初一数学讲义
初一数学上册预科讲义
有理数和实数第一部分第一讲有理数的基本概念1、正数像 3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学过的数，除 0 外都是正数。
正数都大于 0。
2、负数像−1、−3.12、−175 、−2012等在正数前加上“−”(读作负)号的数，叫做负数。
负数都小于 0。
0既不是正数，也不是负数。
3、相反意义的量如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
“相反意义的量”的含义包含两部分：相反意义，在相反意义的基础上有数量。
如：南为正方向，向南 1km 表示为+1km ，那么向北 3km 表示为−3km 。
若向东走3km 如何表示？4、有理数整数与分数统称为有理数。
凡是可以化成分数形式的数，都是有理数。
否则，不是有理数。
150.5 1.3 0.1▪23▪ 0.12▪3▪ 0.123▪3.1415926 π5、无理数无限不循环小数，如 π。
有理数分类标准：①性质 、②正负⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数正分数分数零正整数整数有理数：先性质后正负 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数非正数非负数零正分数正整数正有理数有理数：先正负后性质)(⎪⎩⎪⎨⎧小数是有理数不可化成分数形式，不—无限不循环小数理数可化为分数形式，是有无限循环小数有限小数⎭⎬⎫注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
例 1：⑴下列各组量中，具有相反意义的量是( )A. 节约汽油 10升和浪费粮食B. 向东走 8 公里和向北走 8公里C. 收入 300元和支出 100元D. 身高 1.8米和身高 0.9米⑵如果零上5 ℃记作+5 ℃，那么零下5 ℃记作( )A. −5B. −10C. −5 ℃D. −10 ℃⑶如果水位升高 4m时水位变化记为+4m，那么水位下降 3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为 200米，−150米，那么甲地比乙地高出( )A. 200米B. 50米C. 300米D. 350米⑸饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600 ± 30(ml) ”字样。
七年级数学代数式学生讲义
第二章 代数式2.1 字母表示数和列代数式【本讲主要内容】一. 教学内容：用字母表示数、列代数式 二. 重点、难点：1. 重点：用字母表示数，代数式的意义，列代数式。
2. 难点：熟练地用字母表示数，列代数式。
三. 教学知识要点：1. 用字母表示数，不要使字母表示的数的范围缩小，一个字母可表示任何有理数。
2. 在同一个问题中，不同的量必须用不同的字母表示。
3. 字母与字母相乘，“乘号”可省略，数字与字母相乘，要把数字写在字母前面（如a ×3必须写成3a ，不能写成a3）；带分数与字母相乘，一定要把带分数化成假分数。
5. 代数式的意义用运算符号——加、减、乘、除、乘方、开方，把数字与字母联结而成的式子叫代数式。
说明：（1）单独的一个数或字母，虽没涉及运算，但可以看作是该数或字母乘以（或除以）1，规定它们也是代数式（如15，l ，t ，0……）。
（2）正确列出代数式的关键为：抓住关键词语的意义，理清它们之间的数量关系，弄清运算顺序和括号的使用方法。
（3）代数式中不含“＝”号或“＞、＜、≠”号等表示相等关系或不等关系的符号。
四. 考点分析 ㈠用字母表示数用字母表示数可以简明地表达现实中浩繁的数量间的关系，表达数的各种运算定律、性质和法则。
如用字母a 、b 、c 表示三个数，则加法结合律可表示为：a+b+c=a+（b+c ）=（a+b ）+c.在用字母表示数时，应注意：（1）同一个问题中的相同量要用同一个字母表示，不同量必须用不同字母表示.同一个字母在不同问题中的意义也是不同的.如在表示长方形的面积公式时，用S 表示面积，a 表示长方形的长，b 表示长方形的宽，则有S=ab 。
在这里，S 、a 、b 分别表示不同的量，同样是字母a ，在不同的问题中可表示不同的数。
（2）应该遵循规定了的、约定俗成的、沿袭的表示习惯.如：用C 表示周长，用㎝表示厘米…… ㈡代数式1. 代数式的定义 像n-2，3b ，yx，m+3等由运算符号连接的式子都是代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 写代数式（1）数与数相乘用“×”；数与字母，字母与字母相乘用“·”或省略不写；（2）字母与数字相乘，数字因式应放在字母因式之前，带分数与字母相乘，带分数要化为假分数.如34-a 不能写成311- a.（3）代数式中的除号一般用分数线表示.如2a ÷b 应写成ba2.（4）几个字母因数排列时，一般按字母顺序排列.如5a 2c 3b 通常写成5a 2bc3.（5）代数式若是和或差的形式，且结果中又有单位的，应用括号将代数式括起来，后面再带单位.如（2a+3）㎝不能写成2a+3㎝.3. 列代数式列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.【典型例题】例1. 用代数式表示：（1）x 的平方与y 的一半的和 （2）x 与y 的平方的和的2倍 （3）a 与b 的倒数的差的平方（4）两个数的和为100，其中一个数为a ，求两数积 （5）m 与n 的和减去2的相反数 （6）二个连续偶数的积例2. 有若干张边长都是2的三角形纸片，从中取出一些纸片按如图所示的顺序拼接起来，可以组成一个大的平行四边形与一个大的梯形，如果取的纸片数为n ，试用含n 的代数式表示组成的平行四边形或梯形的周长。
初一数学基础知识讲义
初一数学基础知识讲义初一数学基础知识讲义1. 数的基本概念- 自然数：1、2、3、4……- 整数：0、-1、-2、-3……- 有理数：可以表示为两个整数的比值，包括整数、分数和小数。
- 实数：包括有理数和无理数。
2. 数的运算- 加法：a + b = c，表示将a和b相加得到c。
- 减法：a - b = c，表示从a中减去b得到c。
- 乘法：a × b = c，表示将a和b相乘得到c。
- 除法：a ÷ b = c，表示将a除以b得到c。
3. 整数运算- 整数加法：整数和整数相加。
- 整数减法：整数减去整数。
- 整数乘法：整数和整数相乘。
- 整数除法：整数除以整数。
4. 分数运算- 分数加法：分数和分数相加。
- 分数减法：分数减去分数。
- 分数乘法：分数和分数相乘。
- 分数除法：分数除以分数。
5. 小数运算- 小数加法：小数和小数相加。
- 小数减法：小数减去小数。
- 小数乘法：小数和小数相乘。
- 小数除法：小数除以小数。
6. 不等式- 大于：a > b，表示a比b大。
- 小于：a < b，表示a比b小。
- 大于等于：a >= b，表示a大于等于b。
- 小于等于：a <= b，表示a小于等于b。
7. 几何图形- 点：没有长度、面积和体积，只有位置。
- 直线：由无数个点连成的无限延长线。
- 线段：直线两个端点之间的部分。
- 射线：一端起始，一端无限延长的直线段。
- 平行线：在同一个平面上，永远不会相交的直线。
- 垂直线：与另一条直线相交，形成90度的角。
七年级数学有理数(学生讲义)
第一章有理数知识网络结构图知识点1：有理数的基本概念中考要求：有理数 理解有理数的意义会比较有理数的大小数轴 能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系会借助数轴比较有理数的大小相反数 会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数掌握相反数的性质绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题知识点总结：正数、负数、有理数随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满足认知需要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，向东50米和向西30米，零上6C ︒和零下4C ︒等等，它们不但意义相反，而且表示一定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.正数：像3、1、0.33+等的数，叫做正数.在小学学过的数，除0外都是正数.正数都大于0.负数：像1-、 3.12-、175-、2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.负数都小于0.0既不是正数，也不是负数.一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号. 正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数. 用正、负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然. 譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -. “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数.板块一、基本概念 例题讲解1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是（ ）①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数；④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.2、下面关于有理数的说法正确的是（ ）． A ．有理数可分为正有理数和负有理数两大类.B. 正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合C. 整数和分数统称为有理数D. 正数、负数和零的统称为有理数 板块二、数轴、相反数、倒数、绝对值3、a 和b 是满足ab ≠0的有理数，现有四个命题： ①224a b -+的相反数是224a b -+；②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．其中真命题有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4、一个数的绝对值大于它本身，那么这个数是( )A 、正有理数B 、负有理数C 、零D 、不可能 5、数轴上离开原点2个单位长度的点表示的数是____________； 6、有理数-3，0，20，，，-∣-12∣，-（-5）中，正整数有________个， 非负数有______个；7、绝对值最小的有理数是________；绝对值等于3的数是______； 绝对值等于本身的数是_______；绝对值等于相反数的数是_________数；一个数的绝对值一定是________数。
人教版七年级数学第一章第一节讲义
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义课 题 1.1.1 正数与负数课 型□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 教 学 内 容知识点一 正数与负数的概念注：1.判断一个数的正负，不能只看符号，如+（-3）不是正数而是负数，-（-1）不是负数而是正数。
2.一个数前面的“+”或“-”叫做它的性质符号。
例1．若规定收入为“＋”，那么支出-50元表示（ ）A ．收入了50元B ．支出了50元C ．没有收入也没有支出D ．收入了100元 例2．下列说法正确的是（ ）A ．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数B ．零既不是正数也不是负数C ．零既是正数也是负数D ．若a 是正数，则-a 不一定就是负数例3．如果某股票第一天跌了3．01%，应表示为________，第二天涨了4．21%，•应表示为_________． 练习1.如果+5ºC 表示比零度高+5ºC ，那么比零度低7ºC 记作_______ºC.2.如果-60元表示支出60元，那么+100元表示______________.3.不具有相反意义的量是（ ）.A. 妈妈的月工资收入是1000元，每月生活所用500元B. 5000个产品中有20个不合格产品C. 新疆白天气温零上25ºC ，晚上的气温零下2ºCD. 商场运进雪碧100箱，卖出80箱4.下列各数-0.05 3127 -856 +120 -32 4.1 0 73 -8 -3 +2.3 -9 正数有 ；负数有_________________________；知识点二有理数概念有理数：正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
(整数和分数统称为有理数)注：因为有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，所以我们把有限小数、无限循环小数都看成分数。
例4．既是分数，又是正数的是（）A．+5 B．-514C．0 D．8310例5．下列说法不正确的是（）A．有最小的正整数，没有最小的负整数 B．一个整数不是奇数，就是偶数 C．如果a是有理数，2a就是偶数 D．正整数、负整数和零统称整数练习1.－a不是负数，那么（）.A．a是正数B．a不是负数C．a是负数D．a不是正数2. 下列说法中，正确的是（）Ａ．正数和负数统称有理数Ｂ．零是最小的有理数Ｃ．倒数等于它本身的有理数只有1Ｄ．整数和分数统称为有理数知识点三有理数的分类注：1.有理数的分类要按同一标准分类，不能把两类混在一起，否则结果会出错。
初一上数学-整式的加减-培优讲义
初一数学（上册）讲义整式的加减培优能力提高 1 ：用字母表示数能力提高 2 ：图形关系的代数表示有些数目关系表现为图形中的数目关系，假如能将这些关系表示为代数式，这样就初步地实现了数与形相联合，抽象与直观相联合，对培育数学能力是特别重要的。
能力提高 3 ：由代数式睁开的推理能力提高 4 ：求代数式的值用详细的数取代代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特别的过程．详细求解代数式值的问题时，关于较简单的问题，代入直接计算其实不困难，但关于较复杂的代数式，常常是先化简，而后再求值．下边联合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．【例 1】求以下代数式的值：（1）5ab 4 1 a3b2 2 1ab1a3b2 23ab a2b 5 ，此中 a 1,b2 ；2 4 2 4（2）3x2y { xyz (2 xyz x2 z) 4x2 z [3 x2 y (4 xyz 5x2 z 3xyz)]} ，此中 x 1, y 2, z 3 .剖析上边两题均可直接代入求值，但会很麻烦，简单犯错．我们能够利用已经学过的相关观点、法例，如归并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，而后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的正确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4× 13× (- 2)2- 12 × (-2)-5 =-16+2-5=-19 ．(2) 原式 =3x 2y-xyz+(2xyz-x 2 z)+4x 2z[3x2y-(xyz-5x 2z)]=3x 2y-xyz+2xyz-x 2 z+4x 2z-3x 2y+(xyz-5x 2z)=(3x 2y-3x 2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x 2z+4x 2z-5x2z) =2xyz-2x 2z=2× (-1) × 2× (-3)-2× (-1)2 ×(-3) =12+6=18 ．说明 本例中 (1)的化简是添括号，将同类项归并后，再代入求值； (2)是先去括号，而后再添括号，归并化简后，再代入求值．去、添括号时，必定要注意各项符号的变化．【例 2】已知 ab 1 ，求 a 33ab b 3 的值．剖析 由已知条件 a-b=-1，我们没法求出 a ， b 确实定值，所以本题不可以像例 1 那样，代入 a ， b 的值求代数式的值．下边给出本题的五种解法．解法 1 由 a-b=-1 得 a=b-1，代入所求代数式化简a 3+3ab-b 3=(b-1) 3+3(b-1)b-b 3=b 3-3b 2+3b-1+3b 2-3b-b 3=-1 ．说明 这是用代入消元法消去 a 化简求值的．解法 2 由于 a-b=-1，所以原式 =(a 3-b 3)+3ab=(a-b)(a 2+ab+b 2)+3ab=-1× (a 2+ab+b2)+3ab=-a 2-ab-b 2+3ab =-(a 2-2ab+b 2)=-(a-b) 2 =-(-1)2=-1 ．说明 这类解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法 3 由于 a-b=-1，所以原式 =a 3-3ab(-1)-b 3=a 3-3ab(a-b)-b 3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=(a-b) 3=(-1) 3=-1 ．说明 这类解法奇妙地利用了-1=a-b ，并将 3ab 化为 -3ab(-1)=-3ab(a-b) ，进而凑成了(a-b)3．解法 4 由于 a-b=-1，所以 (a-b) 3=(-1) 3 =1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1， a3-b3 -3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1 ，即 a3-b3+3ab=-1 ．说明这类解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b 3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b) 3+3ab(a-b)+3ab=(-1) 3+3ab(-1)+3ab=-1 ．说明这类解法是添项，凑出(a-b)3，而后化简求值．经过这个例题能够看出，求代数式的值的方法是很灵巧的，需要仔细思虑，才能找到简易的算法．在本例的各样解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结以下：(a+b) 2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b 3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2)．【例 3】已知xy 2 ，求代数式3x5xy3y的值 .x y x 3xy y解由已知， xy=2(x+y) ，代入所求代数式中，消去xy，而后化简．所以【例 4】已知a3b, c 5a ，求a b c的值.a b c解由于 a=3b，所以 c=5a=5× (3b)=15b ．将 a， c 代入所求代数式，化简得【例 5】已知m, x, y知足条件：（ 1）2 ( x 5)2 5| m | 0；（2）2a2b y 1与 3a2b3是同类项.37 1 3求代数式{ x2 y [ xy2 ( x2 y 3.475xy2 )] 6.2752 } 的值.16 4 16解由于 (x-5)2 ，｜ m｜都是非负数，所以由(1)有由 (2)得 y+1=3 ，所以 y=2 ．下边先化简所求代数式，而后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52× 2+0+10× 5× 22=250【例 6】假如4a 3b 7 ，而且 3a 2b 19 ，求 14a 2b 的值．剖析本题能够用方程组求出a， b 的值，再分别代入14a-2b 求值．下边介绍一种不用求出a，b 的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52 ．【例 7】当x 2 17时，求代数式｜ x｜ +｜x-1｜ +｜ x-2 ｜+｜ x-3｜ +｜x-4 ｜ +｜ x-5｜的值．310， 1， 2，剖析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有 3 个 x 和 3 个 -x，这样将抵消掉x，使求值变得简单．原式 =x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9 ．说明实质上，本题只需x 的值在 2 与 3 之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x 详细的取值没关．【例 8】若 x:y:z=3:4:7 ，且 2x-y+z=18 ，那么 x+2y-z 的值是多少？剖析x:y:z=3:4:7 能够写成的形式，关于等比，我们往常能够设它们的比值为常数k，这样能够给问题的解决带来便利．x=3k ，y=4k ， z=7k ．由于 2x-y+z=18 ，所以2×3k-4k+7k=18，所以 k=2，所以 x=6 ， y=8， z=14，所以 x+2y-z=6+16-14=8 ．【例 9】已知 x=y=11 ，求 (xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．剖析本题是可直接代入求值的．下边采纳换元法，先将式子改写得较简短，而后再求值．解设 x+y=m ， xy=n ．原式 =(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11 × 11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000 ．说明换元法是办理较复杂的代数式的常用手法，经过换元，能够使代数式的特点更为突出，进而简化了题目的表述形式．。
初一上册数学知识点归纳上课讲义
1.2有理数 1.2.1有理数 正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。 整数和分数统称有理数。 1.2.2数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。 ⑵同一根数轴，单位长度不能改变。 一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个 单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 1.2.3相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。 在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数。
3.2直线、射线、线段 经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 两点确定一条直线。 点C线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。类似的还有 线段的三等分点、四等分点等。 直线桑一点和它一旁的部分叫做射线。 两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。
3.3角的度量 角也是一种基本的几何图形。 度、分、秒是常用的角的度量单位。 把一个周角360等分，每一份就是一度的角，记作1；把1度的角60等分，每份叫 做1分的角，记作1；把1分的角60等分，每份叫做1秒的角，记作1。 3.4角的比较与运算 3.4.1角的比较 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。 类似的，还有叫的三等分线。
多姿多彩的图形
现实生活中的物体我们只管它的形状、大小、位置而得到的图形， 叫做几何图形。 3.1.1立体图形与平面图形 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥等都是立体图形。此外棱柱、棱 锥也是常见的立体图形。 长方形、正方形、三角形、圆等都是平面图形。
七年级上册 数学讲义《第3讲 数轴动点(二)》人教版 初一数学
人教版·七年级上册数学讲义第3讲 数轴动点（二）疯狗问题知识导航疯狗问题的难度并不大，特征也很明显，即一个较高的速度动点（疯狗）不断在两低速动点间往返运动，两低速动点相遇时，高速度动点随之停止．在这个运动过程中，我们并不能清晰的分析出这里的运动状态，但可以通过两低速动点相遇所花费的时间来得到高速动点的运动时间，结合其速度求出它的路程．例题1点A 、B 、C 在数轴上表示的数a 、b 、c 满足：()()222240b c ++-=，且多项式32321a x y ax y xy +-+-是五次四项式．若数轴上有三个动点M 、N 、P ，分别从点A 、B 、C 开始同时出发，在数轴上运动，速度分别为每秒1个单位长度、7个单位长度、3个单位长度，其中点P 向左运动，点M 向右运动，点N 先向左运动，遇到点M 后回头再向右运动，遇到点P 后回头向左运动，……，这样直到点P 遇到点M 时三点都停止运动，求点N 所走的路程．练习1已知数轴上的点A 、B 对应的数分别为x 、y ，且()21002000x y ++-=．点P 为数轴上从原点出发的一个动点，速度为30单位长度/秒，若点A 沿数轴向右运动，速度为10单位长度/秒，点B 沿数轴向左运动，速度为20单位长度秒，点A 、B 、P 三点同时开始运动．点P 先向右运动，遇到点B 后立即掉头向左运动，遇到点A 后再立即掉头向右运动……如此往返．当A 、B 两点相距30个单位长度时，点P 立即停止运动，求此时点P 移动的路程为多少个单位长度？ 挡板问题到达挡板后停止例题2已知点A 、B 在数轴上表示的数分别为a 、b ，且满足2a -与()290b -互为相反数．（1）a 值为_____，b 值为_____．（2）已知电子狗P 从点A 出发，向右匀速运动，速度为每秒1个单位长度，另一电子狗Q 从点B出发，向左匀速运动，速度为每秒3个单位长度，且Q比P先运动2秒，已知在原点O处有病毒，若电子狗遇到病毒则停止运动，未遇到病毒则继续运动．问电子狗P经过多长时间，有P、Q 两只电子狗相距70个单位长度？练习2数轴上A、B两点对应的数分别为-80、20，一电子蚂蚁P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，目的地为B点；另一电子蚂蚁Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度向左匀速运动，目的地为A点．（1）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距20个单位长度？（2）运动多长时间后，P、Q两只电子蚂蚁相距80个单位长度？到达挡板后返回例题3如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足++=．+a b a430（1）求A、B两点之间的距离．（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；两秒后另一个小球乙从点处以3个单位秒的速度也向左运动，左碰到挡板后（忽略球的大小，可以看作一点）乙球以4个单位/秒的速度向相反的方向运动，设甲球的运动的时间为t（秒）．①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用含的式子表示）．②求甲、乙两小球到原点的距离相等时，甲球所在位置对应的数．数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数-26、-10、20，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，当P点运动到C点时运动停止设点P移动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P点对应的数：__________．（2）当P点运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒2个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回A点．①用含t的代数式表示Q在由A到C过程中对应的数：__________．②当t=__________时，动点P、Q到达同一位置（即相遇）．③当PQ=3时，求的值．练习32019~2020学年10月湖北武汉江岸区武汉市七一华源中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上的A、B两点分别对应数字a、b，且a、b满足()2-+-=．440a b a（1）直接写出a、b的值．（2）数轴上还有一点C对应的数为36，若点P从A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向正方向运动，点P运动到点C立即返回再沿数轴向左运动．当10PQ=时，求P点对应的数．例题4已知多项式26233---中，多项式的项数为a，多项式的次数为b，常数项为c，且a、25320m n m n nb、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．（1）写出a=_____；b=_____；c=_____．（2）若甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是1、2、3，（单位/秒），当乙追上甲时，甲、乙继续前行，丙此时以原速向相反方向运动，问甲、乙、丙三个动点分别从A、B、C三点同时出发到乙、丙相距2个单位长度时所经历的时间是多少秒？总结归纳无论是遇到挡板后停止的动点问题，还是遇到挡板后返回的动点问题，其本质都是，在遇到挡板的前后，该动点的运动状态发生了改变．因此，必须以到达终点或碰到挡板的时间为界，分别表示出在不同时间段内动点的位置表达式（含t的代数式），即分段讨论，在此基础上再来研究相关点的距离关系，这样才不会漏解．同学们可以体会挡板问题和一般的动点问题的不同之处，自己归纳易错点和相应解法，这样印象更深刻，能真正理解动点问题的本质以及各题型之间的异同．练习42018~2019学年10月湖北武汉洪山区武汉市卓刀泉中学初一上学期月考第24题12分已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a、b、c，且满足()2++++-=．动点a b c2410100P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设移动时间为t秒，（1）求a、b、c的值．（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A，在点Q开始运动后第几秒时，P、Q两点之间的距离为4？请说明理由．例题52018~2019学年湖北武汉东湖高新区初一上学期期中第24题12分数轴上m，n，q所对应的点分别为点M，点N，点Q．若点Q到点M的距离表示为QM，点N到点Q的距离表示为NQ．我们有QM q m=-．=-，NQ n q（1）点A，点B，点C在数轴上分别对应的数为-4，6，c．且BC CA=，直接写出c的值_____．（2）在（1）的条件下，两只电子蚂蚁甲，乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位每秒，乙的速度为1个单位每秒．求经过几秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7．（3）在（1）（2）的条件下，电子蚂蚁乙运动到点B后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，电子蚂蚁甲运动至B点后也以原速返回，到达自己的出发点后又折返向B点运动，当电子蚂蚁乙停止运动时，电子蚂蚁甲随之停止运动，运动时间为多少时，两只蚂蚁相遇．练习52019~2020学年10月湖北武汉武昌区武昌首义中学初一上学期月考第24题12分如图，数轴上点A、C对应的数分别是a、c，且a、c满足()2a c++-=，点B对应的数是-3．410（1）求数a、c．（2）点A、B同时沿数轴向右匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，若运动时间为t秒，在运动过程中，点B运动到点C处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A运动至点C处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C运动，当点B停止运动时，点A随之停止运动，求在此运动过程中，A、B两点同时到达的点在数轴上表示的数是_____（直接写出答案）挑战压轴题2017~2018学年湖北武汉江岸区武汉二中广雅中学初一上学期期中第24题如图，A、B两点在数轴上对应的数分别为-20、40，C点在A、B之间．在A，B、C三点处各放一个档板，M、N两个小球都同时从C处出发，M向数轴负方向运动，N向数轴正方向运动，碰到档板后则向反方向运动，一直如此下去（当N小球第二次碰到B档板时，两球均停止运动）（1）若两个小球的运动速度相同，当M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好第二次碰到B档板求C点所对应的数．（2）在（1）的结论下，若M，N小球的运动速度分别为2个单位/秒，3个单位/秒，则N小球前三次碰到档板的时间依次为a，b，c秒钟，设两个球的运动时间为t秒钟．①请直接写出下列时段内小球所对应的数（用含t的代数式表示）当0t a≤≤时，N小球对应的数为_____，当a t b<≤时，N小球对应的数为_____，当b t c<≤时，N小球对应的数为_____．②当M、N两个小球的距离等于30时，求t的值．（3）移走A、B、C三处的挡板，点P从A点出发，以6个单位/秒的速度沿数轴向右运动，同时点Q从B点出发，以4个单位/秒的速度沿数轴向左运动．已知E为AP中点，点F在线段BQ上，且14QF BQ=，问出发多少秒后，点E到点F的距离是点E到原点O的距离的4倍？巩固加油站巩固12019~2020学年12月湖北武汉蔡甸区经济技术开发区第一中学初一上学期月考第24题12分如图，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴的正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A，B的速度之比为1:4（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置．（2）若A，B两点从（1）中的位置同时按原速度向数轴负方向运动，几秒后，两动点到原点的距离相等？（3）在（2）中若B在A的右侧，A、B两点继续同时开始向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后立即返回向B点运动，遇到B点后又立即返回向点A运动……如此往返，直到点B追上点A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位长度秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，行驶的路程是多少个单位？巩固2数轴上A、B两点表示的有理数为a、b，且()2350a b-++=．小蜗牛甲以1个单位长度秒的速度从点B出发向其左边6个单位长度处的食物爬去，3秒后位于点A的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度秒的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D 点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发到此时，小蜗牛甲共用去多少时间？巩固3数轴上A点对应的数是-1，B点对应的数是1，一只小虫甲从点B出发沿着数轴的正方向以每秒4个单位的速度爬行至C点，再以同样速度立即返回到A点，共用了4秒钟．（1）求点C对应的数．（2）若小虫甲返回到A点后再做如下运动：第1次向右爬行3个单位，第2次向左爬行5个单位，第3次向右爬行7个单位，第4次向左爬行9个单位……依此规律爬下去，求它第10次爬行后停在点所对应的数．（3）回答下列各问：①若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，这时另一小虫乙从出发沿着数轴的负方向以每秒6个单位的速度爬行，则运动t秒后，甲、乙两只小虫的距离为_____（用含t的整式表示）．②若小虫甲返回到A点后继续沿着数轴的负方向以每秒4个单位的速度爬行，同时另两只小虫乙、丙分别从点B和点C出发背向而行，乙的速度是每秒2个单位，丙的速度是每秒1个单位．假设运动t秒后，甲、乙、丙三只小虫对应的点分别是D、E、F，则32DE EF-是定值吗？如果是，请求出这个定值．巩固4如图，在数轴上每相邻两点间的距离为一个单位长度，点A、B、C、D对于的数分别是a、b、c、d，且214d a-=．（1）那么a=_____，b=_____．（2）点A以3个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动，1秒后点B以4个单位/秒的速度也沿着数轴的正方向运动．当点A到达D点处立刻返回，与点B在数轴的某点处相遇，求这个点对应的数．（3）如果A、B两点以（2）中的速度同时向数轴的负方向运动，点C从图上的位置出发也向数轴的负方向运动，且始终保持23AB AC=．当点C运动到-12时，点A对应的数是多少？。
十五次课学完初一上学期数学(1—5)讲义
十五次课学完初一上学期数学(人教版)讲义有理数的基本概念（上）板块一有理数基本概念【知识导航】正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。
正数都大于0。
负数：像-1、-3.12、-17、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负5数。
负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。
有理数：整数与分数统称为有理数。
无理数：无限不循环小数，如π。
注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数；⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。
