx f ( x)dx .
3

x 1
x2
3
3 1 x3 3 x 2 3 x 1 dx x 3 2 dx dx = 2 x x x x2 1 3x 3 ln x C . = 2 x
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四、不定积分的性质
1 x2 1 x
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第三章 一元函数积分学及其应用
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
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第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由于积分运算是微分运算的逆运算 , 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式.
(1) 0dx C ;
1 x C 1 ; (3) x dx 1 dx arctan x C arc cot x C ; (5) 2 1 x
(9) sec xdx tan x C ; (11) sec x tan xdx sec x C ;
(7) cos xdx sin x C ;
2
(8) sin xdx cos x C ;

(12) csc x cot xdx csc x C ;

(2) kdx kx C ;

dx ln x C ; (4) x
(6)

dx 1 x2
arcsin x C arccos x C ;
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三、基本积分公式
第三章 一元函数积分学及其应用
由于积分运算是微分运算的逆运算 , 所以由基本求导公式可以直接得到基 本积分公式.
例6 求不定积分: