圆的标准方程PPT 公开课
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圆的标准方程 公开课PPT课件
直线,一点和倾斜角也确定一条直线,通过 基本量的研究：直线可以用一个一次方程 表示。
那么，需要探究下面的问题： （1）圆可以用一个什么样的方程来表示？ （2）怎样建立圆的方程？
复习引入 探究新知 应用举例 课堂小结 课后作业
复习引入
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
a 2, b 3, r 5.
方程思想
有没有其 他方法？
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
练习：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B(2，-2),
且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，
求圆C的标准方程.
yl
A
Co
x
B
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
置 圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
的 圆心在x轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
圆
的 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
方 圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆 心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)根据条件直接确定a，b，r ； (2)待定系数法确定a，b，r. 核心思想：数形结合、方程思想、基本量思想 结构思想、转化思想 等
重要结论
圆心在原点:
特 殊
圆心在x轴上:
位 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0) (x a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
那么，需要探究下面的问题： （1）圆可以用一个什么样的方程来表示？ （2）怎样建立圆的方程？
复习引入 探究新知 应用举例 课堂小结 课后作业
复习引入
问题1：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
a 2, b 3, r 5.
方程思想
有没有其 他方法？
所求圆的方程为 (x 2)2 ( y 3)2 25
练习：已知圆心为C的圆经过点A（1，1）和B(2，-2),
且圆心C在直线l ：x-y+1=0上，
求圆C的标准方程.
yl
A
Co
x
B
课堂小结
1. 圆的方程的推导步骤： 建系设点→写条件→列方程→化简→说明
置 圆过原点:
(x a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)
的 圆心在x轴上且过原点: (x a)2 + y2 = a2 (a≠0)
圆
的 圆心在y轴上且过原点: x 2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
方 圆与x轴相切:
(x a)2 + (y-b)2 = b2 (b≠0)
2. 圆的方程的特点：点(a, b)、r分别表示圆 心坐标和圆的半径；
3. 求圆的方程的两种方法： (1)根据条件直接确定a，b，r ； (2)待定系数法确定a，b，r. 核心思想：数形结合、方程思想、基本量思想 结构思想、转化思想 等
重要结论
圆心在原点:
特 殊
圆心在x轴上:
位 圆心在y轴上:
x2 + y2 = r2 (r≠0) (x a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y b)2 = r2 (r≠0)
必修2《圆的标准方程》1(人教版)PPT课件
极坐标方程与标准方程的关系
通过极坐标与直角坐标的转换公式 $x = rcostheta, y = rsintheta$， 可以将极坐标方程转换为标准方程。
标准方程 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ 可以通过配方转换为极坐标方 程。
极坐标方程的应用
描述圆的形状和大小。 解决与圆相关的几何问题，如求圆的面积、周长等。
圆的几何意义
01
02
03
04
圆是中心对称图形，对称中心 是圆心。
圆也是轴对称图形，任何经过 圆心的直线都是它的对称轴。
圆的周长与直径的比值是一个 常数，这个常数叫做圆周率π
。
圆的面积与半径的平方成正比 ，比例系数是π。
2023
PART 02
圆的标准方程
REPORTING
标准方程的形式
圆的标准方程为： $(x - a)^{2} + (y b)^{2} = r^{2}$
切线的定义
与圆有且仅有一个公共点 的直线。
切线的性质
切线与半径垂直，且切点 到圆心的距离等于半径长 。
切线的判定方法
若直线与圆有公共点，且 过该点的半径与直线垂直 ，则该直线为圆的切线。
2023
PART 06
圆的综合应用
REPORTING
圆与直线的位置关系
相离
直线与圆没有交点，即圆心到直 线的距离大于圆的半径。
$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$
标准方程的应用
用于判断点与圆的位置关系 用于求解与圆有关的轨迹问题
用于求解圆的切线方程 用于解决与圆相关的最值问题
2023
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程(公开课)PPT课件
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x 8)2 ( y 3)2 25
2.说出下列圆的圆心和半径:
(1)(x+1)2+(y-1)2=1；
圆心A(-1,1),r=1
(2) x2+(y+4)2=7；
圆心A（0，-4），r= 7
(3)(x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0圆）心;A(-1,-2), m r= 8
(x 2)2 ( y 3)2 25 24
16
小结
1.圆的标准方程
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：
17
2019/10/25
18
y M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
r
O
A(a,b) x
(x-a)2+(y-
b)2=r2
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？
怎样求圆的标准方程？
7
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x 3)2 (y 4)2 25
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
1
创设情境 引入新课
一石激起千层浪
2
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内 到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
3
4
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点----圆心------确定圆的位置 定长----半径------确定圆的大小
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
圆的标准方程完整ppt课件(2024)
r^{2}$。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2024/1/30
9
方程中参数的意义
2024/1/30
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
$r$
02
半径，表示圆的大小。
$x, y$
03
圆上任意一点的坐标，满足方程 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
10
03
圆的图形特征与性质
2024/1/30
圆关于经过圆心的任意直 线都是对称的。
2024/1/30
周期性
圆上任意一点绕圆心旋转 360度后回到原位，具有 周期性。
应用
利用对称性和周期性可以 简化一些复杂的几何问题 。
13
切线与法线的性质
切线
与圆有且仅有一个公共 点的直线。
2024/1/30
法线
过切点且与切线垂直的 直线。
切线与半径垂直
切线长定理
已知圆与直线相切求参数
利用圆心到直线的距离等于半径，可以列出方程求解参数 。
24
判断点与圆的位置关系
计算点到圆心的距离与半径比较
若距离小于半径，则点在圆内；若距离等于半径，则点在圆上；若距离大于半 径，则点在圆外。
利用点与圆方程的关系判断
将点的坐标代入圆方程，若得到的值小于0，则点在圆内；若得到的值等于0， 则点在圆上；若得到的值大于0，则点在圆外。
圆与双曲线的关系
双曲线的一种特殊情况是等轴双曲线，其渐近线方程就是圆的方程。此外，双曲线的焦点 到任意一点的距离之差为定值，这个定值也可以和圆的半径建立联系。
圆与抛物线的关系
抛物线的一种特殊情况是顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线，其准线方程就是圆的方程 。同时，抛物线的焦点到任意一点的距离等于该点到准线的距离，这个性质也可以和圆的 性质进行类比。
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
圆的标准方程公开课一等奖课件
例题1
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
已知圆O的半径为5cm，弦AB长为8cm，P是弦AB所对的优弧上的一个动点，则PC+PD的最 小值为_______．
分析
根据垂径定理和勾股定理求出圆心O到弦AB的距离，再利用切线长定理求出PC+PD的最小值。
解答
过点O作OE⊥AB于点E，连接OA，则AE=BE=1/2AB=4cm。在Rt△AOE中，OA=5cm， AE=4cm，根据勾股定理得OE=3cm。因为P是优弧上的一个动点，所以当PC和PD为切线时， PC+PD的值最小。根据切线长定理得PC=PD，所以PC+PD=2OE=6cm。故答案为6cm。
典型例题分析与解答
01
例题1
已知圆的标准方程为 $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$，求圆心坐标
和半径。
03
例题2
将一般方程 $x^{2} + y^{2} - 4x + 6y + 12 = 0$ 化为标准方程，并指
出圆心坐标和半径。
02
解析
直接对比标准方程形式，可得圆心 坐标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
圆的标准方程公开课一等奖课件
contents
目录
• 圆的基本概念与性质 • 圆的标准方程及其推导 • 直线与圆的位置关系判断 • 圆的对称性与中心对称性探究 • 复杂图形中涉及圆的问题解决方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
圆的基本概念与性质
圆的定义及基本要素
圆的定义：平面上所有与定点 （圆心）距离等于定长（半径） 的点的集合。
04
圆的对称性与中心对称性 探究
圆的对称性表现形式
图形对称
圆的标准方程公开课PPT
圆的扩展知识
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的参数方程
参数方程定义
圆的参数方程是另一种 表示圆的方式，通常使 用三角函数来表示圆上 的点。
参数方程形式
圆的参数方程一般形式
为
(x=a+r*cosθ,
y=b+r*sinθ)，其中
(a,b) 是圆心的坐标，r
是半径，θ 是参数。
应用场景
参数方程在解决与圆相 关的问题时非常有用， 特别是在涉及极坐标或 三角函数的问题中。
圆的极坐标方程
极坐标定义
01
极坐标是一种描述点在平面上的位置的方式，通过距离和角度
来表示。
极坐标方程
02
圆的极坐标方程是 ρ=a，其中 ρ 是点到原点的距离，a 是半径。
应用场景
03
在解析几何和物理学中，极坐标方程经常用于描述和研究圆和
其他曲线。
圆的离心率和焦点
1 2
离心率的定义
离心率是描述一个椭圆或圆偏离中心的程度的量。 对于圆来说，离心率等于0。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆通过这三个点。
圆的定义
圆的方程
圆的标准方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心， $r$为半径。
圆是平面内到定点距离等于定长的所 有点的集合。
圆的对称性
圆关于原点对称
圆心在原点的圆关于原点对称，即如果$(x,y)$在圆上，则$(-x,y)$也在圆上。
交通工具
汽车、火车和飞机的轮胎 都是圆形的，因为圆可以 保证车辆平稳行驶，减少 摩擦和阻力。
餐具和厨具
碗、盘子、杯子等日常用 品通常设计成圆形，因为 圆角可以防止划伤，并且 方便清洗和堆叠。
建筑和装饰
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
[0,1) 范围是___________.