【例1】⑴下列各组量中，具有相反意义的量是（）A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米⑵如果零上5οC记作+5οC，那么零下5οC记作（）A．-5 B．-10 C．-5οC D．-10οC⑶如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作___，水位不升不降时水位变化记为____m⑷甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（）A．200米B．50米C．300米D．350米⑸学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“600±30(ml)”字样，请问“±30ml”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为589ml,573ml,627ml，问抽查产品的容量是否合格？【例2】0.05⑴一种零件的长度在图纸上是(20+-0.05)米，表示这种零件加工要求最大不超过_______，最小不小于_____.⑵1是（）A．最小的整数B．最小的正整数C．最小的自然数D．最小的有理数&π,-1,-0.313,3.14,&&⑶-4.5,6,0,2.4,-11以上各数中，____属于负数，____属于非正数，2____属于非负有理数。
北师大版初一数学(上)讲义
北师大版初一数学(上)讲义一、字母表示什么字母可以表示任何数。
1、用字母表示数的运算律和公式法则1加法交换律加法结合律○2乘法交换律○乘法分配律2、用字母表示计算公式1长方形的周长面积（a、b分别为长、宽）○2正方形的周长，面积a表示边长）○3长方体的体积，表面积a、b、c分别为长、宽、高）○4正方体的体积,表面积a表示棱长）○5圆的周长面积（r为半径）○6三角形的面积（a表示底边长，h表示底边上的高）○3、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
4、注意书写格式的规范(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3) 带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4) 除法运算写成分数形式，分数线具“÷ ”号和“括号”的双重作用。
(5) 在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。
二、代数式1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。
如：n-2 、0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。
2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。
单独一个数或一个字母也是单项式。
其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。
①书写时，系数是1的时候可省略；② 是数字，不是字母。
3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。
每个单项式称为项。
4、单项式多项式统称为整式。
【典型例题】列代数式表示（注意规范书写）1、某商品售价为a元，打八折后又降价20元，则现价为_____元2、橘子每千克a元，买10kg以上可享受九折优惠，则买20千克应付_________元钱. 3、如图，图1需4根火柴，图2需____根火柴，图3需____根火柴，图n需____根火柴。
初一人教版必备数学精讲讲义
初一人教版必备数学精讲讲义一、整数与分数1. 整数的概念及表示整数是由自然数、零和负数组成的数集，表示为Z。
2. 整数的运算2.1 加法整数加法的运算规则：同号相加，异号相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
2.2 减法整数减法的运算规则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
2.3 乘法整数乘法的运算规则：同号相乘得正，异号相乘得负。
2.4 除法整数除法的运算规则：同号相除得正，异号相除得负。
3. 分数的概念及表示分数是表示整体中的一部分的数，由分子和分母组成，表示为a/b （b≠0）。
4. 分数的运算4.1 加法和减法分数的加法和减法运算规则：将分数转化为相同分母后，对分子进行加或减。
4.2 乘法分数的乘法运算规则：将两个分数的分子和分母分别相乘。
4.3 除法分数的除法运算规则：将除法转化为乘法，将除数的倒数作为乘法的因数。
二、代数式与方程1. 代数式的概念及表示代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，可以表示数或量。
2. 代数式的运算2.1 合并同类项合并同类项是将具有相同字母变量的项进行加减运算。
2.2 提取公因式提取公因式是将代数式中的公共因子提取出来。
2.3 展开式和因式展开式是将乘积式或幂式展开为加减式；因式是将加减式写成乘积式或幂式的形式。
3. 方程的概念及解法方程是含有未知数的等式，通过求解未知数的值来满足等式成立。
4. 一元一次方程一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知常数，x为未知数。
5. 一元一次方程的解法5.1 用逆运算法解方程根据一元一次方程的定义，通过逆运算法求解方程。
5.2 用等式变形法解方程利用等式的性质进行变形，将方程转化为更简单的形式以求解。
三、图形的认识与几何运算1. 点、线、面的概念及表示点是几何图形的基本要素，用大写字母表示；线是由无数个点组成的集合，用小写字母表示；面是由无数个连在一起的线组成的集合。
2. 直线、射线和线段直线是一定方向上无限延伸的线段；射线是起点固定，沿着一定方向无限延伸的线段；线段是由两个点确定的有限部分。
初一数学一元二次方程全章精品讲义
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程 的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1） （2） （3）
（4） （5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知 是完全平方式，则 的值为______。
例3：若 是完全平方公式，则 的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1） （2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程 的两个根分别为 ，则二次三项式 可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为 ，根据这个规矩，方程 的解为______________。
例5：若关于 的方程 与 有相同的实数根，则 的值为_______。
例6：已知 为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知 的两边AB、AD的长是关于x的方程 的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于 的一元二次方程 恒有两个实数根．
7、已知关于 的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求 的值及该方程的另一个根
初一年级数学讲义
初一年级收心课讲义（一）知识精要：一、有理数（一）有理数的基本概念 1、正数、负数的概念2、用正、负数表示相反意义的量：3、有理数：按定义整数与分数统称有理数。
()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数注：（1）正数和零统称为非负数； （2）负数和零统称为非正数； （3）正整数和零统称为非负整数； （4）负整数和零统称为非正整数。
4、数轴：规定了原点、正方向、和单位长度的直线叫做数轴。
（数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
）5、 相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数；或者说这两个数互为相反数。
（零的相反数是零，互为相反数的和为零。
）6、绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。
绝对值的性质：（1）正数的绝对值等于它本身；（2）0的绝对值等于0；（3）负数的绝对值等于它的相反数（4）非负数的绝对值等于它本身；反之，如果一个数的绝对值等于它本身，这个数是非负数；（5）非正数的绝对值等于它的相反数。
反之，如果一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是非正数。
(0)0 (0) (0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩； (0) (0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩；若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤。
7、科学计数法：把一个数写成10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是正整数）。
（二）有理数运算 1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数。
2、有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数3、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。
新初一数学预科班讲义
第一章 有理数及其运算 §1.1 数怎么不够用了【知识梳理】一、有理数的分类有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数 或有理数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数 二、数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.三、求一个相反数的方法要求一个数的相反数，只要在这个数前面添上“-”，新的数就表示原数的相反数。
四、相反数的性质1、互为相反数的两个数的和为零，即如果b a 、互为相反数，则有0=+b a ；反之，如果两个数的和等于0，那么这两个数互为相反数，即若0=+b a ，则b a 、互为相反数2、相反数是本身的数只有一个，是03、1和-1互为相反数，也是互为负倒数。
4、互为相反数的两个数绝对值相等，但绝对值相等的两个数并不一定互为相反数 〖经典例题〗 例1.将下列具有相反意义的量用线连接起来向南走6米 失球2个 进球5个 亏损500元高于海平面960米 运出200吨粮食 盈利1000元 向北走30米运进500吨粮食 低于海平面300米 例2.把下列各数分别填在相应的大括号内.2.4,413,8.0,0,722,6,2,13,21-+-- 正数{ }负数{ } 正整数{ } 正分数{ } 负分数{ }例3.三峡大坝从6月1日开始下闸蓄水，下表是工作人员连续5天的水位记录（如果规定蓄水位为135米）情况，记录如下：（单位：米）6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日-5 +2 -1 +3 +2 问：（1）这5天中每天的水位各是多少米？（2）总的来说，水位是高了，还是低了？若高，高了多少？若低，低了多少？例4.如图，数轴上点A 、B 、C 、D 、E 各表示什么数？ 例5.下列说法中正确的是（ ）2332和互为相反数 B.125.0-81和互为相反数 C.a -的相反数是正数 D.两个表示相反意义的量互为相反数例6.比较大小 （1）0 -3 (2) 21--2 (3)7 -10 〖变式练习〗1.指出下列语句的实际意义（1）温度下降了-9℃； （2）收入了-4000元2.将下列各数分别填入相应的集合里 431,01.14,0,07.0,7.5,2,21,1---正数集合{ }负分数集合{ } 整数集合{ }3.体育课上老师对九年级男生进行了引体向上的测试，以能做7个为标准，超过的个数用正数来表示，不足的个数用负数来表示，其中8名男生的成绩如下： 2，-1, 0, 3，-2，-3, 1, 0 这8男生有百分之几达到标准？ 他们共做了多少个引体向上？4.在数轴上画出表示下列各数的点 3， -1， 0，-221，3.5，-55.说出下列各数的相反数：5，-10，-3.9，.0,20042003,53-6.如图，数轴上的点A 、B 、C 、D 表示的数分别为-1.5，-3,2,3.5.回答下列问题：将A 、B 、C 、D 表示的数按从小到大的顺序用“<”连接。
