圆的标准方程(公开课)课件
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2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
高中数学圆的标准方程(微课)公开课ppt课件
所以所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25.
例2. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a2 + -1- b2 = r2, 根据题意得：-1- a2 + 1- b2 = r2 ,
所以圆心C的坐标是 (3, 2)，
圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x a)2 ( y b)2 r2.
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为： x2 y2 r2.
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
代入
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
化简
回顾
1,求圆的 标准方程的数学思想方法解？析思想
形
平面直角坐标系中
数
2,如何得到圆的标准方程？
a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
2024年圆的标准方程课件公开课
半径求解
将圆上任意一点的坐标代入圆的标准 方程，解出 $r$ 的值即可。
2024/2/29
11
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知圆的标准方程为 $(x 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 9$， 求圆心坐标和半径。
2024/2/29
由圆的标准方程可知，圆心坐 标为 $(2, -1)$，半径 $r = sqrt{9} = 3$。
22
05
圆的方程在实际问题中的应用
Chapter
2024/2/29
23
平面几何问题转化为代数运算
通过建立坐标系，将平面几何问题转化为代数问题，利 用圆的方程进行求解。
圆的方程可用于求解与圆相关的距离、角度、面积等问 题。24/2/29
05
02
解析
先通过圆心距公式求出两圆心距，再与半径 和、半径差比较判断位置关系，最后联立两 圆方程求解交点坐标。
06
04
解析
先根据相切条件求出切点所在直线的 方程，再联立两圆方程求解切点坐标 ，最后根据公切线性质求出公切线方 程。
解析
先根据内含条件设出内切圆的半径及圆心坐标 ，再根据两圆内含的性质列出方程组求解。
03
直线与圆的位置关系
Chapter
2024/2/29
13
直线与圆相交条件
直线方程与圆方程联立，消元后得到 一元二次方程，根据判别式判断交点 个数。
利用圆心到直线的距离与半径比较， 若距离小于半径则直线与圆相交。
2024/2/29
14
直线到圆心距离公式应用
利用点到直线距离公式，求出圆心到直线的距离。 结合圆的半径，判断直线与圆的位置关系。
圆的标准方程公开课一等奖课件
标准方程推导过程
设圆上任意一点 $P(x, y)$，则 $P$ 到圆心 $O(a, b)$ 的距离 $|PO|$ 应等 于半径 $r$。
由于 $|PO| = r$， 则有 $sqrt{(x a)^{2} + (y b)^{2}} = r$。
以圆心为原点，建 立平面直角坐标系 。
根据两点间距离公 式，有 $|PO| = sqrt{(x - a)^{2} + (y - b)^{2}}$。
实际生活中应用举例
建筑设计
在建筑设计中，圆形结构经常被用来增加建筑物的稳定性 和美感。例如，圆拱门、圆顶建筑等都是利用圆的性质进 行设计的。
交通运输
在交通运输领域，圆的性质也经常被应用。例如，车轮的 形状是圆形，这是因为圆形车轮在滚动时能够保持平稳， 并且减少与地面的摩擦。
自然科学
在自然科学中，圆也是一个重要的概念。例如，行星绕太 阳运动的轨道是椭圆形的，而太阳位于椭圆的一个焦点上 。这种运动轨迹可以近似地看作是一个圆。
相切条件
两圆心之间的距离等于两圆半径之和或两圆半径之差。
切点求解
通过解两圆方程和两圆心连线方程联立得到的方程组，可以得到切点的坐标。
两圆相离条件及距离计算
相离条件
两圆心之间的距离大于两圆半径之和或小于两圆半径之差。
距离计算
两圆心之间的距离可以通过两点间距离公式计算得到。
06
实际应用举例与课堂互动 环节
THANKS
感谢观看
学生自主思考并提问环节
提问1
为什么车轮要做成圆形的？而不 是方形或者其他形状？
提问2
在建筑设计中，为什么经常使用圆 形结构？它们有什么优势？
提问3
行星绕太阳运动的轨道为什么是椭 圆形的？这与圆的性质有什么关系 ？
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
圆的标准方程(优质课比赛)课件
思考1:圆可以看成是平面上的一条曲线，在平面几
何中，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述
以点A为圆心，r为半径的圆？
rM
P={M||MA|=r}
A
平面上到一个定点的距离等于定长的点 的轨迹叫做圆.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考2:确定一个圆最基本的要素是什么？
思考3：已知圆心为A(a,b)，半径为r，设圆上任一 点M坐标为(x，y)，如何求该圆的方程？
C(0、0) r=2
-1 0
x
C(-1、0) r=1
圆的标准方程(优质课比赛)
2、写出下列圆的方程: （1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5
圆的标准方程(优质课比赛)
题型一、求圆的标准方程
例1、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为
求方程的一般步骤： y
建系设点
rM
A
找关系式列方程
O
x
化简方程
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:对于以点A(a，b)为圆心,,r为半径的圆,由上
可知，若点M(x，y)在圆上,则点M的坐标满足方
程(x-a)2+(y-b)2=r2 ;反之,若点M(x，y)的坐标
适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ，那么点M一定在这
(x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内.
圆的标准方程(优质课比赛)
思考4:集合{(x，y)|(x-a)2+(y-b)2≤r2} 表示的图形是什么？
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)
[0,1) 范围是___________.
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
解析： (5 a 11)2 ( a )2 26a ，因为点 M 在圆的内部，所以26a 26 ， 又 a 0 ，所以 0 a 1.故实数 a 的取值范围是[0,1) .