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
2.1圆的标准方程课件(北师大版)
PART
3
信息交流，揭示规律
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------圆心C(a,b),半径r
y
( x a ) ( y b) r
PART
4
运用规律，解决问题
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例3：已知两点 (, )和 (, ), 求以
PART
1
设计问题，创设情境
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在平面直角坐标系中，两点能够确定一条
直线，一点和直线的倾斜角也能确定一条直
为 5,1 , (7, −3),(2, −8),求它的外接圆的
标准方程。
y
A(5,1)
O
x
C
D(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
B(7,-3)
半径：圆心到圆上一点
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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(x2)2(y3)225
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系
()
A在圆外 C在圆内
B在圆上 D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
O
x
基础演练
1.圆 (x－2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,
半径r =__.
2圆(x+1)2＋(y - 3 ) 2＝a2,(a 0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
创设情境 引入新课
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中 福建土楼 小憩片刻
创设情境 引入新课
创设情境 引入新课
师生互动探究
1、圆具有怎么样的性质？ 圆上的点到圆心的距离相等
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
圆在坐标系下有什么样的方程？
解
析
y
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
小结：
一、圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
：则圆的标准方程为,特别地，若圆心为O(x0,20) y2 r2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
几
何
的基本x思O想
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
作业布置
P120 练习1、 P124 习题A组2
你对本节课哪个知识点 还有些疑惑？？？
将标准方程展开，是一个什么形式？ 它有什么特点？
怎样判断点 M0(x0在,y0圆) 圆上？还是在圆外呢？
(xa)2(y内b)呢2？r2
y
M3
M2
C
o
M1
x
知识点二：点与圆的位置关系
点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上;
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外.
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
M (x0, y0 )
O(a, b)
O(a, b)
O (a,b)
练习：
点P( 1,5)与圆x2+y2=25的位置关
系
()
A在圆外 C在圆内
B在圆上 D在圆上或圆外
变式演练
圆心为A(3,1)半径长等于5的圆的方程 ( )
A (x – 3 )2+(y – 1 )2=25 B (x – 3 )2+(y + 1)2=25 C (x – 3 )2+(y + 1 )2=5 D (x + 3 )2+(y – 1 )2=5
O
x
基础演练
1.圆 (x－2)2+ y2=2的圆心A的坐标为__,
半径r =__.
2圆(x+1)2＋(y - 3 ) 2＝a2,(a 0)的圆心,半径是？
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程 是：
创设情境 引入新课
一石激起千层浪 奥运五环
乐在其中 福建土楼 小憩片刻
创设情境 引入新课
创设情境 引入新课
师生互动探究
1、圆具有怎么样的性质？ 圆上的点到圆心的距离相等
2、确定圆有需要几个要素？
圆心－－确定圆的位置(定位) 半径－－确定圆的大小(定形)
圆在坐标系下有什么样的方程？
解
析
y
变式一 圆心在C(8，-3),且经过点M(5,1)的 圆的方程？
小结：
一、圆的标准方程
(xa)2(yb)2r2
y
M
C
O
x
圆心C(a,b),半径r
：则圆的标准方程为,特别地，若圆心为O(x0,20) y2 r2
二、点与圆的位置关系：
（1）点P在圆上 x0a2y0b2r2 （2）点P在圆内 x0a2y0b2r2
几
何
的基本x思O想
书少成天才功山小才就=有艰是不在苦百路分学于的勤之劳习勤一为动，的径奋+老灵正，感确学来努，的百海徒力方分无法之伤才+崖九少悲能十苦谈九成空作的话汗舟功水！！
二、探究新知，合作交流
探究一
已知圆的圆心c(a,b)及圆的
半径R,如何确定圆的方程？
y
P={M||MC|=R}
M
R
C(a,b)
（3）点P在圆外 x0a2y0b2r2
三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求
2 几何方法：数形结合
作业布置
P120 练习1、 P124 习题A组2
你对本节课哪个知识点 还有些疑惑？？？
将标准方程展开，是一个什么形式？ 它有什么特点？