初一数学-整式的概念及加减乘法运算讲义
整式的概念及加减乘法运算讲义一、知识点拨知识点1、单项式的概念式子x 3,m t xy a ---,6.2,,32它们都是数或字母的积，象这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式。
注意：单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型：一是数字与字母相乘组成的式子，如ab 2;二是字母与字母组成的式子，如3xy ;三是单独的一个数或字母，如m a ,2-，。
知识点2、单项式的系数单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：（1）单项式的系数可以是整数，也可能是分数或小数。
如42x 的系数是2；3ab 的系数是31，2.7m 的系数是2.7。
（2）单项式的系数有正有负，确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号，如－()xy 2的系数是－2（3）对于只含有字母因素的单项式，其系数是1或－1，不能认为是0，如－2xy 的系数是－1；2xy 的系数是1。
（4）表示圆周率的π，在数学中是一个固定的常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母。
如2πxy 的系数就是2π知识点3、单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。
注意：（1）计算单项式的次数时，应注意是所有字母的指数和，不要漏掉字母指数是1的情况。
如单项式z y x 342的次数是字母z y x ,,的指数和，即4＋3＋1=8，而不是7次，应注意字母Z 的指数是1而不是0.（2）单项式是一个单独字母时，它的指数是1，如单项式m 的指数是1，单项式是单独的一个常数时，一般不讨论它的次数。
（3）单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关。
如单项式－43242z y x 的次数是2＋3＋4=9而不是13次。
（4）单项式通常根据实验室的次数进行命名。
如x 6是一次单项式，xyz 2是三次单项式。
知识点4、多项式的有关概念（1）多项式：几个单项式的和叫做多项式。
（2）多项式的项：多项式中的每个单项式叫做多项式的项。
初一数学讲义
第一讲 和绝对值有关的问题一、知识结构框图：数二、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： .（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
新初一数学讲义
享学初一预科班第一讲 有理数的相关概念一、 本课重难点：1、有理数的性质和定义2、相反数、倒数、正负数3、数与有理数之间的关系二、 课程目标1、理解有理数的定义2、清楚数与有理数间的关系3、能够分清楚哪些是有理数哪些不是有理数4、能够清楚数的相反数、倒数、正负三、 课程内容有理数的定义和性质1. 整数和分数统称为有理数.2. 有理数还可以这样定义：形如p m(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.3. 有理数可以用数轴上的点表示.4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.2.5和 2.5-互为相反数,即2.5是 2.5-的相反数； 2.5-是2.5的相反数.在数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作||a .例如,在数轴上表示5-的点与原点的距离是5,所以5-的绝对值是5,记作|5|5-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.例1. 峨眉山上某天的最高气温为12 C ,最低气温为4- C ,那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A. 4 CB. 8 CC. 12 CD. 16 C例2. 下列说法正确的是（ ）A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0不是有理数例3．数,,x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）A. 0x y z>>> B. 0y x z>>>C. 0y x z<<< D. 0x y z<<<例4.说出下列各数的相反数：16,－3,0,12007-,0.001,m,n-,m n-.例5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）练习一1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列说服中正确的是（）A. 正整数和负整数统称为整数B. 正数和负数统称为有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等4. 下面四个命题中,正确的是( )A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上,点A对应的数是－2006,点B对应的数是＋17,则A、B两点的距离是（）A. 1989B. 1999C. 2013D. 20236. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.7. 下列说法中错误的是（ ）A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.B. 数轴上原点表示数0.C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.8. 下列说法正确的是（ ）A. 有最大的整数B. 有最小的负数C. 有最大的正数D. 有最小的正整数四、 课后作业1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方2. If we have 0,0<-<b a ba .and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是A. a+b+c>0B. c>|a+b|C. |a-c|=|a|+cD. |b-c|>|c-a4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是A. a,b 是正数,c<0B. a,c 是正数,b<0C. b,c 是正数,a<0D. a,c 是负数,b>05. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是A. 0ab >B. 0ab ≥C. 0ab <D. 0ab ≤6. a 为有理数,下列说法中正确的是A. 21()2007a +为正数 B. 21()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007a +为正数7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )A. a+b+c+d 一定是正数．B. d+c-a-b 可能是负数．C. d-c-b-a 一定是正数．D. c-d-b-a 一定是正数．8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.第二讲 有理数的运算一、 本课重难点：1、有理数的运算法则2、整数的运算律对有理数的运算的运用二、 课程目标（简要说明）1、 清楚有理数的运算法则有哪些2、 了解有理数运算法则的运用3、 利用整数的运算定律对有理数进行运算三、 课程内容有理数的运算法则：(1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a .(4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.整数的运算律对有理数的运算也适合.例题例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.例2. 13117(0.125)( 1.2)(1)3213-⨯-÷-⨯-=____________ .实践练习：1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.2. 计算：78(0.125)8-⨯.例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .例4. 314151617181()()()()()()4556677889910++++++++++-=_________.实践练习：1. 计算：9999999999991999999⨯+=__________ .2. 计算：112123()()233444++++++ 1234124849()()555550505050+++++++++=________ .3. 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b+=,则必有 ( ) (A)210n n a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (B)21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (C)3210nn a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (D)212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.实践练习：1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( )(A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数.(C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( )(A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.四、 课后作业1. 计算：211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .2. 计算：200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .3. 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-.4.2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?第三讲 有理数的巧算一、本课重难点：1、学生很难运用一定的方法和技巧进行巧算2、很难运用巧算的一些公式进行计算二、课程目标（简要说明）1、学会用巧算的公式进行计算2、学会用巧算的方法和技巧进行计算3、能够分析常见的巧算题型三、课程内容知识要点：n m的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质. 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.有理数计算中常用到的一些等式如下：（1）11m n mn m n +=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m=-++ （4）()()22a b a b a b +=+-；（5）()11232n n n +++++=； （6）()()22221211236n n n n ++++++=例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦实践练习：1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭2、计算：()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭例2.（1）计算：111112233419992000++++⨯⨯⨯⨯（2）计算：111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯实践练习：1、计算：1111599131317101105++++⨯⨯⨯⨯2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56153、计算： 2222222271911119917191111991++++++++----例3.