5.已知圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，且到直线3x 4y 4 0 的
代入 (5 a)2 (1 b)2 r2 ，得 r2 25 .
所以，△ABC 的外接圆的标准方程是(x 2)2 ( y 3)2 25 .
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1,1) ， B(2, 2) 两点，且圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，求此圆的标准方程.
解法 1：设圆心 C 的坐标为 (a,b) . 因为圆心 C 在直线l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA | | CB | . 由两点间距离公式有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ，即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3 ，b 2 ，所以圆心 C 的坐标是(3, 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 . 所以所求圆的标准方程是 (x 3)2 ( y 2)2 25 .
解法 2：如图，设线段 AB 的中点为 D.
由 A，B 两点的坐标为 (1,1) ， (2, 2) ，可得点 D 的坐标为(3 , 1) ， 22
直线
AB
的斜率为 kAB
2 1 2 1
3
.
因此，线段
AB
的垂直平分线
l
的方程是
y
1 2
1 3
(x
3 2
)
，即
x
3y
3
0
2.1圆的标准方程课件(北师大版)
PART
3
信息交流，揭示规律
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------圆心C(a,b),半径r
y
( x a ) ( y b) r
PART
4
运用规律，解决问题
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例3：已知两点 (, )和 (, ), 求以
PART
1
设计问题，创设情境
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在平面直角坐标系中，两点能够确定一条
直线，一点和直线的倾斜角也能确定一条直
为 5,1 , (7, −3),(2, −8),求它的外接圆的
标准方程。
y
A(5,1)
O
x
C
D(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
B(7,-3)
半径：圆心到圆上一点
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
圆的一般方程( (优秀经典公开课比赛课件))
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r , 解2:设圆C的方程为
∵圆心在直线l:x-y+1=0上
待定系数法
圆经过A(1,1),B(2,-2) a b 1 0 a 3 2 2 2 (1 a ) (1 b) r b 2 (2 a ) 2 (2 b) 2 r 2 r 5
（x-a）2+（y-b）2=r2
待定系数法
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
练一练
1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
0
y
M1(1,1) M (4,2) 2
x
例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,2),且圆心在直线l:x-y+1=0 上 , 求圆心为 C 的圆 y 的标准方程. A(1,1) 弦AB的垂
动动脑
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 配方可得：
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
(1)
当D2+E2-4F>0时,表示以（ 为圆心，以(
1 D 2 E 2 4F 2
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设点M (x,y)为圆上任意一点，则 |MA|=r.
(xa)2(yb)2r
(x-a)2+(y-b)2=r2
y M(x,y)
r
O
A(a,b) x
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
圆的标准方程(公开课)
小试牛刀
1.求下列圆的方程:
(1)圆心在原点, 半径为3.
x2 y2 9
把M1(5,7)的坐标代入方程(x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
M 1 在这个圆上；
把点 M2( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边不
相等，点M
2 的坐标不适合圆的方程，所以点 M
不在
2
这个圆上．
圆的标准方程(公开课)
知识探究二：点与圆的位置关系
怎样判断点 M0(x0,y0) 在 圆 (xa)2(yb)2r2
(2) 以O（0,0），A(6,8)为直径的圆. (x3)2(y4)225
(3) 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3).
(x8)2(y3)225
2.说出下列圆的圆心和半径:
(1)(x+1)2+(y-1)2=1；
圆心A(
圆心A（0，-4），r= 7
练习3.请判断点A(m, 4)与圆x2 + y2 =16的位置 关系是（D ）
A、圆内
B、圆上
C、圆外
D、圆上或圆外
圆的标准方程(公开课)
例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
圆的标准方程(公开课)
y
待定系数法
A(5,1)
O
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆的标准方程(公开课)
y
L2 L1
A(5,1)
R
x
D B(7,-3)
O
E C(2,-8)
圆的标准方程(公开课)
练习4 ⊿AOB的顶点的坐标分别是A(4,0), B(0,3),O(0,0),求它的外接圆的方程。
(x2)2(y3)2 25 24
圆的标准方程(公开课)
小结
1.圆的标准方程
2、直线可以用一个方程表示，圆是否也可以 用一个方程来表示呢？ 如果可以，那么它方 程形式又是怎样的呢?
圆的标准方程(公开课)
自我探究
问题1、圆上的动点具有什么几何性质? 如何将该几何性质用数学式子 表示出来呢？
问题2、圆的标准方程中那些是不变的常数？ 怎样求圆的标准方程？
圆的标准方程(公开课)
探究新知
4.1.1 圆的标准方程
y
OA
x
r
圆的标准方程(公开课)
n 创设情境 引入新课
一石激起千层浪
圆的标准方程(公开课)
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆的？
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆.
圆的标准方程(公开课)
圆的标准方程(公开课)
师生互动探究
1、在初中我们是如何定义圆？
平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆. 定点----圆心------确定圆的位置 定长----半径------确定圆的大小
(3)(x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0）;圆心A(-1,-2), r= m
圆的标准方程(公开课)
典型例题
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)， M2( 5,1)是否在这个圆上。
解：圆心是 A(2,3)，半径长等于5的圆的标准方程 是：
(x2)2(y3)225
(xa)2(yb)2r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法：
圆的标准方程(公开课)
内呢？圆上？还是在圆外呢？ M0
M0 O
O M0
O
点在圆内
点在圆上
点在圆外
| O M 0 | <r
| O M 0 | =r
(x0-a)2+(y0-b)2<r2;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
圆的标准方程(公开课)
| O M 0 | >r
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
知识探究二：点与圆的位置关系