计算：2222222123499100101-+-++-+实践练习：1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+2、计算：222222222468101298100-+-+-++-3、计算：()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++四、课后作业1、计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、计算：137153163127255248163264128256+++++++3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56154、计算：3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、计算：111111111357911131517612203042567290++++++++6、计算：2222222213579114951-+-+-++-7、计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少?第四讲 单项式和多项式、同类项一、本课重难点：1、什么是单项式，什么是多项式，什么是同类项2、单项式的形式和多项式的形式3、同类项的简单运算二、课程目标（简要说明）1、清楚单项式和多项式、同类项的定义2、清楚单项式和多项式、同类项的性质3、清楚单项式和多项式、同类项的形式三、课程内容单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.单项式系数和次数31a 2h,2πr,a bc,－m 的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.①x ＋1； ②x 1； ③πr 2； ④－23a 2b.例2.下面各题的判断是否正确?①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31. 注意：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.多项式1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______； (3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只. 2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断：①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.创设问题情境 ⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2, 83, 9a , －32xy 2, 95,2xy 22y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－32xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 22可以归为一类,5a 与9a 可以归为一类,还有83、0与952y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83、0与95也是同类项.例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”.(1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )(3)3x 2y 与－31yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( )(5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－23yx 2.例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋61(s －t)；(2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.四、课后作业1、填空：－45a 2b －34a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 . 2、已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.3、请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?4、若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______第五讲 幂排列、整式运算一、本课重难点：1、多项式幂的理解2、升幂和降幂的排列3、整式的运算二、课程目标1、能够理解什么是幂2、能够理解幂的升降3、能够分析幂的排序4、 能够对整式进行运算三、课程内容升幂排列与降幂排列：有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：按x 降幂排列：例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.想一想：观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列. (1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： . 小结：注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x元,水笔的单价为每支y元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x＋25y)元.由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x2＋3x2=5x4；(2)3x＋2y=5xy；(3)7x2－3x2=4；(4)9a2b－9b a2=0.例3.合并下列多项式中的同类项：(1) 2a2b－3a2a2b；(2)a3－a2b＋a b2＋a2b－a b2＋b3；(3)5(x＋y)3－2(x－y)4－2(x＋y)3＋(y－x)4.例4.求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值,其中x=－3.例1．化简下列各式：(1)8a+2b+（5a－b）；（2）（5a－3b）－3（a2－2b）．(2)计算：5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]+2x2y－xy2．[5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项.例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.四、课后作业1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.3zy x ++,4xy,a1,22n m ,x 2+x+x1,0,xx 212-,m,―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,53xy 5,353zy x-.3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x 的降幂排列：(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+21)］―(x ―1)；(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+21(2x 2―xy ―2y 2).5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+21a b)］―5a b 2,其中a =21,b=―32.6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―21,y=21时,这个多项式的值.7．如果关于x的两个多项式42142ax x +-与35bx x +的次数相同,求3212342b b b -+-的值.第六讲 一元一次方程一、 本课重难点：1、方程和一元一次方程定义2、等式的性质3、解方程二、 课程目标1、能够了解什么是方程和一元一次方程2、能够写出解方程的步骤3、能够解简单的一元一次方程三、 课程内容 定义：方程：含有未知数的等式称为方程.一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.等式的性质：性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a b c c=. 同解方程和方程的同解原理：(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ⋅=与()0f x =或()0g x =是同解方程. 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数.解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解b x a=； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352a--=.例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.实践练习：1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31342x x -=+.2. 解方程：200712233420072008x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.列简易方程解决问题例3. 根据下列条件列方程（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的23比它的相反数小5.实践练习：1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?实践练习：1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂 有工人多少人?例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.实践练习：1. 已知::2:3:4a b c =,27a b c ++=,求22a b c --的值.2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.例7. 甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?实践练习：1. 一轮船在A,B 两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?实践练习：1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?四、 课后作业1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-.2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.4. 若关于x 的方程332xa x -=+的解是4,求22a a -的值.5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?7. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?8. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?9. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?10. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?11. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?12. 若4y=是关于y的方程85()3ym y m+-=-的解,解关于x的方程(32)m-+50 m-=.13. 当m取什么整数时,关于x的方程1514()2323mx x-=-的解是正整数?14. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?15. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?第七讲一元一次方程复习一、本课重难点：1、解一元一次方程2、一元一次方程的简单解决实际问题二、课程目标1、会解一元一次方程2、会利用一元一次方程解决简单的实际问题三、课程内容代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.1.含有未知数的等式叫做方程.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x=; (5) 2620xx +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x ++=是一元一次方程,则m =_______________.(3)若关于x 的方程232(28)6n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________.【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则m =_______________.【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解; 当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.【例3】已知2235xx +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c=.去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1【例4】解下列一元一次方程:(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;(2) 223146x x +--=; (3) 2121116518615x x x x -+---=-;(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(6)0.10.2130.020.5x x ---=.【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.【例6】已知227a b ca b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k=___________________.四、课后作业1.解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--2.解方程：()()()()1131121132x x x x +--=--+3.解方程：2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4.解关于x 的方程：()()0ax b a b -+=x 的方程：1mx nx -=6.解关于x 的方程：2421m x mx -=+7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.8.已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.32ax x b +=-有两个不同的解,试求()1999a b +的值.x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.11. 已知关于x 的方程332x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.。
人教版初一数学上册 直线、射线、线段 讲义
直线、射线与线段知识点一、直线、射线、线段的概念1、直线：由无数个点构成，没有端点，向两端无限延长，长度是无穷的，无法测量2、射线：由无数个点构成，有一个端点，从这个端点开始向另一端无限延长，长度是无穷的，无法测量3、线段：由无数个点构成，有两个端点，从一个端点连向另一个端点，长度是有限的，可以测量1、下列说法正确的有_____________①直线比射线长②线段由无数个点构成③过三点一定能作一条直线④线段的长度是无穷的⑤直线有两个端点⑥射线有两个端点⑦线段有两个端点2、下列关于直线、射线、线段的说法正确的是（）A、直线最长，线段最短B、射线是直线长度的一半C、直线没有端点D、直线、射线和线段的长度都不确定3、下列说法正确的是（）A、线段不能延长B、延长直线AB到CC、延长射线AB到CD、直线上两个点和它们之间的部分是线段A、线段AB的长度是A、B两点间的距离B、若点P使PA=PB，则点P是AB中点C、画一条10厘米的直线D、画一条3厘米的射线知识点二、直线、射线、线段的表示方法1、直线用一个小写字母或两个大写字母表示，例如直线a或直线AB。
注意：直线AB和直线BA是同一条直线2、射线用一个小写字母或两个大写字母表示，例如射线a或射线AB注意：射线AB指从A射向B，射线BA指从B射向A，是不同的两条射线3、线段用一个小写字母或两个大写字母表示，例如线段a或线段AB注意：线段AB和线段BA是同一条线段思考：（1）直线AB和直线BA一样吗？_______（2）射线AB和射线BA一样吗？_______（3）线段AB和线段BA一样吗？_______1、下列说法正确的是（）A、直线AB和直线BA是两条直线B、射线AB和射线BA是两条射线C、线段AB和线段BA是两条线段D、直线AB和直线a不能是同一条直线A、线段AB和线段a可以代表同一条线段B、直线AB和直线BA是同一条直线C、线段AB和线段BA是同一条线段D、射线AB和射线BA是同一条射线3、下列叙述正确的是（）A、直线AB、线段ABC、射线abD、直线Ab4、下列叙述不正确的是（）A、线段aB、射线bC、直线CDD、射线Ca知识点三、数学原理1、两点确定一条直线2、两点之间线段最短1、下列说法正确的有_______________①经过两点有且只有一条直线②两点之间线段最短③两点确定一条直线④到线段两个端点距离相等的点叫做线段的中点⑤线段的中点到线段两个端点的距离相等2、植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，体现的原理是________________________3、小明是神枪手，他打靶时眼睛总要与枪上的准星、靶心在同一条直线上，这体现了什么道理_______________________4、从A到B有多条路，但是聪明的人都知道走走中间的直路比较近，这体现的数学原理是_____________________5、把弯曲的河流改成直的，可以缩小航程，这体现的原理是_____________________6、要把一根木条在墙上钉牢，至少需要______枚钉子，原理是_________________7、开学整理教室时，老师总是先把每一列最前和最后的课桌整理好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐。
最新初一数学知识点上册上课讲义
初一数学（上）应知应会的知识点代数初步知识1. 代数式：用运算符号“＋ － × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式.2.列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成23a ； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a3的形式； （6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和b-a .3.几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2-b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2+b ，负数是： -a 2-b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq 为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；(4)自然数⇔ 0和正整数；a ＞0 ⇔ a 是正数；a ＜0 ⇔ a 是负数；a ≥0 ⇔ a 是正数或0 ⇔ a 是非负数；a ≤ 0 ⇔ a 是负数或0 ⇔ a 是非正数.2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ；(3)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； (3) 0a 1a a>⇔= ； 0a 1a a<⇔-=；(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a ·b|, ba b a=. 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a .13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减；注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的原则.19.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明. 整式的加减1．单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。
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第一讲 和绝对值有关的问题一、 知识结构框图：数二、 绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。
(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。
也可以写成： ()()()||0a a a a a a ⎧⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩当为正数当为0当为负数说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。
三、 典型例题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值．()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 . （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为四、 小结1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用第二讲：代数式的化简求值问题一、知识链接1． “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容，是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。
注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题例1．若多项式()x y x x x mx 537852222+--++-的值与x 无关，求()[]m m m m +---45222的值.例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式635-++cx bx ax 的值。
例3．当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.例4． 已知012=-+a a ，求2007223++a a 的值.例5．（实际应用）A 和B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异：A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200元；B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？例6．三个数a 、b 、c 的积为负数，和为正数，且bcbcac ac ab ab c c b b a a x +++++=， 则 123+++cx bx ax 的值是_______ 。
规律探索问题：例7．如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．（1）“17”在射线 ____上，“2008”在射线___________上． （2）若n 为正整数，则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为__________________________．三、小结用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。
希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展，体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般，再由一般到特殊的重要方法。
第三讲：与一元一次方程有关的问题一、知识回顾一元一次方程是我们认识的第一种方程，使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。
一元一次方程是初中代数的重要内容，它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化，又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题：二、典型例题例1．若关于x 的一元一次方程2332x k x k--+=1的解是x=-1，则k 的值是（ ） A ．27 B ．1 C ．-1311D ．例2．若方程3x-5=4和方程0331=--xa 的解相同，则a 的值为多少？例3.（方程与代数式联系）a 、b 、c 、d 为实数，现规定一种新的运算 bc ad d c b a -=.（1）则2121-的值为 ；（2）当185)1(42=-x 时，x = .例4．（方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a 厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（ ）A ．b a a +B ．b a b +C ．h a b+ D ．h a h +课外知识拓展：一、含字母系数方程的解法：思考：b ax =是什么方程？在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a ≠0，所以b ax =不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。
例5．解方程b ax =例6．当a 、b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ：（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解。
例 7． 解方程11x x a ba b ab--+-=二、含绝对值的方程解法例8． 解下列方程523x -=例9． 解方程21513x --=例10． 解方程 121x x -=-+ 三、小结1、体会方程思想在实际中的应用2、体会转化的方法，提升数学能力第四讲：图形的初步认识一、相关知识链接：1．认识立体图形和平面图形我们常见的立体图形有长方体、正方体、球、圆柱、圆锥，此外，棱柱，棱锥也是常见的几何体。
我们常见的平面图形有正方形、长方形、三角形、圆2． 立体图形和平面图形关系立体图形问题常常转化为平面图形来研究，常常会采用下面的作法 （1）画出立体图形的三视图立体图形的的三视图是指正视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）得到的三个平面图形。
（2）立体图形的平面展开图常见立体图形的平面展开图圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥、正方体（共十一种）二、典型问题：（一）正方体的侧面展开图（共十一种） 分类记忆：第一类，中间四连方，两侧各一个，共六种。
第二类，中间三连方，两侧各有一、二个，共三种。
第三类，中间二连方，两侧各有二个，只有一种。
第四类，两排各三个，只有一种。
基本要求：1. 在右面的图形中是正方体的展开图的有（ ）（A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种2．下图中, 是正方体的展开图是( )A B C D3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ）A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④较高要求：4．下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( ) A ． 7 B ． 8 C ． 9 D ． 105．一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （ ） A ．40 B.38 C.36 D. 346．将如图所示的正方体沿某些棱展开后，能得到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．1236 45c 8425ba7．下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（）还原正方体，正确识别正方体的相对面。
（二）常见立体图形的平面展开图8．下列图形是四棱锥的展开图的是（）（A）（B）（C）（D）9．下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是( )A．正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱C．正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥10．下列几何体中是棱锥的是（）A. B.C. D.11．如图是一个长方体的表面展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答问题：（1）如果A面在长方体的底部，那么哪一个面会在上面？（2）若F面在前面，B面在左面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（3）若C面在右面，D面在后面，则哪一个面会在上面？（字母朝外）（三）立体图形的三视图12．如图，从正面看可看到△的是( )13．对右面物体的视图描绘错误的是（）A．B．C．D．C(2)A DB14．如图的几何体，左视图是 （ ）15．如图，是由几个相同的小正方体搭成的几何体的三种视图，则搭成这个 几何体的小正方体的个数是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （四）新颖题型16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 .17．观察下列由棱长为 1的小正方体摆成的图形，寻找规律，如图⑴ 所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见；如图⑵所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见；如图⑶所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见……（1）写出第⑹个图中看不见的小立方体有 个；（2）猜想并写出第(n)个图形中看不见的小立方体的个数为_________个.D C B A俯视图左视图主视图第五讲：线段和角一、知识结构图二、典型问题：（一）数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？如图，在∠AOB 内部从O 点引出两条射线OC 、OD ，则图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：在∠AOB 内部从O 点引出n 条射线图中小于平角的角共有多少个？（二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：M几何语言： ∵ M 是线段AB 的中点∴ 12AM BM AB ==，22AM BM AB == 典型例题：1．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ）（A ）AP=21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=21AB 2．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 21=；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ．其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个4．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．5．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）A 2（a-b ）B 2a-bC a+bD a-b（三）与角有关的问题1． 已知：一条射线OA ，若从点O 再引两条射线OB 、OC ，使∠AOB=600，∠B OC =200，则∠A OC =________度（分类讨论）2． A 、O 、B 共线，OM 、ON 分别为∠ AOC 、∠ BOC 的平分线，猜想∠ MON 的度数，试证明你的结论．3．如图，已知直线AB 和CD 相交于O 点，COE ∠是直角，OF 平分AOE ∠，34COF =∠， 求BOD ∠的度数．ADBMCN4．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ， （1）若∠A = 60°，求∠O ；（2）若∠A =100°，∠O 是多少？若∠A =120°，∠O 又是多少？ （3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）5．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 56．互为余角的两个角 （ ）（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关（C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关7．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ） A.12（∠1＋∠2） B.12∠1 C.12（∠1－∠2） D.12∠2第六讲：相交线与平行线一、知识框架DCBAG F EDC BA12l 3l 2l 1 O二、典型例题1.下列说法正确的有( )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角; ④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的有( )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立．．．．的是（ ） A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD 分析：考察垂线段的性质、基本图形——“双垂直”图形4．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG •平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=_______.5．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( ) •A.6个 B.5个 C.4个 D.3个6．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？7. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________．A B1 EF 2 CPD34l 3l 2l 1128. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想)9．已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012， 求证：∠=∠E F第七讲：平面直角坐标系一、知识要点：1、特殊位置的点的特征（1）各个象限的点的横、纵坐标符号（2）坐标轴上的点的坐标：x 轴上的点的坐标为)0,(x ,即纵坐标为0;y 轴上的点的坐标为),0(y ，即横坐标为0;2、具有特殊位置的点的坐标特征 设),(111y x P 、),(222y x P1P 、2P 两点关于x 轴对称⇔21x x =，且21y y -=; 1P 、2P 两点关于y 轴对称⇔21x x -=，且21y y =;1231P 、2P 两点关于原点轴对称⇔21x x -=，且21y y